1、幾何輔助線（圖）作法探討一些幾何題的證明或求解，由原圖形分析探究，有時(shí)顯得十分復(fù)雜，若通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，即添加適當(dāng)?shù)妮o助線（圖），將原圖形轉(zhuǎn)換成一個(gè)完整的、特殊的、簡(jiǎn)單的新圖形，則能使原問題的本質(zhì)得到充分的顯示，通過對(duì)新圖形的分析，原問題順利獲解。有許多初中幾何常見輔助線作法歌訣，下面這一套是很好的：人說幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。三角形中

2、兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱中心等分點(diǎn)。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動(dòng)對(duì)角線，補(bǔ)成三角形常見。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。圓半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。切線長(zhǎng)度的計(jì)算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。弧有中點(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。弦切角邊切線弦，同弧對(duì)角等找完。要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線。還要作個(gè)內(nèi)切圓，內(nèi)角平分

3、線夢(mèng)圓。如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點(diǎn)公切線。若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。要作等角添個(gè)圓，證明題目少困難。輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對(duì)稱旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)?；咀鲌D很關(guān)鍵，平時(shí)掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會(huì)減。虛心勤學(xué)加苦練，成績(jī)上升成直線。在幾何題的證明或求解時(shí)，需要構(gòu)成一些基本圖形來求證（解）時(shí)往往要通過添加輔助線（圖）來形成，添加輔助線（圖），構(gòu)成的基本圖形是結(jié)果，構(gòu)造的手段是方法。筆者從作輔助線的結(jié)果和方法兩方面將幾何輔助線（圖）作法歸納為結(jié)果（1）構(gòu)造基本圖形；（2）

4、構(gòu)造等腰（邊）三角形：（3）構(gòu)造直角三角形；（4）構(gòu)造全等三角形；（5）構(gòu)造相似三角形；（6）構(gòu)造特殊四邊形；（7）構(gòu)造圓的特殊圖形；方法（8）基本輔助線；（9）截取和延長(zhǎng)變換；（10）對(duì)稱變換；（11）平移變換；（12）旋轉(zhuǎn)變換。下面通過近年全國(guó)各地中考的實(shí)例探討其應(yīng)用。一、構(gòu)造基本圖形:每個(gè)幾何定理都有與它相對(duì)應(yīng)的幾何圖形，我們把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時(shí)補(bǔ)完整基本圖形。如平行線，垂直線，直角三角形斜邊上中線，三角形、四邊形的中位線等。等腰（邊）三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、特殊四邊形和圓的特殊圖形也都是基本圖形，但我們后面把它們單獨(dú)表

5、述。典型例題：例1.（2012四川內(nèi)江3分）如圖，a/b,1650,21400,則3【】A.1000B.1050C.1100D.1150例2.（2012江蘇宿遷3分）已知點(diǎn)E,F,G,H分別是四邊形ABCD勺邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，若ACLBD,且心BD,則四邊形EFGH勺形狀是（填“梯形”“矩形”“菱形”）【答案】矩形。【考點(diǎn)】三角形中位線定理，矩形的判定。【分析】如圖，連接ACBD。E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理，HE/AB/GFHG/AC/EF。又/ACLBDEHGMHGFMGFEMFEH=90°。四邊形EFGH是矩形。且/AOB

6、D四邊形EFGH鄰邊不相等。四邊形EFGH不可能是菱形。例3.（2012湖北天門、仙桃、潛江、江漢油田3分）如圖，線段AC=n+1（其中n為正整數(shù)），點(diǎn)B在線段AC上,在線段AC同側(cè)作正方形ABMN及正方形BCEF連接AMMEEA得到AME當(dāng)AB=1時(shí)，AME的面積記為S;當(dāng)AB=2時(shí)，AME的面積記為S2；當(dāng)AB=3時(shí)，AME的面積記為S；當(dāng)AB=n時(shí)，AME的面積記為S.當(dāng)n2時(shí)，Sn-Si-1=.【答案】2n1。2【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)，平行的判定和性質(zhì)，同底等高的三角形面積，整式的混合運(yùn)算。【分析】連接BE,在線段AC同側(cè)作正方形ABMN及正方形BCEFBE/AMAME-與AMB同底等高

7、。二AME的面積=AMB的面積。112當(dāng)AB=n時(shí)，AME的面積為Snn2，當(dāng)AB=n-1時(shí)，AME勺面積為Snn1。2 21 21212n1當(dāng)n2時(shí)，snSn1n2-n1=一n+n1nn+1=2 222例4.（2012江蘇鎮(zhèn)江6分）如圖，在四邊形ABCD中,AD/BC,E是AB的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,點(diǎn)G在BC邊上，且/GDFMADF（1）求證：ADEABFE（2）連接EG判斷EG與DF的位置關(guān)系，并說明理由?！敬鸢浮拷猓海?）證明：TAD/BCADENBFE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。/E是AB的中點(diǎn)，AE=BE又/AEDNBEFADEABFE（AAS°（2）

