1、第四章第四章 連續(xù)信號與系統的復頻域分析連續(xù)信號與系統的復頻域分析 拉普拉斯變換拉普拉斯變換; 拉普拉斯變換的性質拉普拉斯變換的性質; 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換; 拉普拉斯與傅里葉變換的關系拉普拉斯與傅里葉變換的關系; 連續(xù)連續(xù)LTI系統的復頻域分析法系統的復頻域分析法; 連續(xù)連續(xù)LTI系統的復頻域系統函數系統的復頻域系統函數;4.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換一、拉普拉斯變換的定義一、拉普拉斯變換的定義1、從傅氏變換到拉氏變換、從傅氏變換到拉氏變換f (t)不滿足絕對可積不滿足絕對可積f1(t)= f (t) e t構造新函數構造新函數-t-jt1-(+ j)t-F (j)=f(t)eed

2、t=f(t)edt = F(+ j)-t-jt1-(+ j)t-F (j)=f(t)e edt=f(t)edt = F(+ j)( )( )stF sf t edt令令1( )( )2jstjf tF s e dsj 1( )()2tj tf t eFje d()1( )()2jtf tFjed拉普拉斯變換對：拉普拉斯變換對：1( )( )2jstjf tF s e dsj ( )( )stF sf t edt拉普拉斯正（拉普拉斯正（LT）變換）變換拉普拉斯拉普拉斯反反(ILT)變換變換 LT是廣義的是廣義的FT，擴大了，擴大了信號變換的范圍信號變換的范圍； 復變量復變量s是頻率是頻率的拓展，

3、使的拓展，使f(t)的傅立葉反變換中的傅立葉反變換中沿虛軸沿虛軸j的的積分拓展到了拉斯反變換中沿積分拓展到了拉斯反變換中沿平行虛軸平行虛軸j的積分；的積分； 2、雙邊拉斯變換的收斂域、雙邊拉斯變換的收斂域ROC (Region of Convergence)若若f(t)e-t 絕對可積，則絕對可積，則 f(t) 的雙邊拉普拉斯變換一定存在。的雙邊拉普拉斯變換一定存在。滿足滿足f(t)e-t 絕對可積的絕對可積的的取值范圍條件的取值范圍條件，稱，稱LT的收斂域的收斂域 。求收斂域的方法，滿足下列式子的求收斂域的方法，滿足下列式子的的取值：的取值： 例例 4-1( )( )(0)tf tet求收斂

4、域（求收斂域（ROC）。）。解：解：j0=0?須滿足須滿足: 0收斂域收斂域發(fā)散域發(fā)散域S S平面平面收斂收斂邊界邊界)()(tetftROC?( )( )()ttf tetetROC?3、單邊拉普拉斯變換、單邊拉普拉斯變換l 無時限信號的時間域為無時限信號的時間域為( -，），其），其LT叫做叫做雙邊拉氏變換雙邊拉氏變換。l 有始有始(因果因果)信號信號（實際應用），（實際應用），LT的積分從的積分從 t= 0 開始，即：開始，即：0( )( )stF sf t edt( )( )stF sf t edt雙邊雙邊LT單邊單邊LT包含包含t=0時刻的沖時刻的沖激及其各階導數激及其各階導數t=0

5、時刻，沒有沖時刻，沒有沖激及其各階導數激及其各階導數4、拉普拉斯變換的物理意義、拉普拉斯變換的物理意義結論：結論：LT是將任意非周期信號是將任意非周期信號f(t)分解為無限多個微元變幅正弦震蕩信號分解為無限多個微元變幅正弦震蕩信號的連續(xù)和。的連續(xù)和。deeejFdsesFjtftjtjjjst)(11| )(|21)(21)(011)(cos| )(|tdejFt0)(10)(111| )(|21| )(|21deeejFdeeejFtjtjtjtj0)(10)(111| )(|21| )(|21deeejFdeeejFtjtjtjtj5、典型信號的拉氏變換、典型信號的拉氏變換（1）沖激信號）

