1、CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 概述概述 用變形比較法用變形比較法解靜不定結(jié)構(gòu)解靜不定結(jié)構(gòu) 用力法解靜不定結(jié)構(gòu)用力法解靜不定結(jié)構(gòu) 對稱及反對稱性質(zhì)的利用對稱及反對稱性質(zhì)的利用CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 本章應(yīng)用本章應(yīng)用能量法能量法求解超靜定系統(tǒng)。求解超靜定系統(tǒng)。 應(yīng)用能量法求解超靜定系統(tǒng)，特別是對桁架、剛架等應(yīng)用能量法求解超靜定系統(tǒng)，特別是對桁架、剛架等構(gòu)成的超靜定系統(tǒng)，將更加有效。構(gòu)成的超靜定系統(tǒng)，將更加有效。 求解超靜定問題的關(guān)鍵是建立求解超靜定問題的關(guān)鍵是建立補充方程補充方程。 超

2、靜定系統(tǒng)，按其多余約束的情況，可以分為超靜定系統(tǒng)，按其多余約束的情況，可以分為外力超外力超靜定靜定系統(tǒng)和系統(tǒng)和內(nèi)力超靜定內(nèi)力超靜定系統(tǒng)。系統(tǒng)。14-1 超靜定結(jié)構(gòu)概述超靜定結(jié)構(gòu)概述CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY1 靜不定結(jié)構(gòu)靜不定結(jié)構(gòu)l 外力靜不定外力靜不定 由于外部的多余約束而構(gòu)成的超靜定系統(tǒng)，一般稱為由于外部的多余約束而構(gòu)成的超靜定系統(tǒng)，一般稱為外力超靜定系統(tǒng)。外力超靜定系統(tǒng)。 求解外力超靜定系統(tǒng)的基本方法，是解除多余約束，求解外力超靜定系統(tǒng)的基本方法，是解除多余約束，代之以多余約束反力，根據(jù)多余約束處的變形協(xié)調(diào)條件建代之以多余約束反力，

3、根據(jù)多余約束處的變形協(xié)調(diào)條件建立補充方程進行求解。立補充方程進行求解。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYl 內(nèi)力靜不定內(nèi)力靜不定 有些結(jié)構(gòu)，支座反力可以由靜力平衡條件全部求出，有些結(jié)構(gòu)，支座反力可以由靜力平衡條件全部求出，但無法應(yīng)用截面法求出所有內(nèi)力，這類結(jié)構(gòu)稱為內(nèi)力超靜但無法應(yīng)用截面法求出所有內(nèi)力，這類結(jié)構(gòu)稱為內(nèi)力超靜定系統(tǒng)。定系統(tǒng)。 求解內(nèi)力超靜定系統(tǒng)，需要解除桿件或桿系的內(nèi)部約求解內(nèi)力超靜定系統(tǒng)，需要解除桿件或桿系的內(nèi)部約束束。FCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY2 靜不定次數(shù)的確定靜不定次數(shù)

4、的確定靜不定次數(shù)靜不定次數(shù) = 未知力個數(shù)未知力個數(shù) - - 獨立平衡方程數(shù)獨立平衡方程數(shù) u 外力靜不定次數(shù)的確定外力靜不定次數(shù)的確定根據(jù)約束的性質(zhì)及力系的類型來確定。根據(jù)約束的性質(zhì)及力系的類型來確定。u 內(nèi)力靜不定次數(shù)的確定內(nèi)力靜不定次數(shù)的確定 平面桁架平面桁架未知力個數(shù)未知力個數(shù) = 約束反力數(shù)約束反力數(shù) + 桿件數(shù)桿件數(shù)獨立方程數(shù)獨立方程數(shù) = 節(jié)點數(shù)節(jié)點數(shù)2 剛架剛架對于閉口的平面剛架，為三次內(nèi)力靜不定；對于閉口的平面剛架，為三次內(nèi)力靜不定；每增加一個閉合框架，就增加三次靜不定。每增加一個閉合框架，就增加三次靜不定。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TEC

