1、第四章第四章 有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)（有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)（FIR）濾波器的設(shè)計(jì)方法濾波器的設(shè)計(jì)方法 序言序言4.1 線性相位線性相位FIR數(shù)字濾波器的特性數(shù)字濾波器的特性4.2 窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)間窗口法）窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)間窗口法） 4.3 頻率采樣法頻率采樣法 4.4 FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì) 4.5 IIR與與FIR數(shù)字濾器的比較數(shù)字濾器的比較序言序言 FIR數(shù)字濾波器的差分方程描述數(shù)字濾波器的差分方程描述 10)()(Niiinxany 10)(NiiizazH 10)()()(Niinxihny10)()()(NiiizihzHiha對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù) 因?yàn)樗?/p>

2、是一種線性時(shí)不變系統(tǒng)，可用卷積和形式表示因?yàn)樗且环N線性時(shí)不變系統(tǒng)，可用卷積和形式表示 比較比較、得：得：FIR數(shù)字濾波器的特點(diǎn)數(shù)字濾波器的特點(diǎn)(與與IIR數(shù)字濾波器比較數(shù)字濾波器比較)： 優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn) ：（：（1）很容易獲得嚴(yán)格的線性相位，避免被處理）很容易獲得嚴(yán)格的線性相位，避免被處理 的信號(hào)的信號(hào) 產(chǎn)生相位失真，這一特點(diǎn)在產(chǎn)生相位失真，這一特點(diǎn)在 寬頻帶信寬頻帶信 號(hào)處理、陣號(hào)處理、陣 列信號(hào)處理、數(shù)據(jù)傳輸?shù)认到y(tǒng)中列信號(hào)處理、數(shù)據(jù)傳輸?shù)认到y(tǒng)中 非常重要；非常重要； （2 ）可得到多帶幅頻特性；）可得到多帶幅頻特性； （3 ）極點(diǎn)全部在原點(diǎn)（永遠(yuǎn)穩(wěn)定），無穩(wěn)定）極點(diǎn)全部在原點(diǎn)（永遠(yuǎn)穩(wěn)定），無穩(wěn)

3、定 性問題；性問題； （4 ）任何一個(gè)非因果的有限長(zhǎng)序列，總可以通過一）任何一個(gè)非因果的有限長(zhǎng)序列，總可以通過一 定的延時(shí)，轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚬蛄?，定的延時(shí)，轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚬蛄校?所以因果性總是所以因果性總是 滿足；滿足； （5）無反饋運(yùn)算，運(yùn)算誤差小。）無反饋運(yùn)算，運(yùn)算誤差小。缺點(diǎn)：（缺點(diǎn)：（1）因?yàn)闊o極點(diǎn)，要獲得好的過渡帶特性，需以較）因?yàn)闊o極點(diǎn)，要獲得好的過渡帶特性，需以較 高的階數(shù)為代價(jià)；高的階數(shù)為代價(jià)； （2）無法利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)結(jié)果，一般無解）無法利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)結(jié)果，一般無解 析設(shè)計(jì)析設(shè)計(jì) 公式，要借助計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)程序完成。公式，要借助計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)程序完成。4.1 線性相位線性相

4、位FIR數(shù)字濾波器的特性數(shù)字濾波器的特性 )(4.1.1 線性相位的條件線性相位的條件線性相位意味著一個(gè)系統(tǒng)的相頻特性是頻率的線性函數(shù)，即式中為常數(shù)，此時(shí)通過這一系統(tǒng)的各頻率分量的時(shí)延為一相同的常數(shù)，系統(tǒng)的群時(shí)延為 ddg)(FIR濾波器的DTFT為 NnnjjjenheHeH式中 H()是正或負(fù)的實(shí)函數(shù)。等式中間和等式右邊的實(shí)部與虛部應(yīng)當(dāng)各自相等，同樣實(shí)部與虛部的比值應(yīng)當(dāng)相等: NnNnnnhnnhcossincossin將上式兩邊交叉相乘，再將等式右邊各項(xiàng)移到左邊，應(yīng)用三角函數(shù)的恒等關(guān)系 Nnnnhsin滿足上式的條件是 10 ,121NnnNhnhN另外一種情況是，除了上述的線性相位外，

5、還有一附加的相位，即 )( nNhnhN1221利用類似的關(guān)系，可以得出新的解答為 20) 1( N 20) 5 . 0( N2 偶對(duì)稱)(nh 奇對(duì)稱)(nh圖1 線性相位特性分四種情況4.1.2 線性相位線性相位FIR濾波器的幅度特性濾波器的幅度特性分四種情況1 h(n) 偶對(duì)稱，N為奇數(shù) h(n)=h(N-1-n)4.1.2 線性相位線性相位FIR濾波器的幅度特性濾波器的幅度特性 21230112121230102121)(NjNnnNjnjNNnnjNjNnnjNnnjjjeNheenhenheNhenhenheHeH2/ )3(021cos)(221)(NnNnnhNhH 2121c

6、os221)()(23021212302121NhNnnheNheenheeHNnNjNnjNnNnjNjj21)(N21Nnm令 ，則2/ ) 1(1cos)21(221)(NmmmNhNhH21, 2 , 1,212)(,21)0(NnnNhnaNha 2/10cos)(NnnnaH令則由于 偶對(duì)稱，因此 對(duì)這些頻率也呈偶對(duì)稱。2 , 0cos關(guān)于n H(1)/2111( )2 ()cos22NmNNHhhmm 2 0 2h(n)偶對(duì)稱，偶對(duì)稱，N為偶數(shù)為偶數(shù) h(n)=h(N-1-n) 12/021cos)(2NnNnnhH令 ，則mNn12 2/121cos122NmmmNhH 120

