1、函數(shù)單調(diào)性的判定方法函數(shù)單調(diào)性的判定方法第一頁，共18頁。證證,21baxx ,21xx 且且應用拉格朗日中值定理應用拉格朗日中值定理, 得得)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba內(nèi)，內(nèi)，若在若在, 0)( f則則21()().f xf x 于于是是( ) , .yf xa b 在在上上單單調(diào)調(diào)增增加加, 0)(),( xfba內(nèi)，內(nèi)，若在若在, 0)( f則則21()().f xf x 于于是是.,)(上上單單調(diào)調(diào)減減少少在在baxfy 第二頁，共18頁。例例1 1解解.1的的單單調(diào)調(diào)性性討討論論函函數(shù)數(shù) xeyx. 1 xey且且,)0

2、,(內(nèi)內(nèi)在在 , 0 y上上單單調(diào)調(diào)減減少少；函函數(shù)數(shù)在在0 ,( ,), 0(內(nèi)內(nèi)在在, 0 y.), 0上上單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù)在在 注意注意: : 函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，要用導數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，要用導數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點處的導數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點處的導數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性(,), 定定義義域域第三頁，共18頁。單調(diào)區(qū)間求法單調(diào)區(qū)間求法問題問題: : 如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個部分區(qū)間上單調(diào)在各個部分區(qū)間上單調(diào)定義定義: : 若

3、函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間.導數(shù)等于零的點導數(shù)等于零的點(稱為稱為駐點駐點)和和不可導點不可導點，可能是，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點單調(diào)區(qū)間的分界點方法方法: :.,)()(0)(數(shù)數(shù)的的符符號號然然后后判判斷斷區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)導導的的定定義義區(qū)區(qū)間間來來劃劃分分函函數(shù)數(shù)不不存存在在的的點點的的根根及及用用方方程程xfxfxf 第四頁，共18頁。31292)(23 xxxxf的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間.解解: :12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx令令,0)( xf得得2,1 xxx)(xf )(x

4、f) 1,(2001)2,1 (),2(21單調(diào)增單調(diào)增區(qū)間為區(qū)間為, 1,();,2 單調(diào)減單調(diào)減區(qū)間為區(qū)間為.2,112xoy12例例2. 確定函數(shù)確定函數(shù)第五頁，共18頁。例例3 3解解.)(32的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)確定函數(shù)xxf (,). 定定義義域域)0(,32)(3 xxxf.,0導導數(shù)數(shù)不不存存在在時時當當 x時時，當當0 x, 0)( xf上上單單調(diào)調(diào)增增加加；在在), 0)( xf時，時，當當 x0, 0)( xf上上單單調(diào)調(diào)減減少少；在在0 ,()( xf，0 ,()., 0 單調(diào)增單調(diào)增區(qū)間為區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為第六頁，共18頁。 如果函數(shù)在某駐點兩邊導

5、數(shù)同號如果函數(shù)在某駐點兩邊導數(shù)同號, 則不改變則不改變函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性 .例如例如,),(,3 xxy23xy 0 xyox3xy 注意：注意：駐點駐點時時，當當)0,( x, 0 y時，時，當當), 0( x, 0 yy 在在( (- - , ,0 0 y 在在0,+ )0,+ )3(,)yx 在在又例如又例如,cos(,).yxx 在在內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)增增加加證明證明 (留作習題留作習題 )第七頁，共18頁。例例4 4證證.)1ln(,0成成立立試試證證時時當當xxx ),1ln()(xxxf 設設,), 0)(上上連連續(xù)續(xù)在在 xf上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 0)(xf時，時，