8、EG與DF的位置關(guān)系是EGLDF°理由如下：/ADENBFE/GDFNADF/GDFNBFE（等量代換）°GD=G（等角對(duì)等邊）°又ADEABFE-DE=EF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）°EGLDF（等腰三角形三線合一）°例5.（2012廣西南寧10分）如圖，已知矩形紙片ABCDAD=2,AB=4將紙片折疊，使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合，折痕FG分別與AB,CD交于點(diǎn)GF,AE與FG交于點(diǎn)0.（1）如圖1,求證：A,G,E,F四點(diǎn)圍成的四邊形是菱形；（2）如圖2,當(dāng)厶AED的外接圓與BC相切于點(diǎn)N時(shí)，求證：點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)；（3）如圖2,在（2

9、）的條件下，求折痕FG的長(zhǎng).【答案】解：（1）由折疊的性質(zhì)可得，GA=GENAGFNEGFDC/AB/EFGNAGFEFGNEGFEF=EG=AG四邊形AGEF是平行四邊形（EF/AGEF=AG°又AG=GE四邊形AGEF是菱形。（2）連接ONAED是直角三角形，AE是斜邊，點(diǎn)O是AE的中點(diǎn)，AED的外接圓與BC相切于點(diǎn)N,ONLBG點(diǎn)O是AE的中點(diǎn)，ON是梯形ABCE勺中位線。點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)。（3）TOEON均是AED的外接圓的半徑，OE=OA=ON=2AE=AB=4在RtADE中，AD=2AE=4,AED=30。FG=2OF在RtOEF中，OE=2/AED=30,OF二、構(gòu)

10、造等腰（邊）三角形：當(dāng)問題中出現(xiàn)一點(diǎn)發(fā)出的二條相等線段時(shí)往往要補(bǔ)完整等腰（邊）三角形；出現(xiàn)角平分線與平行線組合時(shí)可延長(zhǎng)平行線與角的二邊相交得等腰（邊）三角形。通過構(gòu)造等腰（邊）三角形，應(yīng)用等腰（邊）三角形的性質(zhì)得到一些邊角相等關(guān)系，達(dá)到求證（解）的目的。典型例題:例1.（2012浙江麗水、金華4分）如圖，在等腰厶ABC中，AB=AC/BAC=50°./BAC的平分線與AB的中垂線交于點(diǎn)O,點(diǎn)C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合，則/CEF的度數(shù)是【答案】50°。連接BO,/AB=ACAO是/BAC的平分線，AO是BC的中垂線。 B8COV/BAC=50°,/BAC的平分線與A

11、B的中垂線交于點(diǎn)O,/OAB=/OAC=25°OV等腰ABC中，AB=AC/BAC=50°,/ABC=/ACB=65°。/OBC=65°-25°=40°o/OB=/OC=40°。點(diǎn)C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合，EO=EC,/CEF=/FEO /CEF=/FEO=(180°2X40°)+2=50°。例2.(2012甘肅白銀10分)如圖，已知ABC是等邊三角形，點(diǎn)DF分別在線段BGAB上，/EFB=60,DC=EF(1) 求證：四邊形EFCD是平行四邊形；(2)若BF=EF求證：AE=AD【答案】證明：

12、(1)VAABC是等邊三角形，/ABC=60ov/EFB=60，/ABC/EFBEF/DC(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)。/DC=EF四邊形EFCD是平行四邊形。(2) 連接BE=/BF=EF/EFB=60,EFB是等邊三角形。EB=EF/EBF=60。/DC=EFEB=DCVABC是等邊三角形，/ACB=60,AB=AC:丄EBFKACBAEBAADC(SAS。二AE=AD例3.(2011上海12分)如圖，在梯形ABCD中,ADDB些2012廣西柳州3分)已知：在厶AB中，AC=aAB與BEDEBC所在直線成45°角，AC與BC所在直線形成的夾角的余弦值為2、5(即cosC=5)，貝U

13、AC邊上的中線長(zhǎng)是55【答案】85a或5a。1010【分析】分兩種情況：厶ABC為銳角三角形時(shí)，如圖1,BE為AC邊的中線。作厶ABC的高AD,過點(diǎn)E作EF丄BC于點(diǎn)F。2在RtACD中，AC=acosC=5,525CD=2555在RtABD中，/ABD=45,BD=AD=a。BC=BD+CD=ao55EF=1AD=5a。210點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，EF/ADEF是厶ACD的中位線。FC=1DC5a,25:.BF=25a。5在RtBEF中，由勾股定理，得BEBF2EF255a10a17285a=a。2010厶ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖2,BE為AC邊的中線。作厶ABC的高AC。在RtACD中，AC

14、=acosC=-V5,5CD=25a,AD=5a。55在RtABD中，/ABD=45,BD=AD55a。.BC=BD=a。5點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，BE是厶ACD的中位線。BE=1AD=5a。210綜上所述，AC邊上的中線長(zhǎng)是85a或5a。1010例2.（2012廣西河池3分）如圖，在矩形ABCD中,AD>AB,將矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為MN連結(jié)CN若ACDN的面積與厶CMN的面積比為1:4,貝U的值為【】BMA.2B.4C.2.5D.2、6【答案】Do過點(diǎn)N作NGLBC于G四邊形ABCD是矩形，四邊形CDNG是矩形，AD/BGCD=NGCG=DN/ANMMCMN由折疊的性質(zhì)

