1、第六章第六章 位移法位移法2022-5-27揚州大學水利科學與工程學院2PABCDjAjAjAPjAjAADBjAjAA 如果已知A結點的轉角jA，則原結構的三根桿件可看成三個單跨超靜定梁。 原結構可以看成是三個單跨超靜定梁受到外荷載和桿端位移jA共同作用。CjAjAA 以某些結點位移為基本未知量，求出結點位移后再計算結構內力位移法的基本思路。需要解決以下幾個問題：1、以哪些結點位移為基本未知量？2、如何求單跨超靜定梁在荷載及桿端位移作用下的內力？3、如何求結點位移？一、單跨超靜定梁的基本型式jAjBDABABABMABMBAFQABFQBA桿端轉角jA、jB以及垂直于桿軸線的桿端相對線位移D

2、AB均以使桿件作順時針轉動為正。桿端彎矩MAB、MBA以及桿端剪力FQAB、 FQAB也均以使桿件作順時針轉動為正。二、桿端內力與桿端位移的正負號ABABABAB三、形常數(shù)jA=1F1=11M1圖F2=1lM2圖ABlF1F2基本系jA=1D1CD2CjA002C2221211C212111FFFFEIlEIlEIl23;2211232211llA2CA1C; 1jj2216;2lEIFlEIF2ABAB64lEIFlEIMQ；lEI4lEI2M圖26lEIFQ圖26lEI單位桿端位移引起的桿端力，即勁度系數(shù)。簡圖彎矩圖MABMBAFQABFQBA0000單位桿端位移引起的單跨超靜定梁桿端力j

3、A=1ABAB4iAB2iliAB6liAB62AB12li2AB12liAB3iliAB3liAB32AB3li2AB3liABiABiAB1jA=1ABAB1jA=1ABliAB6liAB6liAB3稱為線抗彎剛度。表中，lEIiAB四、載常數(shù) 由桿上荷載或變溫引起的桿端力。Pl/2l/2EI1FP/2P/201111PF11FM11MPP/2P/2Pl/4Pl/4EIl11EIPlP83181PlFPMFMM11MPPl/8Pl/8Pl/8五、等截面直桿的轉角位移方程jADABABqjBt1t2 當單跨超靜定梁受到支座移動以及荷載等因素共同作用時，其桿端內力可根據(jù)疊加原理計算。FQBAA

4、B2ABBABAABQBAFQABAB2ABBABAABQABFBAABABBABAABBAFABABABBABAABAB12661266642624FlililiFFlililiFMliiiMMliiiMjjjjjjjj內力，稱為固端力。下的桿端為荷載及溫度改變作用、其中，F(xiàn)QBAFQABFBAFABFFMM等截面直桿的轉角位移方程五、等截面直桿的轉角位移方程FQBAAB2ABAABQBAFQABAB2ABAABQABBAFABABABAABAB3333033FliliFFliliFMMliiMjjjjADABABqt1t2qjAABt1t20QBAFQABQABFBAAABBAFABAAB

5、ABFFFMiMMiMjjABCDDDDC CD結點位移包括結點角位移（結點轉角）和結點線位移。一、基本未知量2、線位移未知量 獨立獨立的結點線位移。 1、角位移未知量 結構上可轉動剛結點的角位移。（1）忽略軸力產(chǎn)生的軸向變形；（2）結點轉角和桿件弦轉角是微小的。桿件變形后兩個端點距離保持不變兩個假設：3、獨立結點線位移的確定方法DD CDABCDDDDD1D2 (1)直接判斷法 將結構中所有剛結點和固定支座，代之以鉸結點和鉸支座，通過增加支座鏈桿使其變?yōu)闊o多余聯(lián)系的幾何不變體系，所需增加的鏈桿數(shù)，即為原結構位移法計算時的線位移數(shù)。 (2)鉸接體系法140練習確定獨立結點線位移數(shù)：位移法的基本

6、思路以某些結點位移為基本未知量，求出結點位移后再計算結構內力。8m4mii2iABCD3kN/mD2D21DABCBDC1DD2D21D3kN/m 原結構可以看成是三個單跨超靜定梁受到外荷載和桿端位移共同作用。二、基本系8m4mii2iABCD3kN/mD2D21DABCD剛臂位移法基本結構通過增加與基本未知量相應的約束，將原結構改造而成的單跨超靜定梁組合體。剛臂只限制轉動、不限制移動的約束。位移法基本結構二、基本系ABCDD21D3kN/mF1F28m4mii2iABCD3kN/mD2D21D位移法基本體系位移法基本體系基本系與原結構的差別：附加約束！ 0021FF二、基本系三、典型方程D2