7、211201120112021cos21NnNjNnnNjnjNnnNjNnnjjNnnheeenhenNhenheH 120121cos22NmNHhmm nNhnbnnbHNn122)(21cos)(2/1或?qū)憺椋?由于 奇對(duì)稱，所以 對(duì) 也為奇對(duì)稱，且由于 時(shí)， 處必有一零點(diǎn)，因此這種情況不能用于設(shè)計(jì) 時(shí) 的濾波器，如高通、帶阻濾波器。對(duì)2/1cosn H1)(, 0)(zzHH在故 0H, 02/1cosn0 023. h(n)奇對(duì)稱，奇對(duì)稱，N為奇數(shù)，為奇數(shù)，h(n)=-h(N-1-n) 230221230112123021sin2NnNjNnnNjnjNNnnjNnnjjNnnhe

8、eenhenhenheH 令 n=m+(N-1)/2，得： 2/ )1(1sin212NmmmNhH)21(sin)(2)(230NnNnnhH mmNhHNm211sin212所以 nNhncnncHNn212)(sin)(211由于 點(diǎn)呈奇對(duì)稱，所以 對(duì)這些點(diǎn)也奇對(duì)稱。由于 時(shí)， 相當(dāng)于H（z）在 處有兩個(gè)零點(diǎn)，不能用于 的濾波器設(shè)計(jì)，故不能用作低通、高通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)。2 , 0sin對(duì)n H1z2 , 0 , 0, 0sinHn 00)0(HH和02 2 4.h(n)奇對(duì)稱，N為偶數(shù) 12022121sin2NnNjjNnnheeH)21(sin)12(2)(21NmmmNhH12

9、Nnm令1201( )2 (1)sin ()22NmNHhmm 2/121sin)(NnnndHnNhnd122)(21sinn由于 在=0,處為零，所以H()在=0, 2處為零，即H(z)在z=1上有零點(diǎn)，并對(duì)=0,2呈奇對(duì)稱。 0 022 四種線性相位FIR濾波器四種線性相位FIR DF特性，參考表4.1第一種情況 ，偶、奇，四種濾波器都可設(shè)計(jì)。第二種情況，偶、偶，可設(shè)計(jì)低、帶通濾波器，不能設(shè)計(jì) 高通和帶阻。第三種情況，奇、奇，只能設(shè)計(jì)帶通濾波器，其它濾波器 都不能設(shè)計(jì)。第四種情況，奇、偶，可設(shè)計(jì)高通、帶通濾波器，不能設(shè) 計(jì)低通和帶阻。例例1 N=5, h (0) = h (1) = h

10、(3) = h (4) = -1/2, h (2) = 2，求幅度函數(shù)H ()。解 為奇數(shù)并且h(n)滿足偶對(duì)稱關(guān)系a (0) = h (2) = 2a (1) = 2 h (3) = -1a (2) = 2 h (4) = -1H () = 2 - cos- cos2 = 2- (cos+cos2) 小結(jié)： 四種FIR數(shù)字濾波器的相位特性只取決于h(n)的對(duì)稱性，而與h(n)的值無關(guān)。幅度特性取決于h(n)。設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器時(shí)，在保證h(n)對(duì)稱的條件下，只要完成幅度特性的逼近即可。注意：當(dāng)H()用H()表示時(shí)，當(dāng)H()為奇對(duì)稱時(shí)，其相頻特性中還應(yīng)加一個(gè)固定相移。4.1.3 線性相位線性

11、相位FIR濾波器的零點(diǎn)特性濾波器的零點(diǎn)特性 )1()(nNhnh 10NnnznhzH101NnnznNh 101101)(NmmNNmmNzmhzzmhzH 11zHzzHN由該式可看出，若z=zi是H（z）的零點(diǎn)，則z=z-1i也一定是H（z）的零點(diǎn)。由于h(n)是實(shí)數(shù)，H（z）的零點(diǎn)還必須共軛成對(duì)，所以z=z*i 及 z=1/z*也必是零點(diǎn)。 所以線性相位濾波器的零點(diǎn)必須是互為倒數(shù)的共軛對(duì)，即成四出現(xiàn)，這種共軛對(duì)共有四種可能的情況：既不在單位園上，也不在實(shí)軸上，有四個(gè)互為倒數(shù)的兩組共軛 對(duì)， zi z*i 1/zi 1/z*i 圖4.2(a) 在單位圓上，但不在實(shí)軸上，因倒數(shù)就是自己的共

12、軛，所以有一對(duì)共軛零點(diǎn)， zi,z*i 圖4.2（b） 不在單位圓上，但在實(shí)軸上，是實(shí)數(shù),共軛就是自己，所以有一對(duì)互為倒數(shù)的零點(diǎn), zi, 1/zi 圖4.2（c）又在單位圓上，又在實(shí)軸上，共軛和倒數(shù)都合為一點(diǎn)，所以成單出現(xiàn)，只有兩種可能， zi=1或zi=-1 圖4.2(d),p92我們從幅度響應(yīng)的討論中已經(jīng)知道，對(duì)于第二種FIR濾波器（h(n)偶對(duì)稱，N為偶數(shù)）， ，即 是 的零點(diǎn)，既在單位圓，又在實(shí)軸，所以，必有單根；同樣道理，對(duì)于第三種 0H1jez HFIR濾波器，h(n)奇對(duì)稱，N為奇數(shù)，因 所以z=1，z=-1都是H（z）的單根；對(duì)于第四種濾波器，h(n)奇對(duì)稱，N為偶數(shù)，H（O

