1、宏觀經(jīng)濟學(xué)之跨期優(yōu)化模型宏觀經(jīng)濟學(xué)之跨期優(yōu)化模型北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文緣起緣起u哈羅德-多馬模型u（刀刃上的均衡）u索羅-斯旺模型 )(,tKminL)F(K,Y(t)tLu只有兩種生產(chǎn)要素：資本只有兩種生產(chǎn)要素：資本 K K 和勞動和勞動 L L 。兩者。兩者按照一個固定的比例投入生產(chǎn)，按照一個固定的比例投入生產(chǎn)，不能相互替代不能相互替代。),(),(ALKcFcALcKFYu兩種生產(chǎn)要素可兩種生產(chǎn)要素可相互替代，且規(guī)模報酬不變相互替代，且規(guī)模報酬不變。2輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文拉姆賽們的興趣拉姆賽們的興趣u拉姆賽Ramsey ( EJ, 1928 )u卡斯C

2、ass ( RES, 1965 )u庫普曼Koopmans ( 1965 )u他們發(fā)現(xiàn)了什么？他們發(fā)現(xiàn)了什么？哈羅德哈羅德- -多馬模型與索羅模型有一個共同點多馬模型與索羅模型有一個共同點外生儲蓄率：外生儲蓄率： S(t)=sY(t)S(t)=sY(t)3輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文外生儲蓄率意味著什么？u提示：從家庭收入的分配看提示：從家庭收入的分配看S(t)=sY(t)S(t)=sY(t)也就意味著：也就意味著：C C(t)(t)= =（1-s1-s）Y Y(t)(t) 也即是說人們是按照收入的固定也即是說人們是按照收入的固定比例進(jìn)行消費的比例進(jìn)行消費的Y(t)Y(

3、t)= =C C(t)(t)+S+S(t)(t)合理嗎？合理嗎？不合理不合理4輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文那么該怎么辦？u儲蓄率內(nèi)生化儲蓄率內(nèi)生化拉姆賽們該怎么做呢？從何入手呢？拉姆賽們該怎么做呢？從何入手呢？從消費入手從消費入手如何內(nèi)生化如何內(nèi)生化于是拉姆賽們開始構(gòu)建無限期界模型于是拉姆賽們開始構(gòu)建無限期界模型5輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文Frank Plumpton Ramsey Frank Plumpton Ramsey （1903-19301903-1930，英國數(shù)學(xué)家、經(jīng)濟學(xué)家），英國數(shù)學(xué)家、經(jīng)濟學(xué)家）u著作對稅收理論的一個貢獻(xiàn)、一個關(guān)

4、于儲蓄的數(shù)學(xué)理論等，其經(jīng)濟思想已包括在1987年獲諾獎的索洛對經(jīng)濟增長理論的一個貢獻(xiàn)。u他是維特根斯坦和羅素的在抽象思維方面無可匹敵的朋友，他同時還是一位獲得了凱恩斯和哈羅德極大尊重的經(jīng)濟學(xué)家u一位被認(rèn)為是在哥德爾之前對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)理邏輯有著卓而不群思考的數(shù)學(xué)家u一位為求解一道難題而發(fā)明了至今仍吸引著數(shù)學(xué)家們熱情研究的“拉姆齊理論”但那道難題本身卻被后來的數(shù)學(xué)家證明是不可能求解的數(shù)學(xué)家。6輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文Mr Keynes and Probability, 1922, Cambridge Magazine The Douglas Proposals, 192

5、2, Cambridge Magazine Review of W.E. Johnsons Logic, Part I, 1922, New Statesman Critical Notice of L.Wittgensteins Tractatus, 1923, Mind Review of Ogden and Richards Meaning of Meaning, 1924, Mind The New Principia 1925, Nature Universals, 1925, Mind The Foundations of Mathematics, 1925, Proc. of L

6、ondon Mathem. Soc. Mathematical Logic, 1926, Encyclopaedia Britannica Universals and the Method of Analysis, 1926, Aristotelian Society Mathematical Logic, 1926, Mathematical Gazette Truth and Probability, 1926. A Contribution to the Theory of Taxation, 1927, EJ Facts and Propositions, 1927, Arisote

7、lian Society A Mathematical Theory of Saving, 1928, EJ. Further Considerations, 1928. On a Problem of Formal Logic, 1928, Proc. of London Mathem. Soc. Foundations of Mathematics, Encyclopedia Britannica The Foundations of Mathematics: and other logical essays, 1931. 7輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文講在無限期界

