1、2.1.2橢圓的簡橢圓的簡單幾何性質單幾何性質3）高二數學高二數學 選修選修1-1 第二章第二章 圓錐曲線與方程圓錐曲線與方程回想：直線與圓的位置關系回想：直線與圓的位置關系1.位置關系：相交、相切、相離位置關系：相交、相切、相離2.判別方法判別方法(代數法代數法) 聯(lián)立直線與圓的方程聯(lián)立直線與圓的方程 消元得到二元一次方程組消元得到二元一次方程組 (1)0直線與圓相交直線與圓相交有兩個公共點；有兩個公共點； (2)=0 直線與圓相切直線與圓相切有且只有一個公共點；有且只有一個公共點； (3)0直線與橢圓相交直線與橢圓相交有兩個公共點；有兩個公共點； (2)=0 直線與橢圓相切直線與橢圓相切有

2、且只有一個公共點；有且只有一個公共點； (3)k-3366-k0由于由于所以，方程有兩個根，所以，方程有兩個根，那么，相交所得的弦的弦長是多少？那么，相交所得的弦的弦長是多少？則原方程組有兩組解則原方程組有兩組解.- (1)由韋達定理由韋達定理51542121xxxx222212121212126()()2()2 ()425ABxxyyxxxxx x 設直線與橢圓交于設直線與橢圓交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)兩點，直線兩點，直線P1P2的斜率為的斜率為k弦長公式：弦長公式：221|1|1|ABABABkxxyyk知識點知識點2：弦長公式：弦長公式可推廣到任意二次曲線例例1：已知斜率

3、為：已知斜率為1的直線的直線L過橢圓過橢圓 的右焦點，的右焦點，交橢圓于交橢圓于A，B兩點，求弦兩點，求弦AB之長之長題型二：弦長公式題型二：弦長公式222:4,1,3.abc解 由橢圓方程知( 3,0).F右焦點:3.lyx直線 方程為22314yxxy258 380yxx消 得：1122( ,), (,)A x yB xy設12128 38,55xxxx22212121211()4ABkxxkxxxx85例例 2 2: :已已知知點點12FF、分分別別是是橢橢圓圓22121xy 的的左左、右右 題型二：弦長公式題型二：弦長公式例例 2 2: :已已知知點點12FF、分分別別是是橢橢圓圓22

4、121xy 的的左左、右右 例例3 ：已知橢圓：已知橢圓 過點過點P(2，1)引一弦，使弦在這點被引一弦，使弦在這點被 平分，求此弦所在直線的方程平分，求此弦所在直線的方程.解：解：韋達定理韋達定理斜率斜率韋達定理法：利用韋達定理及中點坐標公式來構造韋達定理法：利用韋達定理及中點坐標公式來構造題型三：中點弦問題題型三：中點弦問題例例 3 已知橢圓已知橢圓 過點過點P(2，1)引一弦，使弦在這點被引一弦，使弦在這點被 平分，求此弦所在直線的方程平分，求此弦所在直線的方程.點差法：利用端點在曲線上，坐標滿足方程，作差構造點差法：利用端點在曲線上，坐標滿足方程，作差構造 出中點坐標和斜率出中點坐標和

5、斜率點點作差作差題型三：中點弦問題題型三：中點弦問題知識點知識點3：中點弦問題：中點弦問題點差法：利用端點在曲線上，坐標滿足方程，作點差法：利用端點在曲線上，坐標滿足方程，作差構造出中點坐標和斜率差構造出中點坐標和斜率112200( ,),(,),(,)A x yB xyABM xy設中點，0120122,2xxxyyy則有：1212AByykxx又2211221xyab2222221xyab兩式相減得：2222221211()()0bxxayy1122( ,), (,)A x yB xy在橢圓上，2222221211()()0bxxayy由2221122212yybxxa 即21112212

6、11AByyxxbkxxayy 2020 xbay 直線和橢圓相交有關弦的中點問題，常用設而不求的思想方法 例例3已知橢圓已知橢圓 過點過點P(2，1)引一弦，使弦在這點被引一弦，使弦在這點被 平分，求此弦所在直線的方程平分，求此弦所在直線的方程.所以所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得，整理得x+2y-4=0從而從而A ,B在直線在直線x+2y-4=0上上而過而過A,B兩點的直線有且只有一條兩點的直線有且只有一條解后反思：中點弦問題求解關鍵在于充分利用解后反思：中點弦問題求解關鍵在于充分利用“中點這中點這一一 條件，靈活運用中點坐標公式及韋達定理，條件，靈活運用中點坐標公