5、HNOLOGY3 靜定基和相當(dāng)系統(tǒng)靜定基和相當(dāng)系統(tǒng)u 靜定基靜定基(基本靜定系基本靜定系)靜不定系統(tǒng)在解除某些約束后得到的靜定系統(tǒng)靜不定系統(tǒng)在解除某些約束后得到的靜定系統(tǒng).靜定基不唯一。靜定基不唯一。u 相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng)在靜定基上作用外載荷和被解除約束的約束反在靜定基上作用外載荷和被解除約束的約束反力的系統(tǒng)。力的系統(tǒng)。 與靜不定系統(tǒng)靜力等效。與靜不定系統(tǒng)靜力等效。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例：作圖示梁的彎矩圖例：作圖示梁的彎矩圖 。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY解：解：0A即即02183

6、222FllMA解得解得163FlMA變形協(xié)調(diào)條件為變形協(xié)調(diào)條件為CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY另解：另解：0Bw即即065832222lFlllFBy解得解得165FFBy變形協(xié)調(diào)條件為變形協(xié)調(diào)條件為CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例：作圖示等剛度剛架的彎矩圖。例：作圖示等剛度剛架的彎矩圖。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY解：變形協(xié)調(diào)條件為解：變形協(xié)調(diào)條件為0VB即即06322432qaaFaaFByBy解得解得8qaFByCHINA UNI

7、VERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY14- 2 用力法解靜不定結(jié)構(gòu)用力法解靜不定結(jié)構(gòu)1 力法與位移法力法與位移法l 力法力法l 位移法位移法2 力法解靜不定力法解靜不定l 例子例子u 靜不定次數(shù)靜不定次數(shù) 1次次u 靜定基靜定基u 相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng)u 變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件01alACBF)a (FACB)b(1XCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYu 位移的表示位移的表示1F111Xu 1 X1的表示的表示在在B點沿點沿X1的方向加單位力的方向加單位力1111111XX對線彈性結(jié)構(gòu)，有對線彈性結(jié)構(gòu)，有:u 代入變形協(xié)

8、調(diào)條件，得到代入變形協(xié)調(diào)條件，得到:F1111 X01111FX0 這就是求解一次靜不定這就是求解一次靜不定問題的力法正則方程。問題的力法正則方程。 其中每一項的物理意義其中每一項的物理意義是位移。是位移。ACB) c (FF1A) e (111BAB)d(11X1XCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY01111FX 1F 表示表示:在在X1作用點沿作用點沿X1方向由于方向由于外載荷外載荷作用而作用而引起的引起的位移。位移。 11 表示表示:在在X1作用點沿作用點沿X1方向方向由于由于X1處的處的單位載荷單位載荷引起的位移。引起的位移。lFxEIx

9、MxMd)()(11可用莫爾積分表示為可用莫爾積分表示為:注意：外載荷中不包括注意：外載荷中不包括 X1。l 對本例用莫爾積分法，或?qū)Ρ纠媚獱柗e分法，或 圖乘法可求出圖乘法可求出,3311EIl)3 (621alEIFaF由正則方程解出：由正則方程解出：)3(2321allFaXACB) c (FF1A) e (111BCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY3 N次力法正則方程次力法正則方程先以三次靜不定問題為例先以三次靜不定問題為例相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng))3, 2, 1(0ii變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件:aqACBaq3X2X1XCHINA UNIVER

10、SITY OF MINING AND TECHNOLOGY)3, 2, 1(0ii變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件:FXXX131321211110FXXX232322212120FXXX333323213130同理，對同理，對 N次靜不定問題，有次靜不定問題，有011212111FnnXXX022222121FnnXXX02211nFnnnnnXXXq3X2X1XCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 其中的常數(shù)項其中的常數(shù)項 iF 表示：表示：在在Xi作用點沿作用點沿Xi方向由方向由于于外載荷外載荷而而引起的位移。引起的位移。liiFxEIxMxMd)(

11、)(可用莫爾積分表示為可用莫爾積分表示為:同理，對同理，對 N次靜不定問題，有次靜不定問題，有011212111FnnXXX022222121FnnXXX02211nFnnnnnXXXCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY其中的系數(shù)其中的系數(shù) ij 表示：表示： 在在Xi作用點沿作用點沿Xi方向由于方向由于Xj處的處的單位載荷單位載荷引起的引起的位移。位移。根據(jù)位移互等定理，有：根據(jù)位移互等定理，有：jiijij可用莫爾積分表示為：可用莫爾積分表示為：ljiijxEIxMxMd)()(011212111FnnXXX022222121FnnXXX022