7、F2PD1F11F21F12F22ABCDD21D3kN/mF1F2F1P00222212112111PPFFFFFFFF3kN/m三、典型方程=1k21=1k12k22k11D1F11F21D2F12F22ii2i00222212112111PPFFFFFFFFDDDD0022221211212111PPFkkFkk三、典型方程ili5 . 161.5iili75. 033(2i)2i4i=1k21=1k12k22k21ii5 . 14604i6ik111.5ik12k2243i163ik11=10ik21= 1.5ik12= 1.5iik161522k11D1F11F21D2F12F22i

8、i2iDDDD0022221211212111PPFkkFkk01M2M三、典型方程F1PABCDF2P4kNm4kNmMPF2P040F1P6F1P=4kNmF2P=6kNDDDD0616155 . 1045 . 1102121iiiiDDii1580. 71737. 021疊加法作彎矩圖疊加法作彎矩圖4.4213.625.691.4M(kNm)PMMMMDD2211ABCD3kN/mk11=10ik21= 1.5ik12= 1.5iik161522DDDD0022221211212111PPFkkFkk四、位移法的解題步驟1、確定基本未知量（D1、D2）與基本系（附加約束后的單跨超靜定梁組

9、合體受原荷載和基本未知量位移作用）2、建立位移法典型方程3、作單位內力圖與荷載內力圖，求系數(shù)與自由項4、解典型方程5、疊加法作內力圖DDDD0022221211212111PPFkkFkk0021FFPMMMMDD2211k11D 1+ k12D 2+ + k1nD n+F1P=0 k21D 1+ k22D 2 + + k2nD n+F2P=0 kn1D 1+ kn2D 2+ + knnD n+FnP=0 nnnnnnkkkkkkkkk.212222111211K具有具有n個獨立結點位移的超靜定結構，位移法典型方程：個獨立結點位移的超靜定結構，位移法典型方程：勁度勁度（剛度）（剛度）矩陣矩陣主

10、系數(shù)（ij）副系數(shù)（ij）FiP自由項kij勁度（剛度）系數(shù)j約束發(fā)生單位位移時在i約束產(chǎn)生的反力k11D 1+ k12D 2+ + k1nD n+F1P=0 k21D 1+ k22D 2 + + k2nD n+F2P=0 kn1D 1+ kn2D 2+ + knnD n+FnP=0 nnnnnnkkkkkkkkk.212222111211K具有具有n個獨立結點位移的超靜定結構，位移法典型方程：個獨立結點位移的超靜定結構，位移法典型方程：勁度勁度（剛度）（剛度）矩陣矩陣勁度(剛度)系數(shù)的特性：kii0； kij kji（反力互等定理）kij與荷載無關。例例1 1、用位移法作、用位移法作M圖。圖

11、。（1 1）基本未知量與基本系基本未知量與基本系4m4m5m4m2m q=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I04m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I0123以結點以結點B、C的轉角的轉角D1、 D2和結點和結點D的水平線位移的水平線位移D3為為基本未知量，基本系如圖基本未知量，基本系如圖（2 2）典型方程）典型方程DDDDDDDDD000333323213123232221211313212111PPPFkkkFkkkFkkk（3 3）計算剛度系數(shù)、自由項）計算剛度系數(shù)、自由項計算線性剛度計算線性剛度i，設設EI0=1，21,43,1,1

12、CFBECDBCiiii1440IElEIiABABABi=1i=1i=1i=3/4i=1/23241.53k11=3+4+3=10k12=k21=2k31=?k22=4+3+2=9k32=?（3 3）計算剛度系數(shù)、自由項）計算剛度系數(shù)、自由項k111=1k21k31i=1i=1i=1i=3/4i=1/22=1k12k22k321M2M=k13=k231/21/29/89/8k33=(1/6)+(9/16)=35/48k31=k13= 9/8k32=k23= 1/2(1/12) 2052=41.7F1P=4041.7= 1.7F2P=41.7F3P=0i=1i=1i=1i=3/4i=1/2i=

13、1i=1i=1i=3/4i=1/2(1/8) 2042=40（3 3）計算剛度系數(shù)、自由項）計算剛度系數(shù)、自由項k33k23k13F2PF1PF3P3MPM3=1DDDDDDDDD04835218907 .41219207 . 189210321321321（4 4）解典型方程求結點位移：）解典型方程求結點位移：（5 5）疊加法作彎矩圖）疊加法作彎矩圖PMMMMDD2211DDD94. 194. 494. 0321ABCDFEM圖（kNm）18.642.847.826.723.814.953.68.93.97位移法的校核：位移法的校核：結點及局部桿件的靜結點及局部桿件的靜力平衡條件的校核。力平

