1、冷軋數(shù)學模型及模型自適應冷軋數(shù)學模型及模型自適應2006.5 武漢武漢 主要內容1. 冷軋數(shù)學模型冷軋數(shù)學模型2. 模型自適應模型自適應1. 冷軋數(shù)學模型冷軋數(shù)學模型1. 冷軋數(shù)學模型冷軋數(shù)學模型 冷軋機設定計算要得到各道次的壓下量和軋機速度。 各機架（道次）厚度分配確定以后，就可以由彈跳方程確定各機架（道次）的輥縫值，同時根據(jù)秒流量相等的原則確定各道次的速度。1.1 彈跳方程（Equation for Mill Spring） h = Sp = S + P/C （1）式中 Sp-有載輥縫，mm； h-軋件厚度，mm； S-空載輥縫，mm； C-機座總剛度，kN/mm。TpcKKQBlP 冷軋

2、帶鋼的軋制力公式較多，但一般認為布蘭德一福特公式及其簡化式RHill公式較符合實際，故計算機控制的現(xiàn)代冷連軋機常用它作為軋制力模型。根據(jù)Hill公式，可得以下計算公式：在考慮了張力的影響后，軋制力可用下式計算：圖1 彈跳方程 h = So +(P-P0)/Cp + O + G (2) 式中 So-人工零位的輥縫儀指示值，mm； Cp-機座剛度系數(shù)，kN/mm； P-軋制壓力，kN； Po- 預壓靠力，kN； O-油膜厚度，mm； G-輥縫零位，mm。1.2 流量方程（Equation for Flow Mass） 流量方程： 式中 -入口和出口帶鋼寬度，mm； L-入口帶鋼長度，mm； -入口

3、和出口帶鋼厚度，mm； -入口和出口帶鋼速度，m/s。tConsbhvvhbtLhbtan/0000bb ,0hh ,0vv , 1. 冷軋數(shù)學模型冷軋數(shù)學模型 對于雙機架冷連軋有兩類流量方程：（1） 一個機架變形區(qū)入口和出口的流量方程 對于熱連軋精軋機組，寬展很小，所以： 或者 式中 f為前滑； 為后滑； 為軋輥線速度。 vbhvhb100vhvh10)1 ()1 (0100fvhvh0v（2）機架之間的流量方程 或 111iiiiiivhbvhb11iiiivhvh)1 ()1 (11,010iiiiiifvhfvh 一個機架的變形區(qū)流量方程（變形區(qū)入口和出口流量恒等）是完全正確的，但多個

4、機架的流量方程，則僅在穩(wěn)態(tài)下正確。 1.3 平直度方程（Equation for Strip Flatness） 為了保持良好的板形，必須使軋件沿寬度方向上各點的延伸率相等，即沿沿寬度方向上各點的壓縮率應相同。但軋件橫斷面邊緣和中間存在著一定的厚差稱為凸度，如圖2所示。如果來料凸度為，則軋出的成品亦應有一定的凸度才能保證其板形良好。 在來料平直度良好時，入口和出口相對凸度相等，是軋出平直度良好帶鋼的基本條件，即：0hh1. 冷軋數(shù)學模型冷軋數(shù)學模型圖2 原料和成品板凸度關系1. 冷軋數(shù)學模型冷軋數(shù)學模型1.4 連軋張力方程 （Tension Equation for Tandem Rollin

5、g） 此式即為常用的張力微分方程式。dtvvlEiii)(12. 模型自適應模型自適應 2.1 概述（Introduction） 數(shù)學模型即是用數(shù)學表達式來描述對象的內在規(guī)律，可以是一個或一組公式；可以采用表格形式；也可以是代數(shù)方程，微分方程等。 數(shù)學模型的分類：（1） 從建模角度分類，分為機理性模型和經(jīng)驗統(tǒng)計模型 機理性模型是根據(jù)生產(chǎn)過程的物理機理，應用相應的學科理論寫出具有普遍意義的數(shù)學方程，機理性模型的優(yōu)點是較完整的反映了各種影響因素的影響規(guī)律。但在實際應用時，需要模型中的系數(shù)進行統(tǒng)計回歸得到。 經(jīng)驗統(tǒng)計模型是根據(jù)分析確定了影響因素后直接寫出的公式，一般結構比較簡單。 （2）從性質上分類

6、，分為靜態(tài)模型和動態(tài)模型 靜態(tài)模型不包含時間，反映了穩(wěn)態(tài)條件下的過程狀況。動態(tài)模型采用微分方程的形式，含有時間變量，反映了過程的動態(tài)特性，如機架間張力方程等。 （3）從變量波動范圍分類，分為全量模型和增量模型全量模型用來描述變量在大范圍中的關系，往往是非線性的。增量模型用來描述變動范圍小的變量間關系，采用線性化方程。 （4）從應用角度分類，分為綜合分析或仿真用數(shù)學模型和在線控制用數(shù)學模型v 綜合分析或仿真用數(shù)學模型將生產(chǎn)過程各物理現(xiàn)象數(shù)學化后，用于綜合分析或進行仿真。分析一般是離線進行，時間一般不受限制，為了精確描述生產(chǎn)過程，所用數(shù)學模型可以考慮更多的因素，用較復雜的公式。 在線控制用數(shù)學模型

