1、課時31直線的頓斜角和斜率(基礎題)一、單選題1.(上海市七寶中學(理)若直線/的一個法向量” = (3,1),則直線/的一個方向向量和傾斜角分別為(A. (1,3), arctan(3)B. (1,-3), arctan(3)C. (1,3), arctan(3)D. (1,-3), arctan【答案】B(分析先根據(jù)直線的法向量，求出直線的一個方向向量，由此求出直線的斜率，進而求得直線/的傾斜角.【詳解】解：.直線/的一個法向量為元= (3,1),直線/的一個方向向量為(1,-3),設直線/的傾斜角為%則有taim =, = _3,乂04a乃，倒”一arctan(3), 故選：B 【點睛】

2、本題主要考查直線的傾斜角和斜率的關系，傾斜角的取值范圍，已知三角函數(shù)值求角的大小，宜 線的法向量和方向向量的定義，屬看基礎題.2. (2018上海高三一模)直線/的法向量是萬= 3,。)，若而0,則直線/的傾斜角為,b、-abA. arctan()B.arctan()C.n + arctan D.n + arctan abba【答案】B 【分析】設a為直線的傾斜角，則根據(jù)法向量可得方向向量為，故斜率為gtana = -£,由"0知-二0，因此可用反三角函數(shù)表示傾斜角. b【詳解】直線的方向向量為(-4。)，所以其斜率為4 = -：. b設其傾斜角為a ,則tan a = -

3、 .b乂ab。、所以-£0,故且。= arctan(-£),故選 B.arctan x e【點睛】用反三函數(shù)表示角時，要注意反三角函數(shù)值角的范圍；如arcsinxe. arccosA G().也要注意所要表小的用的范圍，如本題中也線的方向向心若為他。川必0 ,因傾斜角的范圍為O，P），故直線的傾斜角為1+ arctan£.3. （2020上海高三專題練習）直線ar + by + c = 0（a<0,<0）的傾斜角是（）.aaA. -arc tanB. n4-arc tan bh一.（'冗a1 b）2b【答案】C【分析】計算直線斜率為 = -&#

4、163;<0，得到傾斜角. b【詳解】線ar + by + c = 0（a<0,b<0）,則后=_£<0,故傾斜角為%+ arc tan （一1）.故選：C.【點睛】本題考查了求直線傾斜角，反二角函數(shù)，屬于簡單題.二、填空題4. （2017上海市七寶中學高三開學考試）已知直線4：>/Ir-y + 2 = O, /2：3x+6y-5 = 0,則直線4與4的夾角是.【答案】y【分析】將直線方程化為斜截式方程，進而求得傾斜角，再求解夾角即可.【詳解】解：將直線方程化為斜截式方程得：y = x/Ir + 2,/2：y = -6x +苧=0,所以直線4的傾斜角為（

5、，直線的傾斜角為與，所以宜線八2的夾角是？故答案為：y5. （2020上海靜安）若直線乙和直線4的傾斜角分別為320和152則4與4的夾角為.【答案】60【分析】直接利用角的運算的應用求出結果.【詳解】直線/i和h的傾斜角分別為32。和152%所以直線/i和的夾角為180。- （152。-32。）=60°.故答案為：60°.【點暗】本題考杳的知識要點：立線的傾斜角及夾角的定義，主要考杳學生的運算能力和轉換能力，屬于 基礎題型.6. （上海徐匯高三模擬預測（文）若2 =（3,2）是直線/的一個方向向量，貝IJ/的傾斜角的大小為 （結果用反三角函數(shù)值表示）.2【答案】arcta

6、n 【分析】由方向向量求斜率，再求傾斜角.【詳解】團2 = （3,2）是宜線/的一個方向向量，所以其斜率為女=：，傾斜角為arctang.2 故答案為：arctan-.【點睛】本題考查直線的傾斜角，考查方向向量與斜率的關系.直線的斜率為左，則其一個方向向量為（1,%）.7. （2020上海閔行高三二模）若直線6+與+ 1 = 0的方向向量為（1/），則此直線的傾斜角為.【答案】T4【分析】利用直線的方向向量算出直線的斜率，進而求出直線的傾斜角.【詳解】解：團直線以+分+ 1 = 0的方向向量為（1,1）,國直線的斜率為1,團直線的傾斜角為N.4JT故答案為：-4【點睛】本題主要考查了直線的方向