15、可得：AM=CM/AMNNCMN：/ANMNAMNAM=ANAM=CM四邊形AMCN!平行四邊形。/AM=CM四邊形AMCN是菱形。/CDN的面積與厶CMN的面積比為1:4,DNCM=14。設(shè)DN=x貝UAN=AM=CM=CN=4XD=BC=5xCG=)c：BM=xGM=3x在RtCGN中，NGCN2CG24xx215x,在RtMNG中MNGM2NG23x215x2=26x,.MN26x=26。故選DoBMx例3.(2012北京市5分)如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)E,/BAC=9(S,ZCED=45,/DCE=90,DE=2,BE=22.求CD的長(zhǎng)和四邊形ABCD的面積.【

16、答案】解：過點(diǎn)D作DHLAC/CED=45,DHLECDE=2,EH=DH=0又/DCE=30,DC=2HC=3。/AEB=45,/BAC=90,BE=2j2,AB=AE=2AC=2+1+3=3+3。S四邊形abcd22(33)21(33)【考點(diǎn)】勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì),四、構(gòu)造全等三角形：通過構(gòu)造全等三角形，應(yīng)用全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等的性質(zhì)，達(dá)到求證（解）的目的。典型例題:例1.(2012浙江紹興5分)如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在BC,CD上，將ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在AC上的點(diǎn)B'處，又將CEF沿EF折疊，使點(diǎn)C落在EB與AD的

17、交點(diǎn)C'處.貝UBC:AB的值為。例2.(2012山東泰安3分)如圖，AB/CDE,F分別為AC,BD的中點(diǎn)，若AB=5,CD=3貝UEF的長(zhǎng)是【】A.4B.3C.2D.1【答案】Do【考點(diǎn)】三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)。【分析】連接DE并延長(zhǎng)交AB于H,/CD/AB/C=ZA,ZCDEMAHEE是AC中點(diǎn)，DE=EH.ADCEAHAE(AAS。1 DE=HEDC=AH：F是BD中點(diǎn)，EF是厶DHB的中位線。EF=BH2 BH=AB-AH=AB-DC=2EF=1。故選D例3.(2012山東德州12分)如圖所示，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)(

18、不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合)將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H,折痕為EF,連接BPBH(1)求證：/APB2BPH(2) 當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，PDH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化并證明你的結(jié)論；(3) 設(shè)AP為x，四邊形EFGFP勺面積為S,求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S是否存在最小值若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】解：(1)如圖1,tPE=BE./EBP=/EPB.又EPHMEBC=90, /EPH-/EPB2EBC-ZEBP即/PBCMBPH又AD/BCAPB/PBCAPB/BPH(2)PHD的周長(zhǎng)不變?yōu)槎ㄖ?。證明如下：如圖2,過B作BQLPH垂足為Q

19、由(1)知/APB/BPH又A=/BQP=90,BP=BP ABPAQBP(AASoAP=QPAB=BQ又AB=BCBC=BQ又C=/BQH=90,BH=BHBCHABQH(HL)。CH=QHPHD的周長(zhǎng)為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8(3) 如圖3，過F作FMLAB垂足為M,貝UFM=BC=AB又EF為折痕，EF丄BP/EFM#MEFMABP+ZBEF=90。/EFMMABP又/A=ZEMF=90,AB=MEEFMABPA(ASA)。EM=AP=x在RtAPE中,(4BE)2+x2=bE，即2BE2+X。82X2+8又四邊形PEFG與四邊形-CFBEEMBEFC全

20、等,x2S1BECFBC=14+一x224AA4=x22x+8=x2222+6。0<-<42，當(dāng)x=2時(shí)，S有最小值6。例4.（2011廣西南寧3分）如圖,在厶ABC中，/ACB=90o,/A=15o,AB=8,則AC-BC的值為【A.14B.163.415D.16【答案】Do【考點(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)?！痉治觥垦娱L(zhǎng)BC到點(diǎn)D,使CD=CB連接AD,過點(diǎn)D作DELAB垂足為點(diǎn)E。則知ACDACB從而由已知得1/CAD=ZA=15o,AD=AB因此，在RtADE中，AD=8,/BAD=30o,DE=AD-sin30o=4。從而Saade=-AB-DE21 1=16,

21、又-C=AC-BC即AC-BC=16o2 2例5.（2011山東濟(jì)南3分）如圖，在ABC中，/ACB=90o,AOBC,分別以AB、BCCA為一邊向厶ABC外作正方形ABDEBCMNCAFG連接EF、GMND設(shè)厶AEFBNDCGM的面積分別為S、Sa、S3,則下列結(jié)論正確的是【】A.S=S2=S3B.S1=S2VS3C.S1=S3VS2D.S2=S3VS1【答案】Ao【分析】過點(diǎn)D作DQLMN交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,交MN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q;過點(diǎn)E作ERLGF交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S,交GF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R。易證CGIWACAB（SAS,即S2=Smbc；易證PBDACAB(AAS,-BP=AC即卩