13、）=0，所以z=1是H（z）的單根。所以，h(n)奇對(duì)稱H(0)=0 N為偶數(shù)H()=0線性相位濾波器是FIR濾波器中最重要的一種，應(yīng)用最廣。實(shí)際使用時(shí)應(yīng)根據(jù)需用選擇其合適類型，并在設(shè)計(jì)時(shí)遵循其約束條件。 0, 0)(HoH4.2 窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域）窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域） 如果希望得到的濾波器的理想頻率響應(yīng)為 ，那么 FIR濾波器的設(shè)計(jì)就在于尋找一個(gè)系統(tǒng)函數(shù)，頻率響應(yīng) 去逼近 ，逼近方法有三種： 窗口設(shè)計(jì)法（時(shí)域逼近） 頻率采樣法（頻域逼近） 最優(yōu)化設(shè)計(jì)（等波紋逼近） 時(shí)間窗口設(shè)計(jì)法是從單位脈沖響應(yīng)序列著手，使h(n)逼近理想的單位脈沖響應(yīng)序列hd(n)。我們知道hd(n)可以從理想頻響 通過付氏

14、反變換獲得 )(jdeH10)(NnjnjenheH)(jdeH221)(onjjdddeeHnh 但一般來說，理想頻響 是分段恒定，在邊界頻率處有突變點(diǎn)，所以，這樣得到的理想單位脈沖響應(yīng)hd(n)往往都是無限長(zhǎng)序列，而且是非因果的。但FIR的h(n)是有限長(zhǎng)的，問題是怎樣用一個(gè)有限長(zhǎng)的序列去近似無限長(zhǎng)的hd(n)。最簡(jiǎn)單的辦法是直接截取一段 hd(n) 代替 h(n) 。這種截取可以形象地想象為h(n)是通過一個(gè)“窗口”所看到的一段hd(n)，因此 ，h(n)也可表達(dá)為h(n)和一個(gè)“窗函數(shù)”的乘積，即 h(n)=w(n) hd(n) 在這里窗口函數(shù)就是矩形脈沖函數(shù)RN（n），當(dāng)然以后我們還

15、可看到，為了改善設(shè)計(jì)濾波器的特性，窗函數(shù)還可以有其它的形式，相當(dāng)于在矩形窗內(nèi)對(duì)hd(n)作一定的加權(quán)處理。)(jdeH 設(shè)計(jì)步驟：)()()()(nwnhnheHddjd)()(nheHj)()(nheHdjd設(shè)10)(NnjnjenheH1）由定義)()()2jeHnhDFT3）卷積插值一.矩形窗口法)(jdeHccjjdeeH01)(則)()(sin(2121)(nndeedeeHnhcnjjnjjddcc 以一個(gè)截止頻率為 c的線性相位理想低通濾波器為例,討論FIR的設(shè)計(jì)問題。a. 對(duì)于給定的理想低通濾波器 ，計(jì)算：低通濾波器的延時(shí))(nhd理想特性的hd(n)和Hd() 這是一個(gè)以 為

16、中心的偶對(duì)稱的無限長(zhǎng)非因果序列，如果截取一段n=0N-1的hd(n)作為h(n)，則為保證所得到的是線性相位FIR濾波器，延時(shí) 應(yīng)為h(n)長(zhǎng)度N的一半,即 2/ ) 1( N為其它值nNnonhnwnhnhdRd01)()()()(其中)()(nRnwNRb.計(jì)算)(nhc.計(jì)算 。設(shè) 為窗口函數(shù)的頻譜: 用幅度函數(shù)和相位函數(shù)來表示，則有 其線性相位部分 則是表示延時(shí)一半長(zhǎng)度 ， )(jeWnNnjjNnjnjRjeeeenweW1011)()()2/sin()2/sin(21NeNjjRjeWeW)()(je2/ ) 1( N )(jeH)(*)()(jRjdjeWeHeH矩形窗函數(shù)及其幅

17、度函數(shù)（見P94圖4.4） 2/sin2/sinNWR對(duì)頻響起作用的是它的幅度函數(shù) 理想頻響也可以寫成幅度函數(shù)和相位函數(shù)的表示形式 Hd(ej)=Hd()e-j其中幅度函數(shù)為 兩個(gè)信號(hào)時(shí)域的乘積對(duì)應(yīng)于頻域卷積，所以有|0|1)(ccdHdeWeHeWeHeHjRjdjRjdj)(21)(*)()()(deWeHjRjd)()()(21dWHeRdj)()(21如果也以幅度函數(shù) 和相位函數(shù)來表示 H（ej）,則實(shí)際FIR濾波器的幅度函數(shù)H（）為正好是理想濾波器幅度函數(shù)與窗函數(shù)幅度函數(shù)的卷積。 jjeHeH)()(dWHHRd)()(21)()(H 矩形窗的卷積過程（P95的圖4.5來說明）)(R