14、衡條件的校核。例例2：用位移法作：用位移法作M圖圖1EIl2llqEI2EI2EI1EIql對稱結構受對稱荷載作用位移法中利用對稱性簡化計算的方法：半結構法半結構法力法中利用對稱性簡化計算的方法：采用對稱基本系采用成組的基本未知量采用半結構利用對稱性簡化計算！一、奇數(shù)跨一、奇數(shù)跨(1)(1)對稱荷載對稱荷載(2)(2)反對稱荷載反對稱荷載ABEl/2PABEl/2q1I1I2IPPABCDE二、偶數(shù)跨二、偶數(shù)跨(1)(1)對稱荷載對稱荷載qCqCPPI2IP(2)(2)反對稱荷載反對稱荷載例例2：用位移法作：用位移法作M圖圖1EIl2llqEI2EI2EI1EIqlq1EIllqEIEI2EI

15、半結構基本系01111DPFk11k2/12li2/6li211/18lik1EIllqEIEI2EIM16i/lq基本系8/31qlFPiql48/31DPMMMD11PF18/3qlq8/2qlMP01111DPFk211/18lik1EIllqEIEI2EIM16i/lq基本系11122111)8(2qlM 例例3：作：作M圖，圖， EI=常數(shù)常數(shù)k11D1+FR1C=0CMMMD11D1cck11ccli 3MCik811licFcR/31lc 8/31DFR1C由結果可見：支座移動引起的位移與由結果可見：支座移動引起的位移與EI大小無關，內力與大小無關，內力與EI大小有關大小有關2i

16、4i3iiM1D1=1基本系lic 4/3lic 8/3lic 8/15lic 2/3M例例4：作：作M圖，圖， EI=常數(shù)常數(shù)ik811ttttttttt tttltl01111DtRFkD1k112i4i3iiM1D1=1基本系例例4：作：作M圖，圖， EI=常數(shù)常數(shù)ik811tiFtR918/91tDFR1tttttttttt tttltltlli6Mttlli301111DtRFkD1基本系例例4：作：作M圖，圖， EI=常數(shù)常數(shù)tMMMD11由結果可見：溫度變化引起的位移與由結果可見：溫度變化引起的位移與EI大小無關，內力與大小無關，內力與EI大小有關大小有關tttttttD1k11

17、2i4i3iiM1D1=14/15 ti8/3 ti2/3 ti8/9 tiM基本系FR1ttlli6Mttlli3ik811tiFtR918/91tD01111DtRFk例例5：作：作M圖，圖，EI=常數(shù)常數(shù), t1t2tRtRtRFFF111 2/ )(, 2/ )(21210tttttt1t2t1thFR1t2t2t1t1t同上例ik811FR1t的計算:0t0t0t0ttRF1tttttRF1 1t2t1t2tD1基本系例例5：作：作M圖，圖，EI=常數(shù)常數(shù), t1t2tRtRtRFFF111 tMMMD112/ )(, 2/ )(21210ttttttFR1t2t2t1t1tFR1t

18、的計算:0t0t0t0ttRF1tttttRF1 019tiFtR同上例01111DtRFkt t htli/3t t htli/2ltlihlti33hlti/2hl til tlihl tiFtR 2331ABCDF1F28m4mii2iABCD3kN/mD2D21DD21D3kN/m位移法基本體系位移法基本體系0021FF一、位移法典型方程的實質含義DDDD0022221211212111PPFkkFkkDDDD0022221211212111PPFkkFkk3(2i)2i4i=1k21k11D1F21ii2i1MABCDili5 . 161.5iili75. 03=1k12k22D2F

19、12F222MABCDk11iM61BCiM41BAk1202BCMiM5 . 12BAF1PABCDF2P4kNm4kNmMP3kN/mF1P4PBAM0PBCM0PBCPBA22BC2BA11BC1BADDMMMMMM一、位移法典型方程的實質含義DDDD0022221211212111PPFkkFkk3(2i)2i4i=1k21k11D1F21ii2i1MABCDili5 . 161.5iili75. 03=1k12k22D2F12F222MABCDk11iM61BCiM41BAk1202BCMiM5 . 12BAF1PABCDF2P4kNm4kNmMP3kN/mF1P4PBAM0PBCM

