1、信號與系統(tǒng)總復習考試題型及大綱A卷，六大題卷，六大題判斷信號的周期性；判斷信號的周期性；(10分分)信號的時間變換；信號的時間變換；(10分分)求解連續(xù)時間信號的輸出求解連續(xù)時間信號的輸出(響應響應)； (20分分)用兩種方法求解斐波拉契數(shù)列的通項；用兩種方法求解斐波拉契數(shù)列的通項； (20分分)用傅里葉變換法求解連續(xù)時間系統(tǒng)的響應；用傅里葉變換法求解連續(xù)時間系統(tǒng)的響應； (20分分)1.用拉氏變換法求解連續(xù)時間系統(tǒng)的響應；用拉氏變換法求解連續(xù)時間系統(tǒng)的響應； (20分分)周期信號和非周期信號周期信號和非周期信號 定義在定義在(- -，)區(qū)間，每隔一定時間區(qū)間，每隔一定時間T (或或整數(shù)整數(shù)N

2、），），按相同規(guī)律重復變化的信號。按相同規(guī)律重復變化的信號。連續(xù)周期信號連續(xù)周期信號f(t)滿足滿足 f(t) = f(t + mT)，m = 0, 1, 2, 離散周期信號離散周期信號f(k)滿足滿足 f(k) = f(k + mN)，m = 0, 1, 2, 滿足上述關(guān)系的最小滿足上述關(guān)系的最小T T( (或整數(shù)或整數(shù)N N) )稱為該信號的稱為該信號的周期周期。不具有周期性的信號稱為不具有周期性的信號稱為非周期信號非周期信號。連續(xù)周期信號舉例例例 判斷下列信號是否為周期信號，若是，確定其周期。判斷下列信號是否為周期信號，若是，確定其周期。（1 1）f1(t) = sin2t + cos3

3、t （2）f2(t) = cos2t + sint分析分析 兩個周期信號兩個周期信號x(t)，y(t)的周期分別為的周期分別為T1和和T2，若其周，若其周期之比期之比T1/T2為有理數(shù)，則其和信號為有理數(shù)，則其和信號x(t) + y(t)仍然是周期仍然是周期信號，其周期為信號，其周期為T1和和T2的最小公倍數(shù)。的最小公倍數(shù)。解答解答解答（1）sin2t是周期信號，其角頻率和周期分別為是周期信號，其角頻率和周期分別為 1= 2 rad/s ， T1= 2/ 1= s cos3t是周期信號，其角頻率和周期分別為是周期信號，其角頻率和周期分別為 2= 3 rad/s ， T2= 2/ 2= (2/3

4、) s由于由于T1/T2= 3/2為有理數(shù)，故為有理數(shù)，故f1(t)為周期信號，其周期為為周期信號，其周期為T1和和T2的最小公倍數(shù)的最小公倍數(shù)2。（2） cos2t 和和sint的周期分別為的周期分別為T1 = s， T2 = 2 s，由于，由于T1/T2為無理數(shù)，故為無理數(shù)，故 f2(t)為非周期信號。為非周期信號。離散周期信號舉例1例例 判斷正弦序列判斷正弦序列f(k) = sin(k)是否為周期信號，若是，是否為周期信號，若是，確定其周期。確定其周期。解解 f (k) = sin(k) = sin(k + 2m) ， m = 0, 1, 2, mN)mN)sinsin (k (k 2

5、2 m mk k sinsin式中式中稱為數(shù)字角頻率，單位：稱為數(shù)字角頻率，單位：rad。由上式可見：。由上式可見： 僅當僅當2/ 為整數(shù)時為整數(shù)時，正弦序列才具有周期，正弦序列才具有周期N = 2/ 。當當2/ 為有理數(shù)時為有理數(shù)時，正弦序列仍為具有周期性，但其周，正弦序列仍為具有周期性，但其周期為期為N = M(2/ )，M取使取使N為整數(shù)的最小整數(shù)。為整數(shù)的最小整數(shù)。當當2/ 為無理數(shù)時為無理數(shù)時，正弦序列為非周期序列。，正弦序列為非周期序列。離散周期信號舉例2例：例： 判斷下列序列是否為周期信號，若是，確定其周期。判斷下列序列是否為周期信號，若是，確定其周期。 （1）f1(k) = s

