1、第三章 屈服條件(yield criteria)3.1 屈服條件的概念3.2 描述屈服條件的坐標體系3.3 屈服條件的研究歷史3.4 常用的幾種屈服條件圖3.1 低碳鋼的應力應變曲線e彈性極限彈性極限Ly屈服下限屈服下限Uy屈服上限屈服上限b強度極限強度極限強化段強化段軟化段軟化段彈性變形彈性變形殘余變形殘余變形卸載卸載 理想彈塑性力學模型理想彈塑性力學模型 理想彈塑性力理想彈塑性力學模型亦稱為彈學模型亦稱為彈性完全塑性力學性完全塑性力學模型，該模型抓模型，該模型抓住了韌性材料的住了韌性材料的主要變形特征。主要變形特征。其表達式為：其表達式為： )( )( 時當時當ssssEE1tanE 理想

2、線性理想線性強化彈塑性強化彈塑性力學模型亦力學模型亦稱為彈塑性稱為彈塑性線性強化材線性強化材料或雙線性料或雙線性強化模型。強化模型。其數(shù)學表達其數(shù)學表達式為：式為： )( )()( 1時當時當ssssEE 理想線性強化彈塑性力學模型理想線性強化彈塑性力學模型 理想剛塑理想剛塑性力學模型性力學模型亦稱剛性完亦稱剛性完全塑性力學全塑性力學模型，特別模型，特別適宜于塑性適宜于塑性極限載荷的極限載荷的分析。其表分析。其表達式為達式為: :)( 時當ss 理想剛塑性力學模型理想剛塑性力學模型 理想線理想線性強化剛性強化剛塑性力學塑性力學模型，其模型，其應力應變應力應變關系的數(shù)關系的數(shù)學表達式學表達式為：

3、為： 理想線性強化剛塑性力學模型理想線性強化剛塑性力學模型) 0( 1時當 EsnA 冪強化力學模型冪強化力學模型 為了避免在為了避免在 處的變化，有時可處的變化，有時可以采用冪強化力學以采用冪強化力學模型。模型。當表達式中當表達式中冪強化系數(shù)冪強化系數(shù) n 分別分別取取 0 或或 1 時，就代時，就代表理想彈塑性模型表理想彈塑性模型和理想剛塑性模型。和理想剛塑性模型。其應力應變關系表其應力應變關系表達式為：達式為：s 強度理論：人們根據(jù)大量的破壞現(xiàn)象，通過判斷推理、概括，提出了種種關于破壞原因的假說，找出引起破壞的主要因素，經(jīng)過實踐檢驗，不斷完善，在一定范圍與實際相符合，上升為理論。材料之所

4、以按某種方式破壞，是應力、應變或應變能密度等因素中某一因素引起的。即無論是簡單或復雜應力狀態(tài)，引起破壞的原因是相同的，與應力狀態(tài)無關。強度理論 回顧 構件由于強度不足將引發(fā)兩種失效形式(1) 脆性斷裂：材料無明顯的塑性變形即發(fā)生斷裂，斷面較粗糙，且多發(fā)生在垂直于最大正應力的截面上，如鑄鐵受拉、扭，低溫脆斷等。 (2) 塑性屈服（流動）：材料破壞前發(fā)生顯著的塑性變形，破壞斷面粒子較光滑，且多發(fā)生在最大剪應力面上，例如低碳鋼拉、扭，鑄鐵壓。 關于屈服的關于斷裂的強度理論：最大拉應力理論和最大伸長線應變理論強度理論；最大切應力理論和最大畸變能密度理論。1. 最大拉應力理論最大拉應力理論（第一強度理論