12、11nFnnnnnXXXCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYl 解靜不定問題的一般步驟解靜不定問題的一般步驟1)判定判定靜不定次數(shù)靜不定次數(shù)；2)選擇選擇靜定基靜定基，得到，得到相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng)；3)分解載荷分解載荷：分別分別將將外載荷外載荷、各、各單位載荷單位載荷作作用在用在靜定基靜定基上；上；4)畫出各載荷下的內(nèi)力畫出各載荷下的內(nèi)力(彎矩彎矩)圖或?qū)懗鰞?nèi)力圖或?qū)懗鰞?nèi)力(彎矩彎矩)方程；方程；5)用圖乘法或莫爾積分等求出用圖乘法或莫爾積分等求出iF 和和 ij ；6)求解正則方程，解出未知力。求解正則方程，解出未知力。CHINA UNIVERSI

13、TY OF MINING AND TECHNOLOGY例 14.4 已知: q, a, EI為常數(shù)。求： 靜不定問題。解：u 靜不定次數(shù)靜不定次數(shù) 3次次u 靜定基靜定基u 相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng)u 分解載荷分解載荷u 外載荷外載荷u 單位載荷單位載荷aqACBaq3X2X1XqCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYu 分解載荷分解載荷 外載荷外載荷 單位載荷單位載荷u 用圖乘法求系數(shù)用圖乘法求系數(shù)u 外載荷的彎矩圖外載荷的彎矩圖221qaFMq3X2X1Xq111CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYu 用圖乘

14、法求系數(shù)用圖乘法求系數(shù) 外載荷的彎矩圖外載荷的彎矩圖 單位載荷的彎矩圖單位載荷的彎矩圖a1M2Maa221qaFMq11CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 單位載荷的彎矩圖單位載荷的彎矩圖113M 計算常數(shù)項計算常數(shù)項 iF 1F 為為MF圖與圖與M1圖圖互乘互乘a1Ma12Ma11CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY11EIF22131qaa)( aEIqa642F 為為MF圖與圖與M2圖圖互乘互乘221qaFMq 計算常數(shù)項計算常數(shù)項 iF 1F 為為MF圖與圖與M1圖圖互乘互乘a1Ma1CHIN

15、A UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY12EIF22131qaa)43(aEIqa842F 為為MF圖與圖與M2圖圖互乘互乘221qaFMq2Ma1CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY3F 為為MF圖與圖與M3圖圖互乘互乘221qaFMq113M113EIF22131qaa)1(EIqa63CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY(111EIaa21a32EIa343 計算系數(shù)計算系數(shù) i j 11 為為M1圖與圖與M1圖圖自乘自乘aa)a(122EIaa21)32aEI

16、a33a1Ma12Ma122 為為M2圖與圖與M2圖圖自乘自乘CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY(133EI1 a1 EIa21 a) 1 113M2Ma11(122EIaa21)32aEIa3333 為為M3圖與圖與M3圖圖自乘自乘CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY(12112EIaa)21aEIa23a1Ma12Ma112 為為M1圖與圖與M2圖圖自乘自乘CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY(13113EIaa211 EIa232aa) 1 a1Ma

17、1113M113 為為M1圖與圖與M3圖圖自乘自乘CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY(13223EIaa21) 1 EIa22113M2Ma1123 為為M2圖與圖與M3圖圖自乘自乘CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYu 將求出的系數(shù)和常數(shù)代入正則方程，有將求出的系數(shù)和常數(shù)代入正則方程，有:2321938qaXaXaX,161qaX2321312812qaXaXaX23211239qaXaXaX,1672qaX 4823qaX q3X2X1XCHINA UNIVERSITY OF MINING AND

18、 TECHNOLOGY 例：平面剛架受力如圖，各桿例：平面剛架受力如圖，各桿 EI = 常數(shù)。試求常數(shù)。試求 C 處的處的約束力及支座約束力及支座 A、B 的約束反力。的約束反力。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYEIaaaEI332213211EIqaqaaEIF168214221解：解：01111FX由力法正則方程由力法正則方程 得得1631qaX CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例：例：解：解：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例：圖示剛架例