8、之前講在無限期界之前從一個兩時跨期優(yōu)化模型開始 假設(shè)： 最優(yōu)化包含兩個時期。第二個時期結(jié)束時的正的財富不產(chǎn)生效用，因此家庭在第二個時期用光了他們所有的儲蓄； 在兩個時期中，家庭都提供固定數(shù)量的勞動，從而獲得一份不變的工資； 貨幣可以以某個市場利率進(jìn)行投資和借貸，家庭必須能在第二個時期完全償還自己的債務(wù)。8輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文1C第一個時期的消費2C第二個時期的消費R利率LY1第一個時期的勞動收入LY2第二個時期的勞動收入1W最優(yōu)化問題開始時的財富9輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文下一步？u提示：提示：消費消費兩個時期兩個時期將消費在兩個時期分

9、配將消費在兩個時期分配該怎么做？該怎么做？10輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文u回憶索羅模型，提得最多的是什么？回憶索羅模型，提得最多的是什么？拉姆賽們要怎么做呢？拉姆賽們要怎么做呢？消費如何在兩期分配，并用消費增長率表示出來消費如何在兩期分配，并用消費增長率表示出來增長率增長率11輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文u兩時期模型中，消費的增長：112112YYYYYgCCCCCgYc)1 (12cgCC12輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文我們還忽略了什么？u提示：只有兩期提示：只有兩期也即是說第二期的消費存在一個約束也即是說第二期的消費

10、存在一個約束第二期要花完第二期要花完13輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文約束會有幾種情況？u兩種情況兩種情況第一期錢不夠第一期錢不夠第一期有結(jié)余第一期有結(jié)余14輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文預(yù)算約束（預(yù)算約束（ budget constraintbudget constraint ）)(1 (11122CWYrYCLL 部分投資：)(1 (11122WYCrYCLL部分貸款：)1)()1 ()(1 (1121221112rWYYCrCYCWYrCLLLLc1c2預(yù)算約束線)1(12rdCdCABE15輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文

11、u剛剛分析了總消費量的預(yù)算約束剛剛分析了總消費量的預(yù)算約束錢如何在兩期分配錢如何在兩期分配下一步？下一步？怎么選擇？怎么選擇？比較大小比較大小怎么比較？怎么比較？定義：定義： 效用效用16輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文定義效用定義效用1CU2CU今天消費帶來的效用將來消費帶來的效用效用：效用：商品滿足人的欲望的能力，或者消費者 在消費商品時所感受到的滿足程度17輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文u兩期效用的差別：兩期效用的差別：什么偏好？什么偏好？時間偏好時間偏好差別受什么影響？差別受什么影響？個人偏好個人偏好人們對時間等待存在厭惡人們對時間等待存在厭惡

12、18輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文指今后收到或支付的款項折算為現(xiàn)值的利率。指今后收到或支付的款項折算為現(xiàn)值的利率。 -無忍耐性：個體不愿為消費等太長時間。 -時間水平線：個體不能進(jìn)行長期計劃，距現(xiàn)在越遠(yuǎn)的東西，越少被包括在現(xiàn)在的決定中。 -不確定性：將來的計劃總包含不確定性。貼現(xiàn)率貼現(xiàn)率u用什么來反映人們對時間等待的厭惡用什么來反映人們對時間等待的厭惡19輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文定義效用定義效用1CU2CU今天消費帶來的效用將來消費帶來的效用效用：效用：商品滿足人的欲望的能力，或者消費者 在消費商品時所感受到的滿足程度進(jìn)一步，寫成兩期效用的關(guān)系

13、：進(jìn)一步，寫成兩期效用的關(guān)系：貼現(xiàn)率)1/(2CU將來的消費帶來的今天的效用將來的消費帶來的今天的效用20輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文u這時候兩期的效用可比了。這時候兩期的效用可比了。怎么做？怎么做？兩種商品數(shù)量的選擇兩種商品數(shù)量的選擇于是，消費在兩期中選擇便轉(zhuǎn)化為另外于是，消費在兩期中選擇便轉(zhuǎn)化為另外一個問題。什么問題？一個問題。什么問題？1.1.預(yù)算約束預(yù)算約束2.2.無差異曲線無差異曲線3.3.相切相切21輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文消費的效用遞減消費的效用遞減u對于每個家庭，額外的消費帶來額外的效用，并且消費的邊際效用遞減。0)(0)(

14、CUCUcU22輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文)()(21CUCUU簡單的效用函數(shù)如下：無差異曲線：連接了具有同樣效用水平的點。c1c2U0U1U223輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文u無差異曲線特征：(1)斜率為負(fù)(2)離原點越遠(yuǎn)的無差異曲線代表的效用水平越高(3)任何兩條無差異曲線都不可能相交(4)無差異曲線凸向原點)()(02112CUCUdCdCdUc1c2U0U1U2AB24輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文跨期替代的彈性跨期替代的彈性u跨期的替代彈性：)/()/()/()/(12121212CCCCddCdCdCdCdc1

