1、三重積分的概念及其計算法三重積分的概念及其計算法第四節(jié)第四節(jié)復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 二重積分的概念二重積分的概念設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x,y) 在平面有界閉區(qū)域在平面有界閉區(qū)域D上有界，上有界，將將 D 任意分成任意分成 n 個無公共內(nèi)點的小區(qū)域個無公共內(nèi)點的小區(qū)域，i 每個小區(qū)域的面積記作每個小區(qū)域的面積記作i ，), 2 , 1(ni 在每個小區(qū)域上任意取一點在每個小區(qū)域上任意取一點，iiiiyxP ),(作和式作和式， niiiiyxf1),( ，的的直直徑徑令令0max1 ini 如果上述和式的極限存在，如果上述和式的極限存在，點點Pi 的取法無關(guān)，的取法無關(guān)，并且與區(qū)域并且與區(qū)域 D 的分法及的分法

2、及則稱此極限值為函數(shù)則稱此極限值為函數(shù) f (x,y) 在在區(qū)域區(qū)域 D 上的二重積分，上的二重積分，記作記作.),( dyxfD 此時也稱函數(shù)此時也稱函數(shù) f(x, y) 在區(qū)域在區(qū)域 D 上是可積的上是可積的即即.),(lim),(10 niiiiDyxfdyxf 一、三重積分的概念一、三重積分的概念1. 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x,y,z)在空間有界閉區(qū)域在空間有界閉區(qū)域上有界，上有界，將將 恣意恣意 分成分成 n個無公共內(nèi)點的小區(qū)域個無公共內(nèi)點的小區(qū)域每個小區(qū)域的體積記作每個小區(qū)域的體積記作iv ，), 2 , 1(ni 在每個小區(qū)域上任意在每個小區(qū)域上任意 取一點取一點，iii

3、iivzyxP ),(， niiiiivzyxf1),( ，的的直直徑徑令令0max1 iniv 如果上述和式的極限存在，如果上述和式的極限存在， 并且與區(qū)域并且與區(qū)域的分法及的分法及則稱此極限值為函數(shù)則稱此極限值為函數(shù) f (x,y,z) 在在記作記作.),(dvzyxf 此時也稱函數(shù)此時也稱函數(shù) f(x,y,z) 在區(qū)域在區(qū)域 上是可積的上是可積的，iv 作和式作和式點點Pi 的取法無關(guān)，的取法無關(guān)，區(qū)域區(qū)域上的三重積分，上的三重積分， dvzyxf),(由定義由定義iiiniivzyxf ),(lim10 其中：其中： f (x,y,z) 稱為被積函數(shù)，稱為被積函數(shù)， 稱為積分區(qū)域，稱為

4、積分區(qū)域， f (x,y,z)dv 稱為被積表達(dá)式，稱為被積表達(dá)式， dv 稱為體積元素，稱為體積元素， 稱為稱為iiiniivzyxf ),(1積分和積分和2. 函數(shù)可積的條件函數(shù)可積的條件 可以證明：假設(shè)可以證明：假設(shè) f (x,y,z) 閉區(qū)域閉區(qū)域 上連續(xù)，上連續(xù)， 那么那么 f (x,y,z) 在在上可積上可積 特別地：假設(shè)特別地：假設(shè) f (x,y,z) 1， 則有則有 . Vdv)(的體積的體積為為其中其中 V三重積分有與二重積分完全類似三重積分有與二重積分完全類似 的性質(zhì)的性質(zhì) 如如果果用用平平行行于于坐坐標(biāo)標(biāo)面面在在空空間間直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中，二、三重積分的直角坐標(biāo)計算

5、法二、三重積分的直角坐標(biāo)計算法.lkjizyxv 則則 故在空間直角坐標(biāo)系下體積元素為：故在空間直角坐標(biāo)系下體積元素為： dxdydzdv 從而在直角坐標(biāo)系下三重積分可表示為從而在直角坐標(biāo)系下三重積分可表示為.),(),(dzdxdyzyxfdvzyxf 與二重積分類似，與二重積分類似， 三重積分可化為三次積分三重積分可化為三次積分 ，的的平平面面來來劃劃分分 進(jìn)行計算進(jìn)行計算xyzo D1z2z),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域為為在在設(shè)設(shè)xoy ，：),(11yxzzS 軸的直線，軸的直線，作平行于作平行于過點過點zy

