1、第七章 小波分析、分析工具及應(yīng)用發(fā)展復(fù)習(xí)回顧n小波分析來源 小波分析來源于信號分析的需求.設(shè)一個有限分辨率的連續(xù)信號 ,將其近似地表示為下列階梯函數(shù)(圖1) n為簡化敘述,取整數(shù)點（n）為樣點,式中 為樣本值,而其基函數(shù) n n并又將其稱為“尺度函數(shù)”，如圖2所示. f t 00nnftCtn 0nCf n 1010otherstt n我們我們將采樣間隔加倍將采樣間隔加倍,則其樣點數(shù)減半則其樣點數(shù)減半,這時這時信號表示為信號表示為n顯然顯然, ,這里自然取這里自然取 , ,參見參見( (圖圖3).3).我們稱上述算法為我們稱上述算法為二分法二分法. .再分析二再分析二分前后兩個信號的偏差分前后

2、兩個信號的偏差( (圖圖3) 3) 112nntftCn10022112nnnCCC 101g tftft 它具有形式它具有形式 , 這里這里 而其而其基函數(shù)基函數(shù) 如如(圖圖4)所示所示: 它就是一種它就是一種“小波函數(shù)小波函數(shù)”。 顧名思義顧名思義,“小波小波”就是小的波形就是小的波形。所謂所謂“小小”是指它具有衰減性是指它具有衰減性,譬如是局部非零的譬如是局部非零的;而稱而稱之為之為“波波”則是指它的波動性則是指它的波動性,即其振幅呈正即其振幅呈正負(fù)相間的震蕩形式負(fù)相間的震蕩形式.又如又如 也具有這種特也具有這種特性性 。 112nntgtdn10022112nnndCC 1212101

3、10tttothers sin xx 小波函數(shù)小波函數(shù) 的重要價值的重要價值在于在于:它它通過通過平移和伸縮可生成平移和伸縮可生成平方可積函數(shù)空間平方可積函數(shù)空間 中一組中一組正交基正交基: , 從而可從而可將信號將信號 進(jìn)行進(jìn)行分解分解:n為進(jìn)行信號分析為進(jìn)行信號分析,提供提供 的一組正交基是的一組正交基是至關(guān)重要的至關(guān)重要的.我們尤感興趣的是我們尤感興趣的是,為了適應(yīng)實為了適應(yīng)實際需要際需要,利用所給的小波函數(shù)能否派生出更利用所給的小波函數(shù)能否派生出更多、更適用的小波函數(shù)多、更適用的小波函數(shù)? t 2LR2, ,ktnk nZ f t ,2kknn kf tdtn 2LR再考察上述再考察上

4、述尺度函數(shù)尺度函數(shù) 與與小波函數(shù)小波函數(shù) ,它們它們可以看作是由函數(shù)可以看作是由函數(shù) 經(jīng)過下列兩種不同的經(jīng)過下列兩種不同的運算生成的運算生成的(見圖見圖5):對稱對稱 t t2t 22102211tttttt從圖從圖5上看上看, 和和 具有不同的對稱性具有不同的對稱性,分別分別記為記為“0”和和“1”對稱對稱. t t我們再對所給我們再對所給小波函數(shù)小波函數(shù) 反復(fù)施行所謂反復(fù)施行所謂 “0” 和和 “1” 兩種對稱運算兩種對稱運算,則可生成一系列小波函數(shù)則可生成一系列小波函數(shù),如如圖圖6所示所示.即即 施行施行“0” 對稱運算對稱運算 ； 施行施行“1” 對稱運算對稱運算施行施行“0” 對稱運

5、算對稱運算 ； 施行施行“1” 對稱運算對稱運算施行施行“0” 對稱運算對稱運算 ； 施行施行“1” 對稱運算對稱運算 這些小波函數(shù)組成一個函數(shù)庫這些小波函數(shù)組成一個函數(shù)庫,圖圖7表示自下而上地描述表示自下而上地描述了小波庫的生成過程了小波庫的生成過程. t t 0t t 1t 0t 00t 0t 10t 1t 01t 1t 11tMatlab中的小波分析工具箱（Wavelet 3.0)nMatlab小波分析工具箱提供了一個可視化的小波分析工具，是一個很好的算法研究和工程設(shè)計，仿真和應(yīng)用平臺。特別適合于信號和圖像分析，綜合，去噪，壓縮等領(lǐng)域的研究人員。小波分析工具箱的七類函數(shù)：n常用的小波基函

