1、會計學(xué)1等差數(shù)列等差數(shù)列(dn ch sh li)的前的前n項和性項和性質(zhì)質(zhì)第一頁，共23頁?！舅伎?sko)】第1頁/共23頁第二頁，共23頁。 等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項和的有關(guān)計算項和的有關(guān)計算 1.1.等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項和的應(yīng)用項和的應(yīng)用（1 1）等差數(shù)列前）等差數(shù)列前n n項和公式，共涉及到五個量項和公式，共涉及到五個量a1a1、n n、d d、anan、Sn.Sn.若已知其中三個量，可求另外兩個量，也就是若已知其中三個量，可求另外兩個量，也就是(jish)(jish)我們說的我們說的“知三求二知三求二”，其方法一般是通過通項公式和前，其方法一般是通過通項公式和前n n項

2、和公式聯(lián)立方項和公式聯(lián)立方程（組）求解程（組）求解. .（2 2）在利用等差數(shù)列前）在利用等差數(shù)列前n n項和公式解題時，常常要聯(lián)系該公式的項和公式解題時，常常要聯(lián)系該公式的變形形式：變形形式：Sn= Sn= 或或Sn=An2+Bn.Sn=An2+Bn.21ddna22（）n【名師(mn sh)指津】第2頁/共23頁第三頁，共23頁。2.2.依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到的結(jié)論依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到的結(jié)論(jiln).(jiln).（1 1）當(dāng)）當(dāng)n n為奇數(shù)時，為奇數(shù)時，Sn= Sn= （2 2） =a1+ =a1+（n-1n-1）【特別提醒】注意應(yīng)用等差數(shù)列性質(zhì)來簡化計算過程，同時在【特別提醒】注

3、意應(yīng)用等差數(shù)列性質(zhì)來簡化計算過程，同時在解題過程中還應(yīng)注意已知與未知的聯(lián)系及整體思想的運用解題過程中還應(yīng)注意已知與未知的聯(lián)系及整體思想的運用. .n 12na；nSnd.2第3頁/共23頁第四頁，共23頁?！纠纠? 1】已知等差數(shù)列】已知等差數(shù)列an.an.(1)a1= a15= Sn=-5,(1)a1= a15= Sn=-5,求求n n和和d;(2)a1=4,S8=172,d;(2)a1=4,S8=172,求求a8a8和和d.d.【審題指導(dǎo)】根據(jù)等差數(shù)列前【審題指導(dǎo)】根據(jù)等差數(shù)列前n n項和公式項和公式(gngsh)(gngsh)解方程解方程. .【規(guī)范解答】（【規(guī)范解答】（1 1）a15

4、= +(15-1)d= d=a15= +(15-1)d= d=又又Sn=na1+ d=-5,Sn=na1+ d=-5,解得解得n=15,n=-4n=15,n=-4（舍）（舍）. .（2 2）由已知，得）由已知，得S8= S8= 解得解得a8=39,a8=39,又又a8=4+(8-1)d=39,d=5.a8=4+(8-1)d=39,d=5.5,63,2563,21.6n n121888 aa8 4a,22第4頁/共23頁第五頁，共23頁。【變式訓(xùn)練】在等差數(shù)列【變式訓(xùn)練】在等差數(shù)列anan中，已知中，已知a6=10a6=10，S5=5S5=5，求，求a8.a8.【解析】方法【解析】方法(fngf

5、)(fngf)一：設(shè)公差為一：設(shè)公差為d,d,a6=10a6=10，S5=5S5=5， 解得解得 a8=a6+2d=16. a8=a6+2d=16.方法方法(fngf)(fngf)二：設(shè)公差為二：設(shè)公差為d,d,S6=S5+a6=15S6=S5+a6=15，15= 15= 即即3 3（a1+10a1+10）=15.=15.a1=-5a1=-5，d= =3.a8=a1+d= =3.a8=a1+（8-18-1）d=16.d=16.11a5d105a10d5，1a5,d3 166 aa2（），61aa5第5頁/共23頁第六頁，共23頁。 等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項和的性質(zhì)項和的性質(zhì)等差數(shù)列前等差數(shù)

6、列前n n項和的性質(zhì)項和的性質(zhì). .(1)(1)項數(shù)（下標(biāo)項數(shù)（下標(biāo)(xi bio)(xi bio)）的）的“等和等和”性質(zhì)：性質(zhì)：(2)(2)項的個數(shù)的項的個數(shù)的“奇偶奇偶”性質(zhì)：性質(zhì)：等差數(shù)列等差數(shù)列anan中，公差為中，公差為d d：若共有若共有2n2n項，則項，則S2n=nS2n=n（an+an+1an+an+1）；）；S S偶偶-S-S奇奇=nd=nd；S S偶偶SS奇奇= an+1an= an+1an；1nmn m 1nn aan aaS22第6頁/共23頁第七頁，共23頁。若共有若共有2n+12n+1項，則項，則S2n+1=S2n+1=（2n+12n+1）an+1an+1；S S

