1、授課章節(jié)第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征目的要求掌握期望與方差的概念，熟練掌握計(jì)算期望與方差的方法重點(diǎn)難點(diǎn)隨機(jī)變量函數(shù)的期望和方差第二章我們討論了隨機(jī)變量的分布函數(shù)，我們看到分布函數(shù)能夠完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性.但在一些實(shí)際問題中，不需要去全面考察隨機(jī)變量的整個變化情況，而只需知道隨機(jī)變量的某些統(tǒng)計(jì)特征.例如，在檢査一批棉花的質(zhì)量時，只需要注意纖維的平均長度，以及纖維長度與平均長度的偏離程度，如果平均長度較大、偏離程度較小，質(zhì)量就越好.從這個例子看到，某些與隨機(jī)變量有關(guān)的數(shù)字，雖然不能完整地描述隨機(jī)變量，但能概括描述它的基本面貌.這些能代表隨機(jī)變量的主要特征的數(shù)字稱為數(shù)字特征.本章介紹隨機(jī)變量的常

2、用數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望、方差和相關(guān)系數(shù).§1數(shù)學(xué)期望一、數(shù)學(xué)期望的定義先看一個例子，某年級有100名學(xué)生，17歲的有2人，18歲的有2人，19歲的有30人，20歲的有56人，21歲的有10人，則該年級學(xué)生的平均年齡為(17x2+18x2+19x30+20x56+21x10).100=19.7或17x盒*18x島*19x探*20x著*21喘=197我們稱這個平均值是數(shù)17、18、19、20、21的加權(quán)平均值，它是把這五個數(shù)的地位或權(quán)重看得不同。而17*18*卩*20*21=19是把這五個數(shù)的地位或權(quán)重看得相同。對于一般隨機(jī)變量，其平均值定義如下:定義設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為PX=x二

3、p，k=1、2、，或列表如下:kkXx1X2XkPP1P2Pk若級數(shù)蘭xp絕對收斂，則稱其收斂值為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望或kkk=1均值，記為E(X)=另xp.若級數(shù)另|xpI發(fā)散，則稱隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望不存在。kk1kkk=1k=1設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)，若積分f*wxf(x)dx絕對收斂，則稱此收斂值為X的g數(shù)學(xué)期望或均值。記為E(X)，即E(X)=J+8xf(x)dx。若積分卜IxIf(x)dx發(fā)散，則稱隨機(jī)變-8-8量X的數(shù)學(xué)期望不存在。例1設(shè)甲、乙兩人打靶，擊中的環(huán)數(shù)分別記為X、Y,且分布如下:X8910P0.3040.3試比較他們的射擊水平。Y8910P0.40.5

4、0.113/8解：顯然，平均的環(huán)數(shù)可以作為衡量他們設(shè)計(jì)水平的一個重要指標(biāo)。因此，由E(X)=8x0.3+9x0.4+10x0.3=9、E(Y)=8x0.4+9x0.5+10x0.1=8.7可得，甲的射擊水平優(yōu)于、乙的射擊水平。例2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)是f(x)=2x0<x<10其它，求X的均值E(X)。解:E(X)=J+8xf(x)dx=J088二、幾種重要分布的數(shù)學(xué)期望。0dx+Jk=1(3)泊松分布兀(九)2x2dx+J*"0dx=013(1)0-1分布或兩點(diǎn)分布分布律:X01P1-PP則E(X)=0x(1一p)+1xp=p。(2)二項(xiàng)分布b(n,p)分布律：

5、PX=k=Ckpk(1-p)n-k，k=0、1、n，由E(X)=工kp=YkCkpkqn-k=kCkpkqn-k,knnk=0k=0k=1因?yàn)镃k=n(n1)L(nk+1)n(n1)L(nk+1)nk(k-1)!=Ck-1，kn-1所以E(X)=np工Ck-1pk-1q(n-1)-(k-1)=np(p+q)n-1=npn-1九k分布律：Px=k=e，k=0、1、，所以,k!九k1九e九e九九。ki(k一1)!EXk'九k'kex=匚exXex乙/''k!(k1)!k1k1均勻分布的概率密度為f(x)=<a<x<b，因而連續(xù)(4)均勻分布XU(a

