1、會(huì)計(jì)學(xué)1寧波大學(xué)高數(shù)總復(fù)習(xí)寧波大學(xué)高數(shù)總復(fù)習(xí))(xfy yxOD1. 概念定義定義:Df :R)(DfDxxfyyDf, )()( 定義域 值域圖形圖形:DxxfyyxC, )(),( 一般為曲線 )設(shè),RD函數(shù)為特殊的映射:其中第1頁/共57頁有界性 , 單調(diào)性 , 奇偶性 , 周期性3. 反函數(shù))(:DfDf設(shè)函數(shù)為單射, 反函數(shù)為其逆映射DDff)(:14. 復(fù)合函數(shù)給定函數(shù)鏈)(:11DfDf1)(:DDgDg則復(fù)合函數(shù)為 )(:DgfDgf5. 初等函數(shù)有限個(gè)常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算與復(fù)合而成的一個(gè)表達(dá)式的函數(shù).)(1DfD)(Dgg1Dfgf 第2頁/共57頁1. 下列各

2、組函數(shù)是否相同 ? 為什么? )arccos2cos()() 1 (xxf 1 , 1, 12)(2xxx與axaaxxxf,)()2(2)(21)(xaxax與0,0,0)()3(xxxxf)()(xffx 與相同相同相同相同相同相同第3頁/共57頁0 x0, 10, 1)()2(xxxf,2xx0,0,)() 1 (xxxxxf2x以上各函數(shù)都是初等函數(shù) .第4頁/共57頁,0)(,1)(,e)(2xxxfxfx且求)(x及其定義域 .5. 已知8,)5(8,3)(xxffxxxf, 求. )5(f6. 設(shè),coscsc)sin1(sin22xxxxf求. )(xf由)(2exx1得,)1

3、ln()(xx0,(x,e)(fx2xf)(x4. 解解:e)(x2第5頁/共57頁 f8,)5(8,3)(xxffxxxf, 求. )5(f解解:)5(f)( f310)10(f)(7f f)12(f)( f312)(9f66. 設(shè),coscsc)sin1(sin22xxxxf求. )(xf解解:1sinsin1)sin1(sin22xxxxf3)sin1(sin2xx3)(2xxf第6頁/共57頁xxxff1211)()(,2)()(1xfxfxx解解: 利用函數(shù)表示與變量字母的無關(guān)的特性利用函數(shù)表示與變量字母的無關(guān)的特性 .,1xxt,11tx代入原方程得,)()(1211tttff,1

4、11uux,11ux代入上式得,)()() 1(2111uuuuuff1,0 xx設(shè)其中).(xf，求令即即令即畫線三式聯(lián)立1111)(xxxxf即xxxxxff)1(2111)()(第7頁/共57頁1. 函數(shù)連續(xù)的等價(jià)形式)()(lim00 xfxfxx)()(,000 xfxxfyxxx0lim0yx)()()(000 xfxfxf,0,0,0時(shí)當(dāng) xx有)()(0 xfxf2. 函數(shù)間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)(左右極限存在左右極限存在)第二類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)第8頁/共57頁有界定理有界定理 ; 最值定理最值定理 ; 零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理 ; 介值定理介值定理 . p70

5、-72第9頁/共57頁例例2. 設(shè)函數(shù))(xf,2)cos1 (xxa0 x,10 x, )(ln2xb0 x在 x = 0 連續(xù) , 則 a = , b = .提示提示:20)cos1 (lim)0(xxafx2a221cos1xx)(lnlim)0(20 xbfxblnbaln122e第10頁/共57頁0)()()(212xfxff上連續(xù) , 且恒為正 ,)(xf在,ba對任意的, ),(,2121xxbaxx必存在一點(diǎn)證證:, ,21xx使. )()()(21xfxff令)()()()(212xfxfxfxF, 則,)(baCxF)()(21xFxF)()()(2112xfxfxf)()