6、沖激信號).( )( )( )1af ttF s00).()stbtte).( )( )( )1af ttF s( )( )( )( )nnf ttF ss ( )1FTt00 ()jtFTtte( )FTtj()( )()nnFTtj(2) (2) 單位階躍信號單位階躍信號1( )( )( )f ttF ss對于單邊對于單邊LT 11( ) tsL LL L(3) 單邊單邊t 的正冪信號的正冪信號1!( )( )( )nnnf tttF ss1 ( )()FTtj （4 4）單邊指數信號）單邊指數信號1( )( )( )tf tetF ss( )?tFT et0( )?jtFT et（5 5

7、）單邊正弦信號）單邊正弦信號0220( )cos( )( )sf tttF ss 00220( )sin( )( )f tttF ss 000cos() ()()FTt 000sin() ()()FTtj （6 6）單邊衰減正弦信號）單邊衰減正弦信號0220()( )cos( )( )()tsf tettF ss 00220( )sin( )( )()tf tettF ss （7 7）單邊雙曲函數）單邊雙曲函數22( )c( )sf th tF ss22( )s( )f th tF ss22( )s( )( )()tf teh ttF ss 22()( )( )( )()tsf tech tt

8、F ss c2tteeh t2tteesh t4.2 拉氏變換的性質拉氏變換的性質一、線性性質一、線性性質若：若：1122( )( )( )( )f tF sf tF s則：則：1212( )( )( )( )af tbf taF sbF s二、尺寸壓擴性質（比例性）二、尺寸壓擴性質（比例性）( )( )f tF s若：若：則：則：1()( )sf atFaa(0)a 注意：注意： a0 ，因為，因為 f(t) 是有始信號，若是有始信號，若 a=-1 ， 則則 f (-t)在在 t 0 的時間區(qū)間為的時間區(qū)間為零，因而其單邊拉氏變換將為零。如圖所示零，因而其單邊拉氏變換將為零。如圖所示()()

9、0f atf atL Lt0三、時延性質三、時延性質( )( )f tF s若：若：則：則：000() ()( )stf ttttF s e0(0)t 則：則：00)(1)()(0000taeasFatattatfsat則：則：F(s)為第一個周期內信號的為第一個周期內信號的LT因果周因果周期信號期信號FT時移性時移性質質例例 4-2求下列波形的單邊拉氏變換。求下列波形的單邊拉氏變換。( )f tt0t( )f tt0( )tt( )f tt00() ( )ttt( )f tt000() ()tttt解：解： （1 1）21ts21( )tts（2 2）00021() ( )( )( )ttt

10、tttttss（3 3）00021() ()stttttes（4 4）例例 4-3求下列信號的拉氏變換。求下列信號的拉氏變換。解：解：（1 1）( )(22)f tt1ses（1 1）2329sses（2 2）（2 2）( )cos(32) (32)f ttt四、復頻移性質四、復頻移性質( )( )f tF s則：則：00( )()s tf t eF ss若：若：時域里時域里 f(t) 乘以乘以 相當于復頻域里相當于復頻域里F (s) 發(fā)生了發(fā)生了 移位。移位。 0s te0s0( )()jtf t eF jjFT頻移性頻移性質質例例 4-4( )( )f tF s求：求：0( )cos?f

11、tt 已知已知0( )sin?f tt0001( )cos ()()2f ttF sjF sj0001( )sin ()()2f ttF sjF sjj0001( )cos ()()2FTf ttF jjF jj0001( )sin ()()2FTf ttF jjF jjj傅立葉傅立葉變換變換五、時域微分性質五、時域微分性質( )( )f tF s若：若：則：則：( )( )( )(0 )df tftsF sfdt推論：推論：)0(.)0()0()()()()1(21)()(nnnnnnffsfssFsdttfdtf)0()()(110qqnnqnfssFs如果如果f(t)為為因果信號因果信號