7、向量，以及直線的傾斜角，是基礎題.8. （2019上海市大同中學）直線（feR）的傾斜角是.（用反三角表示）y = l-2f【答案】乃-arctan2【分析】將直線的參數(shù)方程整理為直線的一般方程，進而得到傾斜角【詳解】由題，可得y = 1 2（xl） = -2x+3,設傾斜角為atana = -2,： a e0,萬）.".a = arctan2【點睛】本題考查直線的參數(shù)方程與般方程的轉化,考查反三角函數(shù)求角9. （2020上海高三專題練習）若元=（-2,1）是直線/的一個法向量，則/的傾斜角的大小為 （結果 用反三角函數(shù)值表示）【答案】arctan 2【分析】根據(jù)巨線的法向量求出直線

8、的一個方向向3,從而得到直線的斜率，根據(jù)k = tana,即可求解直線 的傾斜角?！驹斀狻可? = （-2,1）是直線I的一個法向量，所以可知直線/的一個方向向量為（1,2）,直線/的傾斜角為a,可得& = tana = 2,所以直線的傾斜角為a = arc tan 2.故答案為：arctan 2?！军c睛】本題上要考查了直線的方向向量，以及直線的斜率與傾斜角的應用，其中解答中根據(jù)直線的方向 向量求得宜線的斜率是解答的關鍵，著重考杳了計算能力，屬于基礎題。10. （2018上海市向明中學高三開學考試）一條直線經(jīng)過點M（Y,3）,其傾斜角是直線x-2y + 8 = 0的傾 斜角的兩倍，則此

9、直線方程為.【答案】4x-3y+25 = 0【分析】先記直線x-2y + 8 = 0的傾斜角為。，則tan"；,根據(jù)題意求出所求直線的斜率，再由直線過點M（T,3）,根據(jù)直線的點斜式方程，即可得出結果.【詳解】設宜線x-2y + 8 = 0的傾斜角為。，則tanH = ；,因此，所求直線的斜率為左又該直線過點M（Y,3）,所以所求直線方程為：y-3 = ：（x+4）,即4x-3y + 25 = 0.故答案為4x-3y + 25 = 0【點睛】本題主要考查求直線的方程，熟記直線的點斜式方程，以及二倍角的正切公式即可，屬于?？碱} 型.11. （2020上海靜安）若直線/的一個法向量為A

10、= （2,1）,則若直線/的斜率&=.【答案】-2【分析】根據(jù)題意，分析可得直線/的方向向量為（1, k）,進而分析可得用.無= 2+k=0,解可得k的值, 即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，設直線/的斜率為k,則其方向向量為而=(1, k),若直線/的一個法向量為萬=<2, 1),則有所方= 2+k=0,解可得k=-2；故答案為：-2.【點睛】本題考查直線的斜率以及直線的法向量，注意直線方向向量的定義，屬于基礎題.12. (2020上海市南洋模范中學高三期中)已知直線/的一個法向量是d= (1,-6)，則此直線的傾斜角的大小為【答案】O【分析】設直線的方向向量為而=(力)，直線的傾

11、斜角為a.利用嬴=0,即可得出.【詳解】解：設直線的方向向量為記= (a,6),宜.線的傾斜角為a .則 m*n = a - -73b = 0 .h 43 t 一 = = tan ct,a 37t6故答案為：7. o【點睛】本題考查r直線的方向向量與法向量、向量垂直與數(shù)量積的關系，考查了計算能力，屬于基礎題.13. (2016上海市川沙中學高三開學考試)已知等差數(shù)列。"中，%=3, a=9,則過點P(,a,),C(n+2OO8,an+2flO8)(為正整數(shù))的直線的傾斜角為.【答案】arctan 6【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質和斜率公式可求出直線的斜率，即可根據(jù)Jl = tana,求出

