1、77第二章平穩(wěn)隨機過程的譜分析第二章平穩(wěn)隨機過程的譜分析本章要解決的問題： 隨機信號是否也可以應(yīng)用頻域分析方法？ 傅里葉變換能否應(yīng)用于隨機信號？ 相關(guān)函數(shù)與功率譜的關(guān)系 功率譜的應(yīng)用 采樣定理 白噪聲的定義2.1 隨機過程的譜分析2.1.1 預(yù)備知識1、付氏變換：對于一個確定性時間信號x(t),設(shè)x(t)是時間t的非周期實函數(shù),且x(t)滿足狄利赫利條件(有限個極值，有限個斷點，斷點為有限值)且絕對可積，能量有限，則1 .川在(一8,2 .駕絕對可積，x(t)傅里葉變換存在。即:OO)范圍內(nèi)滿足狄利赫利條件，.若“(Q代表信號，則近，)信號的總能量有限，即滿足上述三個條件的x(t)的傅里葉變換

2、為:g0)e-加di.878隨機信號分析與應(yīng)用其反變換為:DO/工(3)6如d切Xg為火力的頻譜,當(dāng)/式代表電壓時，則XX曲)表示了電壓按頻率的分布。一般說,Xx(s)是&的復(fù)函數(shù)，即Xx(m)包含了振幅譜和相位譜.2、帕賽瓦等式由上面式子可以得到:0Og8jU"廳d/=jje(O-JXMMe如dwdid-QO*0.OOEgX#(畫“力J.dfd®J.8.8Xx3)X】(m)dG=21|Xx(m)|id型一g<»iDO即ja=機4XxS)產(chǎn)日田-oo.oo稱為非周期性時間函數(shù)的帕塞瓦(Parseval將式。物理意義：若x(t)表示的是電壓(或電流)，

3、則上式左邊代表x(t)在時間(-8木)區(qū)間的總能量(單位阻抗)。因此，等式右邊的被積函數(shù)XX(切)2表示了信號x(t)能量按頻率分布的情況，故稱XX9)2為能量譜密度。2.1.2、隨機過程的功率譜密度一個信號的付氏變換是否存在，需要滿足三個條件，那么隨機信號是否滿足這三個條件從而存在付氏變換呢？隨機信號持續(xù)時間無限長，因此，對于非0的樣本函數(shù)，它的能量第二章平穩(wěn)隨機過程的譜分析79一般也是無限的，因此，其付氏變換不存在。但是注意到它的平均功率是有限的，在特定的條件下，仍然可以利用博里葉變換這一工具。為了將傅里葉變換方法應(yīng)用于隨機過程，必須對過程的樣本函數(shù)做某些限制，最簡單的一種方法是應(yīng)用截取函

4、數(shù)。截取函數(shù)XT(t):圖2.1x(t)及其截取函數(shù)Ui>T當(dāng)x(t)為有限值時，裁取函數(shù)XT滿足絕對可積條件。因止匕XT(t)的傅里葉變換存在，有ooX%(丁產(chǎn))=，而(£)山T耳xU)e.刖di-T很明顯，XT也應(yīng)滿足帕塞瓦等式，即：(注意積分區(qū)間和表達式的變化)80隨機信號分析與應(yīng)用Tg,0)pde>'_T-OO用2T除上式等號的兩端，可以得到roo奈必班=不|X£70)12ds一71OO等號兩邊取集合平均，可以得到：T.*g、X者必出=J11"_8令TT6,再取極限，便可得到隨機過程的平均功率。交換求數(shù)學(xué)期望和積分的次序，可以得到：(注

5、意這里由一條樣本函數(shù)推廣到更一般的隨機過程，即下面式子對所有的樣本函數(shù)均適用)1t218EXX(T,。)2lim一,EX2(t)dt=-JlimX'，&t2Tt2-t>2T上式等號的左邊表示的正是隨機過程消耗在單位電阻上的平均功率(包含時間平均和統(tǒng)計平均)，以后我們將簡稱它為隨機過程的功率并記為Q。再看等式的右邊，它當(dāng)然也存在，并且等于Q。2EXy(T，)2又因為Xx(T,6)非負，所以極限limLX',"I必定22T存在，記為SX(")：-1T21一Q=limTEX2(t)dt=-Sx()dt-2T-,2二一式中l(wèi)im白70國義丁，加)|。注