5、）（第一強度理論） 最大拉應力是引起材料斷裂的主要因素。即認為無論材料處于什么應力狀態(tài),只要最大拉應力達到簡單拉伸時破壞的極限值，就會發(fā)生脆性斷裂。01 構件危險點的最大拉應力1 極限拉應力，由單拉實驗測得b 00 四種常見強度理論及強度條件四種常見強度理論及強度條件 nb1強度條件強度條件鑄鐵拉伸鑄鐵扭轉(zhuǎn)3. 3. 最大伸長線應變理論最大伸長線應變理論（第二強度理論）（第二強度理論） 最大伸長線應變是引起斷裂的主要因素。即認為無論材料處于什么應力狀態(tài),只要最大伸長線應變達到簡單拉伸時破壞的極限值，就會發(fā)生脆性斷裂。01 構件危險點的最大伸長線應變1 極限伸長線應變，由單向拉伸實驗測得0 E/

6、)(3211 Eb/0 實驗表明：此理論對于一拉一壓的二向應力狀態(tài)的脆性材料的斷裂較符合，如鑄鐵受拉壓比第一強度理論更接近實際情況。強度條件)(321nb 最大切應力是引起材料屈服的主要因素。 即認為無論材料處于什么應力狀態(tài),只要最大切應力達到了簡單拉伸屈服時的極限值，材料就會發(fā)生屈服。0max3. 最大切應力理論最大切應力理論（第三強度理論）（第三強度理論） 構件危險點的最大切應力max 極限切應力，由單向拉伸實驗測得0 2/0s 2/ )(31max強度條件實驗表明：此理論對于塑性材料的屈服破壞能夠得到較為滿意的解釋。并能解釋材料在三向均壓下不發(fā)生塑性變形或斷裂的事實。)0(max局限性：

7、 2、不能解釋三向均拉下可能發(fā)生斷裂的現(xiàn)象。1、未考慮 的影響，試驗證實最大影響達15%。2 13ssn 最大畸變能密度是引起材料屈服的主要因素。 即認為無論材料處于什么應力狀態(tài),只要最大畸變能密度達到簡單拉伸屈服時的極限值,材料就會發(fā)生屈服。0ddvv 4. 最大畸變最大畸變能密度理論能密度理論（第四強度理論）（第四強度理論）213232221d)()()(61Ev 構件危險點的形狀改變比能d20261sdEv 形狀改變比能的極限值，由單拉實驗測得0d屈服條件22132322212)()()(s 強度條件 ss213232221)()()(21n實驗表明：對塑性材料，此理論比第三強度理論更符

8、合試驗結果，在工程中得到了廣泛應用。11 , r)(3212, r )()()(212132322214, r強度理論的統(tǒng)一表達式： r313 ,r塑性模型三要素屈服條件流動法則硬化規(guī)律判斷何時達到屈服屈服后塑性應變增量的方向，也即各分量的比值決定給定的應力增量引起的塑性應變增量大小彈塑性計算分彈塑性計算分析的首要條件析的首要條件判斷何時達到屈服3.1. 屈服條件的概念 3.1.1 屈服 3.1.2 屈服條件 3.1.3 屈服函數(shù) 3.1.4 屈服曲面 3.1.5 子午線與平面上屈服線3.1.1 屈服 加載路徑 物體受到荷載作用后，隨著荷載增大，由彈性狀態(tài)到塑性狀態(tài)的這種過渡，叫做屈服。 物體

9、內(nèi)某一點開始產(chǎn)生塑性應變時，應力或應變所必需滿足的條件，叫做屈服條件。屈服條件是判斷材料處于彈性還是塑性的準則。3.1.2 屈服條件Twist and extension only twist屈服點圖3.2 著名的Taylor-Quinney銅管拉扭屈服試驗(1931)3.1.3 屈服函數(shù) 在各向同性的情況下，可以用三個主應力分量或應力不變量表示： 一般情況下，屈服條件與應力、應變、時間、溫度等有關，而且是它們的函數(shù)，這個函數(shù)F稱為屈服函數(shù)。0)(ijF123123123(,)0( ,)0( ,)0( , ,)0FF I IIF I JJF p q 在不考慮時間效應(如應變率)和溫度的條件下：