15、c2U0U1U2AB反應(yīng)了無差異曲線的斜率變化對消費比率的影響程度25輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文凱恩斯拉姆齊規(guī)則凱恩斯拉姆齊規(guī)則u對數(shù)效用函數(shù)CCUlog)(2121log11log),(CCCCU無差異曲線的斜率：預(yù)算約束線斜率：)1(12rdCdC26輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文122112)1()()(CCCUCUdCdCc1c2E最優(yōu)點( )*2*1, CC無關(guān)曲線，斜率：12)1 (CC1112rCC27輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文消費的增長率消費的增長率1/12112CCCCCCCgcrgrgrCCcc)1l

16、n()1ln()1ln(1112凱恩斯拉姆齊規(guī)則最簡單的形式一個變量的對數(shù)關(guān)一個變量的對數(shù)關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)等于于時間的導(dǎo)數(shù)等于其增長率其增長率28輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文uCES效用函數(shù)1211)11(CCU)()1 ()()(122112CCCUCUdCdC)1(12rdCdC/112)11(rCC1/12112CCCCCCCgc)(1rgc無差異曲線的斜率：無差異曲線的斜率：預(yù)算約束線斜率：預(yù)算約束線斜率：29輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文一個變量的對數(shù)關(guān)于一個變量的對數(shù)關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)等于其增時間的導(dǎo)數(shù)等于其增長率長率u至此，大家聯(lián)系以前學(xué)過

17、的凱恩斯、哈羅德、索羅等相關(guān)模型，發(fā)現(xiàn)了什么？u這里就在談消費，沒那些個模型什么事！u就是消費自個兒在玩輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文30回顧：索羅動態(tài)過程回顧：索羅動態(tài)過程輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文31y1Fk1 , 1=y2=Fk2 , 1I1/L1=S1/L1=sy1(K2-K1)/L1=I1/L1K2/L1-k1=sy1（L2 L1 ）/ L1=nK2/(L2/(1+n) -k1=sy1(1+n) k2 -k1=sy1k2 -k1=sy1-nk2k2 =（sy1+k1）/ (1+n) 產(chǎn)出產(chǎn)出投資投資資本資本變化變化產(chǎn)出產(chǎn)出變化變化演化過

18、程演化過程輕松學(xué)宏觀之索羅模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文32Y1C1S1I1K1L1Y2C2S2I2K2L2 rgcngLu利率的確定)( kfr )( kfrgc)( (1)(1kfrgc穩(wěn)態(tài)時若考慮資本折舊以及人口增長LLgkfdkdykgkkfy)( )(Lcgkfg)( )( (1Lcgkfg凱恩斯拉姆齊規(guī)則的一般形式33輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文回憶索羅模型回憶索羅模型 knkfskEK*ABCsf(k)f(k)(n+)kkk人均消費人均儲蓄34輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文資本積累的黃金法則資本積累的黃金法則u對于給定的n和，對應(yīng)于

19、每個儲蓄率s存在唯一的穩(wěn)定狀態(tài)k*=k*(s), k*0, dk*(s) /ds 0u問題：尋找一個使長期人均消費最大化的增長率。u穩(wěn)定狀態(tài)的人均消費 sknskfc*35輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文黃金法則的分析黃金法則的分析 sknskfc*dsdknskfdsdc*)(1消費增長率：)()(*gggskknskf當(dāng)消費最大時：資本積累的黃金法則36輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文資本積累的黃金法則資本積累的黃金法則nkfg)(黃金法則的經(jīng)濟學(xué)意義：如果一個經(jīng)濟發(fā)展的目標(biāo)是使人均消費最大，那如果一個經(jīng)濟發(fā)展的目標(biāo)是使人均消費最大，那么在技術(shù)和勞動

20、增長率不變時，人均資本的邊際么在技術(shù)和勞動增長率不變時，人均資本的邊際產(chǎn)品應(yīng)等于人口增長率與折舊率之和產(chǎn)品應(yīng)等于人口增長率與折舊率之和37輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文k人均產(chǎn)出等(n+)kf(k)kgsgf (k)cgs2f(k)s1f(k)k1*c1*c2*k2*38輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文Ramsey-cass-koopmansRamsey-cass-koopmans模型模型*)()(kgkfcLkckGR0kcGRBgk0穩(wěn)態(tài)的消費：黃金率kgckfkL)()(39輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文kcLcgkfg)(

