1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載立體幾何專題：空間角和距離的計(jì)算一線線角1 .直三棱柱AiBiCi-ABC,/BCA=90°,點(diǎn)DiE分別是A1B1和A©的中點(diǎn)，若BC=CA=CC1,求BD1與AF1所成角的余弦值。2 .在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，/BAD=90°,AD/BC,AB=BC=a,AD=2a,且PAL面ABCD,PD與底面成30°角，(1)若AEXPD,E為垂足，求證：BEXPD;(2)若AEXPD,求異面直線AE與CD所成角的大小；2,在三棱柱A1B1C1-ABC二.線面角1,正方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F分別為BB、CD

2、的中點(diǎn)，且正方體的棱長為2,(1)求直線D1F和AB和所成的角；(2)求D1F與平面AED所成的角。中，四邊形AA1B1B是菱形，四邊形BCC1B1是矩形，CB1，AB,AB=4,C1B1=3,/ABB1=60°,求AC1與平面BCC1B1所成角的大小。學(xué)習(xí)必備歡迎下載面角1,已知AiBiCi-ABC是正三棱柱，D是AC中點(diǎn)，（i）證明ABi/平面DBC"（2）設(shè)ABi，BC，求以BC1為棱，DBC1與CBCi為面的二面角的大小。2 .ABCD是直角梯形，/ABC=900,SA，面ABCD,SA=AB=BC=i,AD=0.5,（i）求面SCD與面SBA所成的二面角的大??；（

3、2）求SC與面ABCD所成的角。S3 .已知AiBiCi-ABC是三棱柱，底面是正三角形，/AiAC=60°,/A1AB=450,求二面角BAAiC的大小。四空間距離計(jì)算（點(diǎn)到點(diǎn)、異面直線間距離）i.在棱長為a的正方體ABCD-AiBiCiDi中，P是BC的中點(diǎn),DP交AC于M,BiP交BCi于N,（i）求證：MN上異面直線AC和BCi的公垂線；（2）求異面直線AC和BCi間的距離；AB學(xué)習(xí)必備歡迎下載（點(diǎn)到線，點(diǎn)到面的距離）2.點(diǎn)P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA，面ABCD,Q為線段AP的中點(diǎn)，AB=3,CB=4,PA=2,求（1）點(diǎn)Q到直線BD的距離；（2）點(diǎn)P到平面BDQ的

4、距離；3.邊長為a的菱形ABCD中，/ABC=600,PC，平面ABCD,E是PA的中點(diǎn)，求E到平面PBC的距離。（線到面、面到面的距離）4.已知斜三棱柱AiBiCi-ABC的側(cè)面AiACCi與底面ABC垂直,/ABC=900,BC=2,AC=273,且AAAC,AAi=AiC,(1)求側(cè)棱AAi與底面ABC所成角的大小；（2）求側(cè)面AiABBi與底面ABC面AiACCi距離；所成二面角的大??；（3）求側(cè)棱BiB和側(cè)5.正方形ABCD和正方形ABEF的邊長都是i,且平面ABCD、ABFE互相垂直，點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM=NB=a（0<a<J2）,（i）求MN的長

5、；（2）當(dāng)a為何值時(shí)，MN的長最??；立體幾何中的向量問題空間角與距離i自主學(xué)習(xí)一S基礎(chǔ)自測學(xué)習(xí)必備歡迎下載1 .已知兩平面的法向量分別為m=（0,1,0）,n=（0,1,1）,則兩平面所成的二面角為.答案45°或135°2 .二面角的棱上有A、B兩點(diǎn)，直線ACBD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2j17,則該二面角的大小為答案603 .如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-ABCD中，O是底面ABCD勺中心，E、F分別是CC、AD的中點(diǎn)，那么異面直線OE和FD所成角的余弦值等于.答案554 .如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系

6、中，有一棱長為a的正方體ABCO-A'B'CD',A'C的中點(diǎn)E與AB的中點(diǎn)F的距離為.答案a25 .（2008福建理，6）如圖所示，在長方體ABCD-ABCD中，AB=BC=2,AA=1,則BC與平面所成角的正弦值為答案一典例剖析一例1（2008海南理，18）如圖所示，已知點(diǎn)P在正方體ABCD-A'B'CD'的對角線BD上，/PDA=60°.求DP與CC所成角的大??；求DP與平面AA'D'D所成角的大小.解如圖所示，以D為原點(diǎn)，DA為單位長度建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.則DA=（1,0,0）,cc"=