6、意：(1)Q為確定性值，不是隨機變量第二章平穩(wěn)隨機過程的譜分析81(2) SXS)為確定性實函數(shù)。(見式)兩個結(jié)論：1.Q=A<EX2(t)>1-,式中，A<->=lim<.>表下時間平均。它說明，隨機過t2T程的平均功率可以通過對過程的均方值求時間平均來得到，即對于一般的隨機過程(例如，非平穩(wěn)隨機過程)求平均功率，需要既求時間平均，又求統(tǒng)計平均。顯然，Q不是隨機變量。若隨機過程為平穩(wěn)的，則QAEX2(t)=EX2(t)=Rx(0)這是因為均方值與時間t無關(guān)，其時間平均為它自身。OO2.QSr(*>)do>g，一一，2由于已經(jīng)對XX(T,。)求了

7、數(shù)學(xué)期望，所以SX(&)不再具有隨機性，它是。的確定性函數(shù)。 功率譜密度：sx3)描述了隨機過程x的功率在各個不同頻率上的分布一一稱SX(6)為隨機過程X(t)的功率譜密度。 對SX(°)在x(t)的整個頻率范圍內(nèi)積分，便可得到X(t)的功率。對于平穩(wěn)隨機過程，則有：21-EX2(t)=-_Sx()d2二82隨機信號分析與應(yīng)用【例2.1】設(shè)隨機過程X(f)J+6)其中4和5皆是實常數(shù)，G是均勻分布在區(qū)間(0,*/2)上的隨機變量口試求過程X(f)的平均功率.解：因為過程X。)的均方值y+5cos(2%+26)jEX*a)=E砂匕門+6)=ER“促-f-2=了+引、8s皿+2)

8、"=2'蔡Sin2%Q=A(EX"(£)A=黑備-3由2媼出蜘5建型用絲丕是寬壬猿的q根據(jù)式(3.7"我們可2.1.3、功率譜密度的性質(zhì)1功率諧密度為非負的.即證明：根據(jù)定義式(3工14'SM為c,、磯氏(TM-1.&=bmTfg61因為|羽(7>)產(chǎn)20,故SM6>。2.功率譜密度是的實函數(shù)白第二章平穩(wěn)隨機過程的譜分析83證明：Tfgg因為XX（T并）2進行了取模運算，這是金的實函數(shù)，所以SX（6）也是辦的實函數(shù)，且為確定性實函數(shù)。3.對于實隨機過程來悅，功率譜密度是的偶函數(shù)口即5#（m）=S%（一利）證明:根據(jù)博里

9、葉變換的性質(zhì)，我們知道，當(dāng)為"）為士的實函數(shù)時，其頻譜滿足_GO因此：X-2'產(chǎn))=Xx(T一式中.*表示復(fù);其甄口于是有|&(7»|占XXT戶)XTT.&)=XH7m)X*T.-6=，XMT,-s)|2即：S無（管=UmT-E|X*T嚴(yán)）巴2T得:SjcQ。）=5其一第）84隨機信號分析與應(yīng)用4.功率譜密度可積，即OO一DO證明：對于平穩(wěn)隨機過程，有:一21二一EX2(t),Sx()d可以說明功率譜密度函數(shù)曲線下面的總面積(即隨機過程的全部功率)等于過程的均方值。由于平穩(wěn)隨機過程的均方值是有限的,因此S式可積山2.2聯(lián)合平穩(wěn)隨機過程的互功率譜密度2

10、.2.1、 互譜密度可由單個隨機過程的功率譜密度的概念，以及相應(yīng)的分析方法推廣而來。xr(t)=<toyAt)-T<t<T其它其它考慮兩個平穩(wěn)實隨機過程X(t)、Y，它們的樣本函數(shù)分別為x(t)和y(t),定義兩個截取函數(shù)xT(t)、yT(t)為：因為xT(t)、yT(t)都滿足絕對可積的條件，所以它們的傅里葉變換存在。在時間范圍(-T,T)內(nèi)，兩個隨機過程的互功率Qxy(T)為：(注意第二章平穩(wěn)隨機過程的譜分析85xT（t）、yT（t）為確定性函數(shù)，所以求平均功率只需取時間平均）T-Tr*-T由于xT（t）、yT（t）的傅里葉變換存在，故帕塞瓦定理對它們也適用，即：j若步）