22、74;的底為BN=BC高為BP=AC/-S2=Saabc；易證SEAACAB(AAS,/AS=BC即卩Si的底為FA=CA高為AS=BC/-S2=Smbc。/S1=S2=S3=Saabc。故選A。例6.(2011山東德州8分)如圖AB=AC,CDLAB于D,BE!AC于E,BE與CD相交于點(diǎn)O.(1) 求證AD=AE(2) 連接OABC,試判斷直線OABC的關(guān)系并說明理由.【答案】解：(1)證明：在厶ACD與厶ABE中，/A=ZA,ZADCMAEB=90,AB=AC/ACDAABE(AAS。/AD=AE(2)在RtADO與RtAEO中，TOA=OAAD=AE/ADOAEO(HL)/DAOMEA

23、O即OA是/BAC的平分線。又AB=AC/OALBC五、構(gòu)造相似三角形：通過構(gòu)造相似三角形，應(yīng)用相似三角形對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，達(dá)到求證（解）的目的。典型例題：例1.（2012湖北十堰3分）如圖，矩形ABCD中,AB=2,AD=4AC的垂直平分線EF交AD于點(diǎn)E、交BC于點(diǎn)F,則EF=.【答案】5。【分析】連接EC,ACEF相交于點(diǎn)O。/AC的垂直平分線EF,/.AE=EC四邊形ABCD是矩形，/D=MB=90°,AB=CD=2AD=BC=4AD/BC/AOECOF/AOOE。OCOF/OA=O,/OE=OF即EF=2OE在RtCED中，由勾股定理得：cE=cD+eD,即卩

24、cE=(4CE)2+22，解得：CE=5。2在RtABC中，AB=2,BC=4,由勾股定理得：AC=25，/CO=5。在RtCEO中，CO=5,CE-5，由勾股定理得：EO=5。/EF=2EO=5。22例2.（2012天津市10分）已知一個(gè)矩形紙片OACB將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（11,0）,點(diǎn)B（0,6）,點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)BC重合），經(jīng)過點(diǎn)OP折疊該紙片，得點(diǎn)B'和折痕OP設(shè)BP=t.（I）如圖，當(dāng)/BOP=30°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（n）如圖，經(jīng)過點(diǎn)P再次折疊紙片，使點(diǎn)C落在直線PB上，得點(diǎn)C'和折痕PQ若AQ=m試用含有t的式子表示m;

25、（川）在（n）的條件下，當(dāng)點(diǎn)C'恰好落在邊oa上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）.【答案】解：（I）根據(jù)題意，/OBP=90,OB=6在RtOBP中，由/BOP=30,BP=t，得0P=2t。oh=oB+Bp，即（2t）2=62+t2，解得:t1=2w3,t2=243（舍去）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（23,6）。"）OBP、AQCP分別是由厶OBRQCP折疊得到的,OBOBPQCQCP/OPB=ZOPB/QPC=ZQPC/OPB+ZOPB#QPC+ZQPC=180，/OPB#QPC=90。/BOP#OPB=90，/BOP#CPQ又#OBP#C=9C°,OBMAPCQOBBP

26、PCCQ由題意設(shè)BP=t,AQ=mBC=11,AC=6貝UPC=11-1,CQ=6-m.6t.1=211丄c。mtt6（0vtv11）o11t6m66（川）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（11用,6）或（11+山3,6）o33【分析】（川）首先過點(diǎn)P作PELOA于E,易證得PCEsCQA由勾股定理可求得C'Q的長(zhǎng)，然后利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與mt211t6，即可求得t的值:66/PCE+#EPC=90°o/PCE+#QCA=90°,/EPC=#QCAoPCEsC'QAPEPCoACCQ過點(diǎn)P作PE!OA于E,.#PEA#QAC=90°。/PC=PC=1t,PE

27、=OB=6AQ=mc'Q=CQ=m,二ACJCQ2AQ2J3612m。611t3612m66t11t6m'將m-t一t66點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1Sabc2BCAH27-Sadf27=129m611t662t6m3612mt八、一m211J1311+"36代入，并化簡(jiǎn)，得3t222t36=0。解得：t1,t23 31113,6）或（11+13,6）。3 32例3.（2012湖南岳陽3分）如圖，ABC中，AB=ACD是AB上的一點(diǎn)，且AD=_AB,DF/BCE為BD的中點(diǎn).若3EF丄ACBC=6則四邊形DBCF勺面積為.【答案】15。【分析】如圖，過D點(diǎn)作DGLAC,垂足為G,