12、傾斜角.【詳解】因為等差數(shù)列。“公差d= 4-4)= 6, nna - &20084,所以直線的斜率k = /二驅;” =-T- = d = 6,即直線的傾斜角為airtan6.(十 ZUUo I _ 77 ZUvo故答案為：arctan6.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質，斜率公式的應用以及根據(jù)斜率求直線傾斜角，屬于基礎題.14. (2020上海市七寶中學)若宜線方程ar+y+c = 0的一個法向量為(百,-1),則此直線的傾斜角為【答案】y 【分析】根據(jù)題意首先求出直線的一個方向向量，然后再求出直線的斜率，根據(jù)直線的斜率與傾斜角的關 系即可求解.(詳解設匕線的一個方向向量為a =

13、 (x,y)山直線方程ax +by +c = 0的一個法向量為(6, -1),所以 6x-y = 0,令 x = l,則 y = >A所以直線的個方向向量為(1,0)，% =乎=6，設直線的傾斜角為a , ill A = tana ,所以宜線的傾斜角為：a = y.故答案為：y【點睛】本題考查了宜線的法向量、方向向量、宜線的斜率與傾斜角的關系，屬于基礎題.15. (2019上海市奉賢區(qū)奉城高級中學)若直線/的方程為xcosa-y + 3 = 0(ae/?),則其傾斜角的取值范 圍是【答案】卜件,L 4j L 4 )【分析】由斜率與傾斜角的關系即可求得.【詳解】解：vxcosa-y + 3

14、 = 0 ,即 y = xcosa + 3 ,宜線的斜率)= cosa ,即丘-15，設宜線的傾斜角為氏則 tan6wT,l,ji 3 4、即 6 £ 0, D -，乃，1 44)收答案為：心卜修。三、解答題16. (2020上海高三專題練習)過點40,2m),以1,濟)的直線傾斜角為a ,求a的取值范圍.【答案】O）U【分析】設直線的斜率為4,根據(jù)斜率公式求出2的范圍，再根據(jù)傾斜角和斜率的關系得答案.【詳解】解：設直線的斜率為上，則 = tan a = - = （m-I）2 -1 >-1,1-0八吟31團a g 0, 一 u 一冗、冗.L 2； L4 JTT【點睛】本題苔杳斜

15、率和傾斜角的關系，注意：直線斜率不存在，傾斜角a = 上；直線斜率。存在,是2實數(shù)，并且kNO時，a e O,yj； «<0時，aefpj.技能專題練J（能力題） 一、單選題1. （2017上海黃浦格致中學高三開學考試）在平面直角坐標系xoy中,直線以+ by + c =0（歷>0）的傾斜角大小為 abaaA. arctan -B. arctan C. - arctan- D. 7r arctanbabb【答案】D【分析】根據(jù)直線方程求出斜率 = -g,利用反正切函數(shù)可表示出傾斜角. b【詳解】因為直線以+加+c=0（a> 0）,所以斜率上=-告<0,即傾斜角

16、為鈍角 b所以 a =乃一 arctan b故選D【點睛】本題主要考查了直線的斜率，傾斜角，反正切函數(shù)，屬于中檔題. 二、填空題27r2. （2020上海市大同中學）直線產x.cosa + l,ae 0,的傾斜角范圍為.1u "一 arclan 一 2c 71【答案】。，:4【分析】由a的范圍得直線的斜率的取值范圍，從而可得傾斜角的范圍. 241【詳解】0aeO,國斜率A = cosac-5，1,記直線的傾斜角為。，JT11當 AwO,l時，6)e0,-,當-,0)時，6» g - arctan-，),422團直線的傾斜角范圍是。,£ U 1- arc tan 1

17、,乃).4211故答案為：0,lUlvr-arctan；7). 42【點睛】本題考杳向線的斜率與傾斜角的關系，在由斜率求傾斜角的范圍時，要注意對分類，分A 20和 %0兩類.三、解答題3. (2020上海)一條光線從點45,3)射出后，被直線/:x + y-l = 0反射，入射光線與/的夾角為/，已知 tan4=2,求入射光線與反射光線所在直線方程.【分析】根據(jù)題意，設入射光線所在直線斜率為k,利用兩直線的夾角公式得出tan夕= 2 = 合，求出斜 率k,設45,3)關于直線/的對稱點A'(x,y),根據(jù)點關于直線對稱的性質和中點坐標公式,即可求出W的坐 標，最后利用點斜式方程求出入射