11、由=言XXT.w）X«T,m）diuDO。CK）因為已設(shè)x（。為實過程，所以若U>=用了可以得到T0萱jr）=捺火置7,3)名",d.tF>注意到上式中，x（t）和y（t）是任一樣本函數(shù)，因此，具有隨機性，取數(shù)學(xué)期望，并令TTg,得：-1TJimEQxy(T)二QxyJimETx(t)y(t)dtT二T二2TT.1t-,一.=limTRxY(t,t)dtt-2Tt*1 -EXx(T,)XY(T,),=limxyd2 t-2T定義互功率譜密度為:86隨機信號分析與應(yīng)用T4gZ上得：0初=jSAT(ft>)dtt>g同理，有：S“(3)=lira”磯X：

12、(T,)Xx(T,m)T*oo/J8Qyk=市!S"(m)d。*g又知Qh=Qx以上定義了互功率和互功率譜密度，并且導(dǎo)出了它們之間的關(guān)系。2.2.2、互譜密度和互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度之間互為傅里葉變換，互相關(guān)函數(shù)與互譜密度之間也存在著類似關(guān)系。定義：對于兩個實隨機過程X、Y(t),其互譜密度SXY(")與互相關(guān)函數(shù)Rxy(t,t+7)之間的關(guān)系為-g即(/?*¥(<"+丁)？-+->8元¥(W)若X(t)、Y(t)各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)，則有第二章平穩(wěn)隨機過程的譜分析87即：OOSZ3)=155)葭即上一

13、gooRjtyC)表Sxy()e'Mds-oo式中，A<.A表示時間平均。顯然：當(dāng)£(£)和y(力廣義聯(lián)合平穩(wěn)時，有R*、(t"+T)=/?XY(T)及AiRjiydt+.RayC)證明：略，參見自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度關(guān)系的證明。結(jié)論：對于兩個聯(lián)合平穩(wěn)(至少是廣義聯(lián)合平穩(wěn))的實隨機過程，它們的互譜密度與其互相關(guān)函數(shù)互為傅里葉變換。2.3.3、互譜密度的性質(zhì)互功率譜密度和功率譜密度不同，它不再是頻率切的正的、實的和偶函數(shù)。»_4、-4¥-*4、性質(zhì)1：SxM);Syx()=Syx()證明：Sxy()=_：Rxy()ejd=RYX(T

14、)e"jo"d"令w=七=Oyx(Md=sYx(s)88隨機信號分析與應(yīng)用=1：Ryx。)e-j(-0hd=Syx(-)性質(zhì)2：ReSXY3)=ReSXY(i);Re0x()=ReSYx()證明：式中Re表示實部。亦即互譜密度的實部為6的偶函數(shù)。Sxy()=：Rxy()ejdqQ=Rxy()cosjsin(-)doO所以：ReSXY(®)=匚RxyC)cosTdi令T=-TQO=LRXYL)cos-d=ReSxY()其它同理可證。性質(zhì)3:ImtS¥X(»>=(一】式中，Im表示虛都.亦即互譜密度的虛部為9的奇函數(shù).證明：類似性質(zhì)

15、2證明第二章平穩(wěn)隨機過程的譜分析89性質(zhì)4:若X(t)與Y(t)正交，則有Sj(Y(/)=0)SyJC()=0證明：若x(t)與Y(t)正交,則RXY(t1,t2)=Ryx(td，t2)=0所以，SXY()=SYX()=0性質(zhì)5:若X(t)與Y(t)不相關(guān)，X(t)、Y(t)分別具有常數(shù)均值mx和mY，則Sky”)=2"至尤蛆川(8)證明：因為X(t)與Y(t)不相關(guān)，所以Sxy()，Rxy()ejdmxmYejdEX(tJY(t2)=mxmY2nmXmY6(")(注意1126戶)性質(zhì)6:+刃>->Sxy(tu)式中，A<>表示時間平均。這給出了一般