18、WNc2)(RW4個(gè)特殊頻率點(diǎn)看卷積結(jié)果：（1）=0時(shí), H(0)等于在-c, c內(nèi)的積分面積因一般故H(0)近似為在-, 內(nèi)的積分面積（2）=c時(shí)，一半重疊， H(c)=0.5 H(0);（3） =c 2/N時(shí)，第一旁瓣（負(fù)數(shù)）在通帶外，出現(xiàn)正肩峰； （ 4） =c +2/N 時(shí)，第一旁瓣（負(fù)數(shù)）在通帶內(nèi)，出現(xiàn)負(fù)肩峰。 窗口函數(shù)對(duì)理想特性的影響： 改變了理想頻響的邊沿特性，形成過渡帶，寬為 ， 等于WR()的主瓣寬度。（決定于窗長(zhǎng)） 過渡帶兩旁產(chǎn)生肩峰和余振（帶內(nèi)、帶外起伏），取決于 WR()的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相對(duì)值大，肩峰強(qiáng) ，與 N無關(guān)。（決定于窗口形狀） N增加,過渡帶寬減小

19、,肩峰值不變。 因主瓣附近 其中x=N/2,所以N的改變不能改變主瓣與旁瓣的比例關(guān)系，只能改變WR（）的絕對(duì)值大小和起伏的密度，當(dāng)N增加時(shí)，幅值變大，頻率軸變密，而最大肩峰永遠(yuǎn)為8.95%，這種現(xiàn)象稱為吉布斯（Gibbs）效應(yīng)。 xxNNNNNWRsin2/)2/sin()2/sin()2/sin()(N4051-40-30-21-100N=15N=31用矩形窗設(shè)計(jì)的c=/2 FIR濾波器的幅度響應(yīng) 改變窗函數(shù)的形狀，可改善濾波器的特性，窗函數(shù)有許多種，但要滿足以下兩點(diǎn)要求：窗譜主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過渡帶；相對(duì)于主瓣幅度，旁瓣要盡可能小，使能量盡量集中在主瓣中，這樣就

20、 可以減小肩峰和余振，以提高阻帶衰減和通帶平穩(wěn)性。但實(shí)際上這兩點(diǎn)不能兼得，一般總是通過增加主瓣寬度來換取對(duì)旁瓣的抑制。 肩峰值的大小決定了濾波器通帶內(nèi)的平穩(wěn)程度和阻帶內(nèi)的衰減，所以對(duì)濾波器的性能有很大的影響。幾種常用的窗函數(shù)： 1. 矩形窗，上面已講過，不再細(xì)述 2. 漢寧窗（升余弦窗） 利用付氏變換的移位特性，漢寧窗頻譜的幅度函數(shù)W（）可用矩形窗的幅度函數(shù)表示為： )(12cos1 21)(nRNnnwN)(25.0)(5.01212nReenRNNnjNnjN 211221122121121225. 05 . 011225. 05 . 0NjRRRNNjRNNjRNjRjeNWNWWeNW

21、eNWeWeW0N-1/2N-11W(n)n)12()12(25. 0)(5 . 0)(NWNWWWRRR三部分矩形窗頻譜相加，使旁瓣互相抵消，能量集中在主瓣，旁瓣大大減小，主瓣寬度增加1倍，為 。 N80-80-60-44-200矩形窗矩形窗 Hanning窗窗dB0.750.50.253. 漢明窗（改進(jìn)的升余弦窗） 它是對(duì)漢寧窗的改進(jìn)，在主瓣寬度（對(duì)應(yīng)第一零點(diǎn)的寬度）相同的情況下，旁瓣進(jìn)一步減小，可使99.96%的能量集中在窗譜的主瓣內(nèi)。 4. 布萊克曼窗（三階升余弦窗） 增加一個(gè)二次諧波余弦分量，可進(jìn)一步降低旁瓣，但主瓣寬度進(jìn)一步增加，為 。增加N可減少過渡帶。頻譜的幅度函數(shù)為： )(1

22、2cos46.054.0)(nRNnnwN)(14cos08.012cos5.042.0)(nRNnNnnwN)12()12(25. 0)(42. 0)(NWNWWWRRR)14()14(04. 0NWNWRRN12窗口函數(shù)的頻譜 N=51，A=20lg|W()/W(0)|四種窗函數(shù)的比較5 . 051cN窗函數(shù)主瓣寬度過渡帶寬旁瓣峰值衰減(dB)阻帶最小衰減(dB)矩形N/4N/8 . 1-13-21漢寧N/8N/2 . 6-31-44漢明N/8N/6 . 6-41-53布萊克曼N/12N/11-57-745.凱塞窗 以上四種窗函數(shù)，都是以增加主瓣寬度為代價(jià)來降低旁瓣。凱塞窗則可自由選擇主瓣

23、寬度和旁瓣衰減。 101/211)(2NnINnInwooI0(x)是零階修正貝塞爾函數(shù)，參數(shù)可自由選擇，決定主瓣寬度與 旁瓣衰減。越大，w(n)窗越窄，其頻譜的主瓣變寬，旁瓣變小。一般取 4N時(shí)， hM(n)hd(n)零階貝塞爾函數(shù) NkjddeHkH2)( 窗口設(shè)計(jì)法的主要工作是計(jì)算hd(n)和w(n)，當(dāng) 較為復(fù)雜時(shí)，hd(n)不容易由反傅里葉變換求得。這時(shí)一般可用離散傅里葉變換代替連續(xù)傅里葉變換，求得近似值：令 10/2)(1)(MnMknjdMekHMnhjdeH210!)2/(1)(kkkxxI過渡帶寬At阻帶最小衰減286. 2821,05021),21(07886. 0)21(