19、：圖示剛架 E I 為常為常量，畫出剛架的彎矩圖。量，畫出剛架的彎矩圖。解：解：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYEIa247311EIFaF4,31761FX 01111FX由力法正則方程由力法正則方程 得得CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例：試求圖示平面剛架的支座反力。已知各桿例：試求圖示平面剛架的支座反力。已知各桿 E I =常數(shù)。常數(shù)。解：解：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYEIaaaaaEI34322132211EIqaaqaEIF221

20、431831qaX 811, 0qaFFAyAx01111FX由力法正則方程由力法正則方程 得得82qaMACHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例：兩端固定的梁，跨中受集中力例：兩端固定的梁，跨中受集中力 F 作用，設(shè)梁的抗作用，設(shè)梁的抗彎剛度為彎剛度為 EI，不計軸力影響。求梁中點的撓度。，不計軸力影響。求梁中點的撓度。解：解：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY81FlX EIFlEIFlwC192411613116133EIllEI212111EIFlFlEIF161161,22101111FX

21、由力法正則方程由力法正則方程 得得CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例：已知梁的抗彎剛度例：已知梁的抗彎剛度為為EI，不計軸力影響。求梁，不計軸力影響。求梁的支反力。的支反力。解：解：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYEIl3311EIl2,22112EIl22,EIbaFaF6)32(21EIFaF2,22由由0022221211212111FFXXXX得得222321)3(lbFaXlbaFaX 22223232,)3(,)3(lbFaMlFabMbalFaFbalFbFBAByAyCHINA

22、 UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例：剛架的抗彎剛度為例：剛架的抗彎剛度為 E I，承受力，承受力 F 后，支座后，支座 C 有一有一下陷量下陷量 ，試求剛架，試求剛架 C 處的反力。處的反力。解：解：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYEIa34311EIFaEIFaF4829216581,33131436429aEIFXXF1111由由 得得CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例：已知剛架例：已知剛架的抗彎剛度為的抗彎剛度為E I。試求支座試求支座 B 處的

23、反處的反力。力。解：解：11)(xxMaxM)(2axqxM6)(31016)(202aqxMCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYlFxEIMMd1EIaxaxxEIxEIMMaal34d d 1d3022102111 20301aqXFBy01111FX由由 得得aaxaaqxxaxqEI0022011310d 6d 61EIaq540CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY3hl1nhl二次拋物線二次拋物線n 次拋物線次拋物線CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLO

24、GY另解：另解：65424140301aqaaqEIFEIa34311EIaq540（略）（略）CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例：已知剛架的抗彎剛度例：已知剛架的抗彎剛度為為 E I, 試求剛架內(nèi)最大彎矩及試求剛架內(nèi)最大彎矩及其作用位置。其作用位置。解：解：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYEIa3112EIFaF3,3161FX 65maxFaM作用于固定端作用于固定端 A01111FX由由 得得CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例：已知桁架各

25、桿的拉壓剛度為例：已知桁架各桿的拉壓剛度為 EA，求各桿的軸力。，求各桿的軸力。解：解：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYcossincos13331NN11EAlEAlFFiiiicossin231,NN1EAFlEAlFFiiiiFCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYFF333N3sincos1)cos1 (FF332N1sincos1 cossinFXF3321N2sincos1 sin01111FX由由 得得CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例

26、2已知: F, a, 各桿EA相同。求： 各桿內(nèi)力。解：l 靜不定次數(shù)靜不定次數(shù) 1次次l 靜定基靜定基l 相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng) 這里，這里，1的物理意義是的物理意義是4號號桿切口處的桿切口處的相對位移相對位移。l 正則方程正則方程1FX1111所以：所以：01111FXFACBDFACBDX1CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYl 分解載荷分解載荷,1NFF,2NFF, 03NF, 04NF,25NFF06NFu 外載荷外載荷作用時的內(nèi)力作用時的內(nèi)力FACBDX1u 單位載荷作用時的內(nèi)力單位載荷作用時的內(nèi)力ACBD1, 11NFl 計算計算1F, 1

27、2NF, 13NF, 14NF,25NF,25NFCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYl 計算計算 1FEAFa)21 (261NN11iiiiiEAlFFl 計算計算 11 EAa)21 (4l 代入正則方程，解得代入正則方程，解得:1111FX2Fl 由疊加原理，各桿的內(nèi)力由疊加原理，各桿的內(nèi)力:iiFiFXFFN1NN61NN1iiiiiFEAlFFCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例 3: 已知四分之一圓曲桿，F(xiàn), a , EI為常數(shù)。求： 彎矩圖。解：l 靜不定次數(shù)靜不定次數(shù) 1次次l 靜定