16、的隨機過程(包含平穩(wěn))的互譜密度與互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系式。90隨機信號分析與應(yīng)用例2.2設(shè)兩個隨機過程X(t)和Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)，其互相關(guān)函數(shù)RXY()為：Y0求互譜密度SXY(),8Vx()解：先求sXYe)：8-co=丁-8=g廣_?_-3+j附再求SYX()9St度(*>)hS(如)=j-詞2.3功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系確定信號：x(t產(chǎn)X(產(chǎn))。隨機信號：平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)功率譜密度。1.定義：若隨機過程X(t)是平穩(wěn)的，自相關(guān)函數(shù)絕對可積，則自相關(guān)函數(shù)與第二章平穩(wěn)隨機過程的譜分析91功率譜密度構(gòu)成一對付氏變換，即：OO=f-e一防機,-318限da上加jg這一關(guān)系就是

17、著名的維納一辛欽定理、或稱為維納一辛欽公式。2.證明：F面就來推導(dǎo)這一關(guān)系式。證明方法類似式的證明Sx()limT-二e|Xx(t/)|22T因為：由(3.1.14)式1*=limEXx(T,)Xx(T,)t-2T=limE二X(tjej*1dti二X(t2)ejt2dt2t2T-t”交換積分和數(shù)學(xué)期望順序=lim！；EX(ti)X(t2)ej(t2tl)dtidt2T2T一|一|=Jim；1TTRx(t2ti)ej(t2t"dtidtzT2T_|_|uu設(shè)工=t2-ti,u=t2+ti,則t2=，ti=221 1所以：j=理“也)=22=1qzu)_1I22 292隨機信號分析與應(yīng)

18、用0d-2T12T二期開'-2T2T-t1-2T小丘-Rx()ejdu12T2T-1_：.則Sx()=Jim0d2Trx()ejdut2T02122T1_：2T1Rx()ejdu-2I-=limT二=limT二三；t(2T)Rx()ejd2T2T2T_.r.2T(1-£)Rx()ed(1)2T2TCoRx(t)ejd工Jim/；4Wx(工)ejd-t-212TH一。(注息TT6,30；且TT00時，Rx(工)T02T因此，通常情況下，第二項為0Rx()e證畢第二章平穩(wěn)隨機過程的譜分析93推論：對于一般的隨機過程X，有：DO§*(山)=，十f)ew"dtbO

19、QS“3)eMd出CO©10A<Rx(iti+)>則平均功率為：1T_21lim-(EX2(t)dt=SX«)出。=°)時T-2TT2二一利用自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度皆為偶函數(shù)的性質(zhì),又可將維納一辛間平均加統(tǒng)計平均。欽定理表示成:8=21/?i(r)cos«>rd*ffz(T)=-sx(<w)cosrdKI3.單邊功率譜由于實平穩(wěn)過程x(t)的自相關(guān)函數(shù)RX。)是實偶函數(shù)，功率譜密度也一定是實偶函數(shù)。有時我們經(jīng)常利用只有正頻率部分的單邊功率譜。沖又心0Ga=<103Vo(常見的幾種付氏變換關(guān)系需要記住)例3.3平穩(wěn)隨機過程的自

20、相關(guān)函數(shù)為RXC)=Ae"W,a>0,94隨機信號分析與應(yīng)用P>0,求過程的功率譜密度。解：應(yīng)將積分按+"和-分成兩部分進行。Qdr+e(3-jwMr=A-e-(+jto)Tt°°S/9)=JSe+g-Mg-L.B-W+B+WJM34設(shè)X為隨機相位隨機過程XU）=48554+8）,其中其叫為實常數(shù)（0為隨機相位，在（0其G均勻分布,可以推導(dǎo)出這個過程為廣義平穩(wěn)隨機過程.具有自相關(guān)函數(shù)。為R*=彳爪（叫丁）Ci求X的功率造密度S,（冊”解：注意此時oCiRX。）d7不是有限值，即不可積，因此2Ai-cos(0)edejdRXC）的付氏變換不存在

21、，需要引入6函數(shù)。_i,Sx()=二Rx()eidAj0A-j0ee295第二章平穩(wěn)隨機過程的譜分析ej0e-j0（注意：cosp）=）A24e-j0）A2=-2-（一0）（0）（注意：ej02（0）例3名設(shè)隨機過程丫（力=必（£）吐口叫其中心叫售為常數(shù)，X（f）為具有功率將密度SrS）的平穩(wěn)過程,求過程P（f）的功率譜密度0解,首先，我們可求得過程v«）的自相關(guān)函數(shù)J?t（*,i+r）=£（）7（/+t）J"£（，+Osin恤G+軍）心=xRx。）cos通/一cos（2/J+，歲）顯然，它與時間t有關(guān)，所以Y（t）為非平穩(wěn)隨機過程，gS“3）