6、()(2122xfxfxf)()(21xfxf221)()(xfxf0使,)()(21時(shí)當(dāng)xfxf,0)(xf,0)()(21xFxF故由零點(diǎn)定理知 , 存在, ),(21xx,0)(F即.)()()(21xfxff,)()(21時(shí)當(dāng)xfxf,21xx或取)()()(21xfxff證明:, 0)(F則有即 第11頁/共57頁上連續(xù), 且 a c d b ,)(xf在,ba必有一點(diǎn)證證:, ,ba使)()()()(fnmdfncfm, ,)(baCxfMbaxf上有最大值在,)()()(dfncfm)()()(fnmdfncfm即由介值定理,使存在, ,ba證明:Mnmdfncfmm)()()(

7、)()()(fnmdfncfm,m及最小值故 即 mnm)(Mnm)(第12頁/共57頁1. 極限定義的等價(jià)形式 (以 為例 )0 xx Axfxx)(lim00)(lim0Axfxx(即 為無窮小)Axf)(, )(0 xxxnnn有Axfnn)(limnx,0 xAxfxf)()(002. 極限存在準(zhǔn)則及極限運(yùn)算法則第13頁/共57頁無窮小的性質(zhì) ; 無窮小的比較 ;常用等價(jià)無窮小: (x0時(shí)) 4. 兩個(gè)重要極限 6. 判斷極限不存在的方法 sin xxtan xxcos1x221xarctan xxarcsin xx)1ln(xx1e xx1xaaxln1)1 (xx5. 求極限的基本

8、方法 1sinlim) 1 (01)11 (lim)2(0或10lim(1)e注注: 代表相同的表達(dá)式第14頁/共57頁)sin1(sinlim) 1 (xxxxxxsin112lim)2(xxxxcot110lim)3(提示提示: xxsin1sin) 1 (21cos21sin2xxxx21cos)1(21sin2xxxx無窮小有界第15頁/共57頁0lim)3(xxxxcot110limxxxxcot)121(exxxx1212)1(ln2e則有)()(1lim0 xvxxxu復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): 若,0)(lim0 xuxx,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(

9、lim0 xuxvxx)(lim12sincos0 xxxxx1第16頁/共57頁.sine1e2lim410 xxxxx解解:xxxxxsine1e2lim410 xxxxxxsin1ee2lim4340e1xxxxxsine1e2lim410 xxxxxsine1e2lim4101原式 = 1 (2000考研)注意此項(xiàng)含絕對值第17頁/共57頁3. 求.)321 (lim1xxxx解解: 令xxxxf1)321 ()(xxx11)()(33231則)(xf3x133利用夾逼準(zhǔn)則可知.3)(limxfx第18頁/共57頁導(dǎo)數(shù)與微分 第二章 第19頁/共57頁 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) p79 :xxfxxf

10、xfx)()(lim)(0當(dāng)時(shí),為右導(dǎo)數(shù)當(dāng)時(shí),為左導(dǎo)數(shù)0 x)(xf0 x)(xf 微分微分 :xxfxfd)()(d 關(guān)系關(guān)系 : 可導(dǎo)可微( 思考 P125 題1 )第20頁/共57頁(1) 利用導(dǎo)數(shù)定義解決的問題利用導(dǎo)數(shù)定義解決的問題 (3)(3)微分在近似計(jì)算與誤差估計(jì)中的應(yīng)用微分在近似計(jì)算與誤差估計(jì)中的應(yīng)用(2)(2)用導(dǎo)數(shù)定義求極限用導(dǎo)數(shù)定義求極限1) 推出三個(gè)最基本的導(dǎo)數(shù)公式及求導(dǎo)法則推出三個(gè)最基本的導(dǎo)數(shù)公式及求導(dǎo)法則xxxCxcos)(sin;)(ln;0)(1其他求導(dǎo)公式都可由它們及求導(dǎo)法則推出其他求導(dǎo)公式都可由它們及求導(dǎo)法則推出;2) 求分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)求分段函數(shù)在