6、數(shù)。n連續(xù)小波變換及其應(yīng)用。n離散小波變換及其應(yīng)用。n小波包變換。n信號和圖像的多尺度分解。n基于小波變換的信號去噪。n基于小波變換的信號壓縮。常用的小波基函數(shù)： 參數(shù)表示小波基的名稱morlMorlet小波mexh墨西哥草帽小波meyrMeyer小波haarHaar小波dbN緊支集正交小波symN近似對稱的緊支集雙正交小波coifNCoifmant小波biorNr.Nd雙正交樣條小波怎樣獲取小波基的信息：n在Matlab窗口鍵入“waveinfo(參數(shù)名）waveinfo(meyr) MEYRINFO Information on Meyer wavelet. Meyer Wavelet G

7、eneral characteristics: Infinitely regular orthogonal wavelet. Family Meyer Short name meyr Orthogonal yes Biorthogonal yes Compact support no DWT possible but without FWT CWT possible Support width infinite Effective support -8 8 Regularity indefinitely derivable Symmetry yes Reference: I. Daubechi

8、es, Ten lectures on wavelets, CBMS, SIAM, 61, 1994, 117-119, 137, 152.計算小波濾波器系數(shù)的函數(shù)： 參數(shù)表示小波基的名稱morlet計算Morlet小波濾波器系數(shù)mexihat計算墨西哥草帽小波濾波器系數(shù)meyer計算Meyer小波與尺度濾波器系數(shù)meyeraux計算Meyer小波輔助函數(shù)dbwavf計算緊支集雙正交小波濾波器系數(shù)dbaux計算緊支集雙正交小波尺度濾波器系數(shù)symwavf計算近似對稱的緊支集雙正交小波濾波器系數(shù)coifwavf計算Coifmant小波尺度濾波器系數(shù)biowavf計算雙正交樣條小波尺度濾波器參數(shù)w

9、name=bior2.2;rf,rd=biorwavf(wname)rf = 0.2500 0.5000 0.2500rd = -0.1250 0.2500 0.7500 0.2500 -0.1250用于驗證算法的數(shù)據(jù)文件： 文件名說明sumsin.mat三個正弦函數(shù)的疊加freqbrk.mat存在頻率斷點的組合正弦信號 whitnois.mat均勻分布的白噪聲 warma.mat有色AR(3)噪聲 wstep.mat階梯信號 nearbrk.mat分段線性信號 scddvbrk.mat具有二階可微跳變的信號wnoislop.mat疊加了白噪聲的斜坡信號 1000501)3 . 0sin(50

10、01)03. 0sin()(.)03. 0sin()3 . 0sin()3sin()sin(.sintttttfreqbrkmatfreqbrkttttsummatsum時頻域分析n有關(guān)信號處理的文獻(xiàn)中包含了相當(dāng)多采用二維時頻空間的術(shù)語來分析信號的工作。這一方法實際上在小波變換之前就有，但它現(xiàn)在納入同一個現(xiàn)代框架。根據(jù)時頻域分析，一個信號的每個瞬態(tài)分量映射到時間頻率平面上的位置對應(yīng)于分量的主要頻率和發(fā)生的時間。時頻空間（a）信號（b）表示n 在圖像分析中，這個空間是三維的，可以看作是一個圖像疊層。一個局部化分量將主要出現(xiàn)在疊層中對應(yīng)于此分量主要頻率的層次。n變換n一個變換中的每個系數(shù)都是通過輸

11、入函數(shù)和其中一個基函數(shù)之間的內(nèi)積確定的。在某些意義上，這個值表示輸入函數(shù)和那個特定基函數(shù)之間的相似程度。n逆變換可以看作是通過以變換系數(shù)為幅度權(quán)重的基函數(shù)加權(quán)和，來重構(gòu)原始信號或圖像的。變換類型n傅立葉變換技術(shù)：傅立葉積分變換，傅立葉級數(shù)展開和離散傅立葉變換DFT。n小波變換類型n就像博立葉變換那樣，在小波變換中也同樣存在這三種可能性：連續(xù)小波變換(CWT)，小波級數(shù)展開和離散小波變換(DWT)。不過情況稍微復(fù)雜些，因為小波基函數(shù)可以是正交歸一也可以不是正交歸一的。n符號和定義n 由小波變換來表示的一類函數(shù)是在實軸(即所有實數(shù)的集合x軸)上平方可積的。這一類函數(shù)被表示為 。因此，概念 就意味著