28、基靜定基l 相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng)l 對曲桿，不能用圖乘法，對曲桿，不能用圖乘法， 用用莫爾積分莫爾積分求。求。l 正則方程正則方程01111FXl 分解載荷分解載荷FABa4545X1FAB4545CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYl 分解載荷分解載荷u 外載荷外載荷BC段段0M) 4/0 (CA段段)4/sin( FaM)2/4/(u 單位載荷的彎矩方程單位載荷的彎矩方程sinaM)2/0(u 單位載荷單位載荷u 外載荷的彎矩方程外載荷的彎矩方程FABC1ABCCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYl 用

29、用莫爾積分莫爾積分求求 1FSFsEIxMxMd)()(12/4/)4/sin(1FaEI)sin(adaEIFa283l 用用莫爾積分莫爾積分求求 11 SsEIxMxMd)()(112/02)sin(1aEIdaEIa431ABCCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYl 代入正則方程，得代入正則方程，得:221FX 134XEIaEIFa2830l 由疊加原理，可得到彎矩方程由疊加原理，可得到彎矩方程BC段段MXM1)4/0(sin22FaCA段段MXMMF1)4/sin( Fasin22Fa)2/4/(CHINA UNIVERSITY OF M

30、INING AND TECHNOLOGY14-3 對稱及反對稱性質(zhì)的利對稱及反對稱性質(zhì)的利用用1 對稱結(jié)構(gòu)的對稱變形和反對稱變形對稱結(jié)構(gòu)的對稱變形和反對稱變形l 對稱結(jié)構(gòu)對稱結(jié)構(gòu) 若結(jié)構(gòu)的幾何尺寸、形狀，若結(jié)構(gòu)的幾何尺寸、形狀，構(gòu)件材料及約束條件均對稱于某構(gòu)件材料及約束條件均對稱于某一軸，則稱此結(jié)構(gòu)為一軸，則稱此結(jié)構(gòu)為對稱結(jié)構(gòu)對稱結(jié)構(gòu)。l 對稱載荷對稱載荷 若載荷的作用位置，大小和若載荷的作用位置，大小和方向也對稱于結(jié)構(gòu)的對稱軸，則方向也對稱于結(jié)構(gòu)的對稱軸，則稱為稱為對稱載荷對稱載荷。FFaaa4a4aCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYl 反對稱

31、載荷反對稱載荷若載荷的作用位置，大小對若載荷的作用位置，大小對稱于結(jié)構(gòu)的對稱軸，但方向稱于結(jié)構(gòu)的對稱軸，但方向反對稱，則稱為反對稱，則稱為反對稱載荷反對稱載荷。l 對稱結(jié)構(gòu)在對稱載荷作用下對稱結(jié)構(gòu)在對稱載荷作用下對稱變形對稱變形FFFFl 對稱結(jié)構(gòu)在反對稱載荷作用下對稱結(jié)構(gòu)在反對稱載荷作用下反對稱變形反對稱變形CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 其中的常數(shù)項其中的常數(shù)項 iF 表示：表示：在在Xi作用點沿作用點沿Xi方向由方向由于于外載荷外載荷而而引起的位移。引起的位移。liiFxEIxMxMd)()(可用莫爾積分表示為可用莫爾積分表示為:N次超

32、靜定力法的正則方程次超靜定力法的正則方程011212111FnnXXX022222121FnnXXX02211nFnnnnnXXX 其中的系數(shù)其中的系數(shù) ij 表示：表示：在在Xi作用點沿作用點沿Xi方向由于方向由于Xj處的處的單位載荷單位載荷引起的位移。引起的位移。 根據(jù)位移互等定理，有：根據(jù)位移互等定理，有：jiijij可用莫爾積分表示為：可用莫爾積分表示為：ljiijxEIxMxMd)()(內(nèi)容回顧內(nèi)容回顧CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYl 解靜不定問題的一般步驟解靜不定問題的一般步驟1)判定判定靜不定次數(shù)靜不定次數(shù)；2)選擇選擇靜定基靜

