1、線性系統(tǒng)理論系統(tǒng)的運(yùn)動穩(wěn)定性1第四章 系統(tǒng)的運(yùn)動穩(wěn)定性Lyapunov意義下的運(yùn)動穩(wěn)定性線性時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性系統(tǒng)理論系統(tǒng)的運(yùn)動穩(wěn)定性24.1 Lyapunov意義下的運(yùn)動穩(wěn)定性4.2 線性時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定4.3 線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性系統(tǒng)理論系統(tǒng)的運(yùn)動穩(wěn)定性34.1 4.1 LyapunovLyapunov意義下的運(yùn)動穩(wěn)定性意義下的運(yùn)動穩(wěn)定性4.1.1 系統(tǒng)的運(yùn)動與平衡點(diǎn) 動。系統(tǒng)的常數(shù)解或靜止運(yùn)平衡狀態(tài)為系統(tǒng)的一個(gè)平衡點(diǎn)或稱若態(tài)引起的運(yùn)動為：在唯一性條件，初始狀若狀態(tài)方程滿足解的存的線性向量函數(shù)。為若系統(tǒng)為線性，。狀態(tài)方程中不顯含時(shí)間若系統(tǒng)為定常系統(tǒng)，則自治

2、系統(tǒng)。的系統(tǒng)，常限于研究無外作用研究運(yùn)動穩(wěn)定性問題時(shí) eeettttttttttttAtttttxxfxxxxxxxxfxxxfx0000000000, 0),(),()(,)(,)() , (,)(),(線性系統(tǒng)理論系統(tǒng)的運(yùn)動穩(wěn)定性44.1.2 Lyapunov意義下的運(yùn)動穩(wěn)定性含義 意義下穩(wěn)定的。為則稱不等式出發(fā)的受擾運(yùn)動都滿足的任一初態(tài)使得滿足都對應(yīng)地存在一個(gè)實(shí)數(shù)對給定的任一實(shí)數(shù)，若為系統(tǒng)的一個(gè)平衡狀態(tài)設(shè)意義下的穩(wěn)定性：定義LyapunovttttttLyapunoveeeexxxxxxx0000000,|),(|),(|),(, 01穩(wěn)定示意圖線性系統(tǒng)理論系統(tǒng)的運(yùn)動穩(wěn)定性5一致穩(wěn)定的。

3、是平衡狀態(tài)選取無關(guān)，則進(jìn)一步稱的而與初始時(shí)刻的選取只依賴于若，意義下的穩(wěn)定性定義中在上述意義下的一致穩(wěn)定性：定義etLyapunovLyapunovx02一致穩(wěn)定示意圖線性系統(tǒng)理論系統(tǒng)的運(yùn)動穩(wěn)定性6),(,|),(|),(|, 0),(, 0),()2() 1 (3000000000tTttttttTtLyapunovLyapunoveeeexxxxxxx；足出發(fā)的受擾運(yùn)動同時(shí)滿態(tài)的任一初使得滿足對應(yīng)地存在實(shí)數(shù)和任意給定的實(shí)數(shù)對意義下穩(wěn)定性的是稱為漸近穩(wěn)定的，如果衡狀態(tài)系統(tǒng)的一個(gè)平意義下的漸近穩(wěn)定性：定義漸近穩(wěn)定示意圖S S()S S()線性系統(tǒng)理論系統(tǒng)的運(yùn)動穩(wěn)定性7是一致漸近穩(wěn)定的。，則稱平

4、衡狀態(tài)不依賴于初始時(shí)刻的選取和義中，若意義下的漸近穩(wěn)定性定在上述性意義下的一致漸近穩(wěn)定：定義etTLyapunovLyapunovx04一致漸近穩(wěn)定示意圖線性系統(tǒng)理論系統(tǒng)的運(yùn)動穩(wěn)定性8為不穩(wěn)定的。稱，；出發(fā)的運(yùn)動滿足不等式的任一使得由滿足相應(yīng)的實(shí)數(shù)都不可能找到大的有限實(shí)數(shù)衡狀態(tài)，若對于不管多統(tǒng)的平為系設(shè)意義下的不穩(wěn)定定義：定義全局漸近穩(wěn)定。是大范圍漸近穩(wěn)定的則稱；都是有界的，且滿足；受擾運(yùn)動為初態(tài)的態(tài)空間中任一有限點(diǎn)統(tǒng)的平衡狀態(tài)，若以狀為系設(shè)定性意義下的大范圍漸近穩(wěn)：定義eeeeeetettttttLyapunovttttLyapunovxxxxxxxxxxxxx000000000000,|)