12、在小波分析中，通過對一個稱為小波基的單個原型函數(shù)的伸縮和平移來產(chǎn)生一組基函數(shù)。)(2RL)()(2RLxfdxxf2)(n連續(xù)小波變換（也稱積分小波變換）n所有小波是通過對基本小波進(jìn)行尺度伸縮和位移得到的?；拘〔ㄊ且痪哂刑厥庑再|(zhì)的實值函數(shù)，它是震蕩衰減的，而且通常衰減得很快，在數(shù)學(xué)上滿足積分為零的條件：RCdtt| )(|0)(2n即基本小波在頻域也具有好的衰減性質(zhì)。有些基本小波實際上在某個區(qū)間外是零，這是一類衰減最快的小波。一組小波基函數(shù)是通過尺度因子和位移因子由基本小波來產(chǎn)生：0;,),(1)(,aRaatatan連續(xù)小波變換定義為： n連續(xù)小波變換也稱為積分小波變換。n連續(xù)小波逆變換為

13、： dtattfattfaWTRaf)()(1)(),(),(,dataaWTadaCdtaWTadaCtffaf)(1),(1)(),(1)(02,02連續(xù)小波變換：格式： coefs=cwt(s,scales,wname) coefs=cwt(s,scales,wname,plot)說明： s:輸入信號 scales: 需要計算的尺度范圍 wname:所用的小波基 plot: 用圖像方式顯示小波系數(shù)一維連續(xù)小波變換函數(shù)pat2cwav由模式構(gòu)造小波cwt一維連續(xù)小波變換函數(shù)例子：n c = cwt(s,1:32,meyr)n c = cwt(s,64 32 16:-2:2,morl)n c

14、 = cwt(s,3 18 12.9 7 1.5,db2)n二維連續(xù)小波定義為：n二維連續(xù)小波變換是：n二維連續(xù)小波逆變換為： ),(1),(221121,;21abxabxaxxbba2122112121,;2121),(),(1),(),(),;(21dxdxabxabxxxfaxxxxfbbaWTbbaf212211210321),(),;(1),(dbdbabxabxbbaWTadacxxffn濾波器族解釋濾波器族解釋 這里將小波變換與一族帶通線性（卷積）濾波器相聯(lián)系，作為小波變換的一種解釋。首先定義尺度a上的一般小波基函數(shù)為 這是用a做尺度因子，并用a-1/2將模規(guī)范了的基本小波。若

15、記其翻轉(zhuǎn)和共軛為n現(xiàn)在可以將連續(xù)小波變換寫為：na的每個值定義了一個不同的帶通濾波器，而所有的濾波器的輸出加在一起組成了小波變換n而且每個濾波器的輸出分量再次濾波并適當(dāng)伸縮后組合在一起可重構(gòu)f(x)。 n二維濾波器族二維濾波器族 n在二維情況下，每一濾波器都是一個二維沖激響應(yīng)，輸入是圖像上的帶通濾波器，濾波后的圖像的疊層組成了小波變換。 小波級數(shù)展開n二進(jìn)小波變換二進(jìn)小波變換n通常在數(shù)值計算中，采用離散化的尺度及位移因子，特別地當(dāng)取二進(jìn)伸縮（以2的因子伸縮）和二進(jìn)位移（每次移動k/2j）時，就形成二進(jìn)小波。 n正交小波定義為滿足下列條件的小波： 上式是小波級數(shù)展開公式。 n當(dāng)進(jìn)一步把f(x)和