21、 LKRgkf)( 當(dāng)gc=0時kKRk0gckKRgc=040輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文模型的動態(tài)學(xué)模型的動態(tài)學(xué) k* 0c 0c 0c k 0k0k0kc 0k0c 0k0c 41輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文模型的動態(tài)學(xué)模型的動態(tài)學(xué)u利用相圖，可以研究c、k初始值給定，經(jīng)濟的增長路徑 k初始值已經(jīng)給定，關(guān)鍵在于c的初始值如何確定。42輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文模型的動態(tài)學(xué)模型的動態(tài)學(xué) E k* 0c k c 0kk(0) D F C B A 43輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文模型的動態(tài)學(xué)模型的

22、動態(tài)學(xué)u唯一可能路徑： E 0c k c 0k44輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文kKRgc=00kOAAABBBkc45輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文u回顧：回顧：u拉姆賽拉姆賽-發(fā)現(xiàn)：發(fā)現(xiàn)：儲蓄率外生不合理儲蓄率外生不合理u思考：思考：如何內(nèi)生化？如何內(nèi)生化？收入：消費與儲蓄收入：消費與儲蓄u從消費入手從消費入手兩期模型（從簡單開始）兩期模型（從簡單開始）u消費在兩期的分配消費在兩期的分配預(yù)算約束預(yù)算約束無差異曲線（效用）無差異曲線（效用）u最大化最大化兩個斜率兩個斜率Lcgkfg)( )( (1Lcgkfg46輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大

23、學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文無限期界模型無限期界模型 u家庭效用的描述家庭效用的描述兩期模型兩期模型)()(21CUCUU2121log11log),(CCCCU1211)11(CCU無限期界無限期界每一時期效用的加總每一時期效用的加總近期越重要值越大：貼現(xiàn)率：消費效用：每家庭人數(shù)，,其,)()0()()()()(tCUeLtLHtLdtHtLtCUUntotte47輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文u采用常相對風(fēng)險厭惡的效用函數(shù)： 1, 011tCtCU瞬時效用函數(shù)瞬時效用函數(shù)48輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文無限期界模型無限期界模型 瞬時效用函數(shù)瞬時效用函數(shù)dt

24、HLtCdtHtLtCUottnottee)0(1)()(1)(1)(1無限期界無限期界1)()(1tCtCU49輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文u回顧：u下一步？下一步？預(yù)算約束預(yù)算約束u收入收入資本收益與勞動所得資本收益與勞動所得50輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文家庭決策行為家庭決策行為u家庭家庭 目標(biāo)函數(shù)： 約束條件：一生消費的現(xiàn)值不能超過其初始財富加上一生勞動收入的現(xiàn)值。 0maxttdtHtLtCueU51輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文約束約束 000ttRttRdtHtLtwtAeHKdtHtLtCe 果上以連續(xù)復(fù)利計

25、算的結(jié)，表示在期間tdrtRt0052輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文二、家庭與廠商的行為二、家庭與廠商的行為u預(yù)算約束 u構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：u對c(t)求導(dǎo)數(shù)，得到一階條件為：0)()()(0)()()0()(ttgntRtgnttRdttweekdtetce)()()0(1)()(0)(0)()(1dtetcedttweekdttcBLtgnttRttgntRotte常規(guī)方法二、家庭與廠商的行為二、家庭與廠商的行為u兩邊取對數(shù)，再對 t求導(dǎo)數(shù)，有：u 上式即歐拉方程u已知，C(t)=c(t)A(t)u則：tgntRteetcBe)()()()()()()(gntrtct

26、cgtrgtrtctc)()()()(1)()()()()()()()(trtrtAtAtctctCtC模型的動態(tài)學(xué)模型的動態(tài)學(xué)uc的動態(tài)學(xué) *, 0, 0, 0kkcgtkfkkcgtkfkkcgtkfgtkfgtrtctc此時，則此時，則記為此時決定的，則55輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文模型的動態(tài)學(xué)模型的動態(tài)學(xué) c k k* 0c 0c 0c 56輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文模型的動態(tài)學(xué)模型的動態(tài)學(xué)uk的動態(tài)學(xué) 0,0,0ktkgntkfcktkgntkfckctkgntkfcktkgntctkfk平，然后遞減。遞增，直到黃金資本水隨給定，由時的持平投資實際投資57輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文k人均產(chǎn)出等(n+)kf(k)kgsgf (k)cgs2f(k)s1f(k)k1*c1*c2*k2*58輕松學(xué)宏觀之跨期優(yōu)化模型 北京工商大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院 熊文模型的動態(tài)