28、過A點(diǎn)作AH丄BC,垂足為H,2AB=AC點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，且AD=AB,3設(shè)BE=DE=x貝UAD=AF=4x/DGLACEF±AC,AEDE5xx4-DG/EF,-=,即=,解得GF=x。AFGF4xGF5DFADDF4xDF/BCADFAABC-=,即一=一,解得DF=4=BCAB66x又TDF/BC/DFGMC,4RtDF&RtACHDF=GF?即4=x-5?解得x2:5=。ACHC6x32在RtABH中，由勾股定理，得AH=AB2BH236x232=3659=9。V2S四邊形dbcfSABCSADF271215。1例4.（2011山東淄博4分）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為3

29、,點(diǎn)M,N分別在CD,HE上,CMDMHN=2NE2HC與NM的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,貝Utan/NPH的值為.1 【答案】'。3【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)。1【分析】VCM=_DMHN=2NECM=1CD,22HN=HE=CD,2333PCCM1又PCIVhPHN，即PH=2CH=2CD。PHHN2/HN1tanZNPH=。PH3六、構(gòu)造特殊四邊形：通過構(gòu)造平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形等特殊四邊形，應(yīng)用它們邊、角、對(duì)角線、中位線的性質(zhì)，達(dá)到求證（解）的目的。典型例題：例1.（2012貴州遵義3分）如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將ABE沿BE折

30、疊后得到GBE延長(zhǎng)BG交CD于F點(diǎn)，若CF=1,FD=2則BC的長(zhǎng)為【】A.3.2B.26C.25D.23【答案】BoADan-BannBar圭【分析】過點(diǎn)E作EMLBC于M交BF于M四邊形ABCD是矩形，/A=ZABC=90,AD=BC/EMB=90，四邊形ABME1矩形。AE=BM由折疊的性質(zhì)得：AE=GEZEGNMA=90°,EG=BM/ENGZBNMIAENGBNM(AAS。-NG=NOIVE是AD的中點(diǎn)|CM=DEAE=ED=BM=CM1 11/EM/CD-BNNF=BMCMBN=NFNM=CF=oNG。2 221 5/BG=AB=CD=CF+DF=3BN=BGNG=3-二

31、。二BF=2BN=52 2-BCBF2CF2521226。故選B。例2.（2012四川德陽3分）如圖，點(diǎn)D是厶ABC的邊AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)F是邊BC上的一個(gè)動(dòng)1點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合）以BD、BF為鄰邊作平行四邊形BDEF又APBE（點(diǎn)P、E在直線AB的同側(cè)），如果BD-AB,4那么PBC的面積與厶ABC面積之比為【】A.14B.35C.1D5【答案】Do【分析】過點(diǎn)P作PH/BC交AB于H,連接CHPF,PE=/APBE四邊形APEB是平行四邊形。PEAB,四邊形BDEF是平行四邊形，EFBDEF/ABP,E,F共線。51設(shè)BD=a,TBDABPE=AB=4a。：PF=PEEF=3a。4/PH

32、/BCSHBCFSPBCo/PF/AB四邊形BFPH是平行四邊形。BH=PF=3a'Shbc：Sabc=BH:AB=3a：4a=3:4,.Spbc：Saabc=3:4。故選D。例3.（2012安徽省5分）如圖，P是矩形ABCD內(nèi)的任意一點(diǎn)，連接PAPBPCPD,得到PABPBCPCDPDA設(shè)它們的面積分別是S、S2、S3、S4,給出如下結(jié)論：S計(jì)Sa=S3+SS2+S4=S計(jì)S3若S=2S1,貝yS4=2S2若S1=S2,則P點(diǎn)在矩形的對(duì)角線上其中正確的結(jié)論的序號(hào)是（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上）【答案】?！痉治觥咳鐖D，過點(diǎn)P分別作四個(gè)三角形的高，APD以AD為底邊，PBC以BC為

33、底邊，1此時(shí)兩三角形的高的和為ABS計(jì)S3=S矩形ABcg21同理可得出S+S=S矩形ABCO2S2+S4=Si+S3正確，則Si+S=S3+S錯(cuò)誤。若S3=2Si,只能得出厶APD與厶PBC高度之比，S不一定等于2S;故結(jié)論錯(cuò)誤。11如圖，若S=S2，貝yXPFXAD=XPEXAB2 2APD與厶PBA高度之比為：PF:PE=AB:AD。/DAEMPEAKPFA=90，四邊形AEPF是矩形，矩形AEPF矩形ABCD連接AG.PF:CD=PE:BC=APAC,即PF:CD=AF:AD=APACAPFAACDPAF=/CAD點(diǎn)A、P、C共線°.P點(diǎn)在矩形的對(duì)角線上。故結(jié)論正確。綜上所述

34、，結(jié)論和正確。例4.（2012廣西貴港8分）如圖，在口ABCD中，延長(zhǎng)CD到E,使DE=CD連接BE交AD于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)G（1）求證：AF=DF;（2）若BC=2AB,DE=1,MABC=60°，求FG的長(zhǎng)?！敬鸢浮拷猓海?）證明：如圖1,連接BDAE,四邊形ABCD是平行四邊形，AB/CDAB=CD/DE=CdAB/DEAB=DE=.四邊形ABDE是平行四邊形。AF=DF。（2）如圖2,在BC上截取BN=AB=1,連接AN,/ABC=60°,.仏ANB是等邊三角形。AN1=BN/ANB=ZBANk60°。/BC=2AB=2,.CN=1=AN。/ACNkZCA

