1、第七章我們需要曲線曲面我們需要曲線曲面? ?GeriGeriGeriGeris models modelGeriGeris games game3D藝術(shù)的神話藝術(shù)的神話 PIXAR經(jīng)典動(dòng)畫短片回顧經(jīng)典動(dòng)畫短片回顧o Bezier曲線和曲線和B樣條曲線樣條曲線o Bezier曲面和曲面和B樣條曲面樣條曲面第第7 7章章 曲線和曲面曲線和曲面 o7.1 基本概念基本概念o7.2 三次樣條曲線三次樣條曲線/曲面曲面 o7.3 Bezier曲線曲線/曲面曲面 o7.4 B樣條曲線樣條曲線/曲面曲面 基本概念基本概念o 曲線曲線u 規(guī)則曲線規(guī)則曲線可用曲線方程式表示的曲線?？捎们€方程式表示的曲線。u

2、不規(guī)則曲線不規(guī)則曲線不能確切給出描述整個(gè)曲線不能確切給出描述整個(gè)曲線的方程，而是由從實(shí)際測(cè)量中得到的一系列的方程，而是由從實(shí)際測(cè)量中得到的一系列離散數(shù)據(jù)點(diǎn)采用曲線擬合的方法來逼近的。離散數(shù)據(jù)點(diǎn)采用曲線擬合的方法來逼近的。這類曲線也稱之為這類曲線也稱之為自由曲線自由曲線。o 工業(yè)產(chǎn)品的幾何形狀大致可分為兩類：工業(yè)產(chǎn)品的幾何形狀大致可分為兩類：o 一類由一類由初等解析曲面初等解析曲面，如平面、圓柱面、圓錐，如平面、圓柱面、圓錐面、球面、圓環(huán)面等組成，可以用初等解析函面、球面、圓環(huán)面等組成，可以用初等解析函數(shù)完全清楚地表達(dá)全部形狀。數(shù)完全清楚地表達(dá)全部形狀。o 另一類由另一類由自由曲面自由曲面組成，

3、如汽車車身、飛機(jī)機(jī)組成，如汽車車身、飛機(jī)機(jī)翼和輪船船體等的曲線和曲面，不能用初等解翼和輪船船體等的曲線和曲面，不能用初等解析函數(shù)完全清楚地表達(dá)全部形狀，需要構(gòu)造新析函數(shù)完全清楚地表達(dá)全部形狀，需要構(gòu)造新的函數(shù)來進(jìn)行研究，這些研究成果形成了計(jì)算的函數(shù)來進(jìn)行研究，這些研究成果形成了計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(Computer Aided Geometric Design，CAGD)學(xué)科。學(xué)科。圖圖7-1 7-1 汽車的曲面汽車的曲面7.1 7.1 基本概念基本概念 o 7.1.1 樣條曲線曲面樣條曲線曲面o 7.1.2 曲線曲面的表示形式曲線曲面的表示形式 o 7.1.3 擬合和逼近擬合和逼

4、近 o 7.1.4 連續(xù)性條件連續(xù)性條件 7.1.1 7.1.1 樣條曲線曲面樣條曲線曲面o 在汽車制造廠里，傳統(tǒng)上采用在汽車制造廠里，傳統(tǒng)上采用樣條樣條繪制曲線的繪制曲線的形狀。采用模線樣板法表示和傳遞自由曲線曲形狀。采用模線樣板法表示和傳遞自由曲線曲面的形狀稱為面的形狀稱為樣條樣條。o 繪圖員彎曲樣條（如彈性細(xì)木條）通過各繪圖員彎曲樣條（如彈性細(xì)木條）通過各型值型值點(diǎn)點(diǎn)，其它地方自然過渡，然后沿樣條畫下曲線，其它地方自然過渡，然后沿樣條畫下曲線，即得到，即得到樣條曲線樣條曲線（Spline Curve)。o 在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，樣條曲線是指由在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，樣條曲線是指由多項(xiàng)式曲多項(xiàng)式曲線

5、段連接而成的曲線線段連接而成的曲線，在每段的邊界處滿足特，在每段的邊界處滿足特定的連續(xù)性條件，而樣條曲面則可用定的連續(xù)性條件，而樣條曲面則可用兩組正交兩組正交樣條曲線樣條曲線來描述。來描述。.2 2 插值和逼近插值和逼近o 離散點(diǎn)近似決定曲線曲面離散點(diǎn)近似決定曲線曲面o 交互控制的方法生成曲線曲面交互控制的方法生成曲線曲面:u 畫控制點(diǎn)；畫控制點(diǎn)；u 看看曲線的生成結(jié)果；看看曲線的生成結(jié)果；u 調(diào)整控制點(diǎn)直到最佳。調(diào)整控制點(diǎn)直到最佳。o 型值點(diǎn)型值點(diǎn)指通過測(cè)量或計(jì)算得到的曲線或曲指通過測(cè)量或計(jì)算得到的曲線或曲面上少量描述其幾何形狀的數(shù)據(jù)點(diǎn)。面上少量描述其幾何形狀的數(shù)據(jù)點(diǎn)。o 控制

6、點(diǎn)控制點(diǎn)指用來控制或調(diào)整曲線曲面形狀的指用來控制或調(diào)整曲線曲面形狀的特殊點(diǎn)，曲線曲面本身不一定通過控制點(diǎn)。特殊點(diǎn)，曲線曲面本身不一定通過控制點(diǎn)。插值與逼近插值與逼近o 曲線曲面的曲線曲面的擬合擬合：當(dāng)用一組型值點(diǎn)來指定曲線：當(dāng)用一組型值點(diǎn)來指定曲線曲面的形狀時(shí)，形狀完全通過給定的型值點(diǎn)列曲面的形狀時(shí)，形狀完全通過給定的型值點(diǎn)列16曲線的擬合插值與逼近插值與逼近o 曲線曲面的曲線曲面的逼近逼近：用一組控制點(diǎn)來指定曲線曲：用一組控制點(diǎn)來指定曲線曲面的形狀時(shí)，求出的形狀不必通過控制點(diǎn)列面的形狀時(shí)，求出的形狀不必通過控制點(diǎn)列17曲線的逼近插值與逼近插值與逼近o 求給定型值點(diǎn)之間曲線上的點(diǎn)稱為曲線的求給