6、x),(，則則穿穿入入點點的的豎豎坐坐標(biāo)標(biāo)為為),(1yxz.),(dvzyxf 計算計算如圖如圖其中積分區(qū)域其中積分區(qū)域 ，：bxaD ，)()(21xyyxy 設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域 的下、上邊界曲面的下、上邊界曲面 方程為方程為，：),(22yxzzS ，上上任任取取一一點點在在),(yxD，軸正向穿過區(qū)域軸正向穿過區(qū)域沿沿 z，穿出點的豎坐標(biāo)為穿出點的豎坐標(biāo)為),(2yxz的的函函數(shù)數(shù)，看看作作看看作作定定值值，將將先先將將zzyxfyx),(,求積分求積分 ),(),(21),(yxzyxzdzzyxf ),(yxFxyzo D1z2z),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(

7、2xyy ),(yx.),(dvzyxf 計算計算，：bxaD ，)()(21xyyxy ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF的的上求上求然后在區(qū)域然后在區(qū)域),(yxFD二重積分，二重積分， dvzyxf),(即即dydxyxFD ),( Dyxzyxzdydxdzzyxf),(),(21),( ),(),(21),(yxzyxzDdzzyxfdydx.),(),(),()()(2121 yxzyxzbaxyxydzzyxfdydx三次積分三次積分 注意積分區(qū)域注意積分區(qū)域 的特點的特點.和和各各部部分分區(qū)區(qū)域域上上的的積積分分之之分分等等于于域域滿滿足足相相應(yīng)應(yīng)條條件

8、件，原原積積若若干干個個區(qū)區(qū)域域，使使每每個個區(qū)區(qū)分分成成的的交交點點多多于于兩兩點點，可可將將的的邊邊界界曲曲面面區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)部部的的直直線線與與軸軸，且且穿穿過過區(qū)區(qū)域域如如果果平平行行于于 Sz先關(guān)于先關(guān)于面面投影到投影到可將可將有時，為了方便起見也有時，為了方便起見也(yoz . )()求求積積分分先先關(guān)關(guān)于于面面或或求求積積分分yzoxx例如例如 ),(),(21),(zyxzyxDdxzyxfdzdyyzdvzyxf ),(.),(),(),(21 xzyxzyDdyzyxfdxdzzx例例 1 計算三重積分計算三重積分 zdxdydz, 其中其中為三坐標(biāo)面為三坐標(biāo)面及平面及平面1

9、 zyx所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. 解解（一一） xozy111先關(guān)于先關(guān)于z 積分積分為為面上的投影區(qū)域面上的投影區(qū)域在在xyDxoy dzzdxdyxyD dxdyyxxyD 2)1(21dyyxdxx 10210)1(21 103)1(61dxx.241 dxdydzz 故故 0yx 1解解（二二） zdyzyzdz1010)1(xozy111先關(guān)于先關(guān)于x 積分積分dxdydzz 為為面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域在在yzDyoz 故故 dxzdydzzyDyz 10dydzzyzyzD )1( 102)1(21dzzz.241 666x+y+z=63x+y=62x0z yzyxzy

10、xfIddd ),( ：平面：平面y=0 , z=0， 3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域.例例2 將將 化為三次積分，化為三次積分， 666x+y+z=63x+y=62x0z yzyxzyxfIddd ),( ：平面：平面y=0 , z=0， 3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域.例例2 將將 化為三次積分，化為三次積分， 3x+y=63x+2y=12x+y+z=6666x0z y42zyxzyxfIddd ),( ：平面：平面y=0 , z=0， 3x+y =6, 3x+2y =12 和和