16、基本小波限制為在0，1區(qū)間外為零的函數(shù)時，上述正交小波函數(shù)族就成為緊支二進(jìn)小波函數(shù)族，它可以用單一的索引n來確定：離散小波變換（離散小波變換（DWT） n離散化方式在數(shù)值計算中，需要對小波變換的尺度因子、位移因子進(jìn)行離散化，一般采用如下的離散化方式： n基本思想：將L2（R）用它的子空間Vj，Wj表示，其中Vj，Wj分別稱為尺度空間和小波空間。n在分辨率分析中，Vj稱為逼近空間，我們把平方可積的函數(shù)f(t)L2(R)看成是某一逐級逼近的極限情況。每次逼近都是用一低通平滑函數(shù)（t）對f(t)做平滑的結(jié)果，在逐級平滑時平滑函數(shù)（t）也做逐級逼近，這就是多分辨率，即用不同分辨率來逐級逼近待分析函數(shù)f

17、(t)。n離散小波變換的設(shè)計離散小波變換的設(shè)計 n根據(jù)子帶編碼重構(gòu)公式，在頻率域上有： n可見，設(shè)計一個離散小波變換的任務(wù)就是精心挑選低通濾波器。符合這一條件的離散低通濾波器脈沖響應(yīng)h0(k)為尺度向量，由它產(chǎn)生一個有關(guān)的函數(shù)稱為尺度函數(shù)。尺度向量和尺度函數(shù)彼此互相確定。 n例如，由尺度向量h0(k)到尺度函數(shù)的定義如下n即它可以通過自身半尺度復(fù)制后的加權(quán)和來構(gòu)造。另外它也能用帶尺度的矩形脈沖函數(shù)卷積h0(k)，利用數(shù)值計算方法得到： 帶尺度的矩形脈沖函數(shù)n相反，由尺度函數(shù)開始，在它滿足單位平移下正交歸一條件時，尺度向量的計算方法如下： n二維離散小波變換二維離散小波變換 n為了將一維離散小波

18、變換推廣到二維，只考慮尺度函數(shù)是可分離的情況，即 n正變換正變換 n從一幅NxN的圖像f1(x,y)開始，其中上標(biāo)指示尺度并且N是2的冪。對于j=0, 尺度2j=20=1，也就是原圖像的尺度。j值的每一次增大都使尺度加倍，而使分辨率減半。 n在變換的每一層次，圖像都被分解為四個四分之一大小的圖像，它們都是由原圖與一個小波基圖像的內(nèi)積后，再經(jīng)過在行和列方向進(jìn)行2倍的間隔抽樣而生成的。對于第一個層次(j=1)，可寫成 n后續(xù)的層次(j1)，依次類推，形成如圖所示的形式。 二維離散小彼變換(a)原圖像(b)第一層(c)第二層(d)第三層n若將內(nèi)積改寫成卷積形式則有：n n在第一層，首先用h0(-x)

19、和h1(-x)分別與圖像f1(x,y)的每行作卷積并丟棄奇數(shù)列（以最左列為第0列）。接著這個NxN/2陣列的每列再和h0(-x)和h1(-x)相卷積，丟棄奇數(shù)行（以最上行為第0行）。結(jié)果就是該層變換所要求的四個(N/2)x(N/2)的數(shù)組。 n如下圖所示： DWT圖像分解步驟逆變換逆變換 n逆變換與上述過程相似。在每一層，通過在每一列的左邊插入一列零來增頻采樣前一層的四個陣列；接著用h0(x)和h1(x)來卷積各行，再成對地把這幾個N/2xN的陣列加起來；然后通過在每行上面插入一行零來將剛才所得的兩個陣列的增頻采樣為NxN；再用h0(x)和h1(x)與這兩個陣列的每列卷積。這兩個陣列的和就是這

20、一層重建的結(jié)果。 DWT圖像重建步驟n雙正交小波變換雙正交小波變換 n滿足緊支集正交歸一小波條件的函數(shù)缺乏對稱性，使用兩個不同的小波基，一個用來分解（分析），另一個用來重建（合成），構(gòu)成彼此對稱的雙正交的小波基： n一維雙正交小波變換通過四個離散濾波器實現(xiàn)，需要選擇兩個低通濾波器即尺度向量，使它們的傳遞函數(shù)滿足 n雙正交小波變換的一個分解步驟和一個重建步驟如下圖所示。 n雙正交小波為：n 二維雙正交小波變換由對應(yīng)的小波基確定： 一維離散小波變換函數(shù)分解函數(shù)dwt單尺度一維離散小波變換wavedec多尺度一維小波分解（一維多分辨率分析函數(shù)）wmaxlec允許的最大尺度值分解合成重構(gòu)函數(shù)idwt單