7、（0,0,i）.連接BDB'D'.在平面BB'D'D中，延長DP交B'D'于H.設(shè)DH.=(mm1)(m>0),由已知<dH,DA=60由DA畝=|DA|畝|cos<DH,DA>,可得2m、-2所以<DH,CC>=45°v2m2書.解彳Im=字，所以市=（£,2,1).20011(1)因?yàn)閏os<DH,CC'22學(xué)習(xí)必備歡迎下載即DP與CC所成的角為45°.(2)平面AA'D'D的一個(gè)法向量是DC=(0,1,0).因?yàn)閏os<DH,DC>二

8、0二110所以DH,DC=60°,可得DP與平面AAD'D所成的角為30例2在三才好隹SABC中，ABC是邊長為4的正三角形，平面SACL平面ABCSA=SC=2J3,MlN分別為AB、SB的中點(diǎn)，如圖所示.求點(diǎn)B到平面CMN勺距離.解取AC的中點(diǎn)O,連接OSOBSA=SC,AB=BC.-.AC±SO,AC±BO平面SACL平面ABC平面SACH平面ABC=AC,S0±¥面ABC,：SOLBO如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,則B(0,2串,0),C(-2,0,0),S(0,0,2般),M(1,赤，0),N(0,用；2).CM=(3

9、,73,0),MN=(-1,0,/),MB=(-1,4f3,0)設(shè)n=(x,y,z)為平面CMN勺一個(gè)法向量,CMn=3x+73y=0，取z=1,MNn=x-2z=04，.2一3則x=垃,y=-Jb,-n=(四，-/6,1)nMB:點(diǎn)B到平面CMN勺距離d=In例3(16分)如圖所示，四棱錐PABC而，底面ABCDt矩形，PAL底面ABCDPA=AB=1,AD=j3，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng).(1)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系,(2)求證：無論點(diǎn)E在BC邊的何處，都有PE±AF;(3)當(dāng)BE為何值時(shí)，PA與平面PDEff成角的大小為45°

10、.(1)解當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，EF與平面PAC平行.在4PBC中，E、F分別為BCPB的中點(diǎn)，：EF/PC又EF式平面PAC而PCU平面PAC二.EFT面PAC(2)證明以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系學(xué)習(xí)必備歡迎下載貝UP(0,0,1),B(0,1,0),F(0,1,1),D(.3,0,0).221設(shè)BE=x,貝UE(x,1,0),PE-AF=(x,1,-1)-(0,-,1)=0,2210分.-.PE±AF.(3)解設(shè)平面PDE的法向量為m=(p,q,1),由(2)知PD=(2,0,-1),PE=(x,1,-1)mPD=0mPE=0得m=X,1a3,1.12分而AP=(

11、0,0,1),依題意PA與平面PDE所成角為45°,mAP:sin4514分得BE=x=月段或BE=x=陋+底>J3(舍去)故BE=3-四時(shí)，PA與平面PDE所成角為45°.16分知能遷移1.如圖所示，AF、DE分別是。OOO的直徑，AD與兩圓所在的平面均垂直，AD=8.BC是。的直徑，AB=AC=6,OE/AD(1)求二面角B-AD-F的大??；(2)求直線BD與EF所成的角的余弦值.解(1)丁AD與兩圓所在的平面均垂直，.-.AD±AB,AD±AF,故/BAF是二面角BAD-F的平面角.依題意可知，ABFB正方形，BAF=45°.即二面

12、角BAD-F的大小為45°(2)以O(shè)為原點(diǎn)，CRAF、OE所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)則O(0,0,0),A(0,-3近,0),B(3版,0,0),D(0,-3<2,8),E(0,0,8),F(0,3.2,0),BD=(-322-322,8),EF=(0,342,-8).ycos<BD,eF>BDEFbd|ef學(xué)習(xí)必備歡迎下載0-18_64=_<82.100,8210設(shè)異面直線BD與EF所成角為a,則cos.1;=|cos即直線BD與EF所成的角的余弦值為叵.102.已知：正四棱柱ABCD-ABCD中，底面邊長為(1)求證：平面BEFL平面