22、=，4尺«/十»。加£dr一OQ而A4-=虧2?氯番）cus5T因此，最后得到過程Kf）的功率譜密度為0McSy（8）=1Sx（3-5）+5x（»+也）（一定要注意一般隨機過程與平穩(wěn)隨機過程的平均功率和譜密度的求法區(qū)別）96隨機信號分析與應(yīng)用2.4離散時間隨機過程的功率譜密度2.4.1、 離散時間隨機過程的功率譜密度1 .平穩(wěn)離散時間隨機過程的相關(guān)函數(shù)設(shè)X（n）為廣義平穩(wěn)離散時間隨機過程，或簡稱為廣義平穩(wěn)隨機序列，具有零均值，其自相關(guān)函數(shù)為：R式忸）=EXnT）XknT+搟T）簡寫為:（陽）=EX（部）X5+哪）2 .平穩(wěn)離散時間隨機過程的功率譜密度g當(dāng)

23、的滿足條件式Z儲）8時，我們定義X（線）的梅U-8功率譜密度為K的離散傅里葉變換,并記為SH6gSXg）=S&?n=8式中，T是隨機序列相鄰各值的時間間隔。SXS）是頻率為切2n記為的周期性連續(xù)函數(shù)，其周期為-=20。SXY）的傅里葉級數(shù)的q系數(shù)恰為RX（m）,這里就是奈奎斯特頻率（不是采樣頻率）。這說明離散序列的功率譜為周期函數(shù)。因為SX（3）為周期函數(shù)，周期為2q,97第二章平穩(wěn)隨機過程的譜分析在m=0時，有3.譜分解z變換定義在離散時間系統(tǒng)的分析中，常把廣義平穩(wěn)離散時間隨機過程的功率譜密度定義為RX(m)的z變換，并記為SX(z),即sa)=X洲)之式中z=ejeT,且2?

24、71;a)則為鼠(幻的逆Z變換立即上式中，D為在SX(Z)的收斂域內(nèi)環(huán)繞z平面原點反時針旋轉(zhuǎn)的一條閉合圍線。性質(zhì)sa)=s(；)因為自相關(guān)函數(shù)RX(m)=RX(-m),帶入式即可。譜分解譜分解定理：設(shè)X(n)是廣義平穩(wěn)實離散隨機過程，具有有理功率98隨機信號分析與應(yīng)用譜密度函數(shù)SX（z）o則SX（z）可分解為:除）=8夙?。┦街校▃-Q】）（/一%）(Z仇)(Bm)（%一）a一左）(X1-£Xt-1)*鳳zf=C式中，若則必定有|«*>L，=L2產(chǎn)，M苦悶<1,則必定有|露”>1.4=1.24“M可見，,在BQ）中包含了單位圓之內(nèi)的全部零點和極點；B（zT

25、）中包含了單位圓之外的全部零點和極點。證明：總可以將SX（z）表示成兩個多項式之比:8n(z)sia)=E口一8上式中:N（Z）=、科/7）4=0I2JVfD（Z）=Za«TJ*=0由于RX（m）是實函數(shù)，因此多項式N（z）、D（z）的系數(shù)也都是實數(shù)、且有M<NO對式（3.4.9）因式分解，形式如下:（胃一曲）"工聞）（牙一瓦b州）設(shè)21是N（z）的一個根，是SX（z）的一個零點，那么，a1應(yīng)滿足第二章平穩(wěn)隨機過程的譜分析995（1）=0而根據(jù)性質(zhì)見式（3.4.8）可知，若上式成立，則下式必成立：5冥口；”011這就是說，a1也一定是N（z）的一個根；或者說a1是SX