18、光線與反射光線所在直線方程.【詳解】解：由題可知，l：x + y- = 0,斜率為T,設入射光線所在宜線斜率為左，則反射光線為:， k 女+11又因為tan/ = 2=-=攵=二或3. '一 k3設4(5,3)關于直線I的對稱點A'(x, y),則Ax, y)在反射光線上，所以A4'的中點坐標為(等，等)且在直線/：x+y-i=o上，而A4'U,所以出京=1,則5+1 3+y 22、.丫一5-1 = 0=>x = -2y = -4,即 4(-2,-4),當女=；時，入射光線所在直線方程為：y-3 = g(x-5),即x-3y + 4 = 0,反射光線所在直

19、線方程為：y + 4 = 3(x + 2),即3x-y + 2 = O；當 = 3時,入射光線所在直線方程為y-3 = 3(x-5),即3x-y-12 = 0,反射光線所在直線方程為y + 4 = g(x + 2),即x-3y-10 = 0.【點睛】本題考查光線反射問題，求直線關于直線對稱的直線的方程，涉及兩直線的夾角公式，直線的斜 率，中點坐標公式和點斜式方程的應用，考查運算能力.4. (2020上海)從點42,1)出發(fā)的一束光線依次經(jīng)過直線4：y = ±5x + 3和/2：y = (2-6)-(x-1)反射后回到點A.設乙和4上反射點分別為P和Q,求直線P。的方程.【答案】3x+

20、y3 = O【分析】根據(jù)題意,可得出直線4和4斜率，設直2,1)關于4對稱點B(x,y),根據(jù)點關于直線對稱的性質和 中點坐標公式，即可求出8的坐標，同理求出C的坐標，結合條件可知8, C. P，。四點同在一條直線上,最后利用兩點式方程求出直線PQ的方程.【詳解】解：由題可知，/血的斜率分別知心乎設42,1)關于4對稱點B(x, y),則A8 _L乙,所以A8的中點坐標為，且在4上,x+22同理得42,1)關于12對稱點cl +9山丁從點42,1)出發(fā)的一束光線依次經(jīng)過直線4和反射后回到點A .則B, C, P,。四點同在一條直線上，, 3亞則號氣.即力+y-3 =。，3 + - I - 55

21、55所以，直線PQ方程為3x+y-3 = O.【點睛】本題考查根據(jù)光線的反射求宜線的方程，涉及點關于宜線對稱，直線的斜率，中點坐標公式和兩點式方程的應用，考查運算能力.維核心素養(yǎng)練J（真題/新題）一、單選題1. （2022上海）已知平面直角坐標系中不垂直于k軸的直線/,則"/的斜率等于女"是"/的傾斜角等于arclan的（）A.充要條件B,充分非必要條件C.必要非充分條件D.既非充分又不必要條件【答案】C【分析】由反正切函數(shù)的值域以及充分必要條件的判定可得出正確選項.【詳解】當kN。時，由直線/的斜率為女，可得出直線/的傾斜角為arctanh當<0時，由直線

22、/的斜率為火,可得出直線/的傾斜角為乃+ arctanA反之，若直線/的傾斜角為arclank ,則直線/的斜率為tan（arctan左）=左.因此，"/的斜率等于是"/的傾斜角等于arctan及"的必要非充分條件.故選C.【點睛】本題考查直線斜率與傾斜角的關系，考查了反正切函數(shù)的應用，同時也考查了必要不充分條件的 判斷，在判斷時要熟悉直線傾斜角的取值范圍以及反正切函數(shù)的值域，考查推理能力，屬于中等題.二、填空題2. （2021長寧上海市延安中學高三月考）直線x+y-l=0的傾斜角是.3 71【答案】: 4【分析】根據(jù)直線方程可得斜率，進而可得傾斜角【詳解】解：由已知y = -x+i,則直線斜率=I,又傾斜角的范圍為0,P）.3兀故直線x+ y 1 =。的傾斜角是；.43冗故答案為：r.43. （2021上海高三模擬預測）求直線x = -2與直線&x-y + l=0的夾角為.【答案】7O【分析】先求出直線的斜率，可得它們的傾斜角，從而求出兩條直線的夾角.1T【詳解