11、 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域.例例2 將將 化為三次積分，化為三次積分， 3x+y=63x+2y=12x+y+z=666426x0z yzyxzyxfIddd ),( ：平面：平面y=0 , z=0， 3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域.例例2 將將 化為三次積分，化為三次積分， z = 0y = 042x+y+z=6666x0z yzyxzyxfIddd ),( ：平面：平面y=0 , z=0， 3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域.例例2 將將 化為三次積分，化為三次積分，

12、 42666 yxDzzyxfyxI6 0)d,(dd.D0y x624D yxyyzzyxfxyI6 032 4 3 26 0d),(dd.x0z yx+y+z=6zyxzyxfIddd ),( ：平面：平面y=0 , z=0， 3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域.例例2 將將 化為三次積分，化為三次積分， y2=xxyzo 所圍成的區(qū)域。所圍成的區(qū)域。與平面與平面拋物柱面拋物柱面 zx,z,yxy2 0 0 : zyxzyxfIddd),( 例例3 將將 化為三次積分化為三次積分 所圍成的區(qū)域。所圍成的區(qū)域。與平面與平面拋物柱面拋物柱面

13、zx,z,yxy2 0 0 : zx2 2 2 y2=xxyzozyxzyxfIddd),( 例例3 將將 化為三次積分化為三次積分 所圍成的區(qū)域。所圍成的區(qū)域。與平面與平面拋物柱面拋物柱面 zx,z,yxy2 0 0 : zyxzyxfIddd),( 例例3 將將 化為三次積分化為三次積分, z = 0y=0 2 2 xyzo zzyxfyxIxxd ),(dd2 002 0 。 DxzzyxfyxI2 0)d,(dd 0y x 2 xy y2=xD例例4 4 將將 化為三次積分，化為三次積分， zyxzyxfIddd),( 所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域 與與 : z,yxxyz1x+ y=1y

14、ozx1z=xy.例例4 4 將將 化為三次積分，化為三次積分， zyxzyxfIddd),( 所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域 與與 : z,yxxyzz =01x+ y=1ozx1yz=xy.例例4 4 將將 化為三次積分，化為三次積分， zyxzyxfIddd),( 所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域 與與 : z,yxxyz11z =0ozxx+ y=1y DxyzzyxfyxI0)d,(ddzzyxfyxxyxd ),(dd01 010 z=xy.z三重積分的截面計算法三重積分的截面計算法 )(zFdxdyzyxfzD ),(即即 .),(),(21 zDccdxdyzyxfdzdvzyxf向某軸作投

15、影向某軸作投影把積分區(qū)域把積分區(qū)域 )1(，軸軸例例如如)(z；得得投投影影區(qū)區(qū)間間,21cc，任任取取,)2(21ccz 面，面，作平面平行于作平面平行于過點過點xoyz；得得截截面面截截區(qū)區(qū)域域zD 上上計計算算二二重重積積分分在在zD)3( 21)(,)4(21ccdzzFcc上上計計算算定定積積分分最最后后在在例例 1 計算三重積分計算三重積分 zdxdydz, 其中其中為三坐標(biāo)面為三坐標(biāo)面及平面及平面1 zyx所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. xozy111解解（三三） ，軸軸上上任任取取點點在在1 , 0 zz得得區(qū)區(qū)域域面面，截截作作平平面面平平行行 xoy，0, 0,1| ),(

16、 yxzyxyxDzzDdxdydzz dzzz210)1(21 zDdxdydzz10.241 例例 5 計算三重積分計算三重積分dxdydzz 2，其中是，其中是由由 橢球面橢球面1222222 czbyax所成的空間閉區(qū)域所成的空間閉區(qū)域. xyzozD解解NoImage1,| ),(222222czbyaxczczyx ccdzzczba222)1( .1543abc 三、三重積分的柱面坐標(biāo)計算法三、三重積分的柱面坐標(biāo)計算法0 xz yM(x,y,z) rN(x,y,0)xyz設(shè)點設(shè)點 M(x, y, z) 是空間任一點，是空間任一點， .故點故點 M(x, y, z)， r0， 20