7、，用于生產(chǎn)過程計算機在線控制，時間上受到限制，因此要采取簡化措施抓住主要因素，忽略次要的因素，利用模型自學習來保證控制精度。2. 模型自適應模型自適應2.2 在線模型的建立方法（Modeling Method of on-line Models） 無論是機理型還是經(jīng)驗統(tǒng)計型模型為了用于一定的軋機，必須利用該軋機的實測數(shù)據(jù)對模型系數(shù)進行統(tǒng)計分析，以便使模型用于該軋機的具體條件下能獲得要求的預報精度。 在現(xiàn)場收集數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析時，應注意以下問題：（1） 需有一定數(shù)量條件相同的實測數(shù)據(jù)以提高統(tǒng)計的可靠性；（2） 自變量應有較寬的范圍以使統(tǒng)計結果較為穩(wěn)定；（3） 需要對實測數(shù)據(jù)進行預處理，應將過于分

8、散的實測點剔除后再 進行統(tǒng)計分析；（4） 即使是經(jīng)驗統(tǒng)計型模型亦應根據(jù)機理分析來確定主要影響因素 及公式的大致結構，以利于加快系數(shù)的統(tǒng)計分布；（5） 事先制訂出試驗方案，使數(shù)據(jù)收集有計劃的進行； 模型建立后應在生產(chǎn)實際中進行驗證。 2. 模型自適應模型自適應2.3 模型自學習（Self-learning of Models） 根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)的變化，不斷利用即時信息進行模型參數(shù)的修正，以保證模型的精度，這種功能稱為模型自適應校正。 2.3.1 增長記憶遞推最小二乘法 y = a1x1+ a2x2+ . + amxm式中 a1,a2, . ,am-模型待定參數(shù)。 現(xiàn)對變量y, x1, x2,. ,x

9、m進行了n次觀測，得到n組數(shù)據(jù)，由測量數(shù)據(jù)可以得到以下線性方程組： y1 = x11 a1+ x21a2+ . + xm1am y2 = x12 a1+ x22a2+ . + xm2am yn = x1n a1+ x2na2+ . + xmnam yi, xi1, xi2, ,xim (i=1,2,3, ,n) 因此，線性方程組可以寫成矩陣方程： Yn = Xn A由n次測量，通過上式計算得到模型參數(shù)為： nnnnnYXXXAA1)(2. 模型自適應模型自適應如果又進行了第n+1次測量，數(shù)據(jù)為： Yn+1, x1(n+1), x2(n+1), , xm(n+1) Yn+1= x1(n+1) a

10、1, x2(n+1) a2, , xm(n+1) am (x1(n+1), x2(n+1), , xm(n+1) 則第n+1次測量后的模型系數(shù)為： 上式為模型系數(shù)的遞推公式，每次都增加了新的測量信息，因此稱為增長記憶遞推最小二乘法。1n)(1111111nnnnnnnnnnAyXXAA 2.3.2 指數(shù)平滑法 y = a1x1+ a2x2+ + amxm + x1xm表示對模型有直接影響的因素，系數(shù)a1am表示這些因素對y的作用程度。系統(tǒng)狀態(tài)變化用 來反映，當系統(tǒng)的狀態(tài)發(fā)生變化時，可對模型中系數(shù)作相應的修正計算以適應系統(tǒng)特性的變化。為了既能反映最新的實際狀態(tài)，又能防止出現(xiàn)測量誤差時降低模型的精

11、度，采用下面的遞推算法： 式中 -第n次設定或控制時的預報值； -第n次設定或控制后的實測值； - 第n+1次設定或控制的預報值； -增益系數(shù)， 0= 1。n*n1n)(*1nnnn2. 模型自適應模型自適應 此式的意義是，在進行第n次設定或控制時用第n-1次的數(shù)據(jù)所推算的 ，以及對 的實測值 ，根據(jù) 此式對 參數(shù)先作一預報 ，用此預報的 值進行第n次的設定或控制，在進行第n次設定或控制后，即可獲得第n次的實測數(shù)據(jù)值 。 與 的差別，表示了模型存在的誤差系統(tǒng)狀態(tài)的變化?？紤]到 實際上是反映了系統(tǒng)特性的即時狀態(tài)，為提高模型精度可以利用獲得的新信息 的部分值對 進行修正，即用 加在 得到第n+1次

12、 參數(shù)的預報值 。 1n1*nnn*nn)(*nn*n)(*nnn)(*nnn1n由于所得到的第n次實測值 反映了當時的系數(shù)狀態(tài)，這樣進行一次自適應校正計算，可使模型不斷適應系統(tǒng)狀態(tài)的變化，使模型精度不斷提高。 包含了前面1n步的 的信息，但由于 小于1，因此，離n+1越遠的信息被利用的越少，所以稱為指數(shù)平滑法。*n1nv v 值反映了對信息 的利用程度，當 = 1時，則 即完全信賴第n次獲得的實測信息 ，用它來作第n+1次的預報。這只有在儀表絕對可靠沒有誤差的情況下才成為可能，而實際上是不可能的。如 = 0，則 ，表示第n次實測值完全不可靠，不能考慮它，因此把第n次的預報值仍作為第n+1次的

13、預報值，不利用所獲得的第n次信息。比較合理的辦法應是根據(jù)每次實測數(shù)據(jù)的狀況來決定 值的大小(即 值每次是變化的)，但如何可靠地判斷每次實測數(shù)據(jù)的精度是一個難題。 )(*nn)*1nn*nnn12. 模型自適應模型自適應 因此，目前一般把 看作常數(shù)，其數(shù)值由實驗求得，必要時可在一段時間內改變一次 值，使自適應校正的效果更好些。在對象及儀表條件一定時，可以定性地說， 值太大將引起預報值的“振蕩”，使預報忽高忽低， 值太小將使預報值逼近目標值的速度減慢(圖3)。圖3 對學習過程的影響2. 模型自適應模型自適應自適應校正對模型系數(shù)的修正一般有兩種形式：（1） 加法自適應，模型形式為： y = f(x1, x2, .xm) + （2） 乘法自適應，模型形式為： y = f(x1, x2, .xm)