35、N=-X60°=30°。2/BAC=90°。由勾股定理得：AC=J212=寸3。四邊形ABCD是平行四邊形，AB/CDBGABAGCGAGECGEGe=CE=AGAG，解得心33。在厶BGA中，由勾股定理得:BG=BG1'GE=2，GE=433,BE=平+羊=2寸3。四邊形ABDE是平行四邊形，BF=推=勺3ofg=3竽=¥。例5.(2012江蘇常州7分)如圖，在四邊形ABCD中,AD/BC,對(duì)角線AC的中點(diǎn)為O,過點(diǎn)O作AC的垂直平分線分別與ADBC相交于點(diǎn)E、F,連接AF。求證：AE=AF【答案】證明：連接CE/AD/BCAEONCFO/EA

36、OMFCQ。又AO=COAEOACFO(AAS。 AE=CF四邊形AECF是平行四邊形。又EF±AC平行四邊形AECF是菱形。 AE=AF【考點(diǎn)】菱形的判定和性質(zhì)，平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)。例6.(2012海南省11分)如圖(1),在矩形ABCD中，把/B/D分別翻折，使點(diǎn)B、D分別落在對(duì)角線BC上的點(diǎn)E、F處，折痕分別為CMAN.(1) 求證：ANDACBM.(2) 請(qǐng)連接MFNE證明四邊形MFNE!平行四邊形，四邊形MFNE!菱形嗎請(qǐng)說明理由(3) P、Q是矩形的邊CDAB上的兩點(diǎn)，連結(jié)PQCQMN如圖(2)所示，若PQ=CQPQ/MN且AB=4,BC=3求PC的長(zhǎng)度.

37、【答案】(1)證明：四邊形ABCD是矩形，/D=/B,AD=BCAD/BG:丄DACMBCA又由翻折的性質(zhì)，得/DANMNAF/ECMNBCM：/DANMBCMANDACBM(ASA)。(2)證明：ANDACBM：DN=BM又由翻折的性質(zhì)，得DN=FNBM=EMFN=EM又/NFA2ACDFZCNFMBAOZEMAMMEC FN/EM四邊形MFNE是平行四邊形。四邊形MFNE不是菱形，理由如下：由翻折的性質(zhì)，得/CEMMB=90°,在厶EMF中，MFEM>ZEFM FM>EM四邊形MFNE不是菱形。(3)解：TAB=4BC=3AC=5設(shè)DN=x則由Saad(=Sand+S

38、anac得333 x+5x=12，解得x=，即DN=BM=。22過點(diǎn)N作NHLAB于H,貝UHM=4-3=1。在厶N(yùn)HM中，NH=3HM=1由勾股定理，得NM=1°。/PQ/MNDC/AB四邊形NMQ是平行四邊形。NP=MQPQ=NM=1°。又PQ=CQCQ=1°。在CBQ中，CQ=1°,CB=3由勾股定理，得BQ=11 31 NP=MQ=oPC=4-=2。2 22【考點(diǎn)】翻折問題，翻折的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì),菱形的判定，勾股定理。七、構(gòu)造圓的特殊圖形：通過構(gòu)造圓的特殊圖形，應(yīng)用圓周角定理、垂徑定理

39、、切線與過切點(diǎn)的半(直)徑的關(guān)系、兩圓相切公切線的性質(zhì)、兩圓相交公共弦的性質(zhì)等，達(dá)到求證(解)的目的。典型例題:例3.(2012山東日照4分)如圖，過AC、D三點(diǎn)的圓的圓心為E,過BF、E三點(diǎn)的圓的圓心為D,如果MA=63°，那么70=.【答案】180o【分析】如圖，連接CEDE過A、C、D三點(diǎn)的圓的圓心為E,過B、F、E三點(diǎn)的圓的圓心為D,AE=CE=DE=DBZA=ZACE/ECDMCDE/DEBMDBE"。/A=63°,aZAEC=18O02X63°=54°。又/ECDMCDE=Z/AECMECDF/DBE=0,l卩3/0=54°

40、;。例4.（2012湖北鄂州3分）如下圖OA=OB=O且/ACB=30，則/AOB的大小是【答案】Co【考點(diǎn)】圓周角定理?！痉治觥縊A=OB=OU.AB、C在以O(shè)為圓心OA為半徑的圓上。作OQ/ACB和/AOB是同弧AB所對(duì)的圓周角和圓心角，且/ACB=30°,根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半的性質(zhì)，得/AOB=60。故選Co例5.（2012天津市3分）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,以頂點(diǎn)AB為圓心,頂點(diǎn)CD為圓心，1為半徑的兩弧交于點(diǎn)F,貝UEF的長(zhǎng)為.【答案】31o【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。【分析】連接AE,BEDF,CFo以頂點(diǎn)AB為圓心，