6、,b)其它E(X)-f+8xf(x)dxfbxf(x)dx-fbdx_"+b8aaba2(ba)2(5)指數(shù)分布指數(shù)分布的密度為f(x)=九e-mx>00x<0或f1ex/0x>0<0,0x<0E(X)J+8xf(x)dxJ+8九xe-九xdxf+8xd(e-九x)xe-九8001+J+8e-九xdxe-九x0九(6)均勻分布xNab2)正態(tài)分布的密度函數(shù)為f(x)-=-e2b2，所以x(xH)2t或x-1+HE(X)士xf(x)dx號2dx-亠卩卜1e-:dt+-卜二e-;dt卩。8J2兀j2兀三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望在許多實(shí)際問題中，我們經(jīng)常需要計(jì)

7、算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，例如，飛機(jī)機(jī)翼受到的壓力W=kV2的作用，其中V為風(fēng)速是隨機(jī)變量，我們需要知道機(jī)翼受到的平均壓力。為此，下面給出隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式。定理1設(shè)Y為隨機(jī)變量X的函數(shù)：Y=g(X)(g是連續(xù)函數(shù)),(1)X是離散型隨機(jī)變量，分布律為p=P(X=x),k二1,2,A；則有kkE(Y)=Eg(X)墾g(xk)Pk。k=1另g(x)Pkkk=1絕對收斂。(2)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，它的分布密度為f(x)，貝y有E(Y)=Eg(X)=J+8g(x)f(x)dx。條件是J+8g(x)f(x)dx絕對收斂。88定理1告訴我們：求E(Y)時，不必知道Y的分布，而只需知道X的分

8、布就可以了。例3隨機(jī)變量X的分布律如表3-2：表3-20123求E(X),E(占),E(X2)解：E(X)=0x-+1x-+2x-+3x-=-248881111111167X+XFXFX=一E()=1+X1+021+141+281+3896E(X2)=02X1+12X1+22X1+32X1=1524888定理2設(shè)Z是隨機(jī)變量(X,Y)的連續(xù)函數(shù)Z=g(X,Y)，(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量，聯(lián)合分布律為p二P(X二x,Y二y),i,j二1,2,A；ijij則有E(Z)=Eg(X,Y)=匚g(x,y)p。ijiji=1j=1(2)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，聯(lián)合分布密度為f(x,y)，則有

9、E(Z)=Eg(X,Y)=J+8J+8g(x,y)f(x,y)dxdy.88例4設(shè)風(fēng)速V在(0,a)上服從均勻分布，即它的密度函數(shù)是f(v)=a-0<v<a，又設(shè)飛機(jī)機(jī)翼受到的正壓力W是V的函數(shù)W=kV2，求w的數(shù)學(xué)期望。0其它解：E(W)=J+8kv2f(v)dv=J°0dv+fakv2dv+J+80dv=色80aa38例5隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函32x3y20111<x,<y<xx其它求數(shù)學(xué)期望E(Y),E(1/XY).由公式E(Z)二Eg(X,Y)二卜J+gg(x,y)f(x,y)dxdyggE(Y)=J+gJ+gyf(x,y)dxdy=dx

10、Jy2x3y2dy=4。1/x三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1°.設(shè)c是常數(shù)，則有E(c)=c.2°設(shè)X是隨機(jī)變量，設(shè)c是常數(shù)，則有E(cX)=cE(X).3°設(shè)X,Y是隨機(jī)變量，則有E(X+Y)=E(X)+E(Y).(該性質(zhì)可推廣到有限個隨機(jī)變量之和的情況)4°設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有E(XY)=E(X)E(Y).(可推廣到有限個隨機(jī)變量之積的情況)1、2由讀者自己證明.我們來證明3和4.我們僅就連續(xù)型情形給出證明，離散型情形類似可證.證明：設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布密度為f(x,y)，其邊緣分布密度為f(x)，XfY(y).則E(X+Y)