33、定基，得到，得到相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng)；3)分解載荷分解載荷：分別分別將將外載荷外載荷、各、各單位載荷單位載荷作作用在用在靜定基靜定基上；上；4)畫出各載荷下的內(nèi)力畫出各載荷下的內(nèi)力(彎矩彎矩)圖或?qū)懗鰞?nèi)力圖或?qū)懗鰞?nèi)力(彎矩彎矩)方程；方程；5)用圖乘法或莫爾積分等求出用圖乘法或莫爾積分等求出iF 和和 ij ；6)求解正則方程，解出未知力。求解正則方程，解出未知力。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY對稱及反對稱性質(zhì)的利用（以對稱及反對稱性質(zhì)的利用（以3次超靜定為例）次超靜定為例）u 對稱結(jié)構(gòu)與對稱載荷對稱結(jié)構(gòu)與對稱載荷 對稱結(jié)構(gòu)：若結(jié)構(gòu)的幾何尺寸、形

34、狀，構(gòu)件材料及對稱結(jié)構(gòu)：若結(jié)構(gòu)的幾何尺寸、形狀，構(gòu)件材料及約束條件均對稱于某一軸，則稱此結(jié)構(gòu)為約束條件均對稱于某一軸，則稱此結(jié)構(gòu)為對稱結(jié)構(gòu)對稱結(jié)構(gòu)。 對稱載荷：若載荷的作用位置，大小和方向也對稱對稱載荷：若載荷的作用位置，大小和方向也對稱于結(jié)構(gòu)的對稱軸，則稱為對稱載荷。于結(jié)構(gòu)的對稱軸，則稱為對稱載荷。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY2 對稱結(jié)構(gòu)受對稱結(jié)構(gòu)受對稱載荷對稱載荷時的特點時的特點 對稱結(jié)構(gòu)受對稱載荷作用時，在對稱截面上，對稱結(jié)構(gòu)受對稱載荷作用時，在對稱截面上，反對稱反對稱內(nèi)力（剪力）為零。內(nèi)力（剪力）為零。證明：證明：從對稱截面截開。從

35、對稱截面截開。FFaaa4a4a 即要證明，即要證明，X2 = 0CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY證明：證明：從對稱截面截開。從對稱截面截開。即要證明，即要證明，X2 = 001313212111FXXX02323222121FXXX03333232131FXXXu 用圖乘法可證明用圖乘法可證明 2F， 21和和 23 均為零。均為零。Fa4a2aFa4a2a1X3X2X3X1X2X由正則方程由正則方程CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY4FaFF4FaFM11aa1M由由MF和和M2圖圖02F由由

36、M1和和M2圖圖021由由M2和和M3圖圖023022又又02X所以所以u 用圖乘法可證明用圖乘法可證明 2F， 21和和 23 均為零。均為零。13M1112M12a2aCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY01313212111FXXX02323222121FXXX03333232131FXXXu 用圖乘法可證明用圖乘法可證明 2F， 21和和 23 均為零。均為零。Fa4a2aFa4a2a1X3X2X3X1X2X由正則方程由正則方程01313111FXX0222X03333232FXX 對稱結(jié)構(gòu)受對稱載荷作用時，在對稱截面上，對稱結(jié)構(gòu)受對稱載荷

37、作用時，在對稱截面上，反對稱反對稱內(nèi)力（剪力）為零。內(nèi)力（剪力）為零。02XCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY3 對稱結(jié)構(gòu)受對稱結(jié)構(gòu)受反對稱載荷反對稱載荷時的特點時的特點 對稱結(jié)構(gòu)受反對稱載荷作用時，在對稱結(jié)構(gòu)受反對稱載荷作用時，在對稱截面上對稱截面上，對稱內(nèi)力對稱內(nèi)力（彎矩和軸力）為零。（彎矩和軸力）為零。Fa4a2aFa4a2a1X3X2X3X1X2X證明：證明：從對稱截面截開。從對稱截面截開。 即要證明：即要證明： X1 = 0， X3 = 0CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYFa4a2aFa

