1、20152016學年九年級上學期數(shù)學期末經(jīng)典測試題一注意事項：本卷共28題，滿分150分，考試時間120分鐘.一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分）1已知拋物線yx2+6x5，它的頂點坐標為（ ）A(3，4) B(3，4) C(3，4) D(3，4)2如果線段a16cm，b4cm，那么a和b的比例中項是（ ）A8cm B10cm C12cm D32cm3在RtABC中，C90，AB4，AC2，則A的度數(shù)為（ ）A30 B45 C60 D754已知圓心O在等腰直角ABC的內(nèi)部，且過頂點B、C，若BAC90，OA1，BC6，則O的半徑為（ ）2-1-c-n-j-yA B2 C D35在

2、一個不透明的盒子中裝有m個除顏色外完全相同的球，這m個球中只有3個紅球，若每次將球充分攪勻后，任意摸出1個球記下顏色再放回盒子，通過大量反復試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%左右，則m的值約為（ ）21*cnjy*comA12 B15 C18 D216如果拋物線ymx2+2mx5（m為常數(shù)，且m0）的頂點在反比例函數(shù)y圖象上，那么m的值為（ ）【來源：21cnj*y.co*m】A5 B2 C5 D107如圖，在ABC中，D、E分別是AB、BC上的點，且DEAC，若SBDE：SCDE1：3，則SDOE：SAOC的值為（ ）【出處：21教育名師】A B C D 第7題圖 第8題圖 第9題圖 第

3、10題圖8如圖，菱形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，若sinAOC，OA5，則點B的坐標為（ ）【版權所有：21教育】A(4，3) B(3，4) C(9，3) D(8，4)9如圖，O的半徑為2，AB，CD是互相垂直的兩條直徑，點P是O上任意一點（P與A，B，C，D不重合），過點P作PMAB于點M，PNCD于點N，點Q是MN的中點，當點P沿著圓周轉過45時，點Q走過的路徑長為（ ）A B C D10.如圖是某大橋的一段拋物線型的拱梁，拋物線的表達式為yax2+bx.小明騎自行車從拱梁一端O沿直線勻速穿過拱梁部分的橋面OC，當小明騎自行車行駛10s時和26s時拱梁的高度相同，則小明騎自行

4、車通過拱梁部分的橋面OC所需時間為（ ）A30s B32s C36s D40s二、填空題（本題有10小題，每小題4分，共40分）11.若4x5y（x，y均不為0），則_.12.如果二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（2，1），且當x1時，函數(shù)有最大值2，那么這個二次函數(shù)的表達式是_.21cnjy13.密碼鎖的密碼有五位，每位上的數(shù)字是0到9中的任一個.在開鎖時，某人忘了密碼的最后兩個數(shù)字，他隨意撥動最后兩位號碼，則恰好打開鎖的概率是_.14.已知扇形的圓心角為120，所對的弧長為，則此扇形的面積是_.15.若拋物線yx22x+m與x軸有兩個交點，則m的取值范圍是_.16.如圖，D是ABC的BC邊上的一點，A

5、BCDBA，E，F(xiàn)分別是AC，AD的中點，且AB28，BC36，則BE：BF_.21教育名師原創(chuàng)作品第16題圖 第17題圖 第18題圖 第19題圖17.將一副三角板如圖所示疊放在一起，則的值是_.18.如圖，AB是O的弦，AB6，點C是O上的一個動點，且ACB45.若點M，N分別是AB，BC的中點，則MN長的最大值是_.21*cnjy*com19.如圖，A是反比例函數(shù)y（x0）圖象上一點，點B、D在y軸正半軸上，ABD是COD關于點D的位似圖形，且ABD與COD的位似比是1：3，ABD的面積為1，則該反比例函數(shù)的表達式為_.第20題圖20.如圖所示，已知拋物線y1x2+1，直線y2x+1，當x

