1、 人教A版必修五余弦定理教學(xué)設(shè)計衡陽市第八中學(xué) 劉亮生 一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)內(nèi)容安排在普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修5（人教A版）第一章余弦定理第一課時，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、向量等知識之后，是對三角知識的應(yīng)用；同時，作為三角形中的一個定理，也是對解直角三角形內(nèi)容的直接延伸，因而定理本身的應(yīng)用十分廣泛。余弦定理的教學(xué)分為以下這幾個步驟：第一，教師通兩個實際問題的引入，讓學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題；第二，找到兩個問題的共同特征，并舉出特例大膽提出猜想；第三，采用“構(gòu)造直角三角形法”、“ 向量法”、“坐標(biāo)法”三種方法證明了余弦定理；第四，通過對余弦定理公式的變形得到推論，進(jìn)一步運用定理判定三

2、角形的形狀；第五，利用定理，解決引入問題，并最后進(jìn)行簡單的應(yīng)用。學(xué)生通過對任意三角形中余弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)和證明，感受“觀察歸納猜想證明應(yīng)用”這一數(shù)學(xué)思維方法，養(yǎng)成大膽猜想、善于思考的品質(zhì)和勇于求真的精神.二、學(xué)情分析 對學(xué)生來說，已學(xué)過平面幾何、解直角三角形、三角函數(shù)、向量等知識，有一定觀察分析、解決問題的能力，但對前后知識間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用有一定難度，因此思維靈活性受到制約。根據(jù)以上特點，教師恰當(dāng)引導(dǎo)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)主動性，多加以前后知識間的聯(lián)系，帶領(lǐng)學(xué)生直接參與分析問題、解決問題并品嘗勞動成果的喜悅。三、設(shè)計思想： 本節(jié)課采用探究式問題教學(xué)模式，即在教學(xué)過程中，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學(xué)生

3、獨立自主和合作交流為前提，以問題為導(dǎo)向設(shè)計教學(xué)情境，從實際問題出發(fā)運用數(shù)學(xué)知識解決問題這個過程體驗數(shù)學(xué)在實際生活中的運用，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。通過主動探索，合作交流，感受探索的樂趣和成功的體驗，體會數(shù)學(xué)的理性和嚴(yán)謹(jǐn)。逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思維的能力。四、教學(xué)目標(biāo)：1通過對任意三角形邊角關(guān)系的探索，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，歸納，猜想，驗證，證明，由特殊到一般歸納出余弦定理，掌握余弦定理的內(nèi)容及其證明方法，能運用余弦定理解決解斜三角形的兩類基本問題。2通過對實際問題的探索，培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，增強學(xué)生的協(xié)作能力和交

4、流能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的能力。3培養(yǎng)學(xué)生合情合理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想方法，通過平面幾何、三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一.五、教學(xué)重點與難點教學(xué)重點：余弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明；余弦定理的簡單應(yīng)用。教學(xué)難點：余弦定理的猜想提出過程，余弦定理的證明。教學(xué)準(zhǔn)備：制作多媒體課件，學(xué)生準(zhǔn)備計算器。六教學(xué)過程:（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題：情境1:如圖1所示的兩地之間隔著一座小山，現(xiàn)要測量之間即將修建的一條隧道的長度.已知在以外的點測得的數(shù)據(jù)有，,如何求兩地之間隧道的長度（精確到）？ACBED情境2:如圖2所示,工人要做一個三角形支架，已知桿

5、,主架是一根直鋼管沿點彎折而成，且彎折點到焊接點的距離分別為，要使彎折后恰好與兩焊接點相接，則彎折后的大小為多少（精確到）?問題1:上述兩個問題有何內(nèi)在聯(lián)系，它們都是解決三角形當(dāng)中有關(guān)什么問題？教師：以上問題抽象出來成數(shù)學(xué)問題，就是解三角形問題，那么他們分別是解決三角形中的什么類型問題？學(xué)生：情境1:解關(guān)于知道三角形兩邊及它們夾角，求第三邊問題；情境2:解關(guān)于知道三角形兩邊及第三邊（即知道三邊），求兩邊夾角問題。設(shè)計意圖：通過實例創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)學(xué)生對本節(jié)課的興趣，同時抽象出數(shù)學(xué)問題引入新課.（二）問題化歸，構(gòu)建模型：教師：以上兩個問題都是在已知三角形兩邊的前提下，求兩邊的夾角的大小與第三邊的變