10、(, )0(, , )0(, , )0(, )0ijijijijijijpijijpijijijijFTFt TFt TFT3.1.4 屈服面 在應力空間內(nèi)屈服函數(shù)表示為屈服面。 根據(jù)不同的應力路徑實驗，在應力空間將這些屈服點連接起來，就形成一個區(qū)分彈性和塑性的屈服面。圖3.3 屈服曲面主應力空間與主應力空間與 平面平面等頃線平面應力點應力點圖1.13 應力空間 各剪應力與J2廣義剪應力2Jq八面體剪應力平面上的剪應力分量應力偏量第二不變量8純剪應力s2Js8qq23q13q213q83288328328322ss2ss23s33213122122J2J223J23JijS32ijijS S1

11、3ijijS S12ijijS SijijS S12ijijS S表1.3 各剪應力與應力偏量第二不變量J2之間的關系23q22J圖3.5 p ,q,空間金屬材料屈服面圖3.4主應力空間金屬材料屈服面0),(),(),(),(232321321JFqFJJFF傳統(tǒng)塑性力學中與I1無關pq3.1.5 子午線與平面上的屈服線 屈服面在平面上的跡線一般稱為 平面上的屈服曲線；而屈服面與子午平面的交線稱為子午平面上的屈服曲線。圖3.6 屈服曲線與屈服面子午面與平面上的屈服線圖3.7不同屈服條件下平面上的屈服曲線子午平面上二次式屈服曲線的三種形式：(a)雙曲線(b)拋物線 (c)橢圓圖3.8 子午平面二

12、次式屈服曲線的三種形式3.1 基本概念小結屈服條件屈服函數(shù)屈服曲面屈服曲線以應力(應變)函數(shù)形式表達在應力空間內(nèi)的表示在平面或子午面上的投影屈服彈性到塑性的過渡應力(應變)滿足條件3.2 描述屈服條件的坐標體系 (1,2,3) ： 力學(土力學)(p, q, )： 土力學1232221223311213131()31()()()221tan ()3pq1232221223311213131()31()()()321tan ()3mr圖3.9表示屈服面的常用坐標系3.3 屈服條件的研究歷史 Coulumb (1773) 把土及巖石看成磨擦材料 Tresca (1864) 作了一系列的擠壓實驗，發(fā)

13、現(xiàn)金屬材料在屈服時，可以看到有很細的痕紋；而這些痕紋的方向接近于最大剪應力方向13max2ktannfc 3.3 屈服條件的研究歷史-2(續(xù)上) Mises (1913) Mises指出Tresca試驗結果在平面上得到六個點，六個點之間的連線是直線？曲線？還是圓？Mises采用了圓形，并為金屬材料試驗所證實 Drucker and Prager (1952) Drucker和Prager首先把不考慮2影響的Coulomb屈服準則與不考慮靜水壓力p影響的Mises屈服準則聯(lián)系在一起，提出了廣義的Mises模型，后被稱為D-P模型。3.3 屈服條件的研究歷史-3(續(xù)上) Drucker(1957年

14、) 指出巖土材料在靜水壓力下可以屈服，歷史上的屈服面在主應力空間是開口的，不符合巖土材料特性，應加帽子，俗稱“帽子模型”。 Rscoe(1958-1963年) 針對劍橋軟土進行三軸及壓縮試驗，在e-p-q空間中獲得臨界狀態(tài)線，在p-q平面上得出子彈形屈服曲線，獲得了“帽子模型”的實驗證實及函數(shù)表達。3.3. 屈服條件的研究歷史-4(續(xù)上) Roscoe and Burland(1968) 修正了子彈頭形屈服面，改為橢球形屈服面，并編入劍橋大學CRISP有限元軟件，風行歐美，成為軟粘土彈塑性模型的經(jīng)典作品。 下面將逐一重點介紹Tresca、Mises、Mohr-Coulomb、Drucker-P

15、rager和Cam Clay模型。13max2k Tresca (1864) 假設當最大剪應力達到某一極限值k時，材料發(fā)生屈服：3.4.1 Tresca(屈雷斯加)條件和Mises(米賽斯)條件 在一般情況下，即1,2,3不按大小 次序排列，則下列表示最大剪應力的六條件中任一個成立，材料就開始屈服122331222kkk 或222222122331322246232244404273696640kkkJJk Jk Jkmax132k 使用不變量I2和J2的公式 太復雜，如果知道主應力的大小，則應用下式最方便13213221313213132221321232123132222132123132