41、1為半徑的兩弧交于點(diǎn)E,AB=1, AB=AE=BEAEB是等邊三角形。邊AB上的高線為：3o2同理：CD邊上的高線為：一3o2延長(zhǎng)EF交AB于N,并反向延長(zhǎng)EF交DC于M則E、F、MN共線。/AE=BE.點(diǎn)E在AB的垂直平分線上。同理：點(diǎn)F在DC的垂直平分線上。四邊形ABCD是正方形，AB/DCMNLABMNLDC由正方形的對(duì)稱性質(zhì)，知EM=FN3 EF+2EM=AD=1EF+EM=，解得EF=31o2/0=18°。1為半徑的兩弧交于點(diǎn)E,以/NMB的度數(shù)是例6.（2012廣西玉林、防城港3分）如圖，矩形OABC內(nèi)接于扇形MON當(dāng)CN=CO寸，【答案】30°?！痉治觥窟B接

42、0B/CN=COOB=ON=2OC四邊形OABC是矩形，二/BCO=90。OC11/X二cosBOC-oAZBOC=60°。二/NMB=ZBOC=30。OB22八、基本輔助線：基本輔助線包括連接兩點(diǎn)的線段、平行線、垂直線、角平分線等，如連接直角三角形直角頂點(diǎn)與斜邊的中點(diǎn)構(gòu)成斜邊上的中線；過三角形一邊的中點(diǎn)作另一邊的平行線構(gòu)成三角形的中位線；過三角形一頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂直線構(gòu)成直角三角形；連接圓上一點(diǎn)和直徑的兩端點(diǎn)構(gòu)成直角三角形；等等。典型例題：例2.（2012廣東佛山6分）如圖，已知AB=DCDB=AC（1）求證：/ABDMDCA注：證明過程要求給出每一步結(jié)論成立的依據(jù).（2）在（1）的

43、證明過程中，需要作輔助線，它的意圖是什么【答案】證明：（1）連接AD,在厶BAD和厶CDA中，AB=CD（已知），DB=AC（已知），AD=AD（公共邊），BADACDA（SSS。/ABDMDCA（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）。（2）作輔助線的意圖是構(gòu)造全等的三角形即兩個(gè)三角形的公共邊。【考點(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)。例3.（2012貴州貴陽3分）如圖，在RtABC中，/ACB=90,AB的垂直平分線DE交于BC的延長(zhǎng)線于F,若/F=30°,DE=1,則EF的長(zhǎng)是【】A.3B.2C.3D.1【答案】B?！痉治觥窟B接AF,vDF是AB的垂直平分線，AF=BF/FD!ABAFD2BFD=30，

44、/B=ZFAB=90-30°=60°。/ACB=90，/BAC=30，/FAC=60-30°=30°。/DE=1AE=2DE=2v/FAE=/AFD=30,EF=AE=2故選B。1例5.（2012四川宜賓3分）如圖，在四邊形ABCD中,DC/ABCB丄ABAB=ADCDAB,點(diǎn)E、F分別為AB.AD2的中點(diǎn)，則AEF與多邊形BCDFE的面積之比為【】A.11【答案】Co【分析】如圖，連接BD過點(diǎn)F作FG/AB交BD于點(diǎn)G,連接EG,CG1DC/ABCBLABAB=ADCD=AB,點(diǎn)EF分別為AB.AD的中點(diǎn)，2根據(jù)三角形中位線定理，得AE=BE=AF=D

45、F=DC=FG圖中的六個(gè)三角形面積相等。1AEF與多邊形BCDFE的面積之比為。故選Co5例6.(2012天津市3分)若一個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)為24,則該正六邊形的面積為.【答案】243o【分析】根據(jù)題意畫出圖形，如圖，連接OBOC過O作OMLBC于M1/BOC=X360°=60°6/OB=OCOBC是等邊三角形。./OBC=60o 正六邊形ABCDE的周長(zhǎng)為24,二BC=2令6=4。 OB=BC=,4BM=OBsin/OBC=4-3=23。2二Sabcdef6SOBC61BCOM6-42j323。22例7.(2012福建廈門10分)已知ABCD對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)P

46、在邊AD上,過點(diǎn)P分別作PE!ACPF丄BD垂足分別為E、F,PE=PF.(1) 如圖，若PE=3,EO=1，求/EPF的度數(shù)；(2) 若點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DO的中點(diǎn)，BF=BC+324，求BC的長(zhǎng).【答案】解：(1)連接PO,/PE=PF,PO=POPE!ACPF!BD RtPEORtPFO(HL)o/EPO=ZFPO亠亠.EO3在RtPEO中，tan/EPO=一PE3 /EPO=30°oA/EPF=60°o(2)v點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，AP=DP又PE=PF,.RtPEARtPFD(HL)。/OAD=ZODA：OA=OD AC=2OA=2OD=BDABCD是矩形。點(diǎn)P

