1、 魏永強魏永強 清華大學數(shù)學博士清華大學數(shù)學博士xxxsinlim0極限xxx)11 (lim極限v預備知識預備知識1.有關三角函數(shù)的知識有關三角函數(shù)的知識00 sin sintancosxxx 2.有關對數(shù)函數(shù)的知識有關對數(shù)函數(shù)的知識lnlogexx 以以e為底的指數(shù)函數(shù)為底的指數(shù)函數(shù)y=ex的反函數(shù)的反函數(shù) y = logex，叫做自然對數(shù)，在工程技術中經常被運用，常簡叫做自然對數(shù)，在工程技術中經常被運用，常簡記為記為 y = ln x. 數(shù)數(shù) e 是一個無理數(shù)，它的前八位數(shù)是：是一個無理數(shù)，它的前八位數(shù)是： e = 2.718 281 8 cos0=1 |sin| 1 x |cos| 1

2、 x 3.有關指數(shù)運算的知識有關指數(shù)運算的知識()nnnaba b n mnmaa a mnmnaa 4.無窮小量無窮小量定義定義 在某個變化過程中，以在某個變化過程中，以0 0為極限的變量為極限的變量稱為在這個變化過程中的稱為在這個變化過程中的無窮小量無窮小量，常用字母，常用字母性質性質 無窮小量與有界變量的乘積仍為無窮小量無窮小量與有界變量的乘積仍為無窮小量. ,等等表表示示。5.極限的運算法則極限的運算法則 limlimlim(1)( ()( )()( )fxg xfxg x2) lim( )( )lim ( ) lim ( )(f xg xf xg x ( )lim ( )lim( )

3、lim ( ).f xf xg xg x lim ( )(3)0g x 若若， (4) lim( )lim( )cf xcf x (5) lim ( )lim( )kkf xf x X 1 0.5 0.1 0.01 0.001 . 0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 0.99999981sinlim0 xxxxxsin0sinlim?xxxX 1 0.5 0.1 0.01 0.001 . 0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 0.9999998xxsinv第一個重要極限第一個重要極限OxBACD0sinlim1.xxx證明證證 sintan

4、xxx即sin (sin0),xx 各式同除以因為得,cos1sin1xxx . 1sincos xxx即即0sinlim1.xxx00tansin1limlim()cosxxxxxxx00sin1limlimcosxxxxx解解1 11 0sin1lim()cosxxxx這個結果可以作為公式使用這個結果可以作為公式使用1tanlim0 xxx0tanlimxxx例例 1求求例例 2 5, 0 , 0 xtxt令當時 有0sin,5limttt所以 原式注：在運算熟練后可不必代換，直接計算：注：在運算熟練后可不必代換，直接計算：0sin5 limxxx求,推廣： 設為某過程中的無窮小量sinl

5、im1某過程0sin5 limxxx解：05sin5lim5xxx0sin55lim5xxx0sin55lim5 155xxx 0sin5limxxx5 15 練習練習1. 求下列極限求下列極限:00sin3 1 limsin52 lim3xxxxxx（）（ ）00sin33sin3 limlim3xxxxxx解：0sin33lim3xxx3 13 00sin5sin55 limlim()( )353xxxxxx解：55133 0sin lim1 :xxx使用時須注意(1)類型：(2)推廣形式:sinlim1某過程 lim0 某過程（）0 lim1si(3) nxxx等價形式：00型21sin

6、(1) lim1xxx求211sin(1)sin(1)limlim1(1)(1)xxxxxxx11lim1) 1sin(lim11xxxxx211111 例例 3解解1 lim sinxxx求例例 41lim sinxxxxxx11sinlim1解解1sin(1)1lim11xxxxxxxsinlim1sinlim0 xxx1limsinxxx10 |sin| 1 xxx 當 時且sin lim0 xxx故練習練習3 3：下列等式正確的是（：下列等式正確的是（ ） sin. lim1;xxAx1. lim sin1;xBxx 01. lim sin1;xCxx1sin. lim1xxDx B練

7、習練習4 4：下列等式：下列等式不不正確的是正確的是（ ） A; 1sinlim0 xxx B; 1sinlim0 xxx C; 11sinlimxxx D11sinlim0 xxxD0. lim1xxAx0. lim1xxBx01. lim sin1xCxxsin. lim1xxDx練習練習5. 下列極限計算正確的是（下列極限計算正確的是（ ）B練習練習6. 已知已知1tan)(xxxf當（當（ ）時，）時，)(xf為無窮小量為無窮小量. 0Ax . 1Bx . Cx . Dx Axxxfsin1)()(xf，當，當 時，時，為無窮小量為無窮小量 sinlim_xxxx0sinlim_xxx