16、12313131322232132123321tancos33233232331222JJ1322cos0kJk3030其中主應力空間平面圖3.10 Tresca屈服面和屈服線k的試驗確定： 簡單拉伸試驗：12313,0, /2sssk 故123,0, sssk 故 純剪試驗：在應力空間中1-2=2k表示一對平行于2及等傾線的平面，因此可以建立三對相互平行的平面組成，為垂直于平面的正六柱體，在平面上屈服曲線如右圖所示。2 23k122 23k2 23kTresca屈服面不能反映球應力張量對材料屈服的影響，為了反映球應力張量對材料屈服的影響，將Tresca屈服條件推廣為廣義Tresca屈服條件：

17、31312aIk1311212312220aIkaIkaIk如不清楚 主應力的大小順序，上式可寫成：廣義Tresca屈服面在應力空間的屈服曲面為一正角棱錐體面，中心軸與等傾線重合，在平面上的屈服曲線為正六角形，形狀和Tresca屈服條件相同。222,333kkkaaa圖3.11 廣義Tresca屈服面CJ)()()(612132322212 Tresca屈服條件有以下問題：沒考慮中主應力的影響；當應力處在屈服面的棱線上時，處理會遇到數(shù)學上的困難；主應力大小未知時，屈服條件十分復雜。因此， Mises(1913)提出了 上式稱為Mises條件，是屈服條件中一種最簡單的形式，因為在這一條件中只含有

18、J2。222rO PJC 根據(jù)平面上應力矢徑的表達式，進一步有：因此，在平面上，Mises條件必為一圓。2rC圖3.12 Mises屈服面同樣為了反映球應力張量的影響，Drucker(德魯克)和Prager(普拉格)(1952)首先提出在應力空間中為一圓錐 形屈服面的屈服條件。2rC12IJK圖3.13 廣義Mises屈服面C的試驗確定： 簡單拉伸試驗：1s232s2,0 3CJ 故1s23s22s,0, CJ 故純剪試驗：k的試驗確定： 簡單拉伸試驗：12313,0, /2sssk 故123,0, sssk 故 純剪試驗：對于這兩種特殊情況，Tresca條件和Mises條件是重合的。Mise

19、s屈服面(Mises圓)外切Tresca六邊形內(nèi)接Tresca六邊形O312AB圖3.14 Tresca屈服線和Mises屈服線的關系3=0平面MisesTresca12s2k131s232s3=0平面MisesTresca2s23J2s23J2s23J圖3.15 Tresca屈服線和Mises屈服線的關系(續(xù))對于3=0的平面應力情況下，Mises幾何條件可描述為：222222212121122s136JCC 由于 222211221212221212221212134412322222222223 2 所以，3=0平面上的Mises屈服面為一橢圓。 Mises屈服條件是J2 的函數(shù)，而J2

20、與8、有關，還與物體形狀改變的彈性比能有關，也就是說，當平面上的剪應力分量達到某一極限時，材料開始屈服。材料力學中，Mises屈服條件作為強度理論使用時，通常稱為第四強度理論。 Tresca屈服條件是認為最大剪應力達到某一極限時，材料開始屈服。材料力學中，Tresca屈服條件作為強度理論使用時，通常稱為第三強度理論。Mises & Tresca圖3.16 Taylor-Quinney試驗 Taylor-Quinney在1931年分別對銅、鋁、軟鋼作成的薄圓筒，在拉伸和扭轉(zhuǎn)聯(lián)合作用下，進行試驗，如2 . 16所示，對于這幾種材料，Mises屈服條件比Tresca屈服條件更接近實驗數(shù)據(jù)，因