12、)(sFsn( )() ()f tjF jFT頻移性頻移性質質例例 4-5120( )( )( )10ttetf tf tett求求 的拉氏變換。的拉氏變換。12( )( )f tft和1( )f tt012( )f tt01120( )( )( )10ttetf tf tett六、時域積分性質六、時域積分性質( )( )f tF s若：若：則：則：則：則：如果如果f(t)為為因果信號因果信號dftfktk)()(0kkssFsF)()(0)1(|)()0(ttdffsfssFsGdft)0()()()()1(例例 4-64-6求求 的拉氏變換。的拉氏變換。( )( )ntttt和解：解：21

13、11( )ttsss01( )( )( )ttdts 又01( )( )!ntndttn 1 ( )!( )!nnnLTtnttnss七、復頻域微積分性質七、復頻域微積分性質f(t)F(s)若：若：則：則：dF(s )( t )f (t )ds1、復頻域微分性質、復頻域微分性質推論：推論：nnnd F(s( t ) f (t )ds）()() ( )dF jjt f tdFT頻域微頻域微分分例例 4-73t(t )? ( )?ntt2、復頻域積分性質、復頻域積分性質( )( )f tF s若：若：則：則：( )( )sf tFdt八、卷積定理八、卷積定理1 1、時域卷積定理、時域卷積定理111

14、( )( )f tF s 若：若：則：則：1212( )( )( )( )f tf tF s F s222( )( )f tF s Re(s)max(1,2)2、復頻域（、復頻域（s域）卷積定理域）卷積定理若：若：則：則：積分路線積分路線= c時時F1()和和F2(s -)的收斂域重疊部分內與虛軸平行的的收斂域重疊部分內與虛軸平行的直線。這里對積分路線的限制較嚴，積分復雜，應用較少。直線。這里對積分路線的限制較嚴，積分復雜，應用較少。12121( )( )( )( )2f tf tF sF sj=九、初值定理九、初值定理( )( )f tF s若：若：則：則：0(0 )lim( )lim( )

15、tsff tsF slim( )ssF s且且存在存在 條件：條件：F(s)為真分式為真分式例例 4-8已知已知 ，試求初始值，試求初始值 f (0+) 。 ( )1sF ss應用初值定理的條件：應用初值定理的條件：F(s)為真分式為真分式； F(s)F(s)不是真分式，即不是真分式，即f(t)f(t)在在t t0 0處含有沖激及其導數，將處含有沖激及其導數，將F(s)F(s)轉化為真分式，轉化為真分式，去掉去掉t=0t=0時刻的沖激及其導數，因為是求時刻的沖激及其導數，因為是求f(0f(0+ +) )的值。的值。例例 已知已知 ，試求，試求 f (0+)23( )(1) (2)sF sss解

16、：解：2(3)(0 )lim( )lim0(1) (2)sss sfsF sss(0 )lim( )lim11sssfsF ss十、終值定理十、終值定理( )( )f tF s若：若：則：則：0( )lim( )lim( )tsff tsF s 1、終值定理、終值定理lim( )tf t且且存在存在 2、終值、終值 f () 存在的復頻域判定條件存在的復頻域判定條件 該信號對應的拉氏變換該信號對應的拉氏變換 F(s)所有極點均位于復平面的左半平面所有極點均位于復平面的左半平面或者在原點上只有單極點。如圖所示：或者在原點上只有單極點。如圖所示：j0例例 4-9已知已知 ，試求，試求 f ()。

17、23( )(1) (2)sF sss解：解： F(s) 有三個極點，分別是有三個極點，分別是 均符合終值均符合終值存在的條件。故存在的條件。故1231;2sss 200(3)( )lim( )lim0(1) (2)sss sfsF sss 總結：常用信號的總結：常用信號的LT和和LT的性質的性質)()(ttf1)(sF)()(ttfssF)()()(tetftssF1)()()(ttfssF1)()()(0tetftj01)(jssF)()cos()(0tttf202)(sssF)()(tchtf22)(sssF)()sin()(0tttf2020)(ssF)()(tshtf22)(ssF總結

