1、返回返回返回一、一、 曲曲 面面 定義定義 空間點集空間點集 S = (x, y, z)| F(x, y, z) = 0稱為由方程稱為由方程 F(x, y, z) = 0 所確定的曲面所確定的曲面.(1) S 上的點都滿足上的點都滿足 F(x, y, z) = 0；(2) 滿足滿足 F(x, y, z) = 0 的點都在的點都在 S 上上.返回解解設(shè)設(shè)),(zyxM是球面上任一點，是球面上任一點，RMM |0根據(jù)題意有根據(jù)題意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程為所求方程為特殊地：球心在原點時方程為特殊地：球心在原點時方程為2222Rzyx 返回zxyo例例

2、2 2 方程方程 的圖形是怎樣的？的圖形是怎樣的？1)2()1(22 yxz根據(jù)題意有根據(jù)題意有1 z用用平平面面cz 去去截截圖圖形形得得圓圓：)1(1)2()1(22 ccyx 當(dāng)當(dāng)平平面面cz 上上下下移移動動時時，得得到到一一系系列列圓圓圓心在圓心在), 2 , 1(c，半徑為，半徑為c 1半徑隨半徑隨c的增大而增大的增大而增大.圖形上不封頂，下封底圖形上不封頂，下封底解解c返回由以上二例可見，研究曲面有由以上二例可見，研究曲面有兩個基本問題兩個基本問題：(1) 已知曲面作為滿足某些條件的點集，求曲面已知曲面作為滿足某些條件的點集，求曲面方程；方程；(2) 已知曲面方程，研究曲面形狀已

3、知曲面方程，研究曲面形狀.返回1. 1. 柱柱 面面 定義定義 與定曲線與定曲線C 相交，與某一定直線平行的相交，與某一定直線平行的動直線動直線L 所形成的曲面稱為所形成的曲面稱為柱面柱面.曲線曲線C 稱為稱為準(zhǔn)線準(zhǔn)線L 稱為稱為母線母線play返回例例3 )0, 0(12222 babyax準(zhǔn)線準(zhǔn)線C 是是 xOy 平面上的橢圓平面上的橢圓.母線母線l 與與z 軸平行軸平行.1| ),(2222 byaxzyxSS : 橢圓柱面橢圓柱面a = b : 圓柱面圓柱面zxyolc返回例例4 y 2 = 2x S = (x, y, z) | y 2 = 2x 準(zhǔn)線準(zhǔn)線: xOy 平面上的拋物線平面

4、上的拋物線 y 2 = 2x.母線母線: 與與z 軸平行軸平行. S ：拋物柱面拋物柱面xozyxy22 返回例例5 )0, 0(12222 babyax母線母線: 與與z 軸平行軸平行. S ：雙曲柱面雙曲柱面1| ),(2222 byaxzyxS準(zhǔn)線準(zhǔn)線: xOy 平面上的雙曲線平面上的雙曲線12222 byaxOyxz返回2. 柱面方程的特征：柱面方程的特征：(1) F(x, y) = 0：準(zhǔn)線是：準(zhǔn)線是xOy 平面上的曲線平面上的曲線F(x, y) = 0, 母線與母線與z 軸平行；軸平行；(2) G(x, z) = 0：準(zhǔn)線是：準(zhǔn)線是xOz 平面上的曲線平面上的曲線G(x, z) =

5、 0, 母線與母線與y 軸平行；軸平行；(3) H(y, z) = 0：準(zhǔn)線是：準(zhǔn)線是yOz 平面上的曲線平面上的曲線H(y, z) = 0, 母線與母線與x 軸平行；軸平行；返回例例6 y = x 在在 xy 平面上平面上, y = x 是一條直線是一條直線. 在空間直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系 O - xyz 中，中，y = x 是一張平面是一張平面. 它也可它也可以看成是以以看成是以xy 平面上的直線平面上的直線 y = x 為準(zhǔn)線，母線平行于為準(zhǔn)線，母線平行于z 軸軸的柱面的柱面.xozyxy 返回二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面 定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞該平面上的曲線繞該平面上的一

6、條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸play返回例例7 求求yO z 平面上的曲線平面上的曲線 f (y, z) = 0 繞繞z 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周所得空間曲面的方程一周所得空間曲面的方程.解解設(shè)設(shè)M1(0, y1, z1)是曲線是曲線 f (y, z) = 0上的一個上的一個點，點， M(x, y, z) 是是M1在旋轉(zhuǎn)過程中所產(chǎn)生在旋轉(zhuǎn)過程中所產(chǎn)生的任一點，則有的任一點，則有(1) z = z1(2) 點點M 到到z 軸的距離軸的距離|122yyxd xozy0),( zyf), 0(111zyM d