5、,(|),(|),(, 06),(lim),(5不穩(wěn)定示意圖線性系統(tǒng)理論系統(tǒng)的運(yùn)動穩(wěn)定性9為全局指數(shù)穩(wěn)定的。則稱不等式出發(fā)的受擾運(yùn)動都滿足的任一初態(tài)使得滿足和都對應(yīng)地存在一個(gè)實(shí)數(shù)對給定的任一實(shí)數(shù)統(tǒng)的平衡狀態(tài)，若為系設(shè)全局指數(shù)穩(wěn)定的定義：定義為指數(shù)穩(wěn)定的。則稱不等式出發(fā)的受擾運(yùn)動都滿足的任一初態(tài)使得滿足和都對應(yīng)地存在一個(gè)實(shí)數(shù)對給定的任一實(shí)數(shù)統(tǒng)的平衡狀態(tài)，若為系設(shè)指數(shù)穩(wěn)定的定義：定義etteeeetteeettektttkttetttxxxxxxxxxxxxxx0)(000000)(00000,)(|),(|),(|, 00)(, 08,|),(|),(|, 0)(, 0700線性系統(tǒng)理論系統(tǒng)的運(yùn)

6、動穩(wěn)定性104.1.3 Lyapunov第二方法的主要定理具有無窮大性質(zhì)。則稱正定函數(shù)若上的一個(gè)正定函數(shù)。為定義在則稱有和，并使得對任何滿足：和連續(xù)的非減的標(biāo)量函數(shù)有限正定，即存在兩個(gè)均具有一階連續(xù)偏導(dǎo)和關(guān)于上的一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，若是定義在有限區(qū)域，中包含原點(diǎn)的一個(gè)封閉是設(shè)：定義),(,|)(|lim),),(|)(|),(|(|000)0()0(|)(|)(|),()3(0), 0()2(),() 1 (),),(,9|000tVttVtVtttVtVttVttVRRnnxxxxxxxxxxxxxxx線性系統(tǒng)理論系統(tǒng)的運(yùn)動穩(wěn)定性11tVtVdtdVtVVVVVVVVRRnn),(),()(,)(

7、lim)(, 0)(0) 3(0)0()2()() 1 ()(,10|xfxxxxxxxxxxxx沿系統(tǒng)的全導(dǎo)數(shù)具有無窮大性質(zhì)。則稱正定函數(shù)若時(shí)不變正定函數(shù)。上的一個(gè)為定義在則稱有對于連續(xù)偏導(dǎo)的所有分量均具有一階關(guān)于上的一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，若是定義在有限區(qū)域，中包含原點(diǎn)的一個(gè)封閉是設(shè)：定義線性系統(tǒng)理論系統(tǒng)的運(yùn)動穩(wěn)定性12定的。衡點(diǎn)為全局一致漸近穩(wěn)則系統(tǒng)的零平上一致有界一致負(fù)定，數(shù)在它沿系統(tǒng)的全導(dǎo)上的有界正定函數(shù)定義在性質(zhì)的若存在一個(gè)具有無窮大：定理穩(wěn)定的）。近一致穩(wěn)定的（或一致漸則系統(tǒng)的零平衡狀態(tài)是負(fù)定的），上為有界半負(fù)定的（或全導(dǎo)數(shù)在它沿系統(tǒng)的上的一個(gè)有界正定函數(shù)和定義在域若存在包含原點(diǎn)的某鄰：定

8、理nnnRttVRtttVtR),),(),2),),(),10000 xx線性系統(tǒng)理論系統(tǒng)的運(yùn)動穩(wěn)定性13不穩(wěn)定的。內(nèi)為正定，則零平衡點(diǎn)它沿系統(tǒng)的全導(dǎo)數(shù)在存在一個(gè)正定函數(shù)內(nèi)若原點(diǎn)的某鄰域：定理穩(wěn)定的。零平衡狀態(tài)為全局漸近上為負(fù)定的，則系統(tǒng)的它沿系統(tǒng)的全導(dǎo)數(shù)在數(shù)性質(zhì)的正定函上存在一個(gè)具有無窮大若在：定理近穩(wěn)定。則系統(tǒng)的零平衡狀態(tài)漸系統(tǒng)的非零解上非零，在中內(nèi)為半負(fù)定的，但在它沿系統(tǒng)的全導(dǎo)數(shù)在存在一個(gè)正定函數(shù)內(nèi)若原點(diǎn)的某鄰域：定理定的）。局部穩(wěn)定的（或漸近穩(wěn)則系統(tǒng)的零平衡狀態(tài)為的），內(nèi)為半負(fù)定的（或負(fù)定它沿系統(tǒng)的全導(dǎo)數(shù)在存在一個(gè)正定函數(shù)內(nèi)若原點(diǎn)的某鄰域：定理),(6),(5)(),(4),(3xx