24、5842. 050),7 . 8(1102. 04 . 0AtNdBAtdBAtdBAtAtdBAtAt例例用凱塞窗設(shè)計(jì)一FIR低通濾波器，低通邊界頻率3 . 0c，阻帶邊界頻率5 . 0r，阻帶衰減At不小于50dB。解 首先求解)(nhd，根據(jù)指標(biāo)要求其邊界頻率應(yīng)為4 . 025 . 03 . 02rccnnnndeenhccnjjdcc/,)()(sin21)(2 . 0cr302 . 0285. 2850N55. 4)7 . 850(1102. 0wn=kaiser(30,4.55);nn=0:1:29;alfa=(30-1)/2;hd=sin(0.4*pi*(nn-alfa)./(p

25、i*(nn-alfa);h=hd.*wn;h1,w1=freqz(h,1);plot(w1/pi,20*log10(abs(h1);axis(0,1,-80,10);grid;xlabel(歸 一 化 頻 率 /)ylabel(幅 度 /dB)窗函數(shù)法的窗函數(shù)法的MATLAB實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)FIR濾波器的4個(gè)頻帶分別為 0f1 f2f3 f4f5 f6FIR濾波器在4個(gè)頻帶中的幅度值為 a1 a2 a3 a4(通帶取1，阻帶取0)FIR濾波器在4個(gè)頻帶中的波動(dòng) d1 d2 d3 d4f= f1 f2 f3 f4 f5 f6;a= a1 a2 a3 a4;dev= d1 d2 d3 d4;M,Wc,be

26、ta,ftype = kaiserord(f,a,dev);h = fir1(N,Wc,ftype,kaiser(M+1,beta) 例例:試用Kaiser窗設(shè)計(jì)滿足下列指標(biāo)的具有2個(gè)通帶FIR濾波器s1=0.1, p1=0.2， p2=0.4, s2=0.5, s3=0.6, p3=0.7, p4=0.8, s4=0.9, ds=0.01 f=0.1 0.2 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9;a=0,1,0,1,0;Rs=0.01;dev=Rs*ones(1,length(a);N,Wc,beta,ftype = kaiserord(f,a,dev);h = fir1(N,Wc

27、,ftype,kaiser(N+1,beta);omega=linspace(0,pi,512);mag=freqz(h,1,omega);plot(omega/pi,20*log10(abs(mag);xlabel(Normalized frequency);ylabel(Gain, db);grid;axis(0 1 -80 5);Ch 4課堂練習(xí)已知N=8的FIR濾波器的DTFT為：28( )()3,1,1,1,1,1,1,107jkH kH ek求: h(n), 并問該系統(tǒng)是否是線性相位系統(tǒng)，為什么?()jH e解: 計(jì)算h(n),N=82101( )( )NjknNkh nH k e

28、N221001(2)NjknjnNNkeeN(2 )1 .2 5 ,020 .2 5 ,08NnNnN并且 根據(jù)計(jì)算出來的h(n)可以發(fā)現(xiàn),h(n)不滿足線性相位的條件:h(n)=h(N-1-n) 或 h(n)=-h(N-1-n)系統(tǒng)為非線性相位系統(tǒng).與之對(duì)應(yīng)的相位曲線如下:與之對(duì)應(yīng)的幅頻曲線如下:4.3 頻率采樣法頻率采樣法 工程上，常給定頻域上的技術(shù)指標(biāo)，所以采用頻域設(shè)計(jì)更直接。一、基本思想一、基本思想 使所設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字濾波器的頻率特性在某些離散頻率點(diǎn)上的值準(zhǔn)確地等于所需濾波器在這些頻率點(diǎn)處的值，在其它頻率處的特性則有較好的逼近。jnhNIDFTNNkjdjdeHnhkHeHeHd )

29、(2)()(不同于點(diǎn)點(diǎn)頻率取樣確定 內(nèi)插公式逼近誤差( )H k 由 得到了H(z) 或 。要討論 與 的逼近程度，以及 與H（k）的關(guān)系？由jeHjdeHjeH1, 1 , 0,)(1)(10/2NnekHNnhNkNnkjjH e 令 ，則 1010/210)(1)()(NnnNkNnkjNnnzekHNznhzH10/210)(1NnnNnkjNkzekHN1/21011)(1zezkHNNkjNNk1011)(1)(NkkNzWkHNzzHNjeW/2單位圓上的頻響為：10/21)(1NkjNkjNjjeekHNeeH10212/2sin2/sin)(1NkNkNjeNkNkHN10)

30、(NkjkekH這是一個(gè)內(nèi)插公式。式中 為內(nèi)插函數(shù)令 則NkNjjkeNkNNe212/2sin)2/sin(1kikieiNjk01)(2, 1, 1 , 0,2NiiN1, 1 , 0,Ni1()je()jH e2()je(1)H(2)H21N22N內(nèi)插公式表明：l在每個(gè)采樣點(diǎn)上， 逼近誤差為零，頻響 嚴(yán)格地與理想頻響的采樣值 H(k)相等；)()(kHeHkj)(jeH)(jeHl在采樣點(diǎn)之間，頻響由各采樣點(diǎn)的內(nèi)插函數(shù)延伸迭加而形成，因而有一定的逼近誤差，誤差大小與理想頻率響應(yīng)的曲線形狀有關(guān)，理想特性平滑，則誤差??；反之，誤差大。在理想頻率響應(yīng)的不連續(xù)點(diǎn)附近， 會(huì)產(chǎn)生肩峰和波紋。lN增大

