1、積 分 的 應(yīng) 用 不定積分的應(yīng)用不定積分的應(yīng)用 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用 第四章第四章不定積分的應(yīng)用 第 一 節(jié)學(xué)習(xí)重點學(xué)習(xí)重點微分方程的概念微分方程的概念 一階微分方程的求解一階微分方程的求解 微分方程：含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程。如：微分方程：含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程。如：1,yy sin,dyxdx3,y y 等等特點：特點： 和和 可以不出現(xiàn)，但可以不出現(xiàn)，但 的導(dǎo)數(shù)一定要出現(xiàn)。的導(dǎo)數(shù)一定要出現(xiàn)。xyy微分方程的階：微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)。微分方程的階：微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)。上面三個微分方程的階數(shù)分別是二階、一階、三階。上面三個微分方程

2、的階數(shù)分別是二階、一階、三階。微分方程的解：滿足微分方程的函數(shù)。微分方程的解：滿足微分方程的函數(shù)。特解：滿足微分方程且不含任意常數(shù)的函數(shù)。特解：滿足微分方程且不含任意常數(shù)的函數(shù)。通解：滿足通解：滿足 階微分方程且含階微分方程且含 個獨(dú)立任意常數(shù)的函數(shù)。個獨(dú)立任意常數(shù)的函數(shù)。nn課堂練習(xí)課堂練習(xí)P175 1及及2題題 例：對微分方程：例：對微分方程：22dyxy dx22yxy 即：即：21yxC 是它的解，且是通解。是它的解，且是通解。若給定條件：若給定條件：01xy則可得特解：則可得特解：211yx 0y 也是一特解，但不含于通解中，特別地稱為奇解。也是一特解，但不含于通解中，特別地稱為奇解

3、。稱為初始條件。稱為初始條件。又如：對于微分方程又如：對于微分方程 0,yy容易驗證容易驗證 1sin ,yx2cos ,yx4sin ,yCx5cosyCx312sincos ,yCxCx都是微分方程的解。都是微分方程的解。 通解或特解？通解或特解？ 特解特解 特解特解 通解通解 既非特解也非通解既非特解也非通解 既非特解也非通解既非特解也非通解 120,xyyyyxe1xxxyexeex 12xxxyexeex 2210 xxxexexxe 20 xyxeyyy是是的解。的解。 22222,xy yxyxxyyC220 xyxyyy222xyxyyyxy y即即2222xxyyCxy yx

4、y是是的解。的解。解解 解解 由于由于所以所以一一. 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程 f x dxg y dy求解方法：兩邊同時積分求解方法：兩邊同時積分 f x dxg y dy理由：設(shè)理由：設(shè) yy x是該微分方程的解，那么是該微分方程的解，那么 g y dyg y xdy x f x dxg y xyx dx f x dx g y dy yy x g y xyx dx求解方法：兩邊積分求解方法：兩邊積分 f x dxg y dy yf x dx yf x 特例：特例：情形，即情形，即 dyf x dx ydyf x dx一一. 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程 f x

5、dxg y dy兩邊積分，得兩邊積分，得 因此，形如因此，形如 的微分方程的求解方法是：的微分方程的求解方法是： yf x 兩邊直接積分，得解為兩邊直接積分，得解為 110 x yy 1010yxdydx01010ln10ln10yxC1010 xyC1010yxdydx解解 原方程可變形為分離變量）原方程可變形為分離變量）兩邊積分，得兩邊積分，得 所以，原方程的通解為所以，原方程的通解為 （隱函數(shù)形式）（隱函數(shù)形式） 22yxya yy解解 原方程可變形為原方程可變形為21 ax yay201dyadxyyax21dyadxyax01ln 1aaxCy 1ln 1yaaxC0y （注（注是一

6、奇解）是一奇解）即即 兩邊積分，得兩邊積分，得 所以，原方程的通解為所以，原方程的通解為 30 x yxx yyeedxeedy解解 原方程可變形為原方程可變形為 11yxyxeedydxee1111yxyxded eee0ln 1ln 1yxeeC1ln 11xyeeC11xyeeC11yxyxeedydxee兩邊積分得兩邊積分得 即即 得得 所以，原方程的通解為所以，原方程的通解為 04sin1cos0,4xxydxeydyy 解解cossin1xydxdyye0ln sinln 1xyeC 1cot1xxd eydye 0ln sin1xyeCsin1xyeC將初始條件代入，得特解：將初