6、化的關(guān)系，請大家思考以下問題.CAB問題2:如圖3在中，已知,當(dāng)變化時,線段的長度的變化趨勢如何？學(xué)生：當(dāng)變大時，的長度變大。設(shè)計意圖：讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)在已知三角形兩邊的前提下，找到他們的夾角的變化對第三邊的變化的影響。（3） 特例探究，提出猜想：教師：我們不妨找?guī)讉€特殊情況，已知兩邊以及它們的夾角與該三角形的第三邊有何關(guān)系。問題3:如圖3在中，已知,若將的范圍擴大到取這、三種特殊情況時,線段的長度分別為多少？（教師引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論）學(xué)生：當(dāng)時，； 當(dāng)時，； 當(dāng)時，。設(shè)計意圖：從三個特殊角度與第三邊之間的關(guān)系去找到它們的共同特征，讓學(xué)生提出合理猜想。問題4:請你根據(jù)上述三個特例的結(jié)果，試猜想：當(dāng)，線

7、段的長度為多少？學(xué)生:當(dāng)時，（四）證明猜想，得出定理：問題5：你能證明該猜想嗎？試一試，看能用幾種方法證明？教師：在求三角形的邊長中，什么三角形的邊長最容易求？銳角、直角還是鈍角三角形？學(xué)生：直角三角形。教師：對于任意三角形，如果是銳角三角形或鈍角三角形我們可以構(gòu)造出直角三角形嗎？如果能，如何構(gòu)造？學(xué)生：過一點，作對邊的高。ABCD教師：很好，現(xiàn)在我們不妨假設(shè)為銳角.方法一：（構(gòu)造直角三角形）如圖,因為為銳角，過點A作垂線交BC于點D，則，所以， （由學(xué)生小組討論完成）教師：我們不要忘記討論為鈍角、直角的情況，如果為鈍角如何求，與它為銳角有什么區(qū)別與聯(lián)系?ACDB學(xué)生：如圖,因為為鈍角，過點A

8、作垂線交BC于點D，則，所以， ABC方法二：（向量方法）如圖，因為，所以， 即 方法三：（建立直角坐標(biāo)系）ACBBB建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，根據(jù)兩點間的距離公式，可得，所以，設(shè)計意圖：讓學(xué)生以小組為單位討論解決問題的方法，老師適當(dāng)引導(dǎo)點撥 ，由學(xué)生自己證明，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位.點評：方法一，應(yīng)分為銳角、直角與鈍角進(jìn)行討論；方法二、方法三，可避免討論，計算最方便還是方法二。問題6：以上結(jié)論為余弦定理，如何用文字語言與符號語言表示以上定理？你能說出來嗎？教師：大家觀察我們剛才證明的式子，如果把它們平方就可以得出結(jié)論？學(xué)生：.教師：如果令,，則上式變形為什么式子？學(xué)生：.教師：同理這個式

9、子也可以用來求另外兩邊，你能把其他兩邊也用式子表示出來嗎？學(xué)生：可以，； .教師：很好,這三個式子就是余弦定理的符號語言表述形式,這個式子非常美觀,便于記憶,希望大家好好記憶,請問那位同學(xué)能用文字語言把它表述出來嗎?符號語言： ； ； .學(xué)生：文字語言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與他們的夾角的余弦的積的兩倍.設(shè)計意圖：讓學(xué)生用兩種數(shù)學(xué)語言歸納證明的定理，加深對定理的理解，提高學(xué)生的表達(dá)能力，以及數(shù)學(xué)語言間的轉(zhuǎn)換能力，特別是符號語言表述結(jié)構(gòu)美觀，便于記憶.（5） 合理變型，深化理解：問題7：余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關(guān)系，應(yīng)用余弦定理，我們可以解

10、決三角形的三邊確定三角形的角的問題，怎么確定呢？學(xué)生：要求角我們可以把上面的式子變形，把角和邊分離.教師：很好，那大家動手寫一下，看看公式變成什么樣子？學(xué)生：；.教師：看來大家都不錯，我們把剛才變形之后的公式叫做余弦定理的推論.余弦定理推論：； ；。設(shè)計意圖：對公式進(jìn)行變形，學(xué)生就能發(fā)現(xiàn)如何知道三邊求角.問題8：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形三邊的平方之間的關(guān)系，如何看待這兩個定理之間的關(guān)系？教師：你們?nèi)绾慰创厦娴膯栴}？可以得到什么結(jié)論？學(xué)生：勾股定理是余弦定理的特殊情況，余弦定理是勾股定理的推廣.教師：由于我們可以根據(jù)角是銳角、直角還是鈍角來判斷角