13、BDDB;(2)求點(diǎn)D到平面BEF的距離.(1)證明建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(2修，2二，0),E(2招，/，0),F(4240),D(0,0,4),B(2姓,2理，4).2眼,側(cè)棱長為4,E、D(0,0,0),F分別為棱ARBC的中點(diǎn).EF=(-d2,72,0),而=(2w'E,2&,0),DD1=(0,0,4),:EF-BD=0,EF-DD1=0.-.EF±DB,EF±DD,DDnBD=D,：EF，平面BDDB1.又EFC：平面BEF,平面BEFL平面BDDB.(2)解由(1)知d1B；=(2J2,2J2,0),EF=(-72,拉，0),乖=(

14、0,-江，-4).設(shè)平面B1EF的法向量為n,且n=(x,y,z)則n±EF,n±B1E即nEF=(x,y,z)(-qQ,72,0)=-X5x+y=0,n-B1E=(x,y,z)(0,-J2,-4)=-J2y-4z=0,令x=1,貝Uy=1,z=-，:n=(1,1,-)4.D到平面BiEF的距離2J2+2、'2DiBind=_16,17173.如圖所示，在四棱錐PABC計(jì)，底面ABCDM巨形，側(cè)棱PAX底面ABCDAB=<3,BC=1,PA=2,E為PD的中點(diǎn).(1)求直線AC與PB所成角的余弦值；(2)在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N,使NEX平面PAC并求出N點(diǎn)至I

15、AB和AP的距離.學(xué)習(xí)必備歡迎下載解方法一（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A、B、C、DP、E的坐標(biāo)為A(0,0,0),B(2,0,0)、C(73,1,0)、D(0,1,0)、P(0,0,2)、從而同=（事，1,0),PB=(30,-2).設(shè)AC與PB的夾角為貝Ucos=ACPB3=3.7ACPB2.714：AC與PB所成角的余弦值為任714(2)由于N點(diǎn)在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x,0,z）,則NE=（-x,，1-z),由NE±平面PAC可2NENEA",AC=01-x,-,1(0,0,2)=01-x,-,1-z(,3,1,0)03x=6z=1即AC與PB所

16、成角的余弦值為3、.714在平面ABC咕過D作AC的垂線交AB于F,則/ADF=段.連接PF,則在RtADF中,DF=一蛆=2_cos._ADF3學(xué)習(xí)必備歡迎下載AF=AD-tan/ADF=亙.設(shè)N為PF的中點(diǎn)，連接NE則NE/DF-.DF±AC,DF±PA,：DF，平面PAQ從而NEL平面PAC.N點(diǎn)至IAB的距離為1AP=1,2N點(diǎn)至IAP的距離為1AF=2L26+-活頁作業(yè).、填空題1 .在正方體ABCD-ABCD中，M是AB的中點(diǎn)，則sinDB1,CM的值等于.答案3°152 .正方體ABCD-ABCD的棱長為1,O是AQ的中點(diǎn)，則點(diǎn)O到平面ABGD的距離

17、為答案43 .（2008全國I理，11）已知三棱柱ABC-A,BG的側(cè)棱與底面邊長都相等，A在底面ABC內(nèi)的射影為ABC的中心，則AB與底面ABCW成角的正弦彳！等于.答案3U、P平面上引射線PMPN,如果/BP附/BP附45°,/4 .P是二面角aABP棱上的一點(diǎn)，分別在MPW60。，那么二面角aABP的大小為答案90°D是AC的中點(diǎn)，則直線AD與SD的中點(diǎn)，且SG=OD則直線BC與平面5 .正方體ABCD-ABCD的棱長為1,E、F分別為BB、CD的中點(diǎn)，則點(diǎn)F到平面AQE的距離為答案3-5106 .如圖所示，在三棱柱ABC-ABC中，AA，底面ABCAB=BC=AA,

