1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載講義三角形專(zhuān)題訓(xùn)練【知識(shí)精讀】1. 三角形的內(nèi)角和定理與外角和定理;2. 三角形中三邊之間的關(guān)系定理及其推論;3. 全等三角形的性質(zhì)與判定；4.特殊三角形的性質(zhì)與判定（如等腰三角形）；5.直角三角形的性質(zhì)與判定?！痉诸?lèi)解析】1.三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用例1.如圖1，已知 MBC中，NBAC=90，AD丄BC于D，E是AD上一點(diǎn)。求證：NBED NC2.三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用例2.已知：如圖2，在也ABC中，AB A AC，AM是BC邊的中線。1求證：AM -(AB-AC)3.角平分線定理的應(yīng)用例3.如圖3，/B = /C = 90 ,M是BC的中點(diǎn)，DM平分/ ADC 。求證:A

2、M平分DAB。C |_14.全等三角形的應(yīng)用(1 )構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題例4.已知如圖4MBC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形， BDC是頂角(/ BDC )為120 的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60。的角，它的兩邊分別交AB于M，交AC于N ,連結(jié)MN。求證：MMN的周長(zhǎng)等于2。(2)“全等三角形”在綜合題中的應(yīng)用例5.如圖5，已知：點(diǎn) C是/FAE的平分線 AC上一點(diǎn)，CE丄AE, CF丄AF, E、F為垂足。BC= DC = 10。求 AC 的長(zhǎng)。點(diǎn)B在AE的延長(zhǎng)線上，點(diǎn) D在AF上。若AB = 21 , AD = 9 ,5、中考點(diǎn)撥例6.如圖，在MBC中,已知/ B和/C的平分線相交于點(diǎn) F

3、,過(guò)點(diǎn)F 作 DE/BC,交 AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E,若BD + CE = 9，則線段DE的長(zhǎng)為（）A. 9B. 8C. 7D. 66、題型展示例7.已知：如圖6，也ABC中，AB = AC，/ACB = 90 ,D是AC上一點(diǎn)，AE垂直BD的延長(zhǎng)線于E, AE = 1 BD。2求證：BD平分/ABC7,在正三角形ABCD，點(diǎn)D的位置必須滿(mǎn)例8.某小區(qū)結(jié)合實(shí)際情況建了一個(gè)平面圖形為正三角形的花壇。如圖 花壇外有滿(mǎn)足條件 PB= AB的一棵樹(shù)P,現(xiàn)要在花壇內(nèi)裝一噴水管足條件AD = BD，/DBP = DBC，才能使花壇內(nèi)全部位置及樹(shù)P均能得到水管 D的噴水,問(wèn)/BPD為多少度時(shí)，才能達(dá)到上述

4、要求?【實(shí)戰(zhàn)模擬】1.等腰三角形一腰上的中線把這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分成12cm 和21cm，則這個(gè)等腰三角形底邊的長(zhǎng)為3.如圖所示，D是 MBC的/ACB2.在銳角人ABC中，高AD和BE交于H點(diǎn)，且BH = AC ,則/ABC = 的外角平分線與 BA的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)。試比較/ BAC與/B的大小關(guān)系。A12C4.如圖所示，AB = AC ,/BAC = 90,M是AC中點(diǎn)，AE丄BM O求證：/ AMB =/CMD5.設(shè)三個(gè)正數(shù) a、b、c滿(mǎn)足(a2 +b2 +c2 f ：2(a4 +b4 + c4 )，求證:某個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)?！驹囶}答案】1. 5cm2. 453.分析：如圖所示，/ BAC是

5、也ACD的外角，所以NBAC因?yàn)?1 =/2，所以/ BAC /2 又因?yàn)? 2是也BCD的外角，所以/ 2 /B，問(wèn)題得證。答：/bac /b /cd 平分/ACE,./1 =/2z/BAC /1 , a/BAC /2 /? /B,a/BAC /B4.證明一：過(guò)點(diǎn)C作CF丄AC交AD的延長(zhǎng)線于 F寫(xiě) / 1 + / BAE = / 2 + / BAE = 90又/BAC = /ACF = 90AC = AB/. UBM 三 iCAF /. AM =CF , / F = / AMB又 AM = MC ,.MC = CF又/3 = /4 = 45 ,CD = CD二 ACDM 三 ACDF/.

6、/ F = / CMD二 / AMB = / CMD證明二：過(guò)點(diǎn)A作AN平分/BAC交BM于N寫(xiě) / 2 + / BAE = / 3 + / BAE = 90又AN平分/ BAC又 AB = AC二 AABN 三 ACAD二 AN =CD又 / NAM = / C =45AM = CM二 NAM = ADCM/. / AMB = / CMD可以把求證的角或線段用和它說(shuō)明：若圖中所證的兩個(gè)角或兩條線段沒(méi)有在全等三角形中, 相等的量代換。若沒(méi)有相等的量代換，可設(shè)法作輔助線構(gòu)造全等三角形。5. 證明：由已知得:a4 + b4 +c4 +2a2b2 +2b2c2 +2c2a2 ：2a4 +2b4 +2

7、c4即 a4 +b4 +c4 -2a2b2 -2b2c2 -2c2a2 CO二 a4 +b4 +2a2b2 -2c2a2 -2b2c2 +c4 -4a2b2 CO (a2 +b2 f -2c2(a2 +b2 )+c4 -4a2b2 CO2 2 2 2 2(a +b -c) -(2ab) 0I(a2 + b2 -c2 )+2ab Ig2 +b2 -c2 )2ab 0二(a+bcj(ab+c)(ab c)0.a、b、c是某一三角形三邊的長(zhǎng)。1.證明：由AD丄BC于D，可得/ CAD =/ABC又 NABD =NABE +NEBD則 / ABD A / EBD可證/ CAD/ EBD180。間接即