18、：常用信號的總結：常用信號的LT和和LT的性質的性質9.9.時域卷積：時域卷積：)()()(2121sFsFtftf）（10.s10.s域卷積域卷積: :)()(21)(2121sFsFjtftf）（1.1.線性：線性：)()(sFtf3.3.時移性：時移性：0)()()(00stesFttttf4.4.復頻移：復頻移：)()(00ssFetfts2.2.壓擴性：壓擴性：)(1)(asFaatf11.11.初值定理：初值定理：5.5.時域微分：時域微分：1( )1( )0( )( )(0 )nnnnqqqfts F ssf 6.6.時域積分時域積分: :sfssFtf)0 ()()() 1()

19、 1(7.s7.s域微分：域微分：8.s8.s域積分域積分: :sdFttf)()(nnndssFdtft)()()()(lim)0(ssFfs12.12.終值定理：終值定理：)(lim)(0ssFfs1212( )( )( )( )af tbf taF sbF s4.3 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換一、部分分式展開法一、部分分式展開法F(s) 常為有理函數的形式常為有理函數的形式 ，可表示為兩個，可表示為兩個s的多項式之比的多項式之比11101110( )( )( )mmmmnnnnb sbsbsbN sF sD sa sasa saan、bm 為實數；為實數； m 和和 n 是正整數。是正

20、整數。( )( )( )N sF sD s21012( )( )mnmnNsBB sB sBsD s1、當、當 m n ，F(s)是假分式，可用長除法化成多項式是假分式，可用長除法化成多項式+真分式形式真分式形式例：例：322232714( )3511ssssF ssssss 353 ( ) 5 ( )stt 其中：其中：如何求如何求解？解？（1）若）若D(s)=0 的根為實數根且無重根，即的根為實數根且無重根，即 F(s) 具有單極點具有單極點 。2、當、當 m0) j0因果信號在一定條件下可從拉氏變換求出傅立葉變換因果信號在一定條件下可從拉氏變換求出傅立葉變換結論：信號的傅氏變換不存在結論

21、：信號的傅氏變換不存在；ssF1)()( )sjF jF s j 02、若、若 F(s) 的極點位的極點位于于s平面左半面平面左半面如如 ：f(t) = e- t(t) ( 0)ssF1)(結論：信號的傅氏和拉氏變換都存在結論：信號的傅氏和拉氏變換都存在；1()F jj3、若、若 F(s) 的極點的極點位于虛軸位于虛軸j0例：例：1 ( )LTts1 ( )( )FTtj (1) Fb(s) 的極點是位于的極點是位于 j 軸的單極點軸的單極點11( )( )( )knnjtkbbkkkkKF sf tK etsj11()()nbkkkkF jKjj 11()()nbkkkkFjKjj nkkk

22、jsnkkkKjsK11)(|nkkkjsKsFjF1)(| )()(21( )(9)F ss s例：例：求求()F j(2) Fb(s) 的極點是位于的極點是位于 j 軸上的軸上的 j 1處有處有n 重極點（了解）重極點（了解）niiinnnnbjsKjsKjsKjsKsF111111111111)()(.)()()(）（)()!1()()()()!1()(1)1(111111111iiiiitjiiiiijKjjKteitKjsKniiiijsijKjFjF01)1(11)()!1()(| )()(4.5 連續(xù)連續(xù)LTI系統的復頻域分析法系統的復頻域分析法 一、任意信號一、任意信號f(t)