38、4a2a1X3X2X3X1X2X證明：證明：從對稱截面截開。從對稱截面截開。 即要證明：即要證明： X1 = 0， X3 = 001313212111FXXX02323222121FXXX03333232131FXXX由正則方程由正則方程u 用圖乘法可證明用圖乘法可證明 1F， 3F， 12和和 23 均為零。均為零。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY4FaFF4FaFM11aa1M由由MF和和M2圖圖02F由由M1和和M2圖圖012由由M2和和M3圖圖023022又又02X所以所以u 用圖乘法可證明用圖乘法可證明 1F， 3F， 21和和 23

39、 均為零。均為零。13M1112M12a2a由由MF和和M3圖圖03FCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY01313212111FXXX02323222121FXXX03333232131FXXXu 用圖乘法可證明用圖乘法可證明 1F ， 3F， 21和和 23 均為零。均為零。由正則方程由正則方程0313111XX0333131XX 對稱結(jié)構(gòu)受反對稱載荷作用時，在對稱截面上，對稱結(jié)構(gòu)受反對稱載荷作用時，在對稱截面上，對稱對稱內(nèi)力（軸力和彎矩）為零。內(nèi)力（軸力和彎矩）為零。031XXFa4a2aFa4a2a1X3X2X3X1X2X02222FXCH

40、INA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY)a (q+2q)b(2q2q) c (F)a (2F2F)b(2F2F) c (+4 可轉(zhuǎn)化為可轉(zhuǎn)化為對稱載荷對稱載荷或或反對稱載荷反對稱載荷的情況的情況CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例：平面框架受切向分例：平面框架受切向分布載荷布載荷q 作用，作用， 求截面求截面 A 的的剪力、彎矩和軸力。剪力、彎矩和軸力。解：解：00NSAAAFMqbFabAFSqAbbaqaA注：對稱結(jié)構(gòu)受反對稱載荷注：對稱結(jié)構(gòu)受反對稱載荷作用時，在作用時，在對稱截面上對稱截面上， 對對

41、稱內(nèi)力稱內(nèi)力（彎矩和軸力）為零。（彎矩和軸力）為零。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例：圖示小曲率桿在力偶例：圖示小曲率桿在力偶 與均勻分布剪流與均勻分布剪流 作用下作用下處于平衡狀態(tài)處于平衡狀態(tài), 已知已知 、 與與 常數(shù)常數(shù), 試求截面試求截面A的剪力、的剪力、彎矩和軸力。彎矩和軸力。qMeEIRq0, 0,NSAAAFMqRF解：解：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例：等截面平面框架的受力情況如圖所示。試求最大例：等截面平面框架的受力情況如圖所示。試求最大彎矩及其作用位置。彎矩及其作用

42、位置。解：解：FFFA2245cosS2maxFaM作用于框架四條邊的正中間作用于框架四條邊的正中間CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例：已知結(jié)構(gòu)的抗彎剛度為例：已知結(jié)構(gòu)的抗彎剛度為EI，求對稱軸上，求對稱軸上 A 截面的內(nèi)力。截面的內(nèi)力。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYEIFaF4,21EIa21181FaX 解：解：01111FX由由 得得8,2, 0NSFaMFFFAAA所以所以CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例：已知剛架的抗彎剛度為例：已知

43、剛架的抗彎剛度為EI。試求截面。試求截面 A 處彎矩。處彎矩。解：解：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYEIa211EIqaF312121qaXMA01111FX由由 得得CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYqaaqX245cos21另解：另解：2,2qaMACHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例：圖示平面桁架，各桿的彈性模量例：圖示平面桁架，各桿的彈性模量 E 皆相同，皆相同，CA、AB、BF 三桿的橫截面面積均為三桿的橫截面面積均為 ，其余各桿面積均

44、，其余各桿面積均為為 。試求桿。試求桿 AB 的軸力。的軸力。2cm30kN130,m6,cm152FaCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY解：將載荷分解為正對稱與反對稱，在反對稱情況下桿解：將載荷分解為正對稱與反對稱，在反對稱情況下桿AB 的軸力為零。的軸力為零。=+CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYkN 7 .82245 . 32231FXEAaEAlFFiiiii2427NN11EAFaEAlFFiiiiiF223,NN101111FX由由 得得CHINA UNIVERSITY OF MININ

45、G AND TECHNOLOGY 例：圖示桁架各桿的拉壓例：圖示桁架各桿的拉壓剛度為剛度為 EA，試求各桿軸力。，試求各桿軸力。解：解：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 22211EAaEAFaF21FX2221FFFFF212N4N3N2N1FF222,6N2N5FF01111FX由由 得得CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 解：解： 例：圖示桁架各桿的拉壓例：圖示桁架各桿的拉壓剛度為剛度為 EA，試求各桿軸力。，試求各桿軸力。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TEC