47、是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DO的中點(diǎn)，AO/PFo/PF丄BDAC丄BDABCD是菱形。二ABCD是正方形。BD=2BG/BF=4bdB葉3羽-4=342BC,解得，BC=4。例8.（2012河北省2分）如圖，CD是OO的直徑，AB是弦（不是直徑），AB丄CD于點(diǎn)E,則下列結(jié)論正確的是【】A.AE>BEB.ADBCC/D/AECD.AD0ACBE2【答案】Do【考點(diǎn)】垂徑定理，圓周角定理，三角形外角性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)。【分析】TCD是OO的直徑，AB是弦（不是直徑），AB1CD于點(diǎn)E,根據(jù)垂徑定理，得AE=BE故選項(xiàng)A錯(cuò)誤。如圖，連接AC,貝U根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等的性質(zhì)，得/D=

48、ZB,BC=AC根據(jù)垂徑定理，只有在AB是直徑時(shí)才有AC=AD而AB不是直徑，ADAGAdAc。 AdBco故選項(xiàng)B錯(cuò)誤。如圖，連接AO貝U根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角是圓心角一半的性質(zhì)，得/D='/AOC21/AEC是厶AOE的外角，/AEOZAOC./D<-ZAEC故選項(xiàng)C錯(cuò)誤。2根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等的性質(zhì)，得ZD=ZB,ZDAEZBCE AD0ACBE故選項(xiàng)D正確。例9.（2012寧夏區(qū)6分）在OO中，直徑AB丄CD于點(diǎn)E,連接CO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F,且CF丄AD.求ZD的度數(shù).【答案】解：連接BDo/ABOO是直徑，BD丄AD又TCF丄ADBD/CFOBDCZC11又tZBD

49、C）/BOCC=/BOC/AB丄CDC=30°o/ADC=60°。22九、截取和延長(zhǎng)變換:在一個(gè)平面幾何圖形內(nèi)，延長(zhǎng)或截取某一條線段，使條件和問題相對(duì)集中,達(dá)到化隱為現(xiàn)的目的，常常使線段所在的三角形與平面內(nèi)某一三角形成為全等三角形。證明兩條線段的和差，80%勺情況都要用截長(zhǎng)補(bǔ)短法。典型例題：例1.（2012江蘇南京2分）如圖，菱形紙片ABCD中,ZA=60°,將紙片折疊，點(diǎn)A、D分別落在A'、D'處，且AD'經(jīng)過B,EF為折痕，當(dāng)D'FCFCD時(shí)，C的值為【FD】A巧1、3B7C朋1D.312668【答案】Ao【分析】延長(zhǎng)DC與AD

50、',交于點(diǎn)M在菱形紙片ABCD中，/A=60,/DCBMA=60°,AB/CD/D=180-/A=120。根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得/ADF=ZD=120,/FDM=180-/AD'F=60°o/D'F±CDDFM=90，/M=90-/FD'M=30o/BCM=180-/BCD=120，/CBM=180-/BCM/M=30。二/CBMWMO BC=CM設(shè)CF=x,D'F=DF=y貝UBC=CM=CD=CF+DF=x+y-FM=CM+CF=2x+y在RtD'FM中，tan/M=tan30°=一,-x3-1y。竺-3

51、-1。故選AFM2xy32FDy2例2.(2012黑龍江牡丹江3分)如圖，菱形ABCD中,AB=AC點(diǎn)E、F分別為邊ABBC上的點(diǎn)，且AE=BF,連接CEAF交于點(diǎn)H,連接DH交AG于點(diǎn)O.則下列結(jié)論ABFACAE/AHC=120°,AH+CH=DHAD2=ODDH中，正確的是【】.A.B.C.D.【答案】Do【分析】菱形ABCD中,AB=ACABC是等邊三角形B=ZEAC=60°o又AE=BFABFACAE(SAS。結(jié)論正確。/ABFACAEBAF=/ACE/AHC=18°(/ACEFZCAF=180°(/BAH/CAF=18°°-

52、ZBAC=18C°-60°=120°。結(jié)論正確。如圖，在HD上截取HG=AH菱形ABCD中,AB=ACADC是等邊三角形。/ACD/ADC/CAD=60°o又/AHC=12(S,/AHCF/ADC=120°+60°=180°。 A,H,C,D四點(diǎn)共圓。二/AHD/ACD=6°°。.厶AHG是等邊三角形。 AH=AG/GAH=60°o/CAH=6°/CAG/DAGADHDODAD又AC=AD.ACAHADAG(SAS。二CH=DG/AH+CH=HG+DG=DH吉論正確。/AHD=ZOAD=60°,ZADHMOD/AAADHhAODA：AD2=ODDH結(jié)論正確。綜上所述，正確的是。故選Do例3.(2012湖北天門、仙桃、潛江、江漢油田3分)如圖，ABC為等邊三角形，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在BC邊上，且ED=EC若厶ABC的邊長(zhǎng)為4,AE=2,貝UBD的長(zhǎng)為【】A.2B.3C.3D.3+1【答案】Ao【分析】延長(zhǎng)BC至F點(diǎn)，使得CF=BD/ED=EC：ZEDBMECFEBDAEFC(SAS。B=ZF。/ABC是等邊三角形，/B=MA