1、創(chuàng)新型、開放型問題創(chuàng)新型、開放型問題第二講第二講 第一類：找規(guī)律問題第一類：找規(guī)律問題 這類問題要求大家經過這類問題要求大家經過察看察看,分析分析,比較比較,概括概括,總結出題總結出題設反映的某種規(guī)律設反映的某種規(guī)律,進而利用進而利用這個規(guī)律處置相關問題這個規(guī)律處置相關問題例例1 1：察看以下算式：察看以下算式： 21=2 22=4 23=8 21=2 22=4 23=8 24=16 25=32 26=64 24=16 25=32 26=64 27=128 28=256 27=128 28=256經過察看，用他所發(fā)現的規(guī)律寫出經過察看，用他所發(fā)現的規(guī)律寫出8989的末位數的末位數字是字是。第一

2、列第一列第二列第二列第三列第三列第四列第四列第一行第一行2 21 1=2=22 22 2=4=42 23 3=8=82 24 4=16=16第二行第二行2 25 5=32=322 26 6=64=642 27 7=128=1282 28 8=256=256第三行第三行8 第二類第二類: :探求條件問題探求條件問題 這種問題是指所給這種問題是指所給問題結論明確問題結論明確, ,而尋求使而尋求使結論成立的條件結論成立的條件. .大致有大致有三種類型三種類型 1 1條件未知需探條件未知需探求求 2 2條件缺乏需補條件缺乏需補充條件充條件 3 3條件多條件多余或有錯余或有錯, ,需排除條件或需排除條件

3、或修正錯誤條件修正錯誤條件例例2:2:如圖如圖,AB,AB、 AC AC 分別是分別是OO 分析：要知分析：要知PCPC與與00相切，需知相切，需知PCOCPCOC，即，即PCO=90PCO=90，CAB+AFHCAB+AFH=90=90，而，而CAB=OCACAB=OCA，AFH=PFCAFH=PFC，PFC+OCAPFC+OCA=90=90，當當PFC=PCFPFC=PCF時，時，PCO=90PCO=90. .解解 : :1 1當當PC=PFPC=PF或或PCF=PFC,PCF=PFC,或或PCFPCF為等邊三角形時為等邊三角形時,PC,PC與與 OO相切相切. . 連結連結OC,OC,那

4、么那么OCA=FAH.OCA=FAH.PC=PF PCF=PFC=AFHPC=PF PCF=PFC=AFHDE AB DE AB OCA+PCF=FAH+AFH=900OCA+PCF=FAH+AFH=900即即OC PC, PCOC PC, PC與與OO相切相切. .2 2當點當點D D在劣弧在劣弧ACAC的什么位的什么位置時，才干使置時，才干使AD2=DE DF.AD2=DE DF.為什么為什么? ?分析分析: :要使要使AD2=DE DFAD2=DE DF需知需知ADFADFEDAEDA證以上兩三角形類證以上兩三角形類似似, ,除公共角外除公共角外, ,還還需證需證DAC=DEADAC=D

5、EA故應知故應知AD=CDAD=CD 解：解：2 2當點當點D D是是ACAC的中點時，的中點時， AD2=DE DF. AD2=DE DF. 連結連結AE.AE. AD=CD DAF=DEA AD=CD DAF=DEA 又又ADF=EDA ADF=EDA DAFDAFDEADEA即即AD2=DE DFAD2=DE DFADDFDEAD 第三類第三類: :探求結論問題探求結論問題 這類問題是指標這類問題是指標題中的結論不確定題中的結論不確定, ,不不獨一獨一, ,或結論需求經過或結論需求經過類比類比, ,引申引申, ,推行或由推行或由特殊結論特殊結論, ,歸納出普通歸納出普通結論結論例3：，O

6、1經過O2的圓心O2，且與O2相交于A、B兩點，點C為AO2B上的一動點不運動至A、B連結AC，并延伸交O2于點P，連結BP、BC .1先按題意將圖1補完好,然后操作,察看.圖1供操作察看用,操作時可運用量角器與刻度尺.當點C在AO2B 上運動時,圖中有哪些角的大小沒有變化;2請猜測BCP的外形,并證明他的猜測圖2供證明用3如圖3,當PA經過點O2時,AB=4,BP交O1于D,且PB、DB的長是方程x2+kx+10=0的兩個根，求O1的半徑. 例3：，O1經過O2的圓心O2，且與O2相交于A、B兩點，點C為AO2B上的一動點不運動至A、B連結AC，并延伸交O2于點P，連結BP、BC .1先按題

7、意將圖1補完好,然后操作,察看.圖1供操作察看用,操作時可運用量角器與刻度尺.當點C在AO2B 上運動時,圖中有哪些角的大小沒有變化;2請猜測BCP的外形,并證明他的猜測圖2供證明用2 2證明：連結證明：連結O2AO2A、O2BO2B，那么那么BO2A=ACB BO2A=ACB BO2A=2P BO2A=2PACB=2PACB=2PACB=P+PBCACB=P+PBCP=PBCP=PBCBCPBCP為等腰三角形為等腰三角形. .3如圖3,當PA經過點O2時,AB=4,BP交O1于D,且PB、DB的長是方程x2+kx+10=0的兩個根，求O1的半徑. 連結連結O2O1O2O1并延伸交并延伸交AB