7、定型值點(diǎn)之間曲線上的點(diǎn)稱為曲線的插值插值。o 將連接有一定次序控制點(diǎn)的直線序列稱為將連接有一定次序控制點(diǎn)的直線序列稱為控制控制多邊形多邊形或特征多邊形?；蛱卣鞫噙呅?。18控制多邊形.3 3曲線曲面的表示要求曲線曲面的表示要求o 在計(jì)算機(jī)內(nèi)表示曲線在計(jì)算機(jī)內(nèi)表示曲線曲面，其形狀的數(shù)學(xué)曲面，其形狀的數(shù)學(xué)描述應(yīng)保留產(chǎn)品形狀描述應(yīng)保留產(chǎn)品形狀的盡可能多的性質(zhì)。的盡可能多的性質(zhì)。o 滿足要求：滿足要求：u 惟一性惟一性u(píng) 幾何不變性幾何不變性u(píng) 易于定界易于定界u 統(tǒng)一性統(tǒng)一性u(píng) 易于光滑連接易于光滑連接u 幾何直觀幾何直觀惟一性惟一性o 形狀定義形狀定義o 由已給定的有限信息，決定形狀是

8、惟一的。由已給定的有限信息，決定形狀是惟一的。幾何不變性幾何不變性o 當(dāng)用有限的信息決定圖形時(shí)，（如當(dāng)用有限的信息決定圖形時(shí)，（如4點(diǎn)決定一條點(diǎn)決定一條3次曲線）當(dāng)這些點(diǎn)的相對(duì)位置固定后，形狀也次曲線）當(dāng)這些點(diǎn)的相對(duì)位置固定后，形狀也就固定，不應(yīng)該隨坐標(biāo)系更改而改變就固定，不應(yīng)該隨坐標(biāo)系更改而改變o 如果采用的數(shù)學(xué)方法不具有幾何不變性，則不如果采用的數(shù)學(xué)方法不具有幾何不變性，則不同測(cè)量坐標(biāo)系測(cè)得的同一組數(shù)據(jù)點(diǎn)，會(huì)得到不同測(cè)量坐標(biāo)系測(cè)得的同一組數(shù)據(jù)點(diǎn)，會(huì)得到不同的擬合曲線同的擬合曲線幾何不變性易于定界易于定界o 工程中，曲線曲面的形狀總是有界的，形狀的工程中，曲線曲面的形狀總是有界的，形狀的數(shù)學(xué)

9、描述應(yīng)該易于定界數(shù)學(xué)描述應(yīng)該易于定界o 可用參數(shù)方程表示可用參數(shù)方程表示統(tǒng)一性統(tǒng)一性o 能統(tǒng)一表示各種形狀及處理各種情況（包括特能統(tǒng)一表示各種形狀及處理各種情況（包括特殊情況）。如曲線描述，用統(tǒng)一的形式表示平殊情況）。如曲線描述，用統(tǒng)一的形式表示平面曲線、空間曲線。面曲線、空間曲線。o 統(tǒng)一性的高要求是，用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)形式既能表統(tǒng)一性的高要求是，用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)形式既能表示自由型曲線曲面，也能表示初等解析曲線曲示自由型曲線曲面，也能表示初等解析曲線曲面，建立統(tǒng)一數(shù)據(jù)庫，便于形狀信息的傳遞和面，建立統(tǒng)一數(shù)據(jù)庫，便于形狀信息的傳遞和產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換。產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換。易于光滑連接易于光滑連接o 單一的曲線段或曲

10、面片難以表達(dá)復(fù)雜的形狀，單一的曲線段或曲面片難以表達(dá)復(fù)雜的形狀，需要將若干線段連接成為光滑曲線（曲面片連需要將若干線段連接成為光滑曲線（曲面片連接為組合曲面），其連接必須是光滑的。接為組合曲面），其連接必須是光滑的。幾何直觀幾何直觀o 幾何意義明顯：參數(shù)的幾何意義明顯幾何意義明顯：參數(shù)的幾何意義明顯7.1.4 7.1.4 曲線曲面的表示形式曲線曲面的表示形式o 曲線曲面可以采用曲線曲面可以采用顯式方程、隱函數(shù)方程和參顯式方程、隱函數(shù)方程和參數(shù)方程數(shù)方程表示表示o 顯式方程顯式方程表示表示u 不能表示封閉的多值曲線不能表示封閉的多值曲線o 隱函數(shù)方程表示隱函數(shù)方程表示u 易于表示點(diǎn)與線的關(guān)系易于

11、表示點(diǎn)與線的關(guān)系( )yf x( , )0f x y 非參數(shù)表示方法的缺點(diǎn)非參數(shù)表示方法的缺點(diǎn)o 與坐標(biāo)軸相關(guān)與坐標(biāo)軸相關(guān)o 斜率無窮大問題，作為參數(shù)不可以斜率無窮大問題，作為參數(shù)不可以o 難以表示非平面曲線曲面難以表示非平面曲線曲面o 不便于計(jì)算和編程序不便于計(jì)算和編程序28曲線曲面的表示形式曲線曲面的表示形式o 參數(shù)方程參數(shù)方程表示表示u 矢量表示矢量表示u 參數(shù)曲線的切矢量或?qū)Ш瘮?shù)參數(shù)曲線的切矢量或?qū)Ш瘮?shù)u 參數(shù)變量規(guī)格化參數(shù)變量規(guī)格化29( )( )xx tyy t( ) ( )( )p tx ty t( ) ( )( )p tx ty t01t曲線曲面的表示形式曲線曲面的表示形式直線