7、偶偶-S-S奇奇=-an+1=-an+1；S S偶偶SS奇奇=n=n（n+1n+1）；）；“片段片段(pin dun)(pin dun)和和”性質(zhì)：性質(zhì)：等差數(shù)列等差數(shù)列anan中，公差為中，公差為d d，前，前k k項的和為項的和為SkSk，則，則SkSk，S2k-SkS2k-Sk，S3k-S3k-S2kS2k，Smk-SSmk-S（m-1m-1）k,k,構(gòu)成公差為構(gòu)成公差為k2dk2d的等差數(shù)列的等差數(shù)列. .第7頁/共23頁第八頁，共23頁。【例【例2 2】SnSn是等差數(shù)列是等差數(shù)列(dn ch sh li)an(dn ch sh li)an的前的前n n項和，且項和，且S10=100

8、S10=100，S100=10S100=10，求求S110.S110.【規(guī)范解答【規(guī)范解答(jid)(jid)】方法一】方法一: :設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列anan的公差為的公差為d,d,前前n n項和項和為為Sn,Sn,則則Sn=na1+ Sn=na1+ 由已知得由已知得10-10-, ,整理得整理得d= d= 代入代入, ,得得a1=a1=S110=110a1+ =-110.S110=110a1+ =-110.故此數(shù)列的前故此數(shù)列的前110110項之和為項之和為-110.-110.n n1d.21110 910ad100,2100 99100ad10,211,501 099.100110 10

9、9d21 099110 10911110()100250 第8頁/共23頁第九頁，共23頁。方法二方法二: :數(shù)列數(shù)列(shli)S10,S20-S10,S30-S20,S100-S90,S110-S100(shli)S10,S20-S10,S30-S20,S100-S90,S110-S100成成等差等差數(shù)列數(shù)列(shli),(shli),設(shè)其公差為設(shè)其公差為D,D,前前1010項和為項和為10S10+ D=S100=1010S10+ D=S100=10 D=-22,S110-S100=S10+(11-1)D D=-22,S110-S100=S10+(11-1)D=100+10=100+10(

10、-22)=-120.(-22)=-120.S110=-120+S100=-110.S110=-120+S100=-110.10 92第9頁/共23頁第十頁，共23頁?！咀兪接?xùn)練】等差數(shù)列【變式訓(xùn)練】等差數(shù)列anan中，中，a2+a7+a12=24a2+a7+a12=24，求，求S13.S13.【解題提示】利用等差數(shù)列的性質(zhì)【解題提示】利用等差數(shù)列的性質(zhì)Sn= Sn= 【解析【解析(ji x)(ji x)】因為】因為a1+a13=a2+a12=2a7a1+a13=a2+a12=2a7，又，又a2+a7+a12=24a2+a7+a12=24，所以，所以a7=8a7=8，所以，所以S13= =13S

11、13= =138=104.8=104.1nmn m 1naanaa.22（）（）11313 aa2（）第10頁/共23頁第十一頁，共23頁。【例】已知等差數(shù)【例】已知等差數(shù)(ch sh)(ch sh)列列anan的前的前4 4項和為項和為2525，后，后4 4項和為項和為6363，前前n n項和為項和為286286，求項數(shù)，求項數(shù)n.n.【審題指導(dǎo)】題目給出前【審題指導(dǎo)】題目給出前4 4項和與后項和與后4 4項和，可利用等差數(shù)項和，可利用等差數(shù)(ch (ch sh)sh)列項數(shù)（下標(biāo)）的列項數(shù)（下標(biāo)）的“等和等和”性質(zhì)：性質(zhì)：Sn= Sn= 來求得來求得. .1nmn m 1naanaa22（

12、）（）【規(guī)范【規(guī)范(gufn)(gufn)解答】因為解答】因為a1+a2+a3+a4=25a1+a2+a3+a4=25，an-3+an-2+an-1+an=63.an-3+an-2+an-1+an=63.而而a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3，所以，所以4 4（a1+ana1+an）=88=88，所以，所以a1+an=22a1+an=22，所以所以Sn= =11n=286Sn= =11n=286，所以，所以n=26.n=26.故所求的項數(shù)為故所求的項數(shù)為26.26.1nnaa2（）第11頁/共23頁第十二頁，共2

13、3頁?！咀兪絺溥x】已知等差數(shù)列【變式備選】已知等差數(shù)列anan的前的前n n項和為項和為377377，項數(shù)，項數(shù)n n為奇為奇數(shù)，且前數(shù)，且前n n項和中奇數(shù)項和與偶數(shù)項和中奇數(shù)項和與偶數(shù)(u sh)(u sh)項和之比為項和之比為7676，求中間項，求中間項. .第12頁/共23頁第十三頁，共23頁。【典例】（【典例】（1212分）在等差數(shù)列分）在等差數(shù)列anan中，中，a1=25a1=25，S17=S9S17=S9，求，求SnSn的最的最大值大值. .【審題指導(dǎo)】題目給出首項和【審題指導(dǎo)】題目給出首項和S17=S9S17=S9等條件，欲求等條件，欲求SnSn的最大值可的最大值可轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化(z