46、HNOLOGY3111EAaEAFaF1,(a 為為1、2、3桿的長度桿的長度)01111FX由由 得得311FX31N6N5N4N3N2N1FFFFFFFCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY另解：另解：EAa31311EAFaF3,1(a 為為1、2、3桿的長度桿的長度)01111FX由由 得得311FX31N6N5N4N3N2N1FFFFFFFCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例：圖示桁架，各桿的拉壓剛度均為例：圖示桁架，各桿的拉壓剛度均為EA，試求支反力。，試求支反力。解：解：CHINA UNI

47、VERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYFX243221124311EAa221,1EAFaF01111FX由由 得得再由靜力平衡方程可求得其它支反力，略。再由靜力平衡方程可求得其它支反力，略。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例：圖示桁架，各桿長度均為例：圖示桁架，各桿長度均為a，拉壓剛度均為，拉壓剛度均為EA，試，試求各桿軸力。求各桿軸力。解：解：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYEAa1211EAFaF6,121FX 01111FX由由 得得2/FCHINA UNIV

48、ERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例：已知圖示半圓曲桿的例：已知圖示半圓曲桿的抗彎剛度為抗彎剛度為EI，試求支反力。，試求支反力。解：解：sin)(RM)cos1 (2)(,FRM2/011dREIMM2/023dsinEIREIR43CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY2/01dREIMMF1FX )(2FFxA2/03dsin)cos1 (2EIFREIFR4301111FX由由 得得)(,FFyA121,FRMA)(2FFxB)(,FFyB121,FRMBCHINA UNIVERSITY OF MINING AN

49、D TECHNOLOGY1 靜不定結(jié)構(gòu)靜不定結(jié)構(gòu)l 外力靜不定外力靜不定 由于外部的多余約束而構(gòu)成的超靜定系統(tǒng)，一般稱為由于外部的多余約束而構(gòu)成的超靜定系統(tǒng)，一般稱為外力超靜定系統(tǒng)。外力超靜定系統(tǒng)。 求解外力超靜定系統(tǒng)的基本方法，是解除多余約束，求解外力超靜定系統(tǒng)的基本方法，是解除多余約束，代之以多余約束反力，根據(jù)多余約束處的變形協(xié)調(diào)條件建代之以多余約束反力，根據(jù)多余約束處的變形協(xié)調(diào)條件建立補充方程進行求解。立補充方程進行求解。本章小結(jié)本章小結(jié)CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYl 內(nèi)力靜不定內(nèi)力靜不定 有些結(jié)構(gòu)，支座反力可以由靜力平衡條件全部求出

50、，有些結(jié)構(gòu)，支座反力可以由靜力平衡條件全部求出，但無法應(yīng)用截面法求出所有內(nèi)力，這類結(jié)構(gòu)稱為內(nèi)力超靜但無法應(yīng)用截面法求出所有內(nèi)力，這類結(jié)構(gòu)稱為內(nèi)力超靜定系統(tǒng)。定系統(tǒng)。 求解內(nèi)力超靜定系統(tǒng)，需要解除桿件或桿系的內(nèi)部約求解內(nèi)力超靜定系統(tǒng)，需要解除桿件或桿系的內(nèi)部約束束。FCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY2 靜不定次數(shù)的確定靜不定次數(shù)的確定靜不定次數(shù)靜不定次數(shù) = 未知力個數(shù)未知力個數(shù) - - 獨立平衡方程數(shù)獨立平衡方程數(shù) u 外力靜不定次數(shù)的確定外力靜不定次數(shù)的確定根據(jù)約束的性質(zhì)及力系的類型來確定。根據(jù)約束的性質(zhì)及力系的類型來確定。u 內(nèi)力靜不定次數(shù)的確定內(nèi)力靜不定次數(shù)的確定 平面桁架平面桁架未知力個數(shù)未知力個數(shù) = 約束反力數(shù)約束反力數(shù) + 桿件數(shù)桿件數(shù)獨立方程數(shù)獨立方程數(shù) = 節(jié)點數(shù)節(jié)點數(shù)2