6、任取一值時，x對應的函數(shù)值分別為y1，y2.若y1y2，取y1，y2中的較小值記為M；若y1y2，記My1y2.例如：當x2時，y13，y21，y1y2，此時M3.下列判斷：當x0時，My1；當x0時，M隨x的增大而增大；使得M大于1的x值不存在；使得M的值是或，其中正確的有_.（填寫正確的序號）三、解答題（本題有8小題，共80分）21.(6分)如圖，在43的正方形方格中，ABC和DEF的頂點均在邊長為1的小正方形的頂點上.（1）填空：BCF_，BC_；（2）判斷ABC與DEC是否相似？并證明你的結論.22.(8分) 已知拋物線y(xm)2(xm)，其中m是常數(shù).（1）求證：不論m為何值，該拋

7、物線與x軸一定有兩個公共點；（2）若該拋物線的對稱軸為直線x.求該拋物線的函數(shù)解析式；把該拋物線沿y軸向上平移多少個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點.23.(8分)如圖，某校綜合實踐活動小組的同學欲測量公園內(nèi)一棵樹DE的高度，他們在這棵樹的正前方一座樓亭前的臺階上A點處測得樹頂端D的仰角為30，朝著這棵樹的方向走到臺階下的點C處，測得樹頂端D的仰角為60，已知A點的高度AB為2米，臺階AC的坡比為1：，且B、C、E三點在同一條直線上，請根據(jù)以上條件求出樹DE的高度（測量儀高度忽略不計，參考數(shù)值：1.414，1.732，結果保留一位小數(shù)）24.(10分)如圖，O中，AB、CD是O的直

8、徑，F(xiàn)是O上一點，連結BC、BF，若點B是的中點.21世紀教育網(wǎng)版權所有（1）求證：ABFDCB；（2）若CDAF，垂足為E，AF5，C60，求劣弧的長.25.(10分)某水果批發(fā)商銷售每箱進價為40元蘋果，物價部門規(guī)定每箱售價在不虧本的情況下不得高于55元.市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每箱以50元的價格銷售，平均每天能賣出90箱，價格每提高1元，平均每天少賣3箱.21教育網(wǎng)（1）求平均每天銷售y(箱)與銷售價x(元/箱)之間的函數(shù)關系式；（2）求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤W(元)與銷售價x(元/箱)之間函數(shù)關系式；（3）當每箱蘋果的銷售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？26.(12分)如圖

9、，ABC是等邊三角形，AOBC，垂足為點O，O與AC相切于點D，BEAB交AC延長線于點E，與O相交于G、F兩點（1）求證：AB與O相切；（2）若等邊ABC的邊長是4，求線段BF的長.27.(12分)如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線ykx+1（k0）與x軸交于點A，與y軸交于點C，過點C的拋物線yax2(6a2)x+b（a0）與直線AC交于另一個點B，點B的坐標為（4，3）.www.21-cn-（1）求a、b的值；（2）點P是射線CB上的一個動點，過點P作PQx軸，垂足為點Q，在x軸上點Q的右側取點M，使MQ，在QP的延長線上取點N，連結PM，AN，已知tanNAQtanMPQ，

10、求線段PN的長.【來源：21世紀教育網(wǎng)】 28.(14分)我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.例如圖1，圖2，圖3中，AF，BE是ABC的中線，AFBE，垂足為P，像ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”.設BCa，ACb，ABc.21cnjycom【特例探索】（1）如圖1，當ABE45，c2時，a_，b_；如圖2，當ABE30，c4時，a_，b_； 圖1 圖2 圖3【歸納證明】（2）請你觀察（1）中的計算結果，猜想a2，b2，c2三者之間的關系，用等式表示出來，并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關系式；21世紀*教育網(wǎng)【拓展應用】（3）如圖4，在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G分別是AD，

11、BC，CD的中點，BEEG，AD2，AB3，求AF的長.www-2-1-cnjy-com圖420152016學年九年級上學期數(shù)學期末經(jīng)典測試題一參考答案一、選擇題題號12345678910答案DABCBCDCAC二、填空題11. . 12. y3(x1)2+2. 13. . 14. . 15. m1.16. 9：7. 17. . 18. 3. 19. y. 20. .三、解答題21.解答：（1）BCF45，BC2；（2）ABC與DEC相似，證明：由圖可知：ABDE2，由勾股定理，得：BC2，AC2，同理：CE，CD，ABCDEC.22.解答：（1）證明：y(xm)2(xm)x2(2m+1)x+

