1、矩陣變換的特征值與特征向量矩陣變換的特征值與特征向量復習yxyx若向量 = ,利用逆矩陣解二元一次方程組則 與 共線,即 與 平行,即 .21001M矩陣表示一個壓縮變換BCAxyO11MBCAxyO112101012100101M210102100110M.1001分別與它們的像共線和ABCxy11-1OABCBAxy11-1ON1001N矩陣關于y軸的反射變換0110101100101N1010100110N.1001分別與它們的像共線和一般地,給定矩陣M,若存在一個非零向量 和實數,滿足M = 則稱為矩陣M的特征值, 為矩陣M的屬于特征值的特征向量.特征向量變換后的像與原向量是共線的特征

2、向量的不變換性0101M102110M01101N1010N的特征向量的屬于特征值為矩陣向量101M的特征向量的屬于特征值為矩陣向量 M的特征向量的屬于特征值為矩陣向量 N的特征向量的屬于特征值為矩陣向量 N21001M對于矩陣還有沒有其他的特征值和特征向量?如何確定矩陣的特征值和特征向量呢?1021011110實例分析?2563的特征值和特征向量如何確定矩陣M0Myx及對應的特征向量存在特征值假設矩陣,2563yxyx,002563yxyxyx,002563yxyx.002563由定義知特征向量是非零向量,將問題轉化為:二元一次方程組何時有非零解.02563N2563存在逆矩陣N-100yx

3、N001Nyx00yx僅有零解時當5.2,02563M 無特征向量.5.2, 02563才可能有非零解只有 652325632452當 2-5-24 = 0 時, 才可能是M的特征值解方程得 1 =8 2 =-3將 1 =8 代入 (5.2)00285638yx065065yxyxyx65 065xxx有無究多個非零解1 =8 是M的特征值0651xx都是屬于特征值1 =8 的特征向量.將 2 =-3 代入(5.2) 00235633yxx+y=00 xxx有無究多個非零解11xxx對每一個x0的值,都是屬于2 =-3的特征向量 2 =-3 是 M 的特征值對于矩陣M,若有特征值及相應的特征向

4、量,即M = ,則對任意實數t(t0),t 也必是矩陣 M 對應于特征值的特征向量.由于它們是共線的堂上練習1.求下列矩陣的特征值和特征向量 ;10111 ;21522堂上練習2.利用特征向量的定義證明,若 是矩陣M對應于特征值 的特征向量,則 t (實數t0)也必是矩陣 M 對應于特征值 的特征向量.抽象概括,dcbaM矩陣若矩陣 M 存在特征值,及其對應的特征向量yxyxyxdcba00yxdcba.,0方程組才可能有非零解時dcba因此,矩陣M的特征值必須滿足方程 cbdadcba002bcadda方程的根即為矩陣 M 的特征值一個二階方陣最多可以有兩個特征值方程最多有兩根00yxdcb

5、a解得特征值代入00ydcxbyxa cbda0dbca解集相同與00ydcxbyxa當 b0 時,由( - a ) x by = 0 xbaybaxxbax1方程有無窮多解當x0時.M1的特征向量的屬于特征值是矩陣解bax例1.3-65-8的特征值與特征向量求矩陣M解矩陣M的特征值 滿足方程656538365802解得 M 的兩個特征值 1=2, 2=3設屬于特征值 1=2 的特征向量為yx滿足方程組00326582yxxy65這樣的向量有無窮多個,可表示為0561xx65取為屬于特征值1=2的一個特征向量設屬于特征值 2=3 的特征向量為yx滿足方程組00336583yxxy 這樣的向量有

6、無窮多個,可表示為011xx11取為屬于特征值2=3的一個特征向量綜上所述,3-65-8M矩陣有兩個特征值1=2,2=365211的一個特征向量為屬于11322的一個特征向量為屬于對上例中122653658M1MM11M11M11112124206546522連續(xù)實施n次矩陣M的變換,則nnnnn26256526536581211M一般地,當矩陣M有特征值及對應的特征向量 ,即 M = 則有 Mn = 給定兩個不同線向量 1, 2及任意向量 ,總存在實數s,t,使得 = s 1 + t 2如果矩陣M 有兩個不同線的特征向量 1, 2 ,及其相應的特征值1,2 ,有 M 1= 1 1 , M 2

7、= 2 2 對任意向量 有M =M(s 1 + t 2)=s(M 1)+ t(M 2)= s( 1 1)+ t(2 2) 10011001MMMMyxyxyx作用下的在矩陣和只要知道兩個基向量所以M1001,變換結果,任意向量在矩陣M 作用下的變換結果均可以用它們表示.對一般向量連續(xù)實施矩陣M 所表示的變換時,M2 = M2(s 1+t 2)= s ( M2 1 ) + t (M2 2)222121ts2211nnntsM一般地例2MMM1004,87,3-65-8求向量矩陣解利用例1結果11,6521是矩陣M分別對應212112658724421442MMMM2421412113256244;2582