23、激勵下的零狀態(tài)響應激勵下的零狀態(tài)響應( )( )* ( )zsytf th t時域卷積定理時域卷積定理( )( )( )( )( )( )zsfYsytf th tF s H sL LL L( )( )( )( )( )( )zsfYsytf th tF s H sL LL L求解任意信號求解任意信號f(t)激勵下零狀態(tài)響應的一般步驟：激勵下零狀態(tài)響應的一般步驟： 求系統輸入信號的單邊拉普拉斯變換求系統輸入信號的單邊拉普拉斯變換F(s)； 求系統函數求系統函數H(s)； 求零狀態(tài)響應的單邊拉普拉斯變換求零狀態(tài)響應的單邊拉普拉斯變換Yzs(s)=F(s)H(s)； 求的單邊拉普拉斯逆變換求的單邊

24、拉普拉斯逆變換yzs(t)=L-1 Yzs(s) = L-1 F(s)H(s);例：例：巳知巳知LTI連續(xù)系統輸入信號為連續(xù)系統輸入信號為f1(t)=e-t(t)時，零狀態(tài)響應時，零狀態(tài)響應 yZS(t)= e-t- e-2t (t) 。若輸入為。若輸入為f2(t)=cost(t) ，求系統的零狀態(tài)響應。，求系統的零狀態(tài)響應。 解解: : f1(t)、yzs(t)和和f2(t)的單邊拉氏變換分別為：的單邊拉氏變換分別為：11( )1F ss1111( )12(1)(2)zsYsssss11( )1( )( )2zsYsH sF ss22( )1fsYss22221( )( )( )2121fs

25、ABsCYsF s H sssss22221( )( )( )2121zssABsCYsF s H sssss22221211( )()525151fsYssss 1222221( )( )(cossin ) ( )555tzszsytYsettt L L二、微分方程的復頻域解二、微分方程的復頻域解1、給定微分方程求解、給定微分方程求解1)()(0)(0)(nmjjjniiiatfbtya10)(1010)(10)0()()0()(jqqqjmjjjiqqqiniiifssFsbyssYsaniiiiqqqiniiniiinjjjsaysasFsasbsY010)(1000)0()()(如果如

26、果f(t)為因為因果信號果信號零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應Yzs(s)零輸入響應零輸入響應Yzi(s)系統函數系統函數H(s)例例已知已知:( )5 ( )6 ( )2( )8 ( )y ty ty tf tf t( )( ),(0 )3,(0 )2( )tf tetyyy t求。求求y(t)解：解：對微分方程兩邊取拉氏變換有：對微分方程兩邊取拉氏變換有：2( )(0 )(0 ) 5( ) 5 (0 )s Y ssyysY sy6 ( )2( )8 ( )Y ssF sF s復頻域的系統函數復頻域的系統函數H(s)22( )( )(5) (0 )(0 )(28)( )( )5656fxYsYssyys

27、Y sF sssss ( )zsYs( )ziYs2(28)1341( )561123zssYsssssss23( )( )( )3770tttzsziy tytyteeet23( )(34) ( )tttzsyteeet23( )1180ttziyteet223(5)2317118( )565623zissY sssssss三、電路的復頻域分析三、電路的復頻域分析時域模型時域模型s模型模型電路理論相關定律分析電路理論相關定律分析輸出響應的輸出響應的LTILT得到時域響應得到時域響應重點分析重點分析1、基本電路元件的、基本電路元件的s域模型域模型 電阻元件電阻元件時域模型和伏安關系時域模型和伏

28、安關系s域模型和伏安關系域模型和伏安關系( )( )u tRi tG( )I s( )U s( )( )I sGU s電導電導 電感元件電感元件L( )Lut( )Li t( )LIs(0 )Lis導納導納時域模型和伏安關系時域模型和伏安關系sL( )LIs(0 )LLi電感阻抗電感阻抗s域模型和伏安關系域模型和伏安關系電壓源電壓源電流源電流源C( )cu t( )ci t 電容元件電容元件dttduCticc)()(時域模型和伏安關系時域模型和伏安關系1sC( )cUs( )cIs(0)cus( )(0 )( )cccIsuUssCs電容阻抗電容阻抗( )( )(0 )cccIsCsUsCusC( )cUs( )cIs(0 )cCus域模型和伏安關系域模型和伏安關系電容導納電容導