18、ZABC=90°,點(diǎn)E、F分別是棱ARBB的中點(diǎn)，則直線EF和BC所成的角是答案60°7 .如圖所示，已知正三棱柱ABC-ABC的所有棱長都相等,平面BDC所成角的正弦值為答案458 .正四棱錐SABC由,O為頂點(diǎn)在底面上的射影，P為側(cè)棱PAC所成的角是.答案30°二、解答題Ei9 .如圖所示，在幾何體ABCD坤，ABC是等腰直角三角形，/ABC=90°,學(xué)習(xí)必備歡迎下載BE和CD都垂直于平面ABC且BE=AB=2,CD=1,點(diǎn)F是AE的中點(diǎn).求AB與平面BDF所成角的正弦值.解以點(diǎn)B為原點(diǎn)，BA、BCBE所在的直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間

19、直角坐標(biāo)系，則B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),D(0,2,1),E(0,0,2),F(1,0,1).BD=(0,2,1),DF=(1,-2,0).設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為n=(2,a,b),.n1dF,n±BD,nDF.田<nBD3即&a,b)(1,T0)=02,a,b)(0,2,1)=0解彳ta=1,b=-2.：n=(2,1,-2).設(shè)AB與平面BDF所成的角為0,則法向量n與函的夾角為匹-日，2:cos(匹-日)BAnBAn=2,0,02,1,-2=2233，a,BC=DE=a,ZEAB=ZAB(=即sin日=2，故AB與平面BDF所成角的正

20、弦值為-.3310.在五錐PABCD斗，PA=AB=AE=2a,PB=PE=2J2/DEA=90°.(1)求證：PAL平面ABCDE(2)求二面角APD-E的余弦值.(1)證明以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以ARAE、AP所在直線分別為系A(chǔ)xyz,則由已知得A(0,0,0),P(0,0,2a),B(2a,0,0),C(2a,a,0),D(a,2a,0),E(0,2a,0).AP=(0,0,2a),Ab=(2a,0,0),AE=(0,2a,0), APAB=0-2a+00+2a-0=0, -ap±Ab.同理Ap±Ae.又,ABnAE=A,PA!平面ABCDE(2)解設(shè)平面PAD

21、的法向量為m=(1,y,z),1則m，AD=0,a+2ay=0,-y=.又m,AP=0,彳12az=0,：z=0. .m=(1,-1,0).2再設(shè)平面PDE的法向量為n=(x,1,z),而ED=(a,0,0),PD=(a,2a,-2a),貝1Jn,ED=0,彳aax=0,:x=0.又nPD=0,彳導(dǎo)ax+2a-2az=0,:z=1.學(xué)習(xí)必備歡迎下載.n=(0,1,1).令二面角APTE的平面角為Q,貝Ucos-I="故二面角APTE的余弦值是q0.11.如圖所示，在三棱錐PABC中，AB±BCAB=BC=kPA,OPL底面ABC(1)若k=1,試求異面直線PA與BD所成角余

22、弦值的大?。?2)當(dāng)k取何值時(shí)，二面角O-PC-B的大小為U?3解OP，平面ABC又OA=OCAB=BC從而OALOB,OB±OP,OALOP以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Oxyz.(1)設(shè)AB=a,則PA=a,PO=2a,/2、/A(-a,0,0),B(0,舁0),C(-竽a,0,0),P(0,0,貝UD(-烏a,0,ila).>22PA=(a,0,-a)BD=(-二a,41212aa/蓊、PABD44-3cosPA,BD>=_4_4=-,pA|bd|且a23則異面直線PA與BD所成角的余弦值的大小為(2)設(shè)AB=a,OP=h,OBL平面POCOB=(0,不妨設(shè)平面2a,0)為平面POC的一個(gè)法向量.2PBC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),.A(a,0,0),B(0,2a,0),C(a,0,0),P(0,0,h),2BC=(-2a,a,0),PC=(-2、a,0,-h),2一xyax-hz=0BC，2PCR二學(xué)習(xí)必備歡迎下載不妨令x=1,則y=-1,z=-*12a2h即n=(1,-1,-cos=3OBn=1»=5=2+a22h2=4=.h=1a,2a,2而AB