31、，則采樣點(diǎn)變密，逼近誤差減小。二二.設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)方法1）確定2）計(jì)算3）計(jì)算kkH、)( ZH)(nh,)()(2kjkNkjdeHkHeH1, 1 , 0Nk,)(1)(10/2NkNnkjekHNnh1, 1 , 0Nn10)()(NnnznhzH并得到j(luò)eH三、 約束條件 為了設(shè)計(jì)線性相位的FIR濾波器，采樣值 H（k）要滿足一定的約束條件。 前已指出,具有線性相位的FIR濾波器，其單位脈沖響應(yīng)h(n)是實(shí)序列，且滿足 ，由此得到的幅頻和相頻特性，就是對(duì)H(k)的約束。（表4.1）。例如，要設(shè)計(jì)第一類線性相位FIR濾波器，即N為奇數(shù)，h(n)偶對(duì)稱，則幅度函數(shù)H（）應(yīng)具有偶對(duì)稱性：)1(

32、)(nNhnh21)(NjjeHeH)2()( HH令 則 必須滿足偶對(duì)稱性：而 必須取為： kjkeHkH)(kNkNNkNk) 1(212 同樣，若要設(shè)計(jì)第二種線性相位FIR濾波器，N為偶數(shù)，h(n)偶對(duì)稱，由于幅度特性是奇對(duì)稱的， 2HHkNkHHkH1, 1 , 0Nk1, 1 , 0Nk因此，Hk 也必須滿足奇對(duì)稱性： 相位關(guān)系同上， 其它兩種線性相位FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，同樣也要滿足幅度與相位的約束條件。 kNkHH1, 1 , 0,) 1(NkNkNk1, 1 , 0Nk例：設(shè)計(jì)一個(gè)FIR數(shù)字 LP 濾波器，其理想特性為 采樣點(diǎn)數(shù) N=33，要求線性相位。解：根據(jù)表4.1，能設(shè)

33、計(jì)低通線性相位數(shù)字濾波器的只有1、2兩種，因N為奇數(shù)，所以只能選擇第一種。即 h(n)=h(N-1-n)， 幅頻特性關(guān)于偶對(duì)稱，也即 HK 偶對(duì)稱。利用 HK 的對(duì)稱性,求2區(qū)間的頻響采樣值。5 .005 .001jdeH根據(jù)指標(biāo)要求，在02內(nèi)有33個(gè)取樣點(diǎn)，所以第k點(diǎn)對(duì)應(yīng)頻率為 而截止頻率 0.5位于 之間，所以，k=08時(shí)，取樣值為1；根據(jù)對(duì)稱性，故 k=2532時(shí)，取樣值也為1，因 k=33 為下一周期，所以0區(qū)間有9個(gè)值為 1的采樣點(diǎn)，2區(qū)間有8個(gè)值為 1 的采樣點(diǎn)，因此：k33293328332和258HH330HH 321HH32033322124903225;8012kkNkkH

34、kNkkkjkeHkH)(N1=33;k1=0:(N1-1)/2;Wm1=2*pi*k1./N1;Ad1(1:(N1+1)/2)=1;Ad1(10:17)=0;Hd1=Ad1.*exp(-j*0.5*(N1-1)*Wm1);Hd1=Hd1 conj(fliplr( Hd1(2:(N1+1)/2) ) );h1=real(ifft(Hd1);w1=linspace(0,pi-0.1,1000);H1=freqz(h1,1,w1);plot(w1/pi,20*log10(abs(H1);grid;axis(0 1 -100 20);xlabel(pi);ylabel(幅度/db);title(過渡

35、帶不設(shè)采樣點(diǎn)); 從圖上可以看出，其過渡帶寬為一個(gè)頻率采樣間隔 2/33，而最小阻帶衰減略小于20dB。 對(duì)大多數(shù)應(yīng)用場(chǎng)合，阻帶衰減如此小的濾波器是不能令人滿意的。增大阻帶衰減三種方法：1）加寬過渡帶寬，以犧牲過渡帶換取阻帶衰減的增加。 例如在本例中可在k=9和k=24處各增加一個(gè)過渡帶采樣點(diǎn)H9=H24=0.5，使過渡帶寬增加到二個(gè)頻率采樣間隔4/33，重新計(jì)算的H(ej)見圖，其阻帶衰減增加到約 -40dB。N1=33; k1=0:(N1-1)/2;Wm1=2*pi*k1./N1;Ad1(1:(N1+1)/2)=1;Ad1(11:17)=0;Ad1(10)=0.5;Hd2=Ad1.*exp

36、(-j*0.5*(N1-1)*Wm1);Hd2=Hd2 conj(fliplr( Hd2(2:(N1+1)/2) ) );h2=real(ifft(Hd2);w1=linspace(0,pi-0.1,1000);H2=freqz(h2,1,w1);plot(w1/pi,20*log10(abs(H2);grid;axis(0 1 -100 20);xlabel(pi);title(過渡帶設(shè)一個(gè)采樣點(diǎn)); 2）過渡帶的優(yōu)化設(shè)計(jì) 根據(jù)H(ej)的表達(dá)式，H(ej)是Hk的線性函數(shù)，因此還可以利用線性最優(yōu)化的方法確定過渡帶采樣點(diǎn)的值，得到要求的濾波器的最佳逼近（而不是盲目地設(shè)定一個(gè)過渡帶值）。例如，