11、分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) , 及某些特殊及某些特殊函數(shù)在特殊點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)函數(shù)在特殊點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù);3) 由導(dǎo)數(shù)定義證明一些命題由導(dǎo)數(shù)定義證明一些命題.第21頁/共57頁)(0 xf 存在,求.)()(lim0200 xxfxxxfx解解: : 原式=xxfxxxfx )()(lim02002)( xx2)( xx)(0 xf 第22頁/共57頁)(xf設(shè)0)(,xxf在討論解解:)(lim0 xfx又xfxfx)0()(lim0所以 )(xf0 x在處連續(xù). 即)(xf0 x在處可導(dǎo) .xxx1sinlim20)0(0fxxx1sinlim000,1sin2xxx0,0 x處的連續(xù)性及可導(dǎo)性. xxxx120

12、sinlim0)0( f第23頁/共57頁1eelim)()1()1(2xnxnnbaxxxf,試確定常數(shù)a , b. )(xf 解解: :)(xf1x,bxa 1x, ) 1(21ba1x,2x,1時(shí)x;)(axf時(shí)，1x.2)(xxf) 1 ()1 ()1 (fff) 1 () 1 (ff得處可導(dǎo)，在利用1)(xxf即ba 1) 1(21ba2a使 f (x) 處處可導(dǎo),并求第24頁/共57頁, 1,2ba2) 1 ( f1,21,2)(xxxxf)(xf 是否為連續(xù)函數(shù) ?,1時(shí)x,)(axf時(shí)，1xxxf2)(ba 1) 1(21ba2a存在) 1 (f第25頁/共57頁1. 正確使用

13、導(dǎo)數(shù)及微分公式和法則正確使用導(dǎo)數(shù)及微分公式和法則 2. 熟練掌握求導(dǎo)方法和技巧熟練掌握求導(dǎo)方法和技巧(1) 求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)注意討論注意討論界點(diǎn)界點(diǎn)處左右導(dǎo)數(shù)是否存在和相處左右導(dǎo)數(shù)是否存在和相等等(2) 隱函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)微分法對數(shù)微分法(3) 參數(shù)方程求導(dǎo)法參數(shù)方程求導(dǎo)法極坐標(biāo)方程求導(dǎo)極坐標(biāo)方程求導(dǎo)(4) 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法( (可利用微分形式不變性可利用微分形式不變性) )轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化(5) 高階導(dǎo)數(shù)的求法高階導(dǎo)數(shù)的求法逐次求導(dǎo)歸納逐次求導(dǎo)歸納; ; 間接求導(dǎo)法間接求導(dǎo)法; ;利用萊布尼茨公式利用萊布尼茨公式. .導(dǎo)出導(dǎo)出第26頁/共57頁, )(arcta

14、nsinee1sinxxxfy其中)(xf可微 ,.y求解解:yd)d(esinesin xx)d(sineesinxx)d(arctan)(arctan11xxf )d(sinesinesinxxx)d(ecoseesinxxx)d(11)(arctan1112xxxfxxxxd )sine(cosesinxfxxd)(arctan1112xyyddxxcosee第27頁/共57頁，有定義時(shí)設(shè))(0 xgx 且)(xg 存在, 問怎樣選擇cba,可使下述函數(shù)在0 x處有二階導(dǎo)數(shù))(xf解解: 由題設(shè))0(f 存在, 因此1) 利用)(xf在0 x連續(xù), 即, )0()0()0(fff得)0(

15、gc 2) 利用, )0()0(ff0)0()(lim)0(0 xgxgfx)0( g0)0()(lim)0(20 xgcbxxafxb而)0( gb得0,2xcbxax0, )(xxg第28頁/共57頁)0( gb3) 利用, )0()0( ff0)0()(lim)0(0 xgxgfx)0( g0)2(lim)0(0 xbbxafxa2而得)0(21 ga)0(gc )(xf0,2xcbxax0, )(xxg第29頁/共57頁二、二、 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一、一、 微分中值定理及其應(yīng)用微分中值定理及其應(yīng)用中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第三三章 第30頁/共57頁xyOab)(xfy 拉格朗日中值定理 )