21、而可認為Mises屈服條件來自試驗。 上述這兩種屈服條件都主要適用于金屬材料，對于巖土類介質(zhì)材料一般不能很好適用，因為巖土類材料的屈服與體積變形或靜水應力狀態(tài)有關。 下面我們就介紹在巖土材料中常用的一些屈服條件；并以重塑土試驗為基礎。在介紹屈服條件之前首先講一個基本的概念：巖土材料的臨界狀態(tài)線。3.4.2 巖土材料的臨界狀態(tài)線 自1958年以來，英國劍橋大學Rosce(羅斯科)等人對劍橋重塑粘土進行了大量試驗工作，并在此基礎上提出了土的一些彈塑性特性和臨界狀態(tài)模型(劍橋模型)，為建立巖土塑性理論作出了開創(chuàng)性 貢獻。 Rosce等人所作的試驗主要是正常固結土和超固結土的排水和不排水常規(guī)三軸試驗，

22、試驗的參量是有效應力p,q和比容v，可以在一、三維空間圖中描述。 v取決于孔隙比e或體應變v，因而也描述了孔隙比或體應變的變化，試驗應用常規(guī)三軸試驗，因而沒有引入Lode參數(shù)。 對于正常固結土，進行三軸剪切不排水試驗時，先使試樣在不同的各項等壓狀態(tài)(a,2a,)下固結，然后，增加垂直偏壓力q=1-3直到土樣破壞。最后可給出一族不同的應力-應變曲線，如右圖，由圖可見，圍壓越高，其q也越高。將上述試驗采用p-q坐標面內(nèi)表示出來，可以發(fā)現(xiàn)這些不同應力路徑的形狀是相似的，這樣就意味著若采用q/qc和p/pc坐標，所有的應力路徑就會歸一化為一條線。 正常固結試樣不排水試驗在v-p坐標平面上的應力路徑如(

23、b)所示，可以看出正常固結線從A1、A2、A3出發(fā)，由于是不排水試驗，所以在比容保持常量的情況下移動，直到B1、B2、B3各點破壞為止。試驗表示在v-p坐標內(nèi)B1、B2、B3連成一條光滑的曲線，曲線外觀與正常固結線形狀相似，而在(a)中為一條直線。 正常固結試樣排水試驗的曲線與不排水情況相似，根據(jù)在q-p和v-p平面內(nèi)的應力路徑，可以看出，所有試驗路徑的破壞點在q-p平面內(nèi)都是直線，從各試樣的平均固結應力p開始，以斜率3上升，達到qf,pf時破壞，構成q-p坐標內(nèi)的B1、B2、B3破壞線，這些路徑在v-p平面內(nèi)都是曲線。各試樣隨著p值的增大而壓縮， B1、B2、B3這些點連成一條光滑曲線，其形

24、狀與正常固結線相似，但隨著偏壓力q增大比容也相應變化，如矢量線A2 B2 和 A2 B2 。 把粘土固結不排水剪和排水剪試驗的破壞點繪在一起，如下圖，發(fā)現(xiàn)兩類試驗的破壞點均落在同一條線上。 這條線就稱為臨界狀態(tài)線(CSL)，表示一種臨界狀態(tài)。 (1)土體的應力狀態(tài)一旦達到此線，就會產(chǎn)生破壞，所以它是一條極限狀態(tài)線，且與應力路徑無關。 (2)達到這種破壞狀態(tài)后，應力不變，無體積變形，剪切變形無限大，這正是塑性流動的特點，因此，臨界狀態(tài)也意味著理想塑性狀態(tài)。 (3)臨界狀態(tài)線在平面上的投影可用下式表示pppqcscslnlnlnor ,ln*pln圖3.18 正常固結粘土排水與不排水實驗的破壞線