37、本例中可以用簡(jiǎn)單的梯度搜索法來選擇H9、H24,使通帶或阻帶內(nèi)的最大絕對(duì)誤差最小化。 要求使阻帶內(nèi)最大絕對(duì)誤差達(dá)到最?。ㄒ布醋钚∷p達(dá)到最大），可計(jì)算得H9=0.3904。對(duì)應(yīng)的 H(ej)的幅頻特性，比H9=0.5時(shí) 的阻帶衰減大大改善,衰減接近-50dB。如果還要進(jìn)一步改善阻帶衰減，可以進(jìn)一步加寬過渡區(qū)，添上第二個(gè)甚至第三個(gè)不等于0的頻率取樣值，當(dāng)然也可用線性最優(yōu)化求取這些取樣值。紅色為H9=0.3904 3）增大）增大N 如果要進(jìn)一步增加阻帶衰減，但又不增加過渡帶寬，可增加采樣點(diǎn)數(shù)N。 例如，同樣邊界頻率c=0.5 , 以N=65采樣，并在k=17和k=48插入由阻帶衰減最優(yōu)化計(jì)算得到的

38、采樣值H17=H48=0.5886,在k=18、47處插入經(jīng)阻帶衰減最優(yōu)化計(jì)算獲得的采樣值H17=H48=0.1065 , 這時(shí)得到的 H(ej)， 過渡帶為6/65，而阻帶衰減增加了20多分貝，達(dá)-60dB以上，當(dāng)然，代價(jià)是濾波器階數(shù)增加，運(yùn)算量增加。N=65;k=0:(N-1)/2;Wm=2*pi*k./N;Ad(1:(N+1)/2)=1;Ad(18)=0.5886;Ad(19)=0.1065;Ad(20:33)=0;Hd=Ad.*exp(-j*0.5*(N-1)*Wm);Hd=Hd conj(fliplr( Hd(2:(N+1)/2) ) );h=real(ifft(Hd);w=lins

39、pace(0,pi-0.1,1000);H=freqz(h,1,w);plot(w/pi,20*log10(abs(H);grid;axis(0 1 -100 20);xlabel(pi);title(過渡帶設(shè)兩個(gè)采樣點(diǎn)，總采樣點(diǎn)數(shù)提高一倍);小結(jié)：頻率采樣設(shè)計(jì)法優(yōu)點(diǎn)： 直接從頻域進(jìn)行設(shè)計(jì)，物理概念清楚，直觀方便； 適合于窄帶濾波器設(shè)計(jì)，這時(shí)頻率響應(yīng)只有少數(shù)幾個(gè)非零值。典型應(yīng)用：用一串窄帶濾波器組成多卜勒雷達(dá)接收機(jī)，覆蓋不同的頻段，多卜勒頻偏可反映被測(cè)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)速度； 缺點(diǎn)：截止頻率難以控制。 因頻率取樣點(diǎn)都局限在2/N的整數(shù)倍點(diǎn)上，所以在指定通帶和阻帶截止頻率時(shí)，這種方法受到限制，比較死板。

40、 充分加大N，可以接近任何給定的頻率，但計(jì)算量和復(fù)雜性增加。4.4 FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì) 前面介紹了FIR數(shù)字濾波器的兩種逼近設(shè)計(jì)方法，即窗口法（時(shí)域逼近法）和頻率采樣法（頻域逼近法），用這兩種方法設(shè)計(jì)出的濾波器的頻率特性都是在不同意義上對(duì)給定理想頻率特性Hd(ej)的逼近。 說到逼近，就有一個(gè)逼近得好壞的問題，對(duì)“好”“壞”的恒量標(biāo)準(zhǔn)不同，也會(huì)得出不同的結(jié)論，我們前面講過的窗口法和頻率采樣法都是先給出逼近方法，所需變量，然后再討論其逼近特性，如果反過來要求在某種準(zhǔn)則下設(shè)計(jì)濾波器各參數(shù)，以獲取最優(yōu)的結(jié)果，這就引出了最優(yōu)化設(shè)計(jì)的概念，最優(yōu)化設(shè)計(jì)一般需要大量的計(jì)算，所

41、以一般需要依靠計(jì)算機(jī)進(jìn)行輔助設(shè)計(jì)。 最優(yōu)化設(shè)計(jì)的前提是最優(yōu)準(zhǔn)則的確定，在FIR濾波器最優(yōu)化設(shè)計(jì)中，常用的準(zhǔn)則有 最小均方誤差準(zhǔn)則 最大誤差最小化準(zhǔn)則。1) 均方誤差最小化準(zhǔn)則， 若以E(ej)表示逼近誤差，則 那么均方誤差為deEdeHeHjjjd2222121)()(jjdjeHeHeE）（ 均方誤差最小準(zhǔn)則就是選擇一組時(shí)域采樣值，以使均方誤差 ，這一方法注重的是在整個(gè)-頻率區(qū)間內(nèi)總誤差的全局最小，但不能保證局部頻率點(diǎn)的性能，有些頻率點(diǎn)可能會(huì)有較大的誤差，對(duì)于窗口法FIR濾波器設(shè)計(jì)，因采用有限項(xiàng)的h(n)逼近理想的hd(n)，所以其逼近誤差為：如果采用矩形窗 則有ndnhnh22)()(其它