8、AB于于E E，交，交O1O1于于F F設設O1O1、O2O2的半徑的半徑分別為分別為r r、R R，O2FABO2FAB，EB=1/2AB=2EB=1/2AB=2，PDBPDB、PO2APO2A是是O1O1的割線，的割線，PDPB=PO2PA=2PDPB=PO2PA=2R2R2，PBPB、BDBD是方程是方程x2+kx+10=0 x2+kx+10=0的兩根，的兩根，PBBD=10PBBD=10，13EFEO2=AEBEEFEO2=AEBE，EF=4/3EF=4/3，r=1/2r=1/23+4/33+4/3=13/6=13/6O1O1的半徑為的半徑為13/613/6PDPB=PDPB=PBPB

9、BDBDPB=PB2PB=PB2PBBD=PB2PBBD=PB210PB210PB210=2R210=2R2，APAP是是O2O2的直徑，的直徑，PBA=90PBA=90，PB2=PA2PB2=PA2AB2AB2，PB2=4R2PB2=4R21616得得R=R=在在RtRtO2EBO2EB中，中，O2E= O2E= 由相交弦定理得，由相交弦定理得，3413222 BEBO13第四類： 存在性問題存在性問題是指在一定件下某數學對象能否存在的問題例例4 4：拋物線：拋物線y=axy=ax2 2+ +bxbx+c+ca a0 0過過P P1 1，- -2 2，Q Q- -1,21,2，且與且與X X

10、軸交于軸交于A,BA,B兩點兩點 A A在在B B的左的左側側, , 與與Y Y軸交于軸交于C C點，連結點，連結ACAC，BCBC1.1. 求求a a與與c c的關系式的關系式2.2. 假設假設 O O為坐標原點為坐標原點, , 求拋物線的解析式求拋物線的解析式3.3.能否存在滿足條件能否存在滿足條件tantanCABCAB穧穧 cotcotCBA=1CBA=1的的拋物拋物線線? ?假設存在假設存在, , 懇求出拋物線的解析式。假設不存懇求出拋物線的解析式。假設不存在，請闡明理由在，請闡明理由。OCOBOA411 + +分析（分析（1 1）因為）因為P P，Q Q在拋物線上，在拋物線上，所以

11、有所以有解方程組得：解方程組得：a+c=0a+c=0，b=b=2 2+cbacba22解解1 1將將P P1 1，-2-2，Q Q-1-1，2 2代入解析式得代入解析式得 解方程組得解方程組得a+c=0a+c=0，b=b=2 2 aa，c c的關系式是的關系式是a+c=0a+c=0或或a=a=c c+cbacba22例例4 4：拋物線：拋物線y=ax2+bx+cy=ax2+bx+ca a0 0過過P P1 1，-2-2，Q Q-1,2-1,2，且與，且與X X軸交于軸交于A,BA,B兩點兩點A A在在B B的左側的左側, ,與與Y Y軸交于軸交于C C點，連結點，連結ACAC，BCBC求求a

12、a與與c c的關系式的關系式假設假設 O O為坐標原點為坐標原點, ,求拋物線的解析式求拋物線的解析式3.3.能否存在滿足條件能否存在滿足條件tanCABcotCBA=1tanCABcotCBA=1的拋物線的拋物線? ?假設存假設存在在, , 懇求出拋物線的解析式。假設不存懇求出拋物線的解析式。假設不存在，請闡明理由。在，請闡明理由。 OCOBOA411 + +2由1知b=2，所以y=ax22x+c設Ax1，0Bx2，0那么x1x2=c/a，但a=c，所以x1x20這闡明A，B在原點兩側A在B的左側所以OA=x1，OB=x2，OC=|c|=|a|，已知 故有即 平方后得 而x2-x12=x1+

13、x224x1x2把x1+x2=2/a，x1x2=1代入上式中，得到關于a的方程，解方程求得a，c從而求出解析式OCOBOA411 + +|42121axxxx 222121216)()(axxxx axx41121 + + 2 2設設A A，B B的坐標分別為的坐標分別為x1x1，0 0, ,x2x2，0 0, ,那么那么x1x1，x2x2是方程是方程 ax2 ax22x+c=02x+c=0的兩個根的兩個根 x1+x2=2/a x1+x2=2/a，x1x2=x1x2=1 1因此因此A A，B B兩點分別在原點兩側，由于兩點分別在原點兩側，由于A A在在B B的左側，所以的左側，所以x1x10

14、0，x2x20 0，故，故OA=OA=x1x1，OB=x2OB=x2，OC=|c|=|a|OC=|c|=|a|，由，由 得得 即即 OCOBOA411 + +|42121axxxx axx41121 + + 平方后得平方后得 又又 于是得于是得4/a2+4=16/a2,4/a2+4=16/a2,解之得解之得a= a= ，c= c= 所以解析式為所以解析式為222121216)()(axxxx x2-x1x2-x12=2=x1+x2x1+x22 2 4x1x24x1x232332322+ + xxyxxy33 例例4 4：拋物線：拋物線y=ax2+bx+cy=ax2+bx+ca a0 0過過P P1 1，-2-2，Q Q-1,2-1,2，且與，且與X X軸交于軸交于A,BA,B兩點兩點, ,與與Y Y軸交于軸交于C C點，連結點，連結ACAC，BCBC求求a a與與c c的關系式的關系式假設假設 (O (O為坐標原點為坐標原點),),求拋物線的解析式求拋物線的解析式3.3.能否存在滿足條件能否存在滿足條件tanCABcotCBA=1tanCABcotCBA=1的拋物線的拋物線? ?假設存假設存在在, , 懇求出拋物線的解析式。假設不存懇求出拋物線的解析式。假設不存在，請闡明理由。在，請闡明理由。 OCOBOA411 + +3 3 假設滿足條件的