7、式及韋達定理，題型三：中點弦問題題型三：中點弦問題例例4、如圖，已知橢圓、如圖，已知橢圓 與直線與直線x+y-1=0交交于于A、B兩點，兩點， AB的中點的中點M與橢圓中心連線的與橢圓中心連線的斜率是斜率是 ，試求，試求a、b的值。的值。221axby2 2,AB 22oxyABM22110axbyxy 解:2)210yab xbxb 消 得:(2)(1)0bab b =4-4(abab1122( ,), (,)A x yB x y設121221,bbxxx xabab(,)baABMab ab中點22121 21()4ABkxxx x又MOakb222ba 2212 22 ()4bbabab

8、12,33ab 練習：練習：1、如果橢圓被、如果橢圓被 的弦被的弦被4，2平分，那平分，那 么這弦所在直線方程為（么這弦所在直線方程為（ ）A、x-2y=0 B、x+2y- 4=0 C、2x+3y-12=0 D、x+2y-8=02、y=kx+1與橢圓與橢圓 恰有公共恰有公共點，則點，則m的范圍（的范圍（ ） A、（、（0，1） B、（、（0，5 ） C、 1，5）（5，+ ） D、（1，+ ） 3、過橢圓、過橢圓 x2+2y2=4 的左焦點作傾斜的左焦點作傾斜角為角為300的直線，的直線， 則弦長則弦長 |AB|= _ , DC193622yx1522myx165練習：練習： 已知橢圓已知橢圓

9、5x2+9y2=45，橢圓的右焦點為，橢圓的右焦點為F，(1)求過點求過點F且斜率為且斜率為1的直線被橢圓截得的弦長的直線被橢圓截得的弦長.(2)判斷點判斷點A(1,1)與橢圓的位置關系與橢圓的位置關系,并求以并求以A為中點為中點橢圓的弦所在的直線方程橢圓的弦所在的直線方程.22:(1)195xy解橢圓(2,0)F2lyx直線 ：2225945yxxy由2143690 xx得：1212189,714xxxx2212126 111()47kxxxx弦長練習：練習： 已知橢圓已知橢圓5x2+9y2=45，橢圓的右焦點為，橢圓的右焦點為F，(1)求過點求過點F且斜率為且斜率為1的直線被橢圓截得的弦長

10、的直線被橢圓截得的弦長.(2)判斷點判斷點A(1,1)與橢圓的位置關系與橢圓的位置關系,并求以并求以A為中點為中點橢圓的弦所在的直線方程橢圓的弦所在的直線方程.22:(2)5 19 145 解(1,1)A在橢圓內。1122( ,),(,)AMNM x yN x y設以 為中點的弦為且12122,2xxyy22115945xy22225945xy22221212590 xxyy兩式相減得： （） （）1212121259MNyyxxkxxyy 59 51(1)9AMNyx 以 為中點的弦為方程為:59140 xy3、弦中點問題的兩種處理方法：、弦中點問題的兩種處理方法： （1聯(lián)立方程組，消去一個

11、未知數，利用韋達定理；聯(lián)立方程組，消去一個未知數，利用韋達定理； （2設兩端點坐標，代入曲線方程相減可求出弦的斜率。設兩端點坐標，代入曲線方程相減可求出弦的斜率。 1、直線與橢圓的三種位置關系及判斷方法；、直線與橢圓的三種位置關系及判斷方法；2、弦長的計算方法：、弦長的計算方法：弦長公式：弦長公式： |AB|= = （適用于任何曲線）（適用于任何曲線） 21212411yyyyk ）（21221241xxxxk ）（小小 結結解方程組消去其中一元得一元二次型方程解方程組消去其中一元得一元二次型方程 0 相交相交12:( 2,0),(2,0)FF解 橢圓的焦點為200(2,0)60(,)FxyF xy設關于直線的對稱點0000( 1)1226022yxxy 由0064xy解得：(6,4)F124 5FFa2 5a2c 4b 2212016所求橢圓方程為：xy122yxbyxm 分析：存在直線與橢圓交與兩點，且兩交點的中點在直線上。1