17、 . z且有：且有：r 由圖可知直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系：由圖可知直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系：柱面坐標(biāo)，記作柱面坐標(biāo)，記作 ,sincos zzryrx 可以證明柱面坐標(biāo)系下的體積元素為：可以證明柱面坐標(biāo)系下的體積元素為：dzdrdrdv 為常數(shù)為常數(shù)r圓柱面；圓柱面；為常數(shù)為常數(shù) 半平面；半平面；為常數(shù)為常數(shù)z平平 面面),(zr 的的稱為點稱為點有序數(shù)組有序數(shù)組Mzr),( ),(zrM 由前面的討論可知：由前面的討論可知：在柱面坐標(biāo)系下三重積分可表示為在柱面坐標(biāo)系下三重積分可表示為.),sin,cos(),(dzdrdrzrrfdvzyxf .),sin,cos(),(),(21dzzrr

18、frdrdDxyrzrz ，計計算算例例dvyx )(622.|222 hzRyx：其中其中解解 dzyxdxdyhhDxy )(22原原式式dzdrdrhhDxy 3 hhRdzdrrd0320 .4hR 10 xz yDxy1.017222 zzyxzdxdydzI，：其其中中，例例解解 ，：2210yxz . 122 yxDxy：zzyxIxyDyxddd2210 zzrrrddd2101020 .4 0 xz y1Dxy1zyxyxIddd11822 例例所所圍圍成成及及由由其其中中122 zyxz1解解 ，：122 zyx. 122 yxDxy：zrrrIxyDrd11dd1 2 1

19、 1 0 22 0dd1drzrrr 1 0 22d12rrrr 102)d111(2rrr ).222(ln NoImage解解NoImage，zyx222 所圍立體所圍立體1在在 xoy 面上的投影區(qū)域面上的投影區(qū)域D1為：為： ，1622 yx8222 zzyx與與平平面面曲曲面面 1)(221dvyxI 12823Drdzdrdr ， 345 積分區(qū)域積分區(qū)域 如圖，如圖， ，422 yx2D1D 22223Drdzdrdr ， 625 21III 2222 zzyx與與平平面面曲曲面面所圍立體所圍立體2在在 xoy 面上的投影區(qū)域面上的投影區(qū)域 D2為：為： 2)(222dvyxI.

20、336623455 四、三重積分的球面坐標(biāo)計算法四、三重積分的球面坐標(biāo)計算法0 xz yM(r,)r Nyxz 空間任一點空間任一點 M 還可用還可用球面坐標(biāo)球面坐標(biāo) 由圖可知直角坐標(biāo)與由圖可知直角坐標(biāo)與為為常常數(shù)數(shù)r為常數(shù)為常數(shù) 為常數(shù)為常數(shù) 圓錐面；圓錐面；球球 面；面；半平面半平面， r0.20 ， 0且且 ， cossinsincossinrzryrx球面坐標(biāo)的關(guān)系球面坐標(biāo)的關(guān)系:來來表表示示有有序序數(shù)數(shù)組組),( r的的也也稱稱為為點點 Mr),( 可以證明球面坐標(biāo)系下的體積元素為可以證明球面坐標(biāo)系下的體積元素為: dddrrdvsin2 從而在球面坐標(biāo)系下三重積分可表示為從而在球面

21、坐標(biāo)系下三重積分可表示為 ddrdrrrrf sin)cos,sinsin,cossin(2 dvzyxf),(.sin),(2 ddrdrrF ).cos,sinsin,cossin(),( rrrfrF 其其中中為三次積分，為三次積分，化三重積分化三重積分例例dvzyxfI ),(10.2222Rzyx ：其其中中解解一、直角坐標(biāo)系下一、直角坐標(biāo)系下 .),(2222222222 yxRyxRxRxRRRdzzyxfdydxI二、柱面坐標(biāo)系下二、柱面坐標(biāo)系下 .),sin,cos(2222020 rRrRRdzzrrfdrrdI 三、球面坐標(biāo)系下三、球面坐標(biāo)系下 .)cos,sinsin,