8、/ BED / C說(shuō)明：在角度不定的情況下比較兩角大小，如果能運(yùn)用三角形內(nèi)角和都等于 求得。2.證明：延長(zhǎng)AM 到D，使MD = AM，連接BD在心CMA 和也BMD 中，AM = DM , / AMC = / DMB , CM = BM二 ACMA 三 ABMD二 BD = AC在 MBD 中，AB BD V AD，而 AD =2AM二 AB - AC C2AM/. AM (AB - AC )說(shuō)明：在分析此問(wèn)題時(shí)，首先將求證式變形，得2AM A AB AC，然后通過(guò)倍長(zhǎng)中線的方法，相當(dāng)于將 也AMC繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。構(gòu)成旋轉(zhuǎn)型的全等三角形，把 AC、AB、2AM轉(zhuǎn)化到同一三角形中，利用三角形三

9、邊不等關(guān)系，達(dá)到解決問(wèn)題的目的。很自然有1（AB-AC） AM （AB + AC ）。請(qǐng)同學(xué)們自己試著證明。3.證明：過(guò)M作MG丄AD于G,TDM 平分/ADC , MC丄DC , MG丄AD MC = MG （在角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等）MC = MB ,.MG = MB而MG丄AD , MB丄AB M在/ADC的平分線上（到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上）MG = MB。DM 平分/ ADC說(shuō)明：本題的證明過(guò)程中先使用角平分線的定理是為判定定理的運(yùn)用創(chuàng)造了條件 同時(shí)要注意不必證明三角形全等，否則就是重復(fù)判定定理的證明過(guò)程。也ABC的兩邊的長(zhǎng)，只需證4.分析：欲證AA

10、MN的周長(zhǎng)等于 2，需證明它等于等邊MN =BM +CN。采用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等的方法來(lái)解決。證明：以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，將 也DBM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120，點(diǎn)B落在點(diǎn)C的位置，點(diǎn)M落在M點(diǎn)的位置。得：/MBD =/NCD = 90/. RtAMBD 三 RUM CD二 / DCM = / DBM = 90 /NCD 與/DCM構(gòu)成平角，且 BM = CM , DM=DM，/NDM =/NDC + /CDM =/NDC + /BDM = 120 -60 =50在也MDN和 M DN中,=DNDM = DM , / MDN = / M DN =60: DN二也MDN -AMDN (SAS)二 MN = M N寫(xiě)

11、 MN = M C +CN = BM +CN二 MN =BM +CN二 MMN 的周長(zhǎng)=AM + AN + MN = AM + AN + BM + CN = AB + AC = 2說(shuō)明：通過(guò)旋轉(zhuǎn)，使已知圖形中的角、線段充分得到利用，促進(jìn)了問(wèn)題的解決。5.分析：要求AC的長(zhǎng)，需在直角三角形 ACE中知AE、CE的長(zhǎng)，而 AE、CE均不是已知?jiǎng)?chuàng)設(shè)條件證出線段相等， 進(jìn)而求出長(zhǎng)度的線段，這時(shí)需要通過(guò)證全等三角形，利用其性質(zhì),AE、CE的長(zhǎng)，使問(wèn)題得以解決。解：-.AC 平分/FAE, CF丄AF, CE丄AECF = CECF =CEVF = / CEA = 90。aC = AC/. AACF -i

12、ACE (HL)二 AF = AECF =CE CD = BC/ F = / CEB =90。 二也CDF - ACBE(HL)設(shè) BE = DF =x，貝y AE= ABBE=21X, AF=AD + DF=9 + xT AE = AF21 X = X +9 , /. x = 6在 Rt 也 BCE 中，CE = JbC2 - BE2 = Jl02 -62 = 8在 RtUCE 中，AC=JaE2 +CE2 =/2書(shū)茅破=17答：AC的長(zhǎng)為17 。6. 分析：初看此題，看到 DE = DF + FE后，就想把DF和FE的長(zhǎng)逐個(gè)求出后再相加得 DE ,但由于DF與FE的長(zhǎng)都無(wú)法求出，于是就不知

13、怎么辦了？其實(shí)，若能注意到已知條件中的“BD + CE= 9” ,就應(yīng)想一想，DF + FE是否與BD + CE相關(guān)？是否可以整體求出？若能想到這一點(diǎn)，就不難整體求出DF + FE也就是DE的長(zhǎng)了。解：-.BF是/B的平分線/DBF = /CBF又 DE /BC/DFB = /CBFDF = BD同理，F(xiàn)E= CE DF + FE= BD + CE= 9即 DE = 9故選A7. 分析：要證/ABD =/CBD，可通過(guò)三角形全等來(lái)證明，但圖中不存在可證全等的三角形, 需設(shè)法進(jìn)行構(gòu)造。注意到已知條件的特點(diǎn)，采用補(bǔ)形構(gòu)造全等的方法來(lái)解決。簡(jiǎn)證：延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于F 易證 AACF 三 AbCD (ASA 或 AAS)1 打 AE = - BD21二 aE = AF = EF2于是又不難證得 也BAE三也BFE (SAS)二 / ABD = / CBDBD 平分/ BAC說(shuō)明：通過(guò)補(bǔ)形構(gòu)造全等，溝通了已知和未知，打開(kāi)了解決問(wèn)題的通道。8.分析：此題是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，應(yīng)先將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化后的數(shù)學(xué)問(wèn)題是：如圖 7, D 為正 MBC 內(nèi)一點(diǎn)，P 為正 MBC 外一點(diǎn)，PB = AB , ad = B