6、當當0 x, 0)0()( fxf).1ln(xx 即即利用單調(diào)性證明不等式：利用單調(diào)性證明不等式：, 01111)(), 0( xxxxf內(nèi)內(nèi)，且且在在則則第八頁，共18頁。20 x時時, 成立不等式成立不等式2sin1.xx 證證: 令令,sin)(xxxf ( )(0,2f x 則則在在上上連連續(xù)續(xù)(0,)2 在在上上可可導導，2cossin( )xxxfxx 2cos(tan )xxxx0 ,2,0()(內(nèi)單調(diào)遞減內(nèi)單調(diào)遞減在在因此因此 xf即即2sin1.xx ()( )(0 ),2ff xf 所以當所以當且且例例5. 證明證明20 x時時, 內(nèi)內(nèi)第九頁，共18頁。例例6證明證明時時

7、0 x221)1ln(1xxxx 證證221)1ln(1)(xxxxxf 令令222212211221)1ln()(xxxxxxxxxxf )1ln(2xx ,0時時當當 x, 01ln)( xf )(xf0)0()( fxf221)1ln(1xxxx 即即則則,0時時當當 x第十頁，共18頁。例例7xxxx2tansin,20 時時證明證明 證證,2tansin)(xxxxf 記記2seccos)(2 xxxf2seccos22 xx0 )(xf0)0()( fxfxxx2tansin 即即,20時時則當則當 x2)sec(cosxx 第十一頁，共18頁。小結小結單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定

8、理的重要應用單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應用.定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結論定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結論仍然成立仍然成立.應用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實根應用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實根的個數(shù)和證明不等式的個數(shù)和證明不等式.第十二頁，共18頁。思考與練習思考與練習 1 ,0上上( )0,fx 則則(0),(1),ff(1)(0)ff 或或(0)(1)ff 的大小順序是的大小順序是 ( )( )(1)(0)(1)(0)Affff( )(1)(1)(0)(0)Bffff( )(1)(0)(1)(0)Cffff()(1)(0)(1)(0)Dffff提

9、示提示: ( )fx 單調(diào)增加單調(diào)增加 ,(1)(0)( ) (01)fff 及及B1. 設在設在( )0,fx 第十三頁，共18頁。2討論函數(shù)討論函數(shù)( )ln(0)f xxaxa的零點個數(shù)的零點個數(shù).解解(0,),定定義義域域1( ),fxax 1.xa 駐駐點點1(0,xa 當當) )時時, ,( )0,( )fxf x 1(xa當當,+ ),+ )時時, ,( )0,( )fxf x 111( )( )ln1.f xxfaaa 在在點點處處取取最最大大值值00lim( )lim(ln),xxf xxax 又又第十四頁，共18頁。11( )ln10,faa10ae時時, ,函數(shù)有兩個零點

10、，分別位于函數(shù)有兩個零點，分別位于11(0,), (,).aa 11( )ln10,faa1ae 時時, ,函數(shù)僅有一個零點，即函數(shù)僅有一個零點，即1.xa 11( )ln10,faa函數(shù)沒有零點函數(shù)沒有零點.lnlim( )lim(),xxxf xxax ln(lim0)xxx 1ae 時時, ,第十五頁，共18頁。一一、 填填空空題題：1 1、 函函數(shù)數(shù)7186223 xxxy單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 函函數(shù)數(shù)212xxy 在在區(qū)區(qū)間間 - -1 1, ,1 1 上上單單調(diào)調(diào)_ _ _ _

11、_ _ _ _ _， 在在_ _ _ _ _ _ _ _ _ _上上單單調(diào)調(diào)減減. .3 3、函函數(shù)數(shù)22ln xxy 的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _， 單單減減區(qū)區(qū)間間為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二二、 確確定定下下列列函函數(shù)數(shù)的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間：1 1、 xxxy6941023 ；2 2、 32)(2(xaaxy ( (0 a) )；3 3、 xxy2sin . .練練 習習 題題第十六頁，共18頁。第十七頁，共18頁。一、一、1 1、), 3,1,( 單調(diào)增加單調(diào)增加, ,3 , 1 單調(diào)減少；單調(diào)減少；2 2、增加、增加, ,), 1,1,( 3 3