14、hunhu)(zhunhu)為二次函數(shù)求最值，或利用通項公式為二次函數(shù)求最值，或利用通項公式anan求求n n使得使得an0,an+1an0,an+10 0或利用性質(zhì)求出大于或等于零的項或利用性質(zhì)求出大于或等于零的項. .第13頁/共23頁第十四頁，共23頁?！疽?guī)范解答】方法一：設(shè)公差【規(guī)范解答】方法一：設(shè)公差(gngch)(gngch)為為d,d,由由S17=S9S17=S9得得252517+ =2517+ =25 3 3分分解得解得d=-2d=-2，66分分Sn=25n+ Sn=25n+ （-2-2）=-=-（n-13n-13）2+1692+169， 9 9分分由二次函數(shù)性質(zhì)得，當(dāng)由二次函

15、數(shù)性質(zhì)得，當(dāng)n=13n=13時，時，SnSn有最大值有最大值169. 12169. 12分分17 17 1d2（）9 9 19d,2（）nn12（）第14頁/共23頁第十五頁，共23頁。方法二：先求出公差方法二：先求出公差d=-2d=-2（同方法一），（同方法一）， 6 6分分a1=25a1=250,0,故故anan為遞減為遞減(djin)(djin)數(shù)列，由數(shù)列，由 得得 解得解得 9 9分分即即 又又nNnN* *當(dāng)當(dāng)n=13n=13時，時，SnSn有最大值有最大值S13=13S13=1325+ 25+ （-2-2）=169. 12=169. 12分分nn 1a0a0252 n10,252

16、n0（）1n1321n1221112n13 .221313 12（）第15頁/共23頁第十六頁，共23頁。方法方法(fngf)(fngf)三：先求出公差三：先求出公差d=-2d=-2（同方法（同方法(fngf)(fngf)一），一）， 6 6分分由由S17=S9S17=S9，得，得a10+a11+a17=0a10+a11+a17=0，而而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14，故故a13+a14=0 9a13+a14=0 9分分d=-2d=-20,a10,a10,a130,a130,a140,a140.0.故

17、故n=13n=13時，時，SnSn有最大值有最大值169. 12169. 12分分第16頁/共23頁第十七頁，共23頁?！菊`區(qū)警示】對解答本題【誤區(qū)警示】對解答本題(bnt)(bnt)時易犯錯誤的具體分時易犯錯誤的具體分析如下：析如下：第17頁/共23頁第十八頁，共23頁?！炯磿r【即時(jsh)(jsh)訓(xùn)練】在等差數(shù)列訓(xùn)練】在等差數(shù)列anan中，中，a1=50a1=50，d=-0.6.d=-0.6.（1 1）從第幾項起以后各項均小于零？）從第幾項起以后各項均小于零？（2 2）求此數(shù)列前）求此數(shù)列前n n項和的最大值項和的最大值. .【解題提示】（）實質(zhì)上是解一個不等式，但要注意【解題提示】（

18、）實質(zhì)上是解一個不等式，但要注意為正整數(shù)；（）轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最大值的問題為正整數(shù)；（）轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最大值的問題【解析】（【解析】（1 1）a1=50a1=50，d=-0.6,d=-0.6,an=50-0.6an=50-0.6（n-1n-1）=-0.6n+50.6.=-0.6n+50.6.令令-0.6n+50.60-0.6n+50.60，則，則n 84.3.n 84.3.由由nNnN* *, ,故當(dāng)故當(dāng)n85n85時，時，anan0 0，即從第，即從第8585項起以后各項均小于項起以后各項均小于0.0.50.60.6第18頁/共23頁第十九頁，共23頁。(2)(2)方法一：方法一：a1

19、=50a1=500 0，d=-0.6d=-0.60 0，由（由（1 1）知）知a84a840 0，a85a850 0，S1S1S2S2S3S3S84S84，且，且S84S84S85S85S86S86.（SnSn）max=S84=50max=S84=5084+ 84+ （-0.6-0.6）=2 108.4.=2 108.4.方法二：方法二：Sn=50n+ Sn=50n+ （-0.6-0.6）=-0.3n2+50.3n=-0.3n2+50.3n=-0.3=-0.3（n- n- ）2+ 2+ 當(dāng)當(dāng)n n取最接近取最接近(jijn)(jijn)于于 的自然數(shù)，即的自然數(shù)，即n=84n=84時，時，Sn

20、Sn取得最大值取得最大值S84=2 108.4.S84=2 108.4.84 832nn12（）50362503.1205036第19頁/共23頁第二十頁，共23頁。1.1.在等差數(shù)列在等差數(shù)列(dn ch sh li)an(dn ch sh li)an中，已知中，已知a1=4a1=4，a6=6a6=6，則前則前6 6項和項和S6=S6=（ ）（A A）70 70 （）（）35 35 （）（）30 30 （）（）1212【解析】選【解析】選S6S6 3030166 aa64622（）（）2.2.等差數(shù)列等差數(shù)列anan的前項和為的前項和為SnSn，若，若a3a3a17a171010，則，則S19S19（ ）（