9、xxxVRVRVVVnn線性系統(tǒng)理論系統(tǒng)的運(yùn)動穩(wěn)定性144.2.1 線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的特殊性性等價(jià)。性與全局指數(shù)穩(wěn)定：線性系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定命題近穩(wěn)定。穩(wěn)定，則必為全局漸：線性系統(tǒng)的零解漸近命題點(diǎn)穩(wěn)定。穩(wěn)定，則其非零平衡：線性系統(tǒng)的零平衡點(diǎn)命題平衡點(diǎn)。降秩時(shí)，系統(tǒng)有無限個(gè)點(diǎn)。點(diǎn)，也可能有非零平衡原點(diǎn)為系統(tǒng)的一個(gè)平衡定常系統(tǒng)321,)(00AttAtttAxxxx4.2 4.2 線性時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)線性時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)線性系統(tǒng)理論系統(tǒng)的運(yùn)動穩(wěn)定性154.2.2 直接判據(jù) 0)(0000000000000,|),(|,)4(0|),(|lim)3(,|),(|,),),()2(,)(|),(|)

10、,(),),() 1 (),(0ttekttkkttttkttkttttttktttktttttttkt使得：和件是存在正常數(shù)一致漸近穩(wěn)定的充要條：漸近穩(wěn)定的充要條件是使得：存在正常數(shù)上有界，即在一致穩(wěn)定的充要條件是使得：正常數(shù)上有界，即存在在穩(wěn)定的充要條件是，則系統(tǒng)為為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣定理：設(shè)線性系統(tǒng)理論系統(tǒng)的運(yùn)動穩(wěn)定性164.2.3 Lyapunov定理00021120, )()()()()()(0),()(),()()(),(,)(0, 0),)(tttQtPtAtAtPtPtdtQttPtQttttItQIttQTtT分方程的唯一解收斂，且為下述矩陣微對于的矩陣，則積分為一致有界和一

11、致正定矩陣，為其狀態(tài)轉(zhuǎn)移近穩(wěn)定的，引理：設(shè)系統(tǒng)是一致漸使得下式成立存在正實(shí)數(shù)，如果一致有界和一致正定的稱矩陣函數(shù)，它稱為是對上的一個(gè)分段連續(xù)的實(shí)為定義在定義：設(shè)線性系統(tǒng)理論系統(tǒng)的運(yùn)動穩(wěn)定性17則系統(tǒng)一致漸近穩(wěn)定。矩陣，且上的一致有界分段連續(xù)為推論：設(shè)。解有界和一致正定的矩陣有唯一的實(shí)對稱、一致矩陣微分方程時(shí)變陣一致有界和一致正定的個(gè)實(shí)對稱、件是對于任意給定的一一致漸近穩(wěn)定的充要條平衡狀態(tài)為有界的實(shí)函數(shù)，則原點(diǎn)元均為分段連續(xù)的一致的為其唯一的平衡狀態(tài)，統(tǒng)，定理：考慮線性時(shí)變系0)()(),)()(, )()()()()()(),()(00tAtAttAtPtttQtPtAtAtPtPLyapun

12、ovtQtATTex線性系統(tǒng)理論系統(tǒng)的運(yùn)動穩(wěn)定性184.3 線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性4.3.1 直接判據(jù)與Hurwitz定理根。根為其最小多項(xiàng)式的單有非正實(shí)部，且零實(shí)部的所有特征值都穩(wěn)定的，如果稱為臨界）（實(shí)部。的所有特征值都有負(fù)穩(wěn)定的，如果稱為）（，則定義：設(shè)負(fù)實(shí)部。的所有特征值均具有條件是）系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的充要（的單根。小多項(xiàng)式零實(shí)部的特征值為其最有非正實(shí)部，且其具有的所有特征值均具是）系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件定理：（AHurwitzAAHurwitzARAAAnn2121線性系統(tǒng)理論系統(tǒng)的運(yùn)動穩(wěn)定性19njaniaaaaaaaaaaasasasasassfHurwitzjiiiinnnnn, 00, 2 , 1,1001)(2122345123112211，這里均大于件是平面左半平面的充要條其所有根均式定理：給定實(shí)系數(shù)多項(xiàng)線性系統(tǒng)理論系統(tǒng)的運(yùn)動穩(wěn)定性204.3.2 Lyapunov定理，有唯一對稱正定解。矩陣方程能觀測時(shí)，當(dāng)階非負(fù)對稱陣定的對任意給進(jìn)穩(wěn)定的充要條件是，定理：