1、練習(xí)題7-1兩個點電荷所帶電荷之和為Q,它們各帶電荷為多少時，相互間的作用力最大?解：這是一個條件極值問題。設(shè)其中一個點電荷帶電q，則另一個點電荷帶電Qq，兩點電荷之間的庫侖力為F14Qqq20r由極值條件dFdq0，得q2又因為d2F1dq222<00這表明兩電荷平分電荷Q時，它們之間的相互作用力最大7-2兩個相同的小球，質(zhì)量都是m帶等值同號的電荷q,各用長為I的細(xì)線掛在同一點，如圖7-43所示。設(shè)平衡時兩線間夾角2很小。(1)試證平衡時有下列的近似等式成立:q2|32°mg式中x為兩球平衡時的距離。(2) 如果1=m，m=10g，x=cm，則每個小球上的電荷量q是多少？(3

2、) 如果每個球以1.0109CS-1的變化率失去電圖7-43練習(xí)題7-2圖荷，求兩球彼此趨近的瞬時相對速率dx/dt是多少？解：(1)帶電小球受力分析如圖解所示。小球平衡時，有TsinFTcosmg由此二式可得tanFmg因為很小，可有tanx2l，再考慮到可解得(2)由上式解出(3)由于dxdt帶入數(shù)據(jù)解得合力的大小為Fx令dFdx0,2q4°x2q2l2°mg3°mgxl2.38108Comg23q13dq2xdqdt3qdt1.40103ms-12F1cos2-41404x232e2x32d2即有8e214x2d232由此解得粒子受力最大的位置為dx2、27

3、-4由相距較近的等量異號電荷組成的體系稱電偶極子，生物細(xì)胞膜及2e2x28x24x2d252*P圖7-45練習(xí)題7-4用圖土壤顆粒表面的雙電層可視為許多電偶極子的集合。因此，電偶極子是一個十分重要的物理模型。圖7-45所示的電荷體系稱電四極子，它由兩個電偶極子組合而成，其中的q和I均為已知，對圖7-44中的P點(0P平行于正方形的一邊)，證明當(dāng)x?I時匚3plEp其中，p=ql稱電偶極矩。解：電四極子可看成兩個電偶極子的組合點產(chǎn)生的場強(qiáng)分別為E左和E右，由教材例題設(shè)左邊和右邊兩個電偶極子在P7-3可知方向向下方向向上其中，p=ql。P點處的合場強(qiáng)為2|3p3x2|2當(dāng)4oX2丄23X2由于上式

4、可簡化為3pl40X方向向上證畢。7-5如圖7-46所示，長為l的細(xì)直線0A帶電線密度為，求下面兩種情況下在線的延長線上距線的端點0點為b的P點的電場強(qiáng)度：(1)為常量，且>0;(2)=kx，k為大于零的常量，(0<X<1)。OA圖7-46練習(xí)題7-5用圖dx解：(1)將帶電直線分割成無數(shù)個長度元dx,dX的坐標(biāo)是x。它所帶的電荷元dq=dx，dq在P點產(chǎn)生的電場強(qiáng)度的大小為dE0因為所有電荷元產(chǎn)生的場強(qiáng)方向都相同，所以場強(qiáng)的矢量疊加可用代數(shù)方法相加。于是帶電直線在P點產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為E'104odx111xb24obb14obb1方向沿x軸的負(fù)方向。(2)同樣取電荷

5、微元dq=dx=kxdxdEkxdx同理11kxdx04oxb方向沿x軸的負(fù)方向7-6一個半徑為R的半圓細(xì)環(huán)上均勻地分布電荷Q求環(huán)心處的電場強(qiáng)度。解：分析在求環(huán)心處的電場強(qiáng)度時，不能將帶電半圓環(huán)視作點電荷?，F(xiàn)將其抽象為帶電半圓弧線在弧線上取線元dl，其電荷dqdl，此電荷元可視為R點電荷，它在o點的電場強(qiáng)度為dE_dsrd4oR20因圓環(huán)上電荷對y軸呈對稱性分布，電場分布也是軸對稱的，則有ExLdEx0習(xí)題7-6用圖點0的合電場強(qiáng)度為EEyL-dEyl-dEsin冀sinR2其中，負(fù)號表示場強(qiáng)方向與y方向相反。將dq曙d|，dlRd，帶入上式，積分得QoR222sin42oR2負(fù)號表示場強(qiáng)方向