21、尺度一維離散小波逆變換waverec多尺度一維小波重構(gòu)wrcoef對一維小波系數(shù)進(jìn)行單支重構(gòu)upcoef一維系數(shù)的直接小波重構(gòu)分解結(jié)構(gòu)工具detcoef提取一維小波變換高頻系數(shù)appcoef提取一維小波變換低頻系數(shù)upwlev單尺度一維小波分解的重構(gòu)一維離散小波變換：n dwt cA,cD=dwt(X,wname) cA,cD=dwt(X,H,G) 其中：cA ：低頻分量， cD：高頻分量 X：輸入信號。 wname：小波基名稱 H：低通濾波器 G：高通濾波器多層小波分解： A,L=wavedec(X,N，wname) A,L=wavedec(X,N,H,G) 其中：A ：各層分量， L：各層

22、分量長度 N：分解層數(shù) X：輸入信號。 wname：小波基名稱 H：低通濾波器 G：高通濾波器二維離散小波變換：分解函數(shù)dwt2單尺度二維離散小波變換wavedec2多尺度二維小波分解（一維多分辨率分析函數(shù)）wmaxlec允許的最大尺度值分解合成重構(gòu)函數(shù)idwt2單尺度二維離散小波逆變換waverec2多尺度二維小波重構(gòu)wrcoef2對二維小波系數(shù)進(jìn)行單支重構(gòu)upcoef2二維系數(shù)的直接小波重構(gòu)分解結(jié)構(gòu)工具detcoef2提取二維小波變換高頻系數(shù)appcoef2提取二維小波變換低頻系數(shù)upwlev2單尺度二維小波分解的重構(gòu)二維離散小波變換：n dwt2 cA,cH,cV,cD=dwt2(X,w

23、name) cA,cH,cV,cD=dwt2(X,H,G) 其中：cA ：低頻分量， cH：水平高頻分量 cV：垂直高頻分量 cD：對角高頻分量 X：輸入信號。 wname：小波基名稱 H：低通濾波器 G：高通濾波器二維信號的多層小波分解： A,L=wavedec2(X,N，wname) A,L=wavedec2(X,N,H,G) 其中：A ：各層分量， L：各層分量長度 N：分解層數(shù) X：輸入信號。 wname：小波基名稱 H：低通濾波器 G：高通濾波器小波的選取n理想的基本小波是一個過程很短的振蕩函數(shù)(即具有緊支集或者在一個短區(qū)間以外只有很小的幅度)，而且此函數(shù)所有的二進(jìn)平移和伸縮都是正交

24、歸一的。Haar函數(shù)就說明了這一點。其他可以得到的小波函數(shù)也許就不能全部滿足這些準(zhǔn)則。小波包分解：0VGH1V1WGH2V2WGH20U30UGH21U31Un樹操作n allnodes 列出數(shù)結(jié)構(gòu)的所有節(jié)點。n isnode 判斷指定位置是否存在節(jié)點。n istnode 判斷一個節(jié)點是否為終端節(jié)點。n nodejoin 樹的剪枝。 分解函數(shù)wpcoef小波包系數(shù)Wpdec和wpdec2小波包分解wpsplt分解包合成重構(gòu)函數(shù)wprcoef重構(gòu)系數(shù)wprec和wprec2小波包信號重構(gòu)wpjoin小波包分解樹的節(jié)點合并分解結(jié)構(gòu)工具besttree尋找最優(yōu)分解樹bestlevt尋找最優(yōu)滿樹ent

25、rupd更新小波包熵get得到WPTREE對象的內(nèi)容read讀取WPTREE對象的值wentropy計算熵值wp2wtree由小波包樹提取小波樹wpcutree截除小波包樹信號去噪與壓縮：n在小波變換域上進(jìn)行閥值處理。多層小波分解閥值操作多層小波重構(gòu)其他的免費軟件工具：nWavelab David Donoho在斯坦福大學(xué)開發(fā)的Matlab程序庫，最新版本為Wavelab 0.802，有1200多個文件。nLastWave 小波信號和圖像處理軟件，用C語言編寫，可在Unix和Macintosh上運行。值得關(guān)注的幾個發(fā)展方向：n提升小波變換（Lifting scheme wavelet tran