8、x練習練習7. 已知已知練習練習8.練習練習9.0 x 10 X -10 -100 -1000 -10000 -100000 2.868 2.732 2.720 2.7183 2.71828)11 (xx X 10 100 1000 10000 100000 2.594 2.705 2.717 2.718 2.71827)11 (xxexxx )11(lim?)11 (limxxxv第二個重要極限第二個重要極限exxx )11(lim,1xt 令令1lim(1)xxx 10lim(1)ttte)1 ()1 (10lim(1)ttte , 為某過程推中的無窮小量廣1lim (1)e某過程1 li

9、m(1) :xxex使用須注意1型(2)推廣形式:1lim(1)e 某某過過程程10 lim(3)(1) ttte等價形式：(1)類型: lim0 某某過過程程（）.11lim2xxx 計計算算解解因為因為， 1111212 xxxx，且e11limxxx所以，有所以，有21211lim11limxxxxxx.e11lim2121 xxx例例 1 .1lim20 xxx 計計算算例例 2 解解方法一方法一令令 u = - -x， 因為因為 x 0 時時 u 0， uuxxux2020)1(lim1lim 120lim(1) uuu 2e 所以所以120lim(1) uuu 方法二方法二掌握熟練

10、后可不設新變量掌握熟練后可不設新變量 12200lim 1lim(1)xxxxxx 120lim(1)xxx 2e 3311lim()lim(1)xxxxxxx 31lim()xxxx 例例331lim1)xxx（3e解解.)21(lim10 xxx 計計算算練習練習1.1.解解221010)21(lim)21(lim xxxxxx.e2 .)1(limxxxx求.e1)11 (lim1xxx練習練習2.xxxxxxx)11 (1lim)1(lim解解練習練習3.3.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原式原式.2e 兩個重要極限兩個重要極限:; 1si

11、nlim10 某過程某過程.)1(lim210e 某過程某過程,設為某過程中的無窮小量v小結小結xxx3cotlim30、xxxsinlim10、xxx3sin2sinlim20、練練 習習 題題xxxsinlim0323sin322sinlim3sin2sinlim00 xxxxxxxx31313cos3sin3lim0 xxxx_)1(lim62xxxx、._)11 (lim7xxx、2211limexxxe1._2sinlim4xxx、._)1 (lim510 xxx、0e22lim3xxxx 計計 算算思考題思考題解解因為因為.3113)1(332 xxxxx所以令所以令 u = x

12、- - 3 ，當當 x 時時 u ，511lim32lim uuxxuxx. e1e1111lim5 uuuu因此因此兩個重要極限的證明兩個重要極限的證明OxRABC.1sinlim0 xxx證證明明證證 AOB 面積面積 扇形扇形AOB 面積面積 AOC 面積面積, 即即,tan22sin2222xRxRxR 得得各各式式同同除除以以正正值值,sin22xR,cos1sin1xxx . 1sincos xxx即即例例兩個重要極限的證明. 1coslim0 xx下下面面我我們們來來證證明明因為因為, 11lim, 1coslim0)cos1(lim 000 xxxxx又又因因為為可可知知，推推

13、得得所所以以由由定定理理且且6, 0lim0 xx 所以再次所以再次運用定理運用定理 6 即可得即可得.1sinlim0 xxx,2122sin2sin2xxxx 2sin2cos102xx 重要極限1 . 1sinlim 0 xxx其中的兩個等號只在x=0時成立.(7) |,tan|sin| ,2|:xxxx時當先證不等式證設圓心角 過點A作圓的切線與OB的延長線交于點C，又作,OABD , xAOB 則sin x =BD，tan x=AC，,OACOABOABSSS扇形.tansin xxx即從而有有時而當,20 ,02xx),tan()sin(xxx.tansin xxx即. |tan|

14、sin| 2|0 xxxx時，有即當,tan2121sin21 20 xxxx時，當. |tan|sin| ,0 xxxx有時當這就證明了不等式(7).的各端，得除不等式時，用當|tan|sin|sin|2|0 xxxxx|,sintan|sin|1 xxxx,cos1sin1 xxx即(8) . 1sincosxxx從而有, 11lim , 1)21 (lim 020 xxx因為. 1sin21 )8(2xxx式得由上式與,21)2(21sin21cos 222xxxx注意. 1sinlim 0 xxx由夾逼準則，可得. e)11 (limxxx重要極限2從而都以整數(shù)變量趨于和時，當,1xx