6、in(3k/4) + cos(0.5k) （2）f2(k) = sin(2k)解：解：（1 1）sin(3k/4) 和和cos(0.5k)的數(shù)字角頻率分別為的數(shù)字角頻率分別為 1 = 3/4 rad， 2 = 0.5 rad由于由于2/ 1 = 8/3， 2/ 2 = 4為有理數(shù)，故它們的周期為有理數(shù)，故它們的周期分別為分別為N1 = 8 ， N2 = 4，故，故f1(k) 為周期序列，其周期為為周期序列，其周期為N1和和N2的最小公倍數(shù)的最小公倍數(shù)8。 （2 2）sin(2k) 的數(shù)字角頻率為的數(shù)字角頻率為 1 = 2 rad；由于；由于2/ 1 = 為無理數(shù)，故為無理數(shù)，故f2(k) =

7、sin(2k)為非周期序列為非周期序列 。舉例由上面幾例可看出：由上面幾例可看出：連續(xù)正弦信號一定是周期信號，而正弦序列不一定連續(xù)正弦信號一定是周期信號，而正弦序列不一定是周期序列。是周期序列。兩連續(xù)周期信號之和不一定是周期信號，而兩周期兩連續(xù)周期信號之和不一定是周期信號，而兩周期序列之和一定是周期序列。序列之和一定是周期序列。例例1 1例例2 2例例3 3連續(xù)周期信號示例連續(xù)周期信號示例離散周期信號示例離散周期信號示例1離散周期信號示例離散周期信號示例2信號的加法和乘法同一瞬時兩信號同一瞬時兩信號對應值對應值相加（相乘）。相加（相乘）。t t sint t 8sint tt 8sinsint

8、 tsint t8sint tt 8sinsin離散序列相加、乘12, k13, k0f (k )6 , k10 , k 其其他他23, k02 , k1f (k )4 , k20 , k 其其他他122,k16,k0f (k )f (k )8,k14,k20,k 其其他他129 , k0f (k )f (k )12, k10 , k 其其他他信號的時間變換1.1.信號的反轉(zhuǎn)；信號的反轉(zhuǎn)；2.2.信號的平移；信號的平移；3.3.信號的展縮（尺度變換）；信號的展縮（尺度變換）；. . 4.4.混合運算舉例?；旌线\算舉例。1. 信號反轉(zhuǎn)信號反轉(zhuǎn) 將將 f (t) f ( t) ， f (k) f

9、( k) 稱為對信號稱為對信號f () O21 1 tf tt t-t t 沒有實現(xiàn)此功能的實際器件沒有實現(xiàn)此功能的實際器件，數(shù)字信號處理中可，數(shù)字信號處理中可的的反轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn)或或反折反折。 從圖形上看是將從圖形上看是將f ()以縱坐標為軸反轉(zhuǎn)以縱坐標為軸反轉(zhuǎn)180o。如。如 以以實現(xiàn)此概念，例如堆棧中的實現(xiàn)此概念，例如堆棧中的“后進先出后進先出”。 2. 信號的平移 將將 f (t) f (t t0) ， f (k) f (k k0)稱為對信號稱為對信號f ()的的t t 1右移右移t t + 1左移左移雷達接收到的目標回波信號就是平移信號。雷達接收到的目標回波信號就是平移信號。平移平移或或移位

10、移位。若。若t0 (或或k0) 0，則將，則將f ()右移；否則左移。右移；否則左移。如：如：3. 信號的展縮(尺度變換） 將將 f (t) f (a t) ， 稱為對信號稱為對信號f (t)的的尺度變換尺度變換。t 2t 壓縮壓縮t 0.5t 擴展擴展離散信號：離散信號：由于由于 f (a k) 僅在為僅在為a k 為為整數(shù)整數(shù)時才有意義，時才有意義， 進行進行尺度尺度如：如：若若a 1 ，則波形沿橫坐標壓縮；若，則波形沿橫坐標壓縮；若0 a 1 ，則擴，則擴展展 。變換變換時可能會使時可能會使部分信號丟失部分信號丟失。因此一般不作波形的尺度變換。因此一般不作波形的尺度變換。4. 混合運算舉