12、直線的表示形式：的表示形式：o 已知直線的起點(diǎn)坐標(biāo)已知直線的起點(diǎn)坐標(biāo)P1（x1，y1）和終點(diǎn)坐標(biāo)）和終點(diǎn)坐標(biāo)P2（x2，y2）o 直線的顯式方程表示為：直線的顯式方程表示為： )(112121xxxxyyyyo 直線的隱函數(shù)方程表示為：直線的隱函數(shù)方程表示為：o 直線的參數(shù)方程表示為：直線的參數(shù)方程表示為： 0)()(112121xxxxyyyyxftyyyytxxxx)()(121121參數(shù)方程參數(shù)方程o 三次曲線參數(shù)方程表示：三次曲線參數(shù)方程表示：0,1 t)()()(232323zzzzyyyyxxxxdtctbtatzdtctbtatydtctbtatx參數(shù)方程的矢量和矩陣表示參數(shù)方程

13、的矢量和矩陣表示o 矢量表示：矢量表示： o 矩陣表示：矩陣表示： 0,1t )(23dctbtattp1 , 01)(23tdcbattttp參數(shù)表示的優(yōu)點(diǎn)參數(shù)表示的優(yōu)點(diǎn)1)點(diǎn)動(dòng)成線（點(diǎn)動(dòng)成線（t可看為時(shí)間，曲線是點(diǎn)隨時(shí)間而動(dòng)可看為時(shí)間，曲線是點(diǎn)隨時(shí)間而動(dòng)的軌跡）；的軌跡）；有更大的自由度控制曲線曲面的形有更大的自由度控制曲線曲面的形狀；狀； 2)可對(duì)參數(shù)曲線曲面的方程直接進(jìn)行幾何變換，而可對(duì)參數(shù)曲線曲面的方程直接進(jìn)行幾何變換，而不需要對(duì)曲線曲面的每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行幾何變換不需要對(duì)曲線曲面的每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行幾何變換3)可以處理斜率無窮大的情況；可以處理斜率無窮大的情況；4)代數(shù)、幾何相關(guān)和無關(guān)的變

14、量是完全分離的，對(duì)代數(shù)、幾何相關(guān)和無關(guān)的變量是完全分離的，對(duì)變量個(gè)數(shù)不限，便于將低維空間中的曲線曲面變量個(gè)數(shù)不限，便于將低維空間中的曲線曲面擴(kuò)展到高維空間中；擴(kuò)展到高維空間中； 5)便于采用規(guī)格化的參數(shù)變量便于采用規(guī)格化的參數(shù)變量 u 如：區(qū)間如：區(qū)間 a,b （如區(qū)間如區(qū)間5, 8）可由區(qū)間）可由區(qū)間 0,1通過仿射變換得到：通過仿射變換得到：u 直線上的插值點(diǎn)可以下兩式表示直線上的插值點(diǎn)可以下兩式表示6)易于用矢量和矩陣表示幾何分量，簡(jiǎn)化計(jì)算；易于用矢量和矩陣表示幾何分量，簡(jiǎn)化計(jì)算； 1,0t1 ,0t,bau )()(abautbabauaabubuxtbattx)()1()(7.1.5

15、 7.1.5 連續(xù)性條件連續(xù)性條件 o 通常單一的曲線段或曲面片難以表達(dá)復(fù)雜的形通常單一的曲線段或曲面片難以表達(dá)復(fù)雜的形狀，必須將一些曲線段連接成狀，必須將一些曲線段連接成組合曲線組合曲線，或?qū)?，或?qū)⒁恍┣嫫B接成一些曲面片連接成組合曲面組合曲面，才能描述復(fù)雜的，才能描述復(fù)雜的形狀。形狀。o 多條曲線首尾相連形成一條曲線，要求：連接多條曲線首尾相連形成一條曲線，要求：連接處處具有合乎要求的連續(xù)性具有合乎要求的連續(xù)性u(píng) 參數(shù)連續(xù)性參數(shù)連續(xù)性 用用 C階數(shù)階數(shù)表示表示u 幾何連續(xù)性幾何連續(xù)性 用用 G階數(shù)階數(shù)表示表示參數(shù)連續(xù)性參數(shù)連續(xù)性o 零階參數(shù)連續(xù)性零階參數(shù)連續(xù)性，記作，記作C0，指相鄰兩個(gè)

16、曲線段，指相鄰兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處具有相同的坐標(biāo)。在交點(diǎn)處具有相同的坐標(biāo)。圖圖7-4 7-4 零階連續(xù)性零階連續(xù)性參數(shù)連續(xù)性參數(shù)連續(xù)性o 一階參數(shù)連續(xù)性一階參數(shù)連續(xù)性，記作，記作C1o 指相鄰兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處具有相同的指相鄰兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處具有相同的一階導(dǎo)一階導(dǎo)數(shù)數(shù)。圖圖7-5 7-5 一階連續(xù)性一階連續(xù)性參數(shù)連續(xù)性參數(shù)連續(xù)性o 二階參數(shù)連續(xù)性二階參數(shù)連續(xù)性，記作，記作C2，指相鄰兩個(gè)曲線段，指相鄰兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處具有在交點(diǎn)處具有相同的一階和二階導(dǎo)數(shù)相同的一階和二階導(dǎo)數(shù)。圖圖7-6 7-6 二階連續(xù)性二階連續(xù)性幾何連續(xù)性幾何連續(xù)性 o G G0 0連續(xù)（連續(xù)（0階幾何連續(xù)）階幾何連續(xù)）u

17、與與C0連續(xù)相同。連續(xù)相同。o G G1 1連續(xù)（一階幾何連續(xù)）連續(xù)（一階幾何連續(xù)）u 一階導(dǎo)數(shù)在相鄰段的交點(diǎn)處成比例，（切向一階導(dǎo)數(shù)在相鄰段的交點(diǎn)處成比例，（切向量不一定相等）。量不一定相等）。u 注意：注意：C1連續(xù)，則連續(xù)，則G1連續(xù)，反之不然連續(xù)，反之不然o G G2 2連續(xù)（二階幾何連續(xù)）連續(xù)（二階幾何連續(xù)）u 兩相鄰曲線段的連接點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)兩相鄰曲線段的連接點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)均成比例（此時(shí)，兩曲線段在交點(diǎn)處的曲數(shù)均成比例（此時(shí)，兩曲線段在交點(diǎn)處的曲率相等）率相等）參數(shù)連續(xù)性與幾何連續(xù)性的區(qū)別參數(shù)連續(xù)性與幾何連續(xù)性的區(qū)別o 參數(shù)連續(xù)性參數(shù)連續(xù)性u(píng) 傳統(tǒng)意義上的、嚴(yán)格的連續(xù)