20、 0PBC22BC11BCPBA22BA11BADDDDMMMMMM0BCBA MM一、位移法典型方程的實質含義DDDD0022221211212111PPFkkFkk3(2i)2i4i=1k21k11D1F21ii2i1MABCD2Mili5 . 161.5iili75. 03=1k12k22D2F12F22ABCDF1PABCDF2P4kNm4kNmMP3kN/mk21iFQ5 . 11BA01CDQFk22432BAiFQ1632CiFDQF2P6PBAQF0PCDQF0CDBAQQFF一、位移法典型方程的實質含義位移法典型方程的實質含義是位移法典型方程的實質含義是靜力平衡方程靜力平衡方

21、程0BCBA MM（1 1）確定基本未知量；）確定基本未知量；（3 3）整體分析）整體分析利用原結構的平衡條件建立位移法基利用原結構的平衡條件建立位移法基本方程本方程; ;（5 5）由桿件的內力與位移關系式求出各桿件內力。）由桿件的內力與位移關系式求出各桿件內力。二、轉角撓度法的基本步驟（2 2）單元分析）單元分析利用轉角撓度方程寫出各桿件的內力利用轉角撓度方程寫出各桿件的內力與位移關系式；與位移關系式；（4 4）解方程求出基本未知量）解方程求出基本未知量; ;DDBMABFQABMBAFQBADB例例1. 1. 用轉角撓度法分析圖示剛架。用轉角撓度法分析圖示剛架。 解解 （1 1）基本未知量

22、）基本未知量B、D（2 2）單元分析）單元分析12434622DiiMBAB12434642DiiMBBA8m4mii2iABCD3kN/m675. 05 . 12412462DDiiqliiFBBQBAMBCDFQCDFQDCMDCBBCiM)2( 3D43iMDCBBCD243iFQCD例例1. 1. 用轉角撓度法分析圖示剛架。用轉角撓度法分析圖示剛架。 解解 （1 1）基本未知量）基本未知量B、D（2 2）單元分析）單元分析DDB8m4mii2iABCD3kN/mMBCMBA（3 3）位移法方程）位移法方程0BM0BCBAMM041510DiiB0 xFFQBA + FQCD =0024

23、75. 36DiiBFQBAFQCD45 . 12DiiMBAB45 . 14DiiMBBABBCiM6DiMDC75. 0D243iFQCD675. 05 . 1DiiFBQBADDB8m4mii2iABCD3kN/m（4 4）解位移法方程）解位移法方程（4 4）解位移法方程）解位移法方程iiB58. 7737. 0D（5 5）彎矩圖）彎矩圖MAB= -13.896 kNmMBA= -4.422kNmMBC= 4.422kNmMDC= -5.685kNmFQBA= -1.42kNFQCD= -1.42kNABCD13.8964.4224.4225.685M圖（kNm）45 . 12DiiMB

24、AB45 . 14DiiMBBABBCiM6DiMDC75. 0D243iFQCD675. 05 . 1DiiFBQBA02475. 36DiiB045 . 110DiiB力法力法 基本未知量：多余約束力基本未知量：多余約束力 基本結構：一般為靜定結構。基本結構：一般為靜定結構。 典型方程（協(xié)調條件）典型方程（協(xié)調條件） 作單位和外因內力圖，由內力作單位和外因內力圖，由內力圖自乘、互乘求系數(shù)和自由項。圖自乘、互乘求系數(shù)和自由項。 解方程求多余約束力解方程求多余約束力 疊加作內力圖疊加作內力圖 用變形條件進行校核用變形條件進行校核位移法位移法 基本未知量：結點獨立位移基本未知量：結點獨立位移 基

25、本結構：單跨超靜定梁組基本結構：單跨超靜定梁組合體合體 典型方程（平衡條件）典型方程（平衡條件） 作單位和外因內力圖，由內作單位和外因內力圖，由內力圖的結點、隔離體平衡求力圖的結點、隔離體平衡求系數(shù)和自由項。系數(shù)和自由項。 解方程求獨立結點位移解方程求獨立結點位移 疊加作內力圖疊加作內力圖 用平衡條件進行校核用平衡條件進行校核0022221211212111PPFFFFDDDD0022221211212111PPkkkkFFll2/ l2/ lBCDEFqlqqlBCDEFqBCDEFqlqlEI=常數(shù)EA=聯(lián)合法聯(lián)合法是聯(lián)合應用力法、位移法解題，一個計算簡圖用同是聯(lián)合應用力法、位移法解題，一個計算簡圖用同一種方法。一種方法。BCDEFql2l2lBCDq 圖(j1=1