25、臨界狀態(tài)線在p-q-v三維空間是p、q、v的函數(shù)，正常各向等壓固結線在q=0的平面上，即空間的“底面”上。如右圖。 臨界狀態(tài)線可以通過實驗測定。如果已知臨界狀態(tài)線的位置，只需知道破壞時的一個變量(p、q、v)，就可求出其他兩個變量。圖3.19 p-q-v空間的臨界狀態(tài)線3.4.3 Mohr-Coulomb屈服條件sin)(21cos)(213131CtannnC 庫侖定律式中是破壞面上切應力，n是破壞面的正壓力。c是材料粘性系數(shù)， 是內(nèi)摩擦角，C和是兩個材料常數(shù)。在主應力空間，此屈服準則可用下圖示意圖3.20本節(jié)證明以拉應力為正，壓應力為負。 據(jù)此，屈服面方程可寫為根據(jù)13132 cos()s

26、in0C上述屈服面方程可改為2121sincoscossinsin033JICJ2132132213132131322131131222221tansin3323222sin312323JIIJJJ2131313213221tancos2cos32JJ)(62)(313131321m)(323131m)sin31/()sin2cos2(31mC)sin311/()sin2cos2()(31mcC 圖中A、B兩點分別是平面跡線與主軸壓縮和拉伸試驗破壞線的兩個交點或?qū)⑸鲜酱肴S壓縮時，1=2 3 ，則= 1圖3.21 平面的屈服線為不規(guī)則的六角形的認證得13132cos()sin0C于是)sin

27、311/()sin2cos2()(31mlC)0( 1sin1sin1)()(31313131lc三軸拉伸時，12= 3 ，則= -1故于是O123圖3.21 Mohr-Coulomb屈服面(續(xù))13131313sin2cos22sinsin2cos022mFCSSSSCSSSSx而213213131322633666SSSSSySSy 于是sincossin22mxCyAB就是圖中AB的方程Mohr-Coulomb條件的另一種表達形式2121221sincoscossinsin33111sincos3cos3sinsin3331sin( 3cossinsin )co

28、s03JFICJICJJpqCsinsincos3cos3sinsincos3sin3cpq將2121sincoscossinsin033JICJ23qJ113pI有代入上式或Mohr-Coulomb條件sinsincos3cos3sinsincos3sin3cpqqptgc sinsincos3sin3tg3 cos3cossinsinCc該式又可表示為圖3.22 p-q平面上兩個Mohr-Coulomb破壞線三軸壓縮時，1,tan13,306sin3sintg6cos3cossinCc三軸壓縮時，1,tan13,30 6sin3sintg6cos3cossinCcMohr-Coulomb條

29、件的幾種特殊情況0cos)sinsin31(cossin3121cJI當 時，0如上式 再 時，0當 時，常數(shù)22coscos0JCJkTresca條件02CJMises條件120IJk廣義Mises條件Mohr-Coulomb條件的幾種特殊情況-212sin3( 3cossinsin )3 cos0IJC當 時，受拉破壞：6 )sin3(3cos6,)sin3(3sin2Ck120IJk當 時，受壓破壞：6)sin3(3cos6,)sin3(3sin2Ck圖3.23 相應于三種、k系數(shù)的三個圓錐屈服曲線2121sincoscossinsin033JICJ12sin3( 3cossinsin

30、)3 cos0FIJC當該式對 微分，并使之為零，此時F取極小Drucker-Prager條件120IJk22sin3cos3,sin33sinCk222233(3sincossin )0tansin33sinsinsin93sin3sin33cos93sin3sinF 1221222sin3( 3cossinsin )3cos3sinsin3()3cos03sin3sinFIJCIJC2rC圖3.13 廣義Mises屈服面Drucker,PragerMises3 cotC113 cot3 cot3IICrC3.4.4 劍橋模型屈服條件正常固結土和超固結土試樣的排水和不排水三軸試驗劍橋模型土體臨界狀態(tài)的概念硬化原理能量方程劍橋模型(Roscoe, 1963)修正劍橋模型(Burland, 1965) Roscoe和Burland(1965)根據(jù)臨界狀態(tài)土力學理論提出的修正劍橋模型，其屈服面方程為：修正劍橋模型屈服條件2202q pMppM式中，p為平均有效應力；q為主應力差，M為臨界狀態(tài)線斜率， p0為硬化參數(shù)，其值為屈