18、傳統(tǒng)意義上的、嚴(yán)格的連續(xù)o 幾何連續(xù)性幾何連續(xù)性u(píng) 只需限定兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處的參數(shù)導(dǎo)數(shù)成只需限定兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處的參數(shù)導(dǎo)數(shù)成比例，不必完全相等，是一種更直觀、易于比例，不必完全相等，是一種更直觀、易于交互控制的連續(xù)性。交互控制的連續(xù)性。7.2 7.2 三次樣條曲線三次樣條曲線o 曲線的參數(shù)空間：曲線的參數(shù)空間：u 笛卡兒坐標(biāo)笛卡兒坐標(biāo)x,y,z定義的三維空間，其參數(shù)空定義的三維空間，其參數(shù)空間為間為(x,t)、(y,t)、(z,t)，能把任意一條參數(shù)曲能把任意一條參數(shù)曲線分解成參數(shù)空間的三個(gè)分量線分解成參數(shù)空間的三個(gè)分量0,1 t)()()(232323zzzzyyyyxxxxdtctbt

19、atzdtctbtatydtctbtatx三次樣條曲線三次樣條曲線幾何形式推導(dǎo)幾何形式推導(dǎo)簡(jiǎn)化為：簡(jiǎn)化為：np(t)=At3+Bt2+Ct+D （式式1）np(t)= 3At2+2Bt+C ， 設(shè)：設(shè)： up0= p(0), p1= p(1) , up 0= p(0), p1 = p(1) 。（。（式式2）o將式將式2代入式代入式1，解得：，解得：uD = p0 uC= p0 uB=-3p0 +3p1 -2p0 - p1 uA= 2p0 -2p1 +p0 +p1 o將將A、B、C、 D分別代入分別代入式式1中中, 整理得整理得:op(t)=(2t3-3t2+1)p0+(-2t3+3t2)p1+

20、(t3-2t2+t)p0+(t3-t2)p1 F1(t) F2(t) F3(t) F4(t) (t 0，1 )調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)從代數(shù)形式到幾何形式從代數(shù)形式到幾何形式o 調(diào)和函數(shù)（基函數(shù)）調(diào)和函數(shù)（基函數(shù)）:F1(t) = 2t3-3t2+1 F2(t) = -2t3+3t2 F3(t) = t3-2t2+t F4(t) = t3-t2o 參數(shù)三次樣條曲線幾何形式可以簡(jiǎn)化表示為：參數(shù)三次樣條曲線幾何形式可以簡(jiǎn)化表示為： p(t)=F1(t) p0+ F2(t) p1+ F3(t) p0+ F4(t) p1表示該曲線：兩點(diǎn)的表示該曲線：兩點(diǎn)的坐標(biāo)坐標(biāo)及其及其一階導(dǎo)數(shù)一階導(dǎo)數(shù)+調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)，t

21、 的取值范圍：的取值范圍：0，1通常，用通常，用基函數(shù)基函數(shù)和和控制點(diǎn)控制點(diǎn)信信息來決定一條曲線息來決定一條曲線7.3 7.3 三次三次HermiteHermite樣條樣條o 定義：假定型值點(diǎn)定義：假定型值點(diǎn)Pk和和Pk+1之間的曲線段為之間的曲線段為p(t),t0,1，給定矢量給定矢量Pk、Pk+1、Rk和和Rk+1，則則滿足下列條件的三次參數(shù)曲線為三次滿足下列條件的三次參數(shù)曲線為三次Hermite樣樣條曲線：條曲線：4511)1 ()0()1 ()0(kkkkRpRpPpPpo 推導(dǎo)推導(dǎo)46CTdcbatttdddcccbbbaaattttpzyxzyxzyxzyx 1 1)(232347

22、dcbaRRPPkkkk01230100111110001132( )1xyzxyzxyzxyzaaabbbp ttttcccddd11)1 ()0()1 ()0(kkkkRpRpPpPpo Mh是是Hermite矩陣。矩陣。Gh是是Hermite幾何矢量幾何矢量48hhkkkkkkkkGMRRPPRRPPdcbaC1111100010100123311220123010011111000三次三次HermiteHermite樣條樣條o 三次三次Hermite樣條曲線的方程為：樣條曲線的方程為：490,1 t )(hhGMTtp0001010012331122123tttMTh三次三次Hermi

23、teHermite樣條樣條o TMk稱為稱為Hermite基函數(shù)（或稱混合函數(shù)，調(diào)基函數(shù)（或稱混合函數(shù)，調(diào)和函數(shù)）：和函數(shù)）：50 )(2)(32)(132)(233232231230tttHttttHtttHtttH)()()()()(312110tHRtHRtHPtHPtpkkkk三次三次HermiteHermite樣條樣條51Hermite基函數(shù)三次三次HermiteHermite樣條樣條o 特點(diǎn)特點(diǎn)u 可以局部調(diào)整，因?yàn)槊總€(gè)曲線段僅依賴于端可以局部調(diào)整，因?yàn)槊總€(gè)曲線段僅依賴于端點(diǎn)約束點(diǎn)約束u 基于基于Hermite樣條的變化形式：樣條的變化形式：Cardinal樣樣條和條和Kochan