26、sform)n多小波變換（Multiwavelet transform) n線調(diào)頻小波變換(chirplet transform)。n提升小波變換（Lifting scheme wavelet transform)傳統(tǒng)的第一代小波變換是在歐氏空間內(nèi)通過基底的平移和伸縮構(gòu)造小波基的，不適合非歐氏空間的應(yīng)用，因此小波提升方案應(yīng)運而生，它是構(gòu)造第二代小波變換的理想方法。提升小波在1996年由Sweldens提出后，在信號處理領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。在靜態(tài)圖像處理中，提升小波已被選做JPEG2000的變換核。在視頻領(lǐng)域，使用提升小波方法自適應(yīng)地對任意形狀的物體進(jìn)行編碼，顯著地提高了編碼效率。n提升算法相

27、對于Mallat算法而言，被譽為第2代小波變換。使我們能用一種簡單的方法去解釋小波的基本理論，而第一代小波變換都可以找到等效的提升方案。提升方案把第一代小波變換過程分為以下三個階段：分解（Split）、預(yù)測（Predict）和更新（Update）。提升算法的分解和重構(gòu)如圖。算法實現(xiàn)方法n（1）分解。將輸入信號 分為2個較小的子集 和 ， 也稱為小波子集。最簡單的分解方法是將輸入信號 根據(jù)奇偶性分為2組。n（2）預(yù)測。在基于原始數(shù)據(jù)相關(guān)性的基礎(chǔ)上，用偶數(shù)序列 的預(yù)測值 去預(yù)測（或內(nèi)插）奇數(shù)序列 ，即將濾波器P對偶數(shù)信號作用以后作為奇信號的預(yù)測值，奇信號的實際值與預(yù)測值相減得到殘差信號。is1is

28、1id1idis1is)(1isP1id算法實現(xiàn)方法n（3）更新。為了使原信號集的某些全局特性在其子集 中繼續(xù)保持，必須進(jìn)行更新。更新的思想使要找到一個更好的子集 ，使得它保持原圖的某一標(biāo)量特性 （例如均值、消失矩等不變），即有 。可以利用已知計算的小波子集 對 進(jìn)行更新，使得后者保持特性 ，即要構(gòu)造一個算子U去更新 。定義如下： 1is1is1is1is1is)()(1iisQsQ)(xQ)(xQ)(111iiidUss多小波變換：n在圖像處理和信號分析的實際應(yīng)用中，我們需要小波具有正交性和對稱性?？墒?，實數(shù)域中，緊支、對稱、正交的非平凡單小波是不存在的，這使人們不得不在正交性與對稱性之間進(jìn)

29、行折衷。nGoodman等提出多小波的概念，其基本思想是將單小波中由單個尺度函數(shù)生成的多分辨分析空間，擴(kuò)展為由多個尺度函數(shù)生成，以此來獲得更大的自由度。1994年，Geronimo,Hardin和Massopus構(gòu)造了著名的GHM多小波。它既保持了單小波所具有的良好的時域與頻域的局部化特性，又克服了單小波的缺陷，將實際應(yīng)用中十分重要的光滑性、緊支性、對稱性、正交性完美地結(jié)合在一起。與此同時，在信號處理領(lǐng)域，人們將傳統(tǒng)的濾波器組推廣至矢值濾波器組、塊濾波器組，初步形成了矢值濾波器組的理論體系，并建立了它和多小波變換的關(guān)系。 多小波的多分辨分析TrjkjljjZjjZjjLjjxRieszVZkrlVxfVxfVLVclosVVVVZjVrx),()(,1:)5()2()()4(0)3()()2() 1 (,)(21,121012其中：基。的是滿足下列性質(zhì)：如果，重多分辨分析生成雙尺度方程：MkkkkkkxPxrrPkxPx0)2()()2()(為有限項。方程的困難，通常的雙尺度由于研究無窮矩陣序列矩陣。是其中：n多小波在理論上所表現(xiàn)出來的優(yōu)勢以及它在應(yīng)用領(lǐng)域所具有的潛力，使其受到高度重視。在它誕生的短短幾年時間內(nèi)，從理論方面，多小波的構(gòu)造、多小波變換實現(xiàn)中，預(yù)濾波器的設(shè)計及信號的邊界處理正迅速成為新的研究熱點，而對它在圖像處理方面的