22、cossin(sin02020 RdrrrrrfddI 例例 11 計計算算 dxdydzyxI)(22, 其其中中 是是圓圓錐錐面面222zyx 與與平平面面 az )0( a所所圍圍的的立立體體. 解解 1 采用球面坐標(biāo)采用球面坐標(biāo) az ， cosar 222zyx ，4 ，： cos04020ar dxdydzyxI)(22drrdda 40cos03420sin .105a 解解 2 采采用用柱柱面面坐坐標(biāo)標(biāo)NoImage dxdydzyxI)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(2 54254aaa .105a 222zyx ，rz ，azrar 020: 例例

23、 12 求求曲曲面面22222azyx 與與22yxz 所所圍圍 成成的的立立體體體體積積. 解解，ar2 ，4 ，ar204020: dxdydzV adrrdd202020sin4 4033)2(sin2 da.)12(343a 例例13 連連續(xù)續(xù)且且大大于于零零，且且設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf， )(22)(222)()()(tDtdyxfdvzyxftF ， tttDdxxfdyxftG)()()(2)(22 ：，：其其中中2222222)()(tyxtDtzyxt 內(nèi)內(nèi)的的單單調(diào)調(diào)性性在在討討論論), 0()()1( tF)2003()(2)(0)2(時時，證證明明當(dāng)當(dāng)tGtFt 解解 (

24、1) ttdrrfrddrrfrddtF0220022020)()(sin)( ， ttdrrfrdrrfr02022)()(220202220222)()()()()(2)( tttdrrfrdrrfrttfdrrrftfttF202022)()()()(2 ttdrrfrdrrfrtrttf，內(nèi)內(nèi)所所以以在在0)(), 0( tF內(nèi)內(nèi)的的單單調(diào)調(diào)增增加加在在), 0()( tF例例13 連連續(xù)續(xù)且且大大于于零零，且且設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf， )(22)(222)()()(tDtdyxfdvzyxftF ， tttDdxxfdyxftG)()()(2)(22 ：，：其其中中2222222)()

25、(tyxtDtzyxt 內(nèi)內(nèi)的的單單調(diào)調(diào)性性在在討討論論), 0()()1( tF)2003()(2)(0)2(時時，證證明明當(dāng)當(dāng)tGtFt 解解 (2) ， ttdrrfrdrrfrtF02022)()(2)(， ttdrrfdrrrftG0202)()()( ，時時要要證證當(dāng)當(dāng))(2)(0tGtFt ，只只需需證證0)(2)( tGtF 即即要要證證0)()()(20202022 tttdrrrfdrrfdrrfr即即要要證證0)()()(20202022 tttdrrrfdrrfdrrfr20202022)()()()( tttdrrrfdrrfdrrfrtg令令 ttdrrfrtfdr

26、rftfttg02220222)()()()()(則則 tdrrrftft022)()(2 tdrrfrrtttf02222)()2()( tdrrfrttf0222)()()(時時，當(dāng)當(dāng)0 t，0)( tg內(nèi)單調(diào)增加，內(nèi)單調(diào)增加，在在故故), 0()(tg處處連連續(xù)續(xù)，在在又又0)( ttg時時，當(dāng)當(dāng)0 t，有有0)0()( gtg即即0)()()(20202022 tttdrrrfdrrfdrrfr三重積分在物理上的應(yīng)用三重積分在物理上的應(yīng)用1. 空間立體的質(zhì)量、重心空間立體的質(zhì)量、重心 設(shè)設(shè)有有一一空空間間立立體體，所所占占的的區(qū)區(qū)域域，在在點點),(zyx處處的的體體密密度度為為),(zyx ，假假定定),(zyx 在在上上連連續(xù)續(xù)， 則立體的質(zhì)量為則立體的質(zhì)量為 .),(dvzyxm 重心坐標(biāo)為重心坐標(biāo)為 當(dāng)立體是均勻的，當(dāng)立體是均勻的，重心也稱為形心重心也稱為形心.， dvzyxdvzyxxx),(),( ， dvzyxdvzyxyy),(),( .),(),( dvzyxdvzyxzz 2. 空間立體