24、ek-Bartels樣條樣條u Hermite曲線具有幾何不變性曲線具有幾何不變性52例：已知兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)值及其一階例：已知兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)值及其一階導(dǎo)數(shù)，求其導(dǎo)數(shù)，求其HermiteHermite三次曲線方程。三次曲線方程。11) 1 ()0() 1 ()0(kkkkRpRpPpPpzyxzyxzyxzyxdddcccbbbaaattttp 1)(237.4 Bezier7.4 Bezier曲線曲線 o 法國(guó)雷諾汽車公司的工程師法國(guó)雷諾汽車公司的工程師Bezier和法國(guó)雪鐵和法國(guó)雪鐵龍汽車公司的龍汽車公司的de Casteljiau分別提出了一種新的分別提出了一種新的參數(shù)曲線表示方法，稱為參

25、數(shù)曲線表示方法，稱為Bezier曲線曲線o Bezier的想法面向幾何而不是面向代數(shù)的想法面向幾何而不是面向代數(shù)o Bezier曲線由曲線由控制多邊形控制多邊形惟一定義惟一定義u Bezier曲線只有第一個(gè)頂點(diǎn)和最后一個(gè)頂點(diǎn)落在控曲線只有第一個(gè)頂點(diǎn)和最后一個(gè)頂點(diǎn)落在控制多邊形上，制多邊形上，u 多邊形的第一條和最后一條邊表示了曲線在起點(diǎn)和多邊形的第一條和最后一條邊表示了曲線在起點(diǎn)和終點(diǎn)的切矢量方向，其它頂點(diǎn)則用于定義曲線的導(dǎo)終點(diǎn)的切矢量方向，其它頂點(diǎn)則用于定義曲線的導(dǎo)數(shù)、階次和形狀數(shù)、階次和形狀u 曲線的形狀趨近于控制多邊形的形狀，改變控制多曲線的形狀趨近于控制多邊形的形狀，改變控制多邊形的頂

26、點(diǎn)位置就會(huì)改變曲線的形狀邊形的頂點(diǎn)位置就會(huì)改變曲線的形狀o 繪制繪制Bezier曲線的直觀交互性使得對(duì)設(shè)計(jì)對(duì)象曲線的直觀交互性使得對(duì)設(shè)計(jì)對(duì)象的控制達(dá)到了直接的幾何化程度，使用方便的控制達(dá)到了直接的幾何化程度，使用方便幾種典型的三次幾種典型的三次BezierBezier曲線曲線7.4 Bezier7.4 Bezier曲線曲線o 7.4.1 Bezier曲線的定義曲線的定義o 7.4.2 Bezier曲線的性質(zhì)曲線的性質(zhì)o 7.4.3 Bezier曲線的可分割性曲線的可分割性 7.4.1 Bezier7.4.1 Bezier曲線的定義曲線的定義o 給定給定n+1個(gè)控制點(diǎn)個(gè)控制點(diǎn)Pi（i0，1，2n

27、），），n次次Bezier曲線為：曲線為： o Pi （i0，1，2n）是控制多邊形的）是控制多邊形的n+1個(gè)個(gè)控制點(diǎn)，控制多邊形是控制點(diǎn)，控制多邊形是n條邊構(gòu)成的多邊形條邊構(gòu)成的多邊形o Bi,n是是Bernstein基函數(shù)，其表達(dá)式為：基函數(shù)，其表達(dá)式為：o 注意：當(dāng)注意：當(dāng)i=0，t=0時(shí)，時(shí)，ti=1，i!=1。 0,1t )()(,0tBPtpniniiininittinintB)1 ()!( !)(,BernsteinBernstein基函數(shù)的性質(zhì)基函數(shù)的性質(zhì)1） 非負(fù)性：非負(fù)性： 對(duì)于所有的對(duì)于所有的i,n以及以及 均有均有2） 規(guī)范性規(guī)范性(權(quán)性權(quán)性)：3) 對(duì)稱性對(duì)稱性 01

28、t 0,niB,0( )1,01ni nittB ,( )(1),0,1,.,i nn i nttinBBininittinintB)1 ()!( !)(,4)遞推性遞推性 5)端點(diǎn)性端點(diǎn)性 ,11,1( )(1)( )( ),0,1,.,i ni ninuuuuuinBBBelseiBni, 00, 1)0(,elseniBni, 0, 1)1(,6)最大性最大性 在在 處達(dá)到最大值；處達(dá)到最大值；7)可導(dǎo)性可導(dǎo)性 )(,uBniniu/niuBuBnuBninini,.,1 , 0),()()(1,1, 1,常用常用BezierBezier曲線的矩陣表示曲線的矩陣表示o 由由Bezier曲

29、線曲線C(u)的定義，可推出常用的一次的定義，可推出常用的一次、二次、三次、二次、三次Bezier曲線矩陣表示曲線矩陣表示 10)()(0,uuBPuCniniio 一次一次Bezier 曲線曲線o 矩陣表示為矩陣表示為o 這是一條從這是一條從 P0 到到P1的直線段的直線段 1001111)(PPuuC10)1()(uPPuuCo 二次二次Bezier曲線曲線 o 矩陣表示為矩陣表示為 22102)1(2)1()(PuPuuPuuC2102001022121 1)(PPPuuuCo 三次三次Bezier曲線曲線 o 矩陣表示為：矩陣表示為： 33221203)1 (3)1 (3)1 ()(P

30、uPuuPuuPuuC32102300010033036313311)(PPPPuuuuCo 圖圖7.5 三次三次Bezier 曲線曲線 三次三次BezierBezier曲線的基函數(shù)曲線的基函數(shù)67三次Bezier曲線的四個(gè)Bezier基函數(shù)o 注意：對(duì)于注意：對(duì)于Bezier曲線，在區(qū)間曲線，在區(qū)間(0,1)范圍內(nèi)，范圍內(nèi)，每個(gè)基函數(shù)均不為零，說明每個(gè)基函數(shù)均不為零，說明不能不能使用控制多邊使用控制多邊形對(duì)曲線的形狀進(jìn)行形對(duì)曲線的形狀進(jìn)行局部調(diào)整局部調(diào)整，如果改變某一，如果改變某一控制點(diǎn)位置，整個(gè)曲線都將受到影響?？刂泣c(diǎn)位置，整個(gè)曲線都將受到影響。 Bezier Bezier 曲線具體計(jì)算曲