11、余弦的符號，如果在知道三角形的三邊能否判定三角形的各個角是銳角、直角還是銳角？學(xué)生：可以，將各邊代人余弦定理的推論式子，根據(jù)式子的符號來判定角的余弦的符號，如果大于0就是銳角、等于0就是直角、小于0就是鈍角.教師：我們要判定三角形是銳角、直角還是鈍角三角形，是否每個角都要判定？學(xué)生：不一定，只要判定最大的角.教師：在給定三邊的前提下，你知道最大的角是那個角嗎？學(xué)生：最大的邊對最大的角.教師：說得好，看來我們只要知道哪條邊最大，就能判定三角形的形狀，剛才我們對余弦定理及推論進(jìn)行了探討，大家說說，余弦定理可以解決一些什么問題？學(xué)生：1.已知三角形兩邊及夾角，求第三邊； 2.已知三角形三邊，求任意一

12、角；3.判定三角形形狀.設(shè)計意圖：發(fā)現(xiàn)勾股定理與余弦定理之間的區(qū)別與聯(lián)系，并能運用定理判斷角的范圍，從而判定三角形的形狀.（6） 運用定理，解決問題：情境1：在，,求邊的長度（精確到）？情境2：在，,求的大小為多少（精確到）?并請判定該三角形的形狀.（7） 隨堂訓(xùn)練，鞏固反饋：1 已知在中，那么等于（ ） A、 B、 C、D、 2.已知在中，則等于( ) A、123 B231 C132D312 3若三條線段的長為5、6、7，則用這三條線段（ ） A、能組成直角三角形 B、能組成銳角三角形 C、能組成鈍角三角形 D、不能組成三角形七.課時小結(jié)：（一）.探究過程：1.創(chuàng)設(shè)情境，提出問題；2.問題化

13、歸，構(gòu)建模型；3.特例探究，提出猜想；4.證明猜想，得出定理；5.合理變型，深化理解；6.運用定理，解決問題；7.隨堂訓(xùn)練，鞏固反饋.（二）.知識體系：1.余弦定理：文字語言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與他們的夾角的余弦的積的兩倍。符號語言： ； ； .2.余弦定理推論：; ;.3.余弦定理的應(yīng)用：1.已知三角形兩邊及夾角，求第三邊；2.已知三角形三邊，求任意一角；3.判定三角形形狀.（三）.探究思想方法： (1)從特殊到一般思想；(2)轉(zhuǎn)化化歸思想;(3)歸納猜想思想;(4)數(shù)形結(jié)合思想.八教學(xué)反思：本課的教學(xué)應(yīng)具有承上啟下的目的，因此在教學(xué)設(shè)計時既要兼顧前后知識

14、的聯(lián)系，又要使學(xué)生明確本課學(xué)習(xí)的重點，將新舊知識逐漸地融為一體，構(gòu)建比較完整的知識系統(tǒng)。所以在余弦定理的表現(xiàn)方式、結(jié)構(gòu)特征上重加指導(dǎo)，只有當(dāng)學(xué)生正確地理解了余弦定理的本質(zhì)，才能更好地應(yīng)用求解問題。本課教學(xué)設(shè)計力求在型（模型、類型），質(zhì)（實質(zhì)、本質(zhì)），思（思維、思想方法）上達(dá)到教學(xué)效果。本課之前學(xué)生已學(xué)習(xí)過三角函數(shù)，平面幾何，平面向量、解析幾何、正弦定理等與本課緊密聯(lián)系的內(nèi)容，使本課有了較多的處理工具，也使余弦定理的探討有了更加簡潔的工具。因此在本課的教學(xué)設(shè)計中抓住前后知識的聯(lián)系，重視數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，加深對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解，認(rèn)識數(shù)學(xué)與實際的聯(lián)系，學(xué)會應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和方法解決一些實際問題。學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識不強，創(chuàng)造力不足、看待問題不深入，很大原因在于學(xué)生的知識系統(tǒng)不夠完善。因此本課運用聯(lián)系的觀點，從多角度看待問題，在提出問題、思考分析問題、解決問題等多方面對學(xué)生進(jìn)行示范引導(dǎo)，將舊知識與新知識進(jìn)行重組擬合及提高，幫助學(xué)生建立自己的良好知識結(jié)構(gòu)。本教學(xué)設(shè)計的創(chuàng)新之處1.教學(xué)目標(biāo)創(chuàng)新 (1)培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般地探究問題的能力；(2)培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化