11、=J+gJ+g(x+y)f(x,y)dxdy=J+gf+gxf(x,y)dxdy+J+gf+gyf(x,y)dxdygggggg=E(X)+E(Y)。性質(zhì)3得證.又若X和Y相互獨(dú)立，此時f(x,y)=f(x)f(y)，故有XYE(XY)二卜xyf(x,y)dxdy二卜xf(x)dx+gyf(y)dy二E(X)E(Y)gg8910Y8910gY§2方差先看一個例子，設(shè)甲、乙兩人打靶，擊中的環(huán)數(shù)分別記為X、Y，且分布如下：P04020.4P0.20.60.2試分析他們技術(shù)水平的穩(wěn)定性。直觀上看，甲的射擊水平波動較大，屬情緒型；相比之下，乙的射擊水平波動小，技術(shù)水平穩(wěn)定。我們引用方差反映隨

12、機(jī)變量與它的均值偏離程度那么，用怎樣的量去度量這個偏離程度呢？用EXE(X)來描述是不行的，因?yàn)檫@時正負(fù)偏差會抵消；用E|E(X-E(X)來描述原則上是可以的，但有絕對值不便計(jì)算；因此，通常用EX-E(X)2來描述隨機(jī)變量與均值的偏離程度.一、方差的定義定義設(shè)X是隨機(jī)變量，EX-E(X)2存在，就稱其為X的方差，記為D(X)，即D(X)=EX-E(X)2，稱VD(X)為標(biāo)準(zhǔn)差，記為b(X).二、方差的計(jì)算由定義D(X)=EX-E(X)2，或D(X)=E(X2)-E(X)2。證明D(X)=EXE(X)2二EX22XE(X)+E(X)2二E(X2)E(X)2二E(X2)2E(X)E(X)+E(X)

13、2X是離散型隨機(jī)變量，分布律為p=P(X=x),k=1,2,A；則kkD(X)=另xkk=1E(X)2p或D(X)=另x2pE2(X)okkk=1X是連續(xù)型隨機(jī)變量，它的分布密度為f(x)，則D(X)=J+*xE(X)2f(x)dx或D(X)=J+sx2f(x)dxE2(X)。gs例1設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)是f(x)=2x0<x<10其它，求X的方差D(X)。解：E(X)=J+gxf(x)dx=J12x2dx=2，g03D(X)=E(X2)E2(X)=J12x3dx4=丄e0918三、幾種重要分布的方差(1)0-1分布或兩點(diǎn)分布分布律：則E(X)=p，X01P1-PPD(X)

14、=E(X2)+E2(X)=02x(1p)+1xpp2二p(1p)。(2)二項(xiàng)分布b(n,p)E(X)=np,得分布律：PX=k=Ckpk(1-p)n-k，knD(X)=E(X2)+E2(X)=£k2Ckpkqn-k-(np)2=np(1-p)。nk=0(3)泊松分布兀(九)分布律：PX=k=e-九，kk!D(X)=E(X2)+E2(X)=£k2菩e-九一九2=九。k=1(4)均勻分布XU(a,b)均勻分布的概率密度f(x)=<a<x<b，E(X)=字,其它2D(X)=E(X2)+E2(X)=比dx一(晉)2=桔(5)指數(shù)分布指數(shù)分布的密度f(x)=九e-mx>00x<0或f(x)=1e-x/0x>0<0,0x<0E(X)=或E(X)=0,入=一或D(X)=02D(X)=E(X2)+E2(X)=J+wXx2e»dx丄：10九2九2(6)均勻分布XN(p,b2)正態(tài)分布的密度函數(shù)為f(x)=2=-e2b2,E(X)沖,.x2(x-p)2D(X)=E(X2)+E2(X)=嚴(yán)e-2-2dx-p2=-2g需2兀四、方差的性質(zhì)1、設(shè)c是常數(shù)，則有D(c)=0；2、設(shè)c是常數(shù)，則有D(cX)二c2D(X)；3、設(shè)X,Y是獨(dú)立的隨機(jī)變量，貝Q有D(X+Y)=D(X)+D(Y)例2設(shè)(X,Y)的概率密度函數(shù)