31、線具體計(jì)算p2 = x2,y2p0 = x0,y0p1 = x1,y1p3 = x3,y3p(t) = (1-t)3p0 + 3(1-t)2tp1 + 3(1-t)t2p2 + t3p3轉(zhuǎn)化為平面上的點(diǎn)，計(jì)算方法如下：轉(zhuǎn)化為平面上的點(diǎn)，計(jì)算方法如下：p(t) = Si=0.3 Bi(t) piBi(t) = (3i) ti (1-t)3-ix(t) = (1-t)3x0 + 3(1-t)2tx1 + 3(1-t)t2x2 + t3x3y(t) = (1-t)3y0 + 3(1-t)2ty1 + 3(1-t)t2y2 + t3y.2 2 BezierBezier曲線的性質(zhì)曲線的性

32、質(zhì)o 端點(diǎn)性質(zhì)端點(diǎn)性質(zhì) o 端點(diǎn)切矢量端點(diǎn)切矢量 u 在在 P0 點(diǎn)處與邊點(diǎn)處與邊 P0 P1相切；相切；u 在在Pn點(diǎn)點(diǎn) 處與邊處與邊Pn-1Pn 相切。相切。 nPCPC)1(,)0(01011,)()(niiiniPPuBnuC)() 1 (),()0(101nnPPnCPPnCBezierBezier曲線的性質(zhì)曲線的性質(zhì)o 二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)u Bezier曲線在起始點(diǎn)和終止點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)曲線在起始點(diǎn)和終止點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)分別取決于最開始和最后的三個(gè)控制點(diǎn)。分別取決于最開始和最后的三個(gè)控制點(diǎn)。71)()(1() 1 ()()(1()0(112 0112 nnnnPPPPnnpPPPPnnp

33、o 對(duì)稱性對(duì)稱性 u 若保持原全部頂點(diǎn)的位置不變，只是把次序顛倒過來，則新的Bezier曲線形狀不變，但方向相反o 幾何不變性幾何不變性u(píng) Bezier曲線的位置和形狀只與特征多邊形的頂點(diǎn)的位置有關(guān)，它不依賴坐標(biāo)系的選擇。u 移動(dòng)第i個(gè)控制頂點(diǎn)Pi，將對(duì)曲線上 u=i/n 處產(chǎn)生最大的影響B(tài)ezierBezier曲線的性質(zhì)曲線的性質(zhì)o 凸包性凸包性u(píng) Bezier曲線各點(diǎn)均落在控制多邊形各頂點(diǎn)構(gòu)曲線各點(diǎn)均落在控制多邊形各頂點(diǎn)構(gòu)成的成的凸包凸包之中。之中。u Bezier曲線的凸包性保證了曲線隨控制點(diǎn)平曲線的凸包性保證了曲線隨控制點(diǎn)平穩(wěn)前進(jìn)而不會(huì)振蕩。穩(wěn)前進(jìn)而不會(huì)振蕩。730)1 ()!( !)

34、(,ininittinintBnininininittttknintB00,1)1()1 ()!( !)(凸包凸包o 變差縮減性變差縮減性u(píng) 對(duì)于平面對(duì)于平面Bezier曲線曲線C(u)，平面內(nèi)任意條直線平面內(nèi)任意條直線與其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)不多于該直線與其控制多邊形與其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)不多于該直線與其控制多邊形的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。u 曲線總是比控制多邊形所在的折線更平滑曲線總是比控制多邊形所在的折線更平滑7.4.3 Bezier7.4.3 Bezier曲線的可分割性曲線的可分割性 o Bezier曲線的可分割性可用德卡斯特里奧（曲線的可分割性可用德卡斯特里奧（De Casteliau）算法表達(dá)如下）算

35、法表達(dá)如下o 給定空間給定空間n+1個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn)Pi（i=0，1， 2n）及參數(shù)）及參數(shù)t，有，有 )()()1 ()(111tPttPttPririri 1 , 0 ;, 1 , 0 ;, 2 , 1trninro 例如，當(dāng)例如，當(dāng)n=3時(shí)，有時(shí)，有 o 三次三次Bezier曲線遞推如下：曲線遞推如下： 0, 31 , 0, 22 , 1 , 0, 1iririr)()()1 ()()()()1 ()()()()1 ()(030212020111010010tPttPttPtPttPttPtPttPttP)()()1 ()()()()1 ()(121121111020tPttPttPtPttPt

36、tP)()()1 ()(212030tPttPttPiiPtP)(0o 根據(jù)該式可以繪制根據(jù)該式可以繪制BezierBezier曲線，取曲線，取t=0t=0，t t1/31/3，t t2/32/3，t=1t=1，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡形成，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡形成BezierBezier曲線曲線。圖。圖7-87-8繪制的是繪制的是t=1/3t=1/3的點(diǎn)。的點(diǎn)。o 7.5.1 Bezier曲面的定義曲面的定義o 7.5.2 雙三次雙三次Bezier曲面的定義曲面的定義 7.5.1 Bezier7.5.1 Bezier曲面的定義曲面的定義 o Bezier曲面是由曲面是由Bezier曲線拓廣而來，以兩組正曲線拓廣

37、而來，以兩組正交的交的Bezier曲線控制點(diǎn)構(gòu)造空間網(wǎng)格來生成曲曲線控制點(diǎn)構(gòu)造空間網(wǎng)格來生成曲面。面。o mn次次Bezier曲面的定義如下：曲面的定義如下： （u，v）0，10，1 )()(),(m0i,0,vBuBPvupnjminjjio 依次用線段連接點(diǎn)列依次用線段連接點(diǎn)列Pi,j（i0，1，m；j0，1，n）中相鄰兩點(diǎn)所形成的空間網(wǎng)格）中相鄰兩點(diǎn)所形成的空間網(wǎng)格稱為控制網(wǎng)格，當(dāng)稱為控制網(wǎng)格，當(dāng)m3，n3時(shí)由時(shí)由4416個(gè)個(gè)控制點(diǎn)構(gòu)成控制網(wǎng)格，如圖所示，其相應(yīng)的曲控制點(diǎn)構(gòu)成控制網(wǎng)格，如圖所示，其相應(yīng)的曲面稱為雙三次面稱為雙三次Bezier曲面。曲面。 7.5.2 7.5.2 雙三次雙三