7、始條件代入，得特解：sin12xye 原方程可變形為原方程可變形為 兩邊積分兩邊積分 （課堂練習(xí)）（課堂練習(xí)）且線段且線段 PQ 被被 Y 軸平分，曲線過點軸平分，曲線過點 求該曲線方程。求該曲線方程。 1,2 ,P x y,0Qx解：由題設(shè)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得微分方程：解：由題設(shè)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得微分方程：102yyyxxx 2ydyxdx 2202yxC 222xyC由曲線過點由曲線過點1,2 ,故（這是一個多值函數(shù)）（這是一個多值函數(shù)）曲線方程為曲線方程為 yf x上任一點上任一點 P 處的法線與處的法線與 X 軸有交點軸有交點 Q，C=42224,xy . 1假設(shè)假設(shè) 0 xq，則稱

8、，則稱1為齊次的。為齊次的。假設(shè)假設(shè) 0 xq，則稱，則稱1為非齊次的。為非齊次的。 0yp x y dxxpydy可將其改寫成可將其改寫成對一階線性齊次微分方程對一階線性齊次微分方程這是一個可分離變量的微分方程。這是一個可分離變量的微分方程。 1ln yp x dxC 11Cp x dxp x dxCyeee dxxpCey . 2這是這是2的通解。的通解。（這里（這里 p x dx表示某一確定的原函數(shù)，不帶任意常數(shù)。）表示某一確定的原函數(shù)，不帶任意常數(shù)。） yp x yq x（2的通解是：的通解是： dxxpCey猜測猜測1的解是：的解是： p x dxC xye xpexCexCydxx

9、pdxxp那么那么 dxxpexqxCyy,將將代入代入1），得），得即即 CdxexqxCdxxp這種方法稱作這種方法稱作常數(shù)變易法。常數(shù)變易法。 . 1yp x yq x 0. 2yp x y Cdxexqeydxxpdxxp故故1的通解是：的通解是：比較方程比較方程1 1）、（）、（2 2）：）： . 1yp x yq x 0. 2yp x y（2的通解是：的通解是： dxxpCey Cdxexqeydxxpdxxp（1的通解是：的通解是： dxxpdxxpdxxpCedxexqe非齊次線性微分方程的通解非齊次線性微分方程的通解 = 非齊次的特解非齊次的特解 + 對應(yīng)齊次的通解對應(yīng)齊次的

10、通解 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，稱為疊加原理。線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，稱為疊加原理。Cdxxeeyxdxxdxtantan2sin解解 這是一個一階線性微分方程，方程的通解為這是一個一階線性微分方程，方程的通解為 ln cosln cos sin 2xxexedxCCdxxxxcos12sincosCdxxxxcos12sincos2cos2sin2coscosxxdxCxCx p x dxp x dxyeq x edxC通解公式通解公式 tansin2yyxx（1）解解 原方程的通解為原方程的通解為Cdxeeydxxxdxxx32323232Cdxeexxxxln31ln31222211331xx

11、exedxCx221132112xxexedCx23231xyyx例例4 （2）湊微分湊微分 21332xxCx e2222xxyy解：將原方程化為解：將原方程化為Cdxexeyxdxxdx22222Cdxexexx2ln22ln22Cdxxxx212222 222xxC 33222xyyx則方程的通解為則方程的通解為 （課堂練習(xí)）（課堂練習(xí)）解：將原方程化為解：將原方程化為yyyxx1lnCdyeyexdyyydyyyln1ln11Cdyeyeyylnlnlnln11lnlnln2lnyyCdyCyyy 4lnln0yydxxy dy p y dyp y dyxeq y edyC變通公式變通

12、公式 原方程的通解為原方程的通解為 p y dyp y dyxeq y edyC dxp y xq ydy解：原方程可化為解：原方程可化為23yxyx332dydyyyyxeedyCCdyeyeyyln3ln322333122yyydyCCyy2620yx yy公式的變通：如果微分方程為公式的變通：如果微分方程為 則方程的通解為則方程的通解為 則方程的通解為則方程的通解為 （課堂練習(xí)）（課堂練習(xí)） nyf x型型求解方法：連續(xù)積分求解方法：連續(xù)積分n次。次。例例5 （1求解微分方程求解微分方程 (4)0y解解 由原方程積分得：由原方程積分得：1yC 再積分得再積分得 12yC xC 再積分得再積分得 再積分得再積分得 21232CyxC xC 32123462CCyxxC xC所以，原方程的通解為所以，原方程的通解為 321234yC xC xC xC過點過點例例52設(shè)曲線滿足設(shè)曲線滿足,yx 0,1M，且在此點與，且在此點與1yx 直線直線 相切，試求該曲線的方程。相切，試求該曲線的方程。解解 由題設(shè)可知：由題設(shè)可知：212xyxdxC 01xy 可得可得11C 即：即：212xy 232126xxydxxC再由：再由：01xy得得21C 故所求曲線方程為故所求曲線方程為31