1、2.3.3 2.3.3 空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示( ,)pxiy j i jx y (1)若分別是軸上同方向的兩個單位向量( ,)px y則的 坐 標(biāo) 為1212(,),(,)aaabb b(2)若11221122(,),(,)a bab aba bab ab 則 121122(,)(),aaaRaba ba b11221 12 2/,(),0abab abR ababa b 11222121(,),(,)(,)A x yB xyABxx yy (3)若則一復(fù)習(xí)回顧一復(fù)習(xí)回顧 若是若是 空間的一個基底，空間的一個基底， 是空間任意一向量，存在是空間任意一向量，存在唯一的實(shí)數(shù)

2、組使唯一的實(shí)數(shù)組使 px ay bz c , , a b c p （1）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為 1 1，這個基底叫這個基底叫單位正交基底單位正交基底 , , i j k 用表示 (2)(2)在空間選定一點(diǎn)在空間選定一點(diǎn) 和一個單位和一個單位正交基底正交基底 ，以點(diǎn)，以點(diǎn) 為原點(diǎn)，分為原點(diǎn)，分別以別以 的方向?yàn)檎较蚪⑷姆较驗(yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：條數(shù)軸： 軸、軸、 軸、軸、 軸軸 ，它們，它們都叫都叫坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸我們稱建立了一個我們稱建立了一個空間空間直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 , ,點(diǎn)點(diǎn) 叫叫原點(diǎn)原點(diǎn)，向量向量 都叫都叫坐標(biāo)向量

3、坐標(biāo)向量通過每通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫兩個坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面坐標(biāo)平面，分別稱為分別稱為 平面，平面， 平面，平面， 平面；平面； O , , i j k O,ij k xyzOxyzO,ij k xO yyO zzO xxyzkjiO一復(fù)習(xí)回顧一復(fù)習(xí)回顧 （4）在空間直角坐標(biāo)系）在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向中，讓右手拇指指向 軸的正方向，食指指向軸的正方向，食指指向 軸的正方向，如果中指軸的正方向，如果中指指向指向 軸的正方向，稱軸的正方向，稱這個坐標(biāo)系為這個坐標(biāo)系為右手直角右手直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系。本書建立的坐。本書建立的坐標(biāo)系都是右手直角坐標(biāo)標(biāo)系都是右手直角坐標(biāo)系系. . xyzxy

4、zkjiO（3）作空間直角坐標(biāo)系）作空間直角坐標(biāo)系 時，一般使時，一般使135 (45 ),90 xOyyOz或Oxyz如圖給定空間直角坐標(biāo)系和向量如圖給定空間直角坐標(biāo)系和向量 ，設(shè)，設(shè) 為坐標(biāo)向量為坐標(biāo)向量,則存在唯一的有序?qū)崝?shù)則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組組 ，使使 ， 有序?qū)崝?shù)組有序?qū)崝?shù)組 叫作向量叫作向量 在在空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 中的坐標(biāo)，記中的坐標(biāo)，記作作 在空間直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系 中，對空間中，對空間任一點(diǎn)任一點(diǎn) ，存在唯一的有序?qū)崝?shù)，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組組 ，使，使 ，有序?qū)崝?shù)組有序?qū)崝?shù)組 叫作向量叫作向量 在在空空間直角坐標(biāo)系間直角坐標(biāo)系 中的中的坐標(biāo)坐標(biāo)， 記作記作

5、 ， 叫叫橫坐標(biāo)橫坐標(biāo)， 叫叫縱縱坐標(biāo)坐標(biāo)， 叫叫豎坐標(biāo)豎坐標(biāo) a,ij k 123(,)a a a123aa ia ja k123(,)aaaOxyz123(,)aa aaAOxyz( , )x y zOAxiy jzk ( , )x y zOA Oxyz( , , )A x y zxzya123123(,),( ,)aa a abb b b設(shè)則;ab;ab;a; a b/;ab;ab112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,),()aaaR1 12233a ba ba b112233,()abab ab abR1 1223300 a ba ba ba b

6、一、向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算一、向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算2222123| aa aaaa2222123| bb bbbb1. 1.距離公式距離公式（1 1）向量的長度（模）公式）向量的長度（模）公式注意：此公式的幾何意義是表示長方體注意：此公式的幾何意義是表示長方體的對角線的長度。的對角線的長度。二、距離與夾角二、距離與夾角| ABABAB AB212121(,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222212121|()()()ABdABxxyyzz在空間直角坐標(biāo)系中，已知、在空間直角坐標(biāo)系中，已知、，則，則111(,)A xyz222(,)B xyz（2）空間兩點(diǎn)間的距離公式）空間兩

7、點(diǎn)間的距離公式cos,| | a ba bab1 1223 3222222123123;a ba ba baaabbb2. 2.兩個向量夾角公式兩個向量夾角公式注意：注意：（1）當(dāng)）當(dāng) 時，同向；時，同向；（2）當(dāng)）當(dāng) 時，反向；時，反向；（3）當(dāng)）當(dāng) 時，。時，。cos,1 a b與 abcos,1 a b與 abcos,0 a bab思考：當(dāng)思考：當(dāng) 及及 時，夾角在什么范圍內(nèi)？時，夾角在什么范圍內(nèi)？1cos,0 a b,10cos a b例例1已知已知 (2, 3,5),( 3,1, 4),|,8 ,abab ab aa a b 求(2, 3,5)( 3,1, 4)(5, 4,9)ab