38、次BezierBezier曲面的定義曲面的定義 o 雙三次雙三次Bezier曲面定義如下：曲面定義如下：o （u，v）0，10，1 )()(),(30i3 ,3 ,30,vBuBPvupjijji7.6 B7.6 B樣條曲線樣條曲線 o Bezier曲線曲線雖然有許多優(yōu)點(diǎn)，但也存在雖然有許多優(yōu)點(diǎn)，但也存在不足不足：u 控制點(diǎn)個(gè)數(shù)控制點(diǎn)個(gè)數(shù)(n+1)決定曲線的次數(shù)（決定曲線的次數(shù)（n次）次）；u 曲線不能局部修改，修改某一控制點(diǎn)將影響曲線不能局部修改，修改某一控制點(diǎn)將影響到整條曲線到整條曲線，原因是，原因是Bernstein基函數(shù)在整個(gè)基函數(shù)在整個(gè)開區(qū)間（開區(qū)間（0，1）內(nèi)均不為零，所以曲線在開

39、）內(nèi)均不為零，所以曲線在開區(qū)間內(nèi)任何一點(diǎn)的值都將受到全部頂點(diǎn)的影區(qū)間內(nèi)任何一點(diǎn)的值都將受到全部頂點(diǎn)的影響，改變其中某一頂點(diǎn)的位置，將會(huì)引起整響，改變其中某一頂點(diǎn)的位置，將會(huì)引起整條曲線的改變。條曲線的改變。 u 控制多邊形與曲線的逼近程度較差，次數(shù)越控制多邊形與曲線的逼近程度較差，次數(shù)越高，逼進(jìn)程度越差；高，逼進(jìn)程度越差；o 為了克服上述問題，為了克服上述問題，Gordon和和Riesenfeld于于1974年用年用B樣條基函數(shù)樣條基函數(shù)代替了代替了Bernstein基函數(shù)基函數(shù)，構(gòu)造了，構(gòu)造了B樣條曲線樣條曲線。o B樣條曲線的樣條曲線的次數(shù)次數(shù)可根據(jù)需要指定，不像可根據(jù)需要指定，不像Bez

40、ier曲線的次數(shù)是由控制點(diǎn)的個(gè)數(shù)來確定曲線的次數(shù)是由控制點(diǎn)的個(gè)數(shù)來確定o B樣條曲線的樣條曲線的突出優(yōu)點(diǎn)突出優(yōu)點(diǎn)是增加了對(duì)曲線的是增加了對(duì)曲線的局部局部修改修改功能功能o B樣條曲線比樣條曲線比Bezier曲線更貼近控制多邊形，曲曲線更貼近控制多邊形，曲線更光滑（很容易產(chǎn)生線更光滑（很容易產(chǎn)生C2連續(xù)性）連續(xù)性）7.6 B7.6 B樣條曲線樣條曲線o 7.6.1 B樣條曲線的定義樣條曲線的定義 o 7.6.2 二次二次B樣條曲線樣條曲線 o 7.6.3 三次三次B樣條曲線樣條曲線 o 7.6.4 B樣條曲線的性質(zhì)樣條曲線的性質(zhì) 7.6.1 B7.6.1 B樣條曲線的定義樣條曲線的定義 o 給定

41、給定n+1個(gè)控制點(diǎn)個(gè)控制點(diǎn)Pi（i0，1，2，n），），n次次B樣條曲線段的參數(shù)表達(dá)式為：樣條曲線段的參數(shù)表達(dá)式為：o 依次用線段連接控制點(diǎn)依次用線段連接控制點(diǎn)Pi（i0，1，2，n）組成的多邊形稱為）組成的多邊形稱為B樣條曲線控制多邊形。樣條曲線控制多邊形。o 在工程實(shí)際中，二次和三次在工程實(shí)際中，二次和三次B樣條曲線應(yīng)用較樣條曲線應(yīng)用較為廣泛。為廣泛。 niniitFPtp0,)()(injnjnjnijintCntF01,)() 1(!1)(7.6.2 7.6.2 二次二次B B樣條曲線樣條曲線 o 二次二次B樣條曲線的樣條曲線的n2，i0，1，2，B樣條曲樣條曲線是二次多項(xiàng)式線是二次多

42、項(xiàng)式89222220,230211( )( 1)(2)(2)3(1)32!21(21)2jjjFtC tjttttt22, 222, 121)() 122 - (21)(ttFtttF22, 212, 102, 0)()()()(PtFPtFPtFtpinjnjnjnijintCntF01,)() 1(!1)(7.6.2 7.6.2 二次二次B B樣條曲線樣條曲線 o 矩陣表示矩陣表示2102 011022121) 1(21)(PPPtttpo 二次二次B B樣條曲線的樣條曲線的起點(diǎn)起點(diǎn)p(0)p(0)位于位于P0P1P0P1邊的中點(diǎn)處，且其邊的中點(diǎn)處，且其切矢量切矢量P1P1P0P0沿沿P0

43、P1P0P1邊的走向；邊的走向；o 終點(diǎn)終點(diǎn)p(1)p(1)位于位于P1P2P1P2邊的中點(diǎn)處，且其切矢量邊的中點(diǎn)處，且其切矢量P2P2P1P1沿沿P1P2P1P2邊的走向；邊的走向；o P(1/2)P(1/2)正是正是P(0)P(0)、P1P1、P(1)P(1)這三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的這三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的中線中線P1PmP1Pm的中點(diǎn)，而且的中點(diǎn)，而且p(1/2)p(1/2)處的切線平行于兩個(gè)端處的切線平行于兩個(gè)端點(diǎn)的連線點(diǎn)的連線p(0) p(1)p(0) p(1)o 這樣，三個(gè)頂點(diǎn)這樣，三個(gè)頂點(diǎn)P0P1P2P0P1P2確定一段二次確定一段二次B B樣條曲線，該段樣條曲線，該段曲線是一段拋物