6、與y方向相反7-7一個半徑為R的帶電圓盤，電荷面密度為，求：（1）圓盤軸線上距盤心為x處的任一點P的電場強(qiáng)度；（2）當(dāng)RX時，P點的電場強(qiáng)度為多少？（3）當(dāng)x?R時，P點的電場強(qiáng)度又為多少？練習(xí)題7-7用圖解：（1）在半徑為R的帶電圓盤上取內(nèi)半徑為r、外半徑為葉dr的細(xì)圓環(huán),如圖所示。利用教材中例題7-5的結(jié)果可知，該細(xì)圓環(huán)上的電荷在P點產(chǎn)生的場強(qiáng)為dExdSx2rdr于是，整個圓盤上的電荷在ox2r232ox2P點產(chǎn)生的場強(qiáng)為xrdr（1）當(dāng)R2ox2r232時，R?x。此時，上式可化為212R2即此時可將帶電圓盤看作無限大帶電平面P點電場強(qiáng)度為（3）當(dāng)x?R時，可將帶電圓盤看作點電荷，此時

7、4R2q4oX24°x27-8圖7-47為兩個分別帶有電荷的同心球殼系統(tǒng)。設(shè)半徑為R和R2的球殼上分別帶有電荷Q1和Q2，求：（1）I、II、山三個區(qū)域中的場強(qiáng)；圖7-47練習(xí)題7-8用圖（2）若Q1=Q2，各區(qū)域的電場強(qiáng)度又為多少？畫出此時的電場強(qiáng)度分布曲線（即Er關(guān)系曲線）。解：(1)在區(qū)域I，做半徑為r<Ri的球形高斯面。因為高斯面內(nèi)無電荷,根據(jù)高斯定理E14r20可得區(qū)域I中的電場強(qiáng)度為E=0在區(qū)域II，以RirR2為半徑做球形高斯面。因為此高斯面內(nèi)的電荷為Q，由高斯定理得dS=E24r2Q10由此可解得區(qū)域II的電場強(qiáng)度為E2Q120在區(qū)域III,做半徑r>R的

8、球形高斯面。由于該高斯面內(nèi)的電荷為由高斯定理可得Q+Q,sE3dS1qi0iE34rQ20=Q1=4Q22or(2)當(dāng)Q1=Q2時，根據(jù)以上結(jié)果易知區(qū)域I的場強(qiáng)為E=0區(qū)域II的場強(qiáng)為E2Qi4or2區(qū)域III的場強(qiáng)為E3=0根據(jù)上述結(jié)果可畫出如圖所示Er關(guān)系曲線7-12水分子的電偶極矩為6.1310-30Cm，如果這個電偶極矩是由一對點電荷土e引起的（e為電子電量），那么，它們的距離是多少？如果電偶極矩的取向與強(qiáng)度為106NC-1的電場方向一致，要使這個電偶極矩倒轉(zhuǎn)成與電場相反的方向需要多少能量（用eV表示）？解：（1）由電偶極矩的定義PeqllR6.13103011丁3.831011(m)

9、q1.61019（2）若使電偶極矩倒轉(zhuǎn)需要能量為A,則AqElqEl2eEI21.610191063.8310111.610197.66105(eV)7-13計算練習(xí)題7-8中I、U、川區(qū)域中的電勢。解：（1）根據(jù)題7-8所得I、U、川區(qū)域中的電場分布,U,E,0;可得區(qū)域Qi4or2I的電勢為E2;E3ErRiEidrrdrR2RiE2drR2E3drR2Qi冃4由此解得2drorQiQ2&2dr4or2UiRi區(qū)域u的電勢分布為U2E?drrR2E2drR2Esdr區(qū)域川的電勢分布為U3E?drE3drQ,Q2or(2)若QiQ2，貝U區(qū)域I的電勢為UiEdrrRiEidrrR2R

10、E2drR2EsdrR2QiR4or2drQi2Ri1R2區(qū)域u的電勢為U2E?drr»E2dr4orR2區(qū)域川的電勢為U3E?drrE3dror。試求7-i4“無限長”均勻帶電圓柱面，半徑為R,單位長度上帶電量為+其電勢分布。(提示：選取距帶電圓柱面軸線為R的Po點為電勢零點)解：由于電荷分布具有軸對稱性，所以應(yīng)用高斯定理很容易求出電場強(qiáng)度分布為E=E2or電場強(qiáng)度方向垂直于帶電圓柱面沿徑向。選某一距帶電直線為R的P0點為電勢零點，如本題解圖所示。當(dāng)rvR時pEdrpoREdr0r這個結(jié)果可以一般地表示為PoRREdrEdrdrPrr2orTnr0InRRIn2or7-16同軸電纜是由兩個很長且彼此絕緣的同軸金屬圓柱體構(gòu)成，如圖7圖7-49練習(xí)題7-16用圖49所示。設(shè)內(nèi)圓柱體的電勢為Ui，半徑為尺