15、x1)11 ()11 ()111 (xxxxxx. e1e )111 ()111 (lim)111 (lim11xxxxxxx，所以，都有因為對任何實數(shù)11xxxx證. e1e )11 ()11 (lim)11 (lim 1xxxxxxx又. e)11 (lim xxx由夾逼準則知，于是時，則當設下面證txxtxxx. e)11 (limttxxtx)11 (lim)11 (limtttt)1(lime,1e)111 ()111 (lim1tttt. e)11 (lim e)11 (lime)11 (limxxxxxxxxx，得及由. e)1 (lim 0110zzzzxxz，從而有時，則當在

16、上式中，令這是重要極限2常用的另一種形式.57) 1(lim1233xxxx求極限例分析：此是一個和式的極限，顯然第一項及第二項函數(shù)中分子、分析：此是一個和式的極限，顯然第一項及第二項函數(shù)中分子、分母的極限均存在且分式函數(shù)中分母的極限不等于零，因此可以分母的極限均存在且分式函數(shù)中分母的極限不等于零，因此可以直接利用極限的運算法則求解。直接利用極限的運算法則求解。62485373) 13(57lim) 1(lim57) 1(lim232333233解：xxxxxxxxx極限綜合練習題極限綜合練習題(一一). 01coslim1cos1cos1|1cos|00lim00 xxxxxxxxxxx是無

17、窮小量，于是有知，是有界變量，由性質可，即又時的無窮小量。是，即解：因為01 lim cosxxx例2.例例3 求下列極限：求下列極限：52312lim)2(3213lim) 1 (22232xxxxxxxxx32523112lim52312lim)2(01032113lim3213lim) 1 (222233232xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解：)(lim0011)(40 xfxxxxfx，求設例解：解： 當當x從從0的左側趨于的左側趨于0時，時， 1) 1(lim)(lim00 xxfxx 當當x從從0的右側趨于的右側趨于0時時,11lim)(lim00 xxxf不存在。，所以因

18、為)(0lim)(0lim)(0limxfxxfxxfx例例5 求下列極限求下列極限11lim)2(965lim) 1 (220223xxxxxxx分析分析：本例中均是求分式的極限問題，且在各自的極限過程中，本例中均是求分式的極限問題，且在各自的極限過程中，分子、分母的分子、分母的 極限均為零，不能直接用極限商的運算法則。求極限均為零，不能直接用極限商的運算法則。求解此類極限的關鍵是找出分子、分母中共同的致零因式，把它解此類極限的關鍵是找出分子、分母中共同的致零因式，把它們約去后再求解。們約去后再求解。尋找致零因式常用的方法為：尋找致零因式常用的方法為： 若是有理分式的極限，則需把分子分母、分

19、別分解因式若是有理分式的極限，則需把分子分母、分別分解因式（一般采用：（一般采用：“十字相乘法十字相乘法”、公式法、或提取公因式法）；、公式法、或提取公因式法）； 若是無理分式的極限，則需要把分子、分母有理化。若是無理分式的極限，則需要把分子、分母有理化。解：（解：（1）把分子分母分解因式，消去致零因式，再求極限。）把分子分母分解因式，消去致零因式，再求極限。61332332lim)3)(3()3)(2(lim965lim33223xxxxxxxxxxxx再求極限。去致零因式，把分母有理化后，消分子、分母同乘以) 112()2(x2) 11(lim11) 11(lim11lim20222022

20、0 xxxxxxxxx)(sinsinlim60均為常數(shù)，求極限例babxaxx兩個函數(shù)乘積的極限，于是可把上極限化為解：因bxxxaxbxaxsinsinsinsin求解。又當x0時，ax0，bx0，于是有bababxbxbaxaxabxxxaxbxaxxxxxx1111sin1lim1sinlimsinlimsinlimsinsinlim00000txttsinlim7求極限例xxxtxtxtxttttxtxtt1)sin(limsinlim0是無窮小量，于是有，即時，是變量，當解：在極限過程中，220sin11lim8xxx求極限例分析：分析：當當x0時，分子，分母的極限均為時，分子，分