11、例例例1 1例例3 3平移與反轉(zhuǎn)相結(jié)合平移與反轉(zhuǎn)相結(jié)合平移、反轉(zhuǎn)、尺度變換相結(jié)合，正逆運算。平移、反轉(zhuǎn)、尺度變換相結(jié)合，正逆運算。 abtafbatftf例例2 2平移與尺度變換相結(jié)合平移與尺度變換相結(jié)合注意：注意：l 對正向運算，先平移，后反轉(zhuǎn)和展縮不易出錯；對正向運算，先平移，后反轉(zhuǎn)和展縮不易出錯；意意一切變換都是相對一切變換都是相對t而言；而言；對逆運算，反之。對逆運算，反之。l 混合運算時，三種運算的次序可任意。但一定要注混合運算時，三種運算的次序可任意。但一定要注平移與反轉(zhuǎn)平移與反轉(zhuǎn)相結(jié)合相結(jié)合舉例例例1 1 已知已知f (t)如圖所示，畫出如圖所示，畫出 f (2 t)。 解答解答

12、 法一法一： 先平移先平移f (t) f (t + 2) 再反轉(zhuǎn)再反轉(zhuǎn) f (t +2) f ( t + 2)法二法二： 先反轉(zhuǎn)先反轉(zhuǎn) f (t) f ( t) 再右移再右移 f ( t) f ( t + 2)左移左移右移右移= f (t 2)平移與展縮平移與展縮相結(jié)合相結(jié)合舉例例例2 2 已知已知f (t)如圖所示，畫出如圖所示，畫出 f (3t + 5) 解答解答Ot)(tf1 11t)5( tf6 14 5 Ot)53( tf12 34 時移時移 尺度尺度變換變換尺度尺度變換變換時移時移平移、展縮、反折平移、展縮、反折相結(jié)合相結(jié)合舉例例例3 3 已知已知f (t)如圖所示，畫出如圖所示，

13、畫出 f (- - 2t - - 4)。 解答解答壓縮，得壓縮，得f (2t 4)反轉(zhuǎn)，得反轉(zhuǎn)，得f ( 2t 4)右移右移4，得，得f (t 4)也可以也可以先壓縮、再平移、最后反轉(zhuǎn)先壓縮、再平移、最后反轉(zhuǎn)。壓縮，得壓縮，得f (2t)右移右移2，得，得f (2t 4)反轉(zhuǎn)，得反轉(zhuǎn)，得f ( 2t 4)微分方程的經(jīng)典解微分方程的經(jīng)典解y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t)高等數(shù)學中經(jīng)典解法：高等數(shù)學中經(jīng)典解法：完全解完全解 = =

14、 齊次解齊次解 + 特解。特解。 LTILTI連續(xù)系統(tǒng)：連續(xù)系統(tǒng)：常系數(shù)的常系數(shù)的n n 階線性常微分方程。階線性常微分方程。 齊次解：齊次解： 滿足齊次方程的通解，又叫滿足齊次方程的通解，又叫齊次解齊次解。 特解：特解： 滿足非齊次方程的解，叫滿足非齊次方程的解，叫特特解解。 1. 齊次解齊次解00111 aaannn 0)()()()(01111 tyatyatyatynnnnii , 2 , 1 齊次方程：齊次方程：特征方程：特征方程：特征根：特征根：后由初始條件定后由初始條件定特征根特征根n個單實特征根個單實特征根齊齊 次次 解解 )(tyh nitiiec1 r重實根重實根trrrr

15、ectctctc )(012211 1對共軛復根對共軛復根 ja 21， atetDtC)sin()cos( jDCAetAeatat ),cos( 或或r重共軛復根重共軛復根 齊次解的形式由特征根定齊次解的形式由特征根定: 待定系數(shù)待定系數(shù)Ci在求得全在求得全解解齊次解舉例 的齊次解。的齊次解。求微分方程求微分方程tftytyttyttyt12dd16dd7dd2233解：系統(tǒng)的特征方程為解：系統(tǒng)的特征方程為01216723 03223 , 221重根 tthCCtCty33221ee特征根特征根對應的齊次解為對應的齊次解為2. 特解特解rmm 1mm 110t ( P tPtP tP )