16、()(bfaf1. 微分中值定理及其相互關(guān)系微分中值定理及其相互關(guān)系 羅爾定理 0)(fxyOab)(xfy )()()()()()(FfaFbFafbfabafbff)()()(10) 1(! ) 1(1)(nnnxxfxxF)( 泰勒中值定理 )()()(000 xxxfxfxfnnnxxxf)(00)(!10n)()()(bfafxxF 柯西中值定理 第31頁/共57頁利用逆向思維逆向思維 , 設(shè)輔助函數(shù) .一般解題方法:(1) 證明含一個(gè)中值的等式或根的存在 ,(2) 若結(jié)論中涉及含中值的兩個(gè)不同函數(shù) ,(3) 若結(jié)論中含兩個(gè)或兩個(gè)以上的中值 ,可用原函數(shù)法找輔助函數(shù) .多用羅爾定理羅

17、爾定理,可考慮用柯柯西中值定理西中值定理 .必須多次應(yīng)用多次應(yīng)用中值定理中值定理 .(4) 若已知條件中含高階導(dǎo)數(shù) , 多考慮用泰勒公式泰勒公式 ,(5) 若結(jié)論為不等式 , 要注意適當(dāng)適當(dāng)放大放大或縮小縮小的技巧.有時(shí)也可考慮對導(dǎo)數(shù)用中值定理對導(dǎo)數(shù)用中值定理 .第32頁/共57頁在)(xf),(ba內(nèi)可導(dǎo), 且,)(Mxf證明在)(xf),(ba內(nèi)有界. 證證: 取點(diǎn), ),(0bax 再取異于0 x的點(diǎn), ),(bax對xxxf,)(0在以為端點(diǎn)的區(qū)間上用拉氏中值定理, 得)()()(00 xxfxfxf)(0之間與界于xx)()()(00 xxfxfxf00)()(xxfxf)()(0a

18、bMxfK(定數(shù))可見對任意, ),(bax,)(Kxf即得所證 .第33頁/共57頁滿足下述等式naaa,1001210naaan證明方程在 ( 0 , 1) 內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根 .010nnxaxaa證證: 令,)(10nnxaxaaxF則可設(shè)121012)(nnxnaxaxaxF, 1,0)(,上連續(xù)在顯然xF且)0(F由羅爾定理羅爾定理知存在一點(diǎn), ) 1 ,0(使,0)(F即.10010內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根），（在nnxaxaa,) 1,0(內(nèi)可導(dǎo)在,0) 1 (F第34頁/共57頁,)(,)(內(nèi)可導(dǎo)，在，上連續(xù)在設(shè)babaxf且,0ba 試證存在).(2)(fbaf使, ),(,ba證證

19、: 欲證,2)()(fbaf因 f ( x ) 在 a , b 上滿足拉氏中值定理?xiàng)l件,故有),(, )()()(baabfafbf,)(2上滿足柯西定理?xiàng)l件在及又因baxxf),(,2)()()(22bafabafbf將代入 , 化簡得故有),(2)(fbaf),(,ba即要證.2)()(22fababf第35頁/共57頁1. 研究函數(shù)的性態(tài):增減 , 極值 , 凹凸 , 拐點(diǎn) , 漸近線 ,曲率2. 解決最值問題 目標(biāo)函數(shù)的建立與簡化 最值的判別問題3. 其他應(yīng)用 :求不定式極限 ;幾何應(yīng)用 ;相關(guān)變化率;證明不等式 ;研究方程實(shí)根等.第36頁/共57頁O)(xfx .在區(qū)間 上是凸弧 ;