21、母的極限均為0，且分子是一個無理函，且分子是一個無理函數(shù)，分母是正弦函數(shù)，于是可先把分子有理化（分子，分母同乘數(shù)，分母是正弦函數(shù)，于是可先把分子有理化（分子，分母同乘以以 ，然后看是否可利用第，然后看是否可利用第1個重要極限。個重要極限。 ) 11(2 x21211111limsinlim) 11(sin11limsin11lim202202220220解：xxxxxxxxxxxx)()1 (lim9為常數(shù)求極限例knknn個重要極限求解。，即可利用第量配成互為倒數(shù)的形式再把無窮小量與無窮大型，無窮小是無窮小量，符合“，即時，分析：當”）無窮大21 (0nknknkkknnnnenknk)1(

22、lim)1 (lim解：)()1 (lim1010為常數(shù)求極限例kkxxx極限求解。個重要”，即可利用第”的倒數(shù)“配成“”型，再把無窮?。坝谑菬o窮大量，即極限屬是無窮小量，時，分析：當無窮大2111 (10kxkxxxkxxkkkxxxxekxkx)1(lim)1 (lim1010解：3)5(lim11xxxx求極限例5355331)51(lim)51 (lim)51 (lim)5(limexxxxxxxxxxxx解：nnnn)13(lim12求極限例444141)11 (lim)11(lim)11 (lim)13(lim14114141141131eetttnntttttnntntntnn

23、nnnn，于是有：時，且當，即故令因為：解法解法2：413133)11(lim)31(lim)11 (lim)31 (lim)1131(lim)13(limeeennnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxx31) 3(1lim130求極限例形后再求極限。式，一般采用先通分變”型未定屬“均趨于無窮大，此極限與時，分析：當xxxx3131091)3(31lim)3(3)3(3lim31)3(1lim000 xxxxxxxxxx解：xxxxtancos1lim140求極限例分析分析：當當 x0時，分式中分子分母的極限均為時，分式中分子分母的極限均為0，不能直接使用極，不能直接使用極限的運算法則，

24、但前面所介紹限的運算法則，但前面所介紹“分解因式分解因式”、“有理化有理化”的方法在的方法在此又不適用。能否利用第此又不適用。能否利用第1個重要極限呢？這就需要首先利用三角個重要極限呢？這就需要首先利用三角恒等式對函數(shù)進行適當?shù)淖冃?。恒等式對函?shù)進行適當?shù)淖冃?。xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxcos1cossin)cos1 (cossinsin)cos1 (tancos1)cos1 (tan)cos1)(cos1 (tancos122解：21211cos1coslimsinlimtancos1lim000 xxxxxxxxxx所以，1sinlim152xxxx求極限例解：因當解：因當

25、x時，時，sinx的極限不存在，故不能用極限的運算法則的極限不存在，故不能用極限的運算法則求解，考慮到求解，考慮到 是無窮小量，即的性質，是有界變量，由無窮小，即是無窮小量，而時，即xxxxxxxxsin12sin1sin1201sinlim2xxxx0111lim1lim22xxxxxx)4421(lim22xxx2224lim()(2)(2)4xxxxx22lim(2)(2)xxxx211lim(2)4xx解1. 求極限求極限:)4421(lim22xxx極限綜合練習題極限綜合練習題(二二)1) 1sin(lim21xxx 解:利用第一重要極限和函數(shù)的連續(xù)性計算，即 ) 1)(1() 1s

26、in(lim1) 1sin(lim121xxxxxxx11lim1) 1sin(lim11xxxxx2111112.求下列極限：求下列極限：解:對分子進行有理化，然后消去零因子，再利用四則運算法則和第一重要極限計算，即xxx33sin9lim0 xxx33sin9lim0)33sin9()33sin9)(33sin9(lim0 xxxxx003sin31limlim39sin33xxxxx216133. 求下列極限：求下列極限：15510) 13()23() 12(lim4xxxx求極限例分析分析：此極限屬于時有理分式的極限問題，且此極限屬于時有理分式的極限問題，且m=n，可直接利用，可直接利用上述結論得出結果，也可用分子、分母同除以上述結論得出結果，也可用分子、分母同除以x15來計算。來計算。解：分子分母同除以解：分子分母同除以x15，有，有 101551015510151555101015510)32(332)13()23()12(lim)13()23()12(lim)13()23()12(limxxxxxxxxxxxxxxx)cos112sin(lim0 xxxx0(1 1)sin2limcos0(1 1)(1 1)xxxxx 002sin2lim(1 1)lim12xxxxx =2 2 + 1 = 5 解)cos112sin(lim0