16、t10P tP )e （特解的函數(shù)形式特解的函數(shù)形式與激勵函數(shù)形式有關(guān)如下表，將與激勵函數(shù)形式有關(guān)如下表，將特特解函數(shù)式解函數(shù)式代入原方程代入原方程，比較定出待定系數(shù)。，比較定出待定系數(shù)。激勵激勵f(t)響應響應y(t)的特解的特解yp(t)mtmm 1mm 110P tPtP tP te tPe cost sint 12P costP sint rr 1trr 10P tPtP )e （常數(shù)常數(shù)常數(shù)常數(shù)特征根均不為特征根均不為0特征根特征根= 特征根特征根= r重特征根重特征根特征根特征根j有有r重特征根為重特征根為0特解舉例如果已知：如果已知： 求此方程的特解。求此方程的特解。 tfttf

17、tyttyttydd3dd2dd22 e ,tf t 例：例：給定微分方程式給定微分方程式當當f(t) = et 時時 特解為特解為yp(t) = P et ，這里，這里，P是待定系數(shù)。是待定系數(shù)。 代入方程后有：代入方程后有：tttttPPPeee3e2e31P。于是，特解為于是，特解為te31 例例 描述某系統(tǒng)的微分方程為描述某系統(tǒng)的微分方程為 y(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)求（求（1）當）當f(t) = 2e-t，t0；y(0) = 2，y(0) = -1時的全解時的全解 （2）當）當f(t) = e-2t，t0；y(0) = 1，y(0) = 0時的全解。時的全

18、解。 解解: (1) 特征方程：特征方程： 2 + 5+ 6 = 0 特解：特解： yp(t) = e t 其特征根：其特征根： 1= 2，2= 3齊次解：齊次解： yh(t) = C1e 2t + C2e 3t 特解：特解： yp(t) = Pe t 特解帶入方程：特解帶入方程：Pe t + 5( Pe t) + 6Pe t = 2e t 解得解得 ： P = 1全解全解 = = 齊次解齊次解 + + 特解特解 例例 題題全解：全解： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t其中其中 待定常數(shù)待定常數(shù)C1, C2由初始條件確定由初始條件確定。

19、y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y(0) = 2C1 3C2 1 = 1 解得解得 C1 = 3 ，C2 = 2 最后得全解最后得全解 y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0 （2）齊次解）齊次解同上。同上。 當激勵當激勵f(t) = e2t時，其指數(shù)與特征根之一相重時，其指數(shù)與特征根之一相重 特解：特解： yp(t) = (P1t + P0)e2t 特解代入方程：特解代入方程： P1e-2t = e2t 得：得： P1 = 1 但但P0未定未定特解：特解： yp(t) = (t + P0)e2t 全全 解解全解：全解： y(t) = C1e2t + C2e3t +

20、 te2t + P0e2t = (C1 + P0)e2t + C2e3t + te2t將初始條件代入：將初始條件代入：y(0) = (C1 + P0) + C2 = 1 y(0) = 2(C1 + P0) 3C2 + 1 = 0解得解得 ： C1 + P0 = 2 , C2 = 1 最后得微分方程的最后得微分方程的全解全解： y(t) = 2e2t e3t + te2t , t0上式第一項的系數(shù)上式第一項的系數(shù)C1 + P0 = 2，不能區(qū)分，不能區(qū)分C1和和P0，因而，因而也也不能區(qū)分自由響應和強迫響應不能區(qū)分自由響應和強迫響應 一般信號一般信號f(t)作用于作用于LTI系統(tǒng)的響應系統(tǒng)的響應

21、ej tH(j ) ej t21F(j ) ej t d 21F(j )H(j ) ej t d 齊次齊次性性de)(21tjjFde)()(21tjjFjH可加可加性性f(t)y(t) = F 1F(j )H(j ) Y(j ) = F(j )H(j ) de)(21)(tjjFtf頻率響應例1例：例：某系統(tǒng)的微分方程為某系統(tǒng)的微分方程為 解：解：微分方程兩邊取傅里葉變換微分方程兩邊取傅里葉變換j Y(j ) + 2Y(j ) = F(j ) 2j1)(j)(j)(j FYHf(t) = e-t(t)1j1)(j FY(j ) = H(j )F(j )2111)2)(1(1 jjjjy(t) = (e- -t e- -2t )(t) 求求f(t) = e-t(t)時的響應時的響應y(t)。y (t) + 2y(t) = f(t)一、微分方程的變換解一、微分方程的變換解 描述描述n階系統(tǒng)的微分方程的一般形式為階系統(tǒng)的微分方程