26、（z）的一個零點。于是，兩個零點，和21/總是同時出現(xiàn)。同理，若%是5；（/）的一個極點，則PJ1也必定是SX（z）的一個極點?；蛘哒f，兩個極點必定同時出現(xiàn)。根據(jù)上面的討論，便可將式（3.4.11汾解成兩項相乘，即式中S=C（”（二品）1BQ）=CCB?。┦街?，若則必定有的力>L，l=L2,“M若<1,則必定有|即|>1,&=1,2尸跖可見，.在BQ）中包含了單位圓之內(nèi)的全部零點和極點；B（z"）中包含了單位圓之外的全部零點和極點。即證。M3.6設(shè)五”（哪>=加加1MI<1,求SMz）和ScSL解：應(yīng)用式（3.4.5）,可以得到-18隆=ZLL+

27、2底廣m審=tdom.0100隨機信號分析與應(yīng)用整理得:S（z）=（1-z（囂雨）一（1一吟a磁Fa-心）一（胃-i十名）將z=ej8T代人上式，即可求得Sx（W）"T+4235面T2.4.2、 平穩(wěn)隨機過程采樣定理1 .預(yù)備知識在分析確定性的離散時間信號時，香農(nóng)采樣定理占有重要地位。它建立了連續(xù)信號與其采樣離散信號之間的變換關(guān)系。設(shè)S是一個確定性連續(xù)限譜實信號，它的頻帶范圍限于（-。+«c）之間。香農(nóng)采樣定理告訴我們，當(dāng)采樣周期小于或等于1/2fc（晨=2n3時），可將S展開成:s（£）=2s（nT）3/-標(biāo)%=一OQ式中，丁為采樣周期,式姓工）為在時間

28、3;=制丁時對式£的振幅采樣.因此，采樣頻率為:fs1，T2fc原信號的恢復(fù)：滿足采樣定理的采樣值通過一個低通濾波器101也|心|研明則可證明，當(dāng)滿足條件T小于或等于1/2fc時，便可將X(t)按它第二章平穩(wěn)隨機過程的譜分析(沖激響應(yīng)為Sa函數(shù))，就可以無失真的恢復(fù)原信號。2 .平穩(wěn)隨機過程的采樣定理現(xiàn)在將香農(nóng)采樣定理推廣到隨機信號。定義：若X為平穩(wěn)隨機過程，具有零均值，它的功率語密度SXg)限于(-切c,+6c)之間：(即假設(shè)連續(xù)過程的功率譜有界)的振幅樣本展開為:XU)=lu.m£嗎/二")這就是平穩(wěn)隨機過程的采樣定理。式中，T為采樣周期X(nT)表示在時間t

29、=nT時，對隨機過程X(t)的任一樣本函數(shù)X(t)的振幅采樣，l.i.m則表示均方意義下的極限。例如表示磯一發(fā)n=0Nfg就是說，在N-R的極限條件下.X")與發(fā)的均方誤差為零.證明：因為X(t)的自相關(guān)函數(shù)及RX(7)是T的確定性因數(shù),由維納一辛欽定理，RX()SX(),又因為SX8)帶寬有限，由預(yù)備知識的香農(nóng)采樣定理，RX。)的振幅可以展開成：102隨機信號分析與應(yīng)用&=士仙典黑”n=-QQ式中T為采樣周期，RX鄴T）為在時間工外7時對我乂切的振幅采樣.由付氏變換時移性質(zhì)，可得：i9a->5x()e的。這里a為任一常數(shù)。顯然。SX（®）e-j&a帶

30、寬也是有限再由香農(nóng)采樣定理，將RX（工-a）展開:&=E心（心-公嗎:;二外再0OO令1一a=，再令=工，則上式可變?yōu)?&=RAnT-a）一直（霄十一刖./M-g現(xiàn)在令:砍limCX一發(fā)”第二章平穩(wěn)隨機過程的譜分析103=E6m1X(f)戈(f»XQ一HmXd)戈(Q)虎(£)1Nfg一和)了=0或£X(典筆著NT*采樣定理就得到了證明。下面分別證明上式的兩項均為0。ElimX(t)-X?(t)X(t)N：NRx(0)limEX(nT)X(t)N>：n=-Nsin(ctn)ctnc又:oo=Rx(o)An=-co(4)令=0,a=t,得:00