8、(2, 3,5)( 3,1, 4)( 1, 2,1)ab 222| |2( 3)538a 88(2, 3,5)(16, 24,40)a (2, 3,5) ( 3,1, 4)2 ( 3) ( 3) 1 5 ( 4)29a b 解解:三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例例例2已知、，求：已知、，求：（1）線段的中點(diǎn)坐標(biāo)和長度；）線段的中點(diǎn)坐標(biāo)和長度；(3,3,1)A(1,0,5)BAB解：設(shè)是的中點(diǎn)，則解：設(shè)是的中點(diǎn)，則(, )M xy zAB113()(3,3,1)1,0,52,3 ,222 OMOA OB點(diǎn)的坐標(biāo)是點(diǎn)的坐標(biāo)是.M32,32222,(13)(03)(5 1)29 .A

9、 BdOABM（2）到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的）到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件。坐標(biāo)滿足的條件。 、AB(, )P xy z,xy z解：點(diǎn)到的距離相等，則解：點(diǎn)到的距離相等，則(, )P xy z 、AB222222(3)(3)(1)(1)(0)(5),xyzxyz化簡整理，得化簡整理，得46870 xyz即到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)滿即到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件是足的條件是 、AB(, )xy z46870 xyzF1E1C1B1A1D1DABCyzxO解：設(shè)正方體的棱長為解：設(shè)正方體的棱長為1，如圖建，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則立空間直角坐標(biāo)系，則Oxyz13(1 ,1 , 0) ,

10、1 ,1,4BE 11(0 , 0 , 0) ,0 , 1.4DF ，1311,1(1,1, 0)0 ,1,44BE 例例3 3如圖如圖, , 在正方體中，在正方體中， ，求與所成的角的余弦值求與所成的角的余弦值. . 1111ABCDABC D 11B E 11114A BD F1BE1DF1110, 1 (0,0,0)0, 1 .44DF ，1111150 01 1,4416BE DF 111717|,|.44BED F 111111151516cos,.17| |171744BE DFBEDFBEDF 例例3 3如如圖圖， 正正方方體體1111ABCDABC D 中中，E，F(xiàn)分分別別是是

11、1BB，11DB中中點(diǎn)點(diǎn)，求求證證：1EFDA 練習(xí)練習(xí) 3 3 已知已知 垂直于正方形垂直于正方形 所在的平面所在的平面, , 分分別是別是 的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,并且并且 , ,求證求證: :PAABCD,M N,AB PCPA ADMNPDC平面證明證明: 分別以分別以 為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系 則則 , ,i j k AxyzADBPCMNxyz,1PAADABPAAC ADABDAi ABj APk PA 且平面可設(shè)(0,0,0), (0,1,0),( 1,1,0),( 1,0,0),ABCD(0,0,1)P1111(0,0),(,)2222MN 11(,

12、0,)22MN ( 1,0, 1)PD (0,1,0)DC 11(, 0,) (1, 0,1)022M NPDM NPD 11(,0,) (0,1,0)022MNDCMNDC PDDCDMNPDC又平面練習(xí)練習(xí)4：如圖，已知線段：如圖，已知線段AB，AC，BDAB，DE ，DBE=30，如果，如果AB=6，AC=BD=8，求，求CD的長及異的長及異面直線面直線CD與與AB所成角的大小。所成角的大小。練習(xí)練習(xí)5：平行六面體：平行六面體ABCDA1B1C1D1中，中，AB=4，AD=3，AA1=5，BAD=BAA1=DAA1=60，E、 H、F分別是分別是D1C1 、AB、CC1的中點(diǎn)。的中點(diǎn)。（

13、1）求）求AC1的長；（的長；（2）求）求BE的長；（的長；（3）求）求HF的長；的長；（4）求）求BE與與HF所成角的大小。所成角的大小。886 EDCBA534FHED1C1B1A1DCBA1053arccos97372151371512125arccos證明證明:設(shè)正方體的棱長為設(shè)正方體的棱長為1,1,.DAi DCj DDk 建立如圖的空間直角坐標(biāo)系建立如圖的空間直角坐標(biāo)系11( 1,0,0),(0, 1),2ADD F 則則11( 1,0,0) (0, 1)0.2AD D F 1.ADD F 1(0,1, ),2AE 又又111(0,1, ) (0, 1)0.22AE D F 1.AED F 又又A AD DA AE E= =A A, ,1.D FADE 平平面面xyzA1D1C1B1ACBDFE練練習(xí)習(xí) 5 5. .在在正正方方體體1111ABCDA B C D 中中, ,EF、 分分別別是是1BBCD、的的中中點(diǎn)點(diǎn), ,求求證證: :1D FADE 平平面面. . 練習(xí)練習(xí) 5 5. .如圖，在平行六面體 ABCD-A1B1C1D1中， O 是 B1D1的中點(diǎn)，求證：B1C面 ODC1. a b c 四、課堂小