44、線曲線是一段拋物線o 一般情況下，一般情況下，B B樣條曲線不經(jīng)過控制點(diǎn)樣條曲線不經(jīng)過控制點(diǎn)，曲線起點(diǎn)只與，曲線起點(diǎn)只與前二個(gè)控制點(diǎn)有關(guān)，終點(diǎn)只與后二個(gè)控制點(diǎn)有關(guān)前二個(gè)控制點(diǎn)有關(guān)，終點(diǎn)只與后二個(gè)控制點(diǎn)有關(guān)7.6.3 7.6.3 三次三次B B樣條曲線樣條曲線 o 矩陣表示矩陣表示o 三次三次B樣條曲線的樣條曲線的n3，k0，1，2，3，控制，控制多邊形有四個(gè)控制點(diǎn)多邊形有四個(gè)控制點(diǎn)P0、P1、P2 和和P3，B樣條樣條曲線是三次多項(xiàng)式曲線是三次多項(xiàng)式 3210230141030303631331161)(PPPPttttp三次三次B B樣條曲線幾何性質(zhì)樣條曲線幾何性質(zhì)o 曲線起點(diǎn)曲線起點(diǎn)p(0

45、)位于位于 P0P1P2底邊底邊P0P2的中線上的中線上，且距，且距P1點(diǎn)三分之一處點(diǎn)三分之一處u 該點(diǎn)處的切矢量該點(diǎn)處的切矢量p(0)平行于平行于P0P1P2的底邊的底邊P0P2，且長(zhǎng)度為其二分之一。且長(zhǎng)度為其二分之一。u 該點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)該點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)p”(0) 沿著中線沿著中線P1Pm方向，長(zhǎng)度方向，長(zhǎng)度等于中線的兩倍。等于中線的兩倍。o 曲線終點(diǎn)曲線終點(diǎn)p(1)位于位于 P1P2P3底邊底邊P1P3的中線上的中線上，且距，且距P2點(diǎn)三分之一處點(diǎn)三分之一處u 該點(diǎn)處的切矢量該點(diǎn)處的切矢量p(1)平行于平行于P1P2P3的底邊的底邊P1P3，且長(zhǎng)度為其二分之一。且長(zhǎng)度為其二分之一。u 該

46、點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)該點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)p”(1)沿著中線方向，長(zhǎng)度等于中沿著中線方向，長(zhǎng)度等于中線的兩倍。線的兩倍。三次三次B B樣條曲線幾何性質(zhì)樣條曲線幾何性質(zhì)o 這樣，四個(gè)頂點(diǎn)這樣，四個(gè)頂點(diǎn)P0,P1,P2 ,P3確定一段三次確定一段三次B樣樣條曲線條曲線o 一般情況下，一般情況下，B樣條曲線不經(jīng)過控制點(diǎn)，曲線樣條曲線不經(jīng)過控制點(diǎn)，曲線起點(diǎn)只與前三個(gè)控制點(diǎn)有關(guān)，終點(diǎn)只與后三個(gè)起點(diǎn)只與前三個(gè)控制點(diǎn)有關(guān)，終點(diǎn)只與后三個(gè)控制點(diǎn)有關(guān)控制點(diǎn)有關(guān)o 實(shí)際上，實(shí)際上，B樣條曲線都具有這種控制點(diǎn)的鄰近樣條曲線都具有這種控制點(diǎn)的鄰近影響性，這正是影響性，這正是B樣條曲線局部可調(diào)整性好的樣條曲線局部可調(diào)整性好的原因原

47、因 7.6.4 B7.6.4 B樣條曲線的性質(zhì)樣條曲線的性質(zhì)連續(xù)性連續(xù)性o B樣條曲線不同于樣條曲線不同于Bezier曲線整體生成，它是分曲線整體生成，它是分段生成的，段生成的，B樣條曲線各段之間自然連接樣條曲線各段之間自然連接o 圖示二次（圖示二次（n2）B樣條曲線，由樣條曲線，由7段曲線組成段曲線組成，需要，需要9個(gè)控制點(diǎn)；個(gè)控制點(diǎn)；o 圖示三次（圖示三次（n3）B樣條曲線，由樣條曲線，由6段組成，需段組成，需要要9個(gè)控制點(diǎn)。個(gè)控制點(diǎn)。 二次二次B B樣條曲線的連續(xù)性樣條曲線的連續(xù)性三次三次B B樣條曲線的連續(xù)性樣條曲線的連續(xù)性局部性質(zhì)局部性質(zhì)o 在在B樣條曲線中，每段樣條曲線中，每段B樣

48、條曲線受樣條曲線受n+1個(gè)控制個(gè)控制點(diǎn)影響，改變一個(gè)控制點(diǎn)的位置，最多影響點(diǎn)影響，改變一個(gè)控制點(diǎn)的位置，最多影響n+1個(gè)曲線段，其它部分曲線形狀保持不變。個(gè)曲線段，其它部分曲線形狀保持不變。o 在工程設(shè)計(jì)中經(jīng)常需要對(duì)曲線進(jìn)行局部修改，在工程設(shè)計(jì)中經(jīng)常需要對(duì)曲線進(jìn)行局部修改，B樣條曲線能很好地滿足這一要求，這就是樣條曲線能很好地滿足這一要求，這就是B樣樣條曲線受歡迎的原因之一。條曲線受歡迎的原因之一。 二次二次B B樣條曲線樣條曲線局部頂點(diǎn)修改局部頂點(diǎn)修改7.7 B7.7 B樣條曲面樣條曲面 o 7.7.1 B樣條曲面的定義樣條曲面的定義 o 7.7.2 雙三次雙三次B樣條曲面的定義樣條曲面的定義o 7.7.3 雙三次雙三次B樣條曲面的連續(xù)性樣條曲面的連續(xù)性 7.7.1 B7.7.1 B樣條曲面