31、Rx(0)=Rx(nTt)n二一二比較(4)(5)式得：sin(ctn)ElimX(t)-,(t)X(t)=0N>令=t,a=mT,得：oORx(tmT);Rx(nTmT)n二一二ctn(6)sinf，ct-n)ctnc104隨機信號分析與應(yīng)用力一發(fā)批71)N-TQQ=&«-癡7)-VRx(nT-mT)戶1口*一壽箕)J*一修加分二*8(8)(7)(8)式比較，上式等號右端為零。于是可得：EClimCXCO一天口)2X(慌T)=0上式說明，在Ntoo的極限條件下，X(。一發(fā)與X(心)正交。另方面,發(fā)是陽陽門的線性組合，因此，X一發(fā)也必定與發(fā)正交。即EtlimCX。)一龍

32、(£)充)=。-*oo由可見：歐limX一發(fā)光=EOimX(力一發(fā)(£)X(力一HmX(f)戈G)發(fā)N->ooNf8=0證畢。為了書寫方便，也常把采樣定理寫成：V，八3V/T*siu(2j-杵”)W=Q4但應(yīng)注意，上式的近似是表示均方意義下的極限，它與一般意義下的近似是不同的第二章平穩(wěn)隨機過程的譜分析1052.4.3、功率譜密度的采樣定理由平穩(wěn)隨機過程的采樣定理，可以通過對平穩(wěn)隨機過程X(t)的采樣而得到與之相對應(yīng)的離散時間隨機過程X(n)?，F(xiàn)在討論X(n)的自相關(guān)函數(shù)(或稱自相關(guān)序列)與X(t)的自相關(guān)函數(shù)、X(n)功率譜密度和X(t)功率譜密度之間的關(guān)系。定義：設(shè)

33、X(t)為廣義平穩(wěn)隨機過程，用RC«)和Sc(g)分別表示它的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度，且ScQ)的帶寬有限(這里下標(biāo)C表示連續(xù))?，F(xiàn)在，應(yīng)用采樣定理對X(t)采樣，構(gòu)成采樣離散時間隨機過程X(n)=X(nT),其中T為采樣周期。R«)和S(«)分別表示X(n)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度，則(你)=£1X(舛)邦十許=(邦丁+琳T)J=Rc(mT)31 l彳ZSM&+2爵/)丘二一g式中®q='即功率譜密度的采樣定理。(隨機序列功率譜為周期函數(shù))結(jié)論：(1) 離散時間隨機過程的自相關(guān)函數(shù)R(m)正是對連續(xù)過程自相關(guān)函數(shù)RC。)的采樣

34、。sr)等于sc卜)及sc(。)的所有各位移之和，即Sc8)以28q為周期延拓，所以SY)為周期函數(shù)。Sd)與5©(®)關(guān)系如下圖示意：106隨機信號分析與應(yīng)用圖2.3X(t)、Sc(w)與X(n)、S(w)的對應(yīng)關(guān)系證明：預(yù)備知識：若確定性函數(shù)f(t)為周期函數(shù)，周期為T,即f(t)=f(t+mT),m為任意整數(shù)，則它總可以展開為傅立葉級數(shù)：(信號與線性系統(tǒng)分析吳大正主編，P129)f(t)=fFnejnnt指數(shù)形式表示：Tn=":Fn=f(t)ejntdtT-萬2n:0,1,2,.,T注意SC(。)是確定性函數(shù)。因為工sc(0+2n®0)是周期為28

35、a的連續(xù)函數(shù)，則傅里葉qqn二一二級數(shù)展開式為：SO第二章平穩(wěn)隨機過程的譜分析107QO工SC（«+2n.）=工ane-jnoT（這里與通常的傅n二-二-立葉級數(shù)不同）n二二-其中：anq-SC()ejnTdq-qcoSc()ejnTd=RC(nT)=TR(n)2q帶入上式得:oOSc(2nq)=n-:-TR(n)ejnTn-1Sc（n-二間功率譜密度的定義）定理證畢。2nq);6RR(n)ejnwT=S(«)(離散時n-二2.5口噪聲隨機過程通?？砂此母怕拭芏群凸β首V密度的函數(shù)形式來分類。就概率密度而言，正態(tài)分布（或稱為高斯分布）的隨機過程占有重要地位；就功率譜密度來說，則具有均勻功率譜密度的白噪聲非常重要。2.5.1、理想白噪聲定義：若N（t）為一個具有零均值的平穩(wěn)隨機過程，其功率譜密度均勻分布在,+°°）的整個