20、拐點(diǎn)為 ),0(),(21xx)0(, 0( ,)(,( ,)(,(2211fxfxxfx提示提示:)()(xfxf 的可導(dǎo)性及根據(jù)的正負(fù)作 f (x) 的示意圖. 形在區(qū)間 上是凹弧; 則函數(shù) f (x) 的圖 上可導(dǎo)，在),()(xf的圖形如圖所示,),(),0,(21xx)(xf O2x1xyx2x)(xf 1x第37頁/共57頁ln)1ln()()(1xxxfxf在xxxf)1 ()(1),0(上單調(diào)增加.證證:)1ln()(ln1xxxfln)1ln(xxx11ln)1ln()11()(xxxxxfx令,ln)(ttF在 x , x +1 上利用拉氏中值定理,111xxx) 10(1

21、ln)1ln(xxxxx11故當(dāng) x 0 時(shí),0)( xf從而)(xf在),0(上單調(diào)增.得第38頁/共57頁. )0(1arctan)1ln(xxxx證證: 設(shè)xxxxarctan)1ln()1 ()(, 則0)0(211)1ln(1)(xxx)0(0 x故0 x時(shí), )(x單調(diào)增加 , 從而0)0()(x即)0(1arctan)1ln(xxxx思考思考: 證明) 10(arcsin)1ln(11xxxxx時(shí), 如何設(shè)輔助函數(shù)更好 ?xxxxxarcsin1)1ln()1 ()(2提示提示:第39頁/共57頁)0()1arctan(arctanlim2ananann解法解法1 利用中值定理求

22、極限原式)1(11lim22nanann之間）與在1(nana221) 1(limannnna第40頁/共57頁令,arctan)(xxf則,11)(2xxf22)1 (2)(xxxf )()0()0()0()(22!21xoxfxffxf )(2xox原式2lim nn)0()1arctan(arctanlim2ananann22112)() 1(limnnnonnnaa)1(2nona) 1(1(12nona第41頁/共57頁)0()1arctan(arctanlim2ananann原式21arctanarctanlimxxbxaxxt1令20arctanarctanlimtt btat第

23、42頁/共57頁不定積分的計(jì)算方法 第四四章 第43頁/共57頁1. 直接積分法直接積分法通過簡單變形, 利用基本積分公式和運(yùn)算法則求不定積分的方法 .2. 換元積分法換元積分法xxfd)( 第一類換元法第一類換元法tttfd)()( 第二類換元法(代換: )(tx第44頁/共57頁vuxvud使用原則:1) 由v易求出 v ;2) xvud比xvud好求 .一般經(jīng)驗(yàn): 按“反反, 對對, 冪冪, 指指 , 三三” 的順序,排前者取為 u , 排后者取為.v計(jì)算格式: 列表計(jì)算xvud第45頁/共57頁xvund) 1(xvuvunnd)()()1()(nnvuvu xvund) 1( )2(

24、) 1()(nnnvuvuvuxvunnd) 1() 1(1)2()1()( nnnvuvuvuxvund)2( 快速計(jì)算表格:)(ku)1(knvuuu )(nu)1( nv)(nv)1( nvvn) 1()1( nuv1) 1(n特別特別: 當(dāng) u 為 n 次多項(xiàng)式時(shí),0)1(nu計(jì)算大為簡便 . 第46頁/共57頁32(2)e.dxxxx解解: 取,23xxuxv2)4(e23 xx132xx660)(ku)4(kvx2ex221ex241ex281ex2161ex2e 原式)2(321 xx) 13(241xx681Cxxxx)7264(e232816161CxxaxaxPxkndcossine)(說明說明: 此法特別適用于如下類型的積分: 第47頁/共57頁,)(2xyxy解解: 令, tyx求積分.d31xyxxyxy2)(即txy,123ttx,12tty而ttttxd) 1()3(d2222 1原式ttttd) 1()3(2222123tt132tttttd12Ct1ln221Cyx1)(ln221第48頁/共57頁)2(1tandtan21nInxxxInnnn證證:xxxInnd) 1(sectan22)d(tantan2xxn1tan1nxn2nI