7、 M返回將將 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyf , 0,22 zyxf得方程得方程 . 0,22 zxyf返回例例8 方程方程 z = x2 + y2 表示什么曲面？表示什么曲面？解解22222)(yxyxz 即，曲面即，曲面 z = x2 + y2 可以看作是：可以看作是： xOz 平面上的拋物線平面上的拋物線這個也可看作是：這個也可看作是： yOz 平面上的拋物線平面上的拋物線z = y2 繞繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的軸旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的.xozy繞繞z 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面.02yxz返回例例9 9 將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求將下列

8、各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程（1）雙雙曲曲線線12222 czax 繞繞 z軸軸； 122222 czayx旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)雙曲面返回繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)122222 czxay122222 czayx旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面返回一般地，一般地，0),()1(22 zyxfxL方方程程為為軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面繞繞曲曲線線0),()2(22 yzxfyL方方程程為為軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面繞繞曲曲線線 00),(:zyxfL設(shè)有平面曲線設(shè)有平面曲線.00),(:軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所成成的的曲曲面面方方程程軸軸或或繞

9、繞同同樣樣可可討討論論平平面面曲曲線線zxyzxfL 返回xozy解解 cotyz ), 0(111zyM ),(zyxM圓錐面方程圓錐面方程 cot22yxzoxzy 返回. 1cot,422222yxzyxz 或或圓錐面方程為圓錐面方程為則則如果半頂角如果半頂角注意區(qū)別：注意區(qū)別：圓錐面圓錐面,)1(22yxz (2) z = x2 + y2 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面返回三、三、 空間曲線空間曲線1. 1. 一般方程一般方程 0),(0),(zyxGzyxF空間曲線空間曲線C 可看作空間兩曲面的交線可看作空間兩曲面的交線.上式稱為空間曲線的上式稱為空間曲線的一般方程一般方程.xozy1S2SC

10、返回例例1212 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 6332122zyxyx解解122 yx表示圓柱面，表示圓柱面，6332 zyx表示平面，表示平面， 6332122zyxyx交線為橢圓交線為橢圓.返回例例1313 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面上半球面,4)2(222ayax 圓柱面圓柱面,交線如圖交線如圖.返回 )()()(tzztyytxx 當(dāng)當(dāng) 給給 定定1tt 時時 ， 就就得得 到到曲曲 線線上上 的的 一一個個點點),(111zyx，當(dāng)當(dāng) t 取取遍遍允允許許取取的的全全部部值值時時

11、，就就得得到到曲曲線線上上的的所所有有點點. 稱為空間曲線的稱為空間曲線的參數(shù)方程參數(shù)方程.2. 2. 參數(shù)方程參數(shù)方程返回A MM tax cos tay sin vtz t 螺旋線的參數(shù)方程螺旋線的參數(shù)方程解解xyzo返回螺旋線的重要螺旋線的重要性質(zhì)性質(zhì)：上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比上升的高度上升的高度 bh2螺距螺距 2, bzayaxsincos),( vbt 返回3. 3. 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影空間曲線在坐標(biāo)面上的投影C: 空間曲線空間曲線以以C為準(zhǔn)線，母線與為準(zhǔn)線，母線與z 軸平行的軸平行的曲面曲面S，交，交xoy平面于平面于C ，稱為，稱為C在在x

12、Oy 平面上的平面上的投影投影.OzyxCCS曲面曲面S稱為稱為投影柱面投影柱面.返回）（*0),(0),( zyxGzyxF確定確定C 在在xOy 平面上的投影的一般過程為：平面上的投影的一般過程為：設(shè)空間曲線的一般方程：設(shè)空間曲線的一般方程：(1) 在在(*)式中消去式中消去z，得投影柱面方程得投影柱面方程0),( yxH 002zyxHC),(: )(就是就是C 在在xOy 平面上的投影方程平面上的投影方程.返回例例1515 求曲線求曲線 在坐標(biāo)面上的投影在坐標(biāo)面上的投影. 211222zzyx解解（1）消去變量）消去變量z后得后得,4322 yx在在 面上的投影為面上的投影為xOy,04322 zyx返回所以在所以在 面上的投影為線段面上的投影為線段.xOz;23|,021 xyz（3）同理在）同理在 面上的投影也為線段面上的投影也為線段.yOz.23|,021 yxz（2）因為曲線在平面）因為曲線在平面 上，上，21 z返回截線方程為截線方程為 0222zyxxzy解解如圖如圖,返回（2）消去）消去y得投影得投影,0042522 yxxzzx（3）消消去去x得得投投影影.00222 xzyzy（1）消消去去z得得投投影影,004522 zxxyyx返回1. 1. 柱柱 面面 定