42、01)()(Nnonhnhd1222| )()(| )()(|nNnddnhnhnhnhmin2可以證明，這是一個(gè)最小均方誤差。 所以，矩形窗窗口設(shè)計(jì)法是一個(gè)最小均方誤差FIR設(shè)計(jì)，根據(jù)前面的討論，我們知道其優(yōu)點(diǎn)是過渡帶較窄，缺點(diǎn)是局部點(diǎn)誤差大,或者說誤差分布不均勻。2) 最大誤差最小化準(zhǔn)則（也叫最佳一致逼近準(zhǔn)則）表示為 其中F是根據(jù)要求預(yù)先給定的一個(gè)頻率取值范圍，可以是通帶，也可以是阻帶。最佳一致逼近即選擇N個(gè)頻率采樣值 （ 或時(shí)域 h(n) 值 ），在給定頻帶范圍內(nèi)使頻響的最大逼近誤差達(dá)到最小。也叫等波紋逼近。優(yōu)點(diǎn)：可保證局部頻率點(diǎn)的性能也是最優(yōu)的，誤差分布均勻， 相同指標(biāo)下，可用最少的階

43、數(shù)達(dá)到最佳化。 min| )(|maxjeEF 例如，我們提到的頻率采樣最優(yōu)化設(shè)計(jì)，它是從已知的采樣點(diǎn)數(shù)N、預(yù)定的一組頻率取樣和已知的一組可變的頻率取樣（即過渡帶取樣）出發(fā)，利用迭代法（或解析法）得到具有最小的阻帶最大逼近誤差（即最大的阻帶最小衰減）的FIR濾波器。但它只是通過改變過渡帶的一個(gè)或幾個(gè)采樣值來調(diào)整濾波器特性。如果所有頻率采樣值（或FIR時(shí)域序列h(m)）都可調(diào)整，顯然，濾波器的性能可得到進(jìn)一步提高。 MnMnjnnannhheH01cos)(cos)(2)0()(低通濾波器的誤差分配切比雪夫最佳一致逼近 如圖，用等波紋逼近法設(shè)計(jì)濾波器需要確定五個(gè)參數(shù)： M、c、r、1、2按上圖所

44、示的誤差容限設(shè)計(jì)低通濾波器，就是說要在通帶 0 p 內(nèi)以最大誤差 1 逼近1，在阻帶r 內(nèi) 以最大誤差2逼近零。 要同時(shí)確定上述五個(gè)參數(shù)較困難。常用的兩種逼近方法： 1）給定M、1、2，以c和r為變量。 缺點(diǎn)：邊界頻率不能精確確定。 2）給定M、c和r，以1和2為變量，通過迭代運(yùn)算 ，使逼近誤差1和2 最小，并確定h(n)切比雪 夫最佳一致逼近。 特點(diǎn)：能準(zhǔn)確地指定通帶和阻帶邊界頻率。 等波動(dòng)逼近的低通濾波器cr一.誤差函數(shù) 定義逼近誤差函數(shù)： )()(HHWEd E 為所設(shè)計(jì)的濾波器與理想濾波器的幅頻特性在通帶和阻帶內(nèi)的誤差值， 是已知的權(quán)函數(shù)，在不同頻帶可取不同的值， 所要設(shè)計(jì)的濾波器的幅

45、頻特性 理想濾波器的幅頻特性 W H dH rcdH001 rckW101例如，希望在固定 M, c, r 的情況下逼近一個(gè)低通濾波器，這時(shí)有21ddk21cos)()(0NMnnaHMn21, 2 , 1,212)(,21)0(NnnNhnaNha對(duì)于表4.1中的第一種濾波器，) 1 (cos)()()()(0MndnnaHWE于是切比雪夫逼近問題變?yōu)?，尋求一組系數(shù) 使逼近誤差的最大值達(dá)到最小，即, 1 , 0),(Mnna2dminmaxE 給定后等效于求 最小。c0r21/ddk二.交替定理（最佳逼近定理） 令F表示閉區(qū)間 的任意閉子集，為了使 在 F 上唯一最佳地逼近于 ,其充分必要條

46、件是誤差函數(shù) 在 F 上至少應(yīng)有（M+2）次“交替”， 即其中 ，且 屬于F。 1） 至少有 M+2 個(gè)極值，且極值正負(fù)相間，具有等波紋的性質(zhì) ， 2）由于 是常數(shù)，所以 的極值也就是 的極值。 E0i)(H)(dH1210M E)(max1EEEii )( dHW和 E H逼近方法：固定 k、M、 和 ，以 作為參變量。按照交替定理，如果 F 上的M+2個(gè)極值點(diǎn)頻率 已知，則由（1）式可得到 M+2 個(gè)方程：cr2d 1, 1 , 0MiiiMniidinnaHW) 1(cos)(01, 1 , 0Mi)(maxEc0r為極值點(diǎn)頻率對(duì)應(yīng)的誤差函數(shù)值c0scrcr10Mllc1lr注意：極值點(diǎn)

47、頻率必須位于 和區(qū)間內(nèi)。由于 和 固定，因而 和 必為這些極值頻率中的一個(gè)，設(shè) ，則應(yīng)有 求解上述方程組可得到全部系數(shù)問題：1）實(shí)際情況下，M+2 個(gè)極值點(diǎn)頻率未知； 2）直接求解上述非線性方程組比較困難。及誤差Maaa,10雷米茲（Remez）算法給出了求解切比雪夫最佳一致逼近問題的方法。三.雷米茲（雷米茲（Remez）算法）算法1）在頻率子集 F 上均勻等間隔地選取 M+2 個(gè)極值點(diǎn)頻率 并計(jì)算作為初值,110M1010)(/) 1()(MkkkkMkkdkWH)cos(cos11,0kiMkiik式中雷米茲交替算法雷米茲交替算法2）由 求 和利用重心形式的拉格朗日插值公式， 1, 1 , 0Mii)(H)(E1010coscos)(coscos)(MkkkMkk