12、m2+m，(2m+1)24(m2+m)10，不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個公共點；（2）解：x，m2，拋物線解析式為yx25x+6；設拋物線沿y軸向上平移k個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點，則平移后拋物線解析式為yx25x+6+k，21cnjy拋物線yx25x+6+k與x軸只有一個公共點，524（6+k）0，k，即把該拋物線沿y軸向上平移個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點23.解答：過點A作AFDE于點F，則四邊形ABEF為矩形，AFBE，EFAB2，設DExm，在RtCDE中，CEx，在RtABC中，AB2，BC2，在RtAFD中，DFDEEFx2，AF(x

13、2)，AFBEBC+CE，(x2)2+x，解得：x6，即DE6（米），答：樹DE的高度為6米.24.解答：（1）證明：AB、CD是O的直徑，F(xiàn)DBC90，點B是的中點，BFBC，在RtABF和RtDCB中，RtABFRtDCB（HL）；（2）連結OF，由（1）知RtABFRtDCB，ABFC60，A90ABF30，OAOF，AAFO30，AOF1803030120，CDAF，CD為直徑，且AF5，AEAF，在RtAEO中，OA5，.25.解答：（1）由題意，得：y903(x50)3x+240（40x55）；（2）w(x40)y(x40)(3x+240)3x2+360x9600；（3）由w3x2

14、+360x9600得w3(x60)2+1200，a30，拋物線開口向下，且在x60時w取得最大值，而40x55，由二次函數(shù)性質(zhì)可知：當x60時，w隨x的增大而增大，當x55時，w取得最大值，最大值為3(5560)2+12001125，故當每箱蘋果的售價為55元時，每天可獲得最大利潤，最大利潤為1125元.26.解答：（1）過點O作OMAB，垂足是M，O與AC相切于點D，ODAC，ADOAMO90，ABC是等邊三角形，DAONAO，OMOD，AB與O相切；（2）過點O作ONBE于點N，連結OF，O是BC的中點，OB2，在RtOBM中，MBO60，OMOBsin60，BMOBcos601，BEAB

15、，四邊形OMBN是矩形，ONBM1，BNOM，OFOM，由勾股定理得：NF，BFBN+NF+.27.解答：（1）當x0時，由ykx+1得y1，C（0，1），拋物線yax2(6a2)x+b經(jīng)過點C（0，1），B（4，3），解得，故a，b的值分別為，1；（2）如右圖，把B（4，3）代入ykx+1得4k+13，解得：k，yx+1，令y0，則x+10，得x2，A（2，0），OA2，C（0，1），OC1，在RtAOC中，tanCAO，PQx軸，在RtAPQ中，tanPAQ，設PQm，則AQ2m，tanNAQtanMPQ，MQ，PN.28. 解答：（1）a2，b2；a2，b2；（2）猜想a2，b2，c2三

16、者之間的關系為a2+b25c2，證明如下：如圖3，連結EF，AF，BE是ABC的中線，EFAB，且EFABc，設PFm，PEn，則AP2m，PB2n，在RtAPB中，(2m)2+(2n)2c2，在RtBPF中，(2m)2+n2()2，在RtBPF中，m2+(2n)2()2，由得m2+n2，由+得5(m2+n2)，a2+b25c2；（3）如圖4，設AF，BE交于點P，取AB的中點H，連FH，AC，E，G分別是AD，CD的中點，F(xiàn)是BC的中點，EGACFH，又BEEG，F(xiàn)HBE，四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，ADBC，AEBF，AEBF，APFP，ABF是“中垂三角形”，AB2AF2+5B

17、F2，即32+AF25()2，AF4. 圖1 圖2 圖3 圖4.解答部分一、選擇題1已知拋物線yx2+6x5，它的頂點坐標為（ ）A(3，4) B(3，4) C(3，4) D(3，4)解答：由yx2+6x5得y(x3)2+4，此拋物線的頂點坐標為（3，4），故選：D.2如果線段a16cm，b4cm，那么a和b的比例中項是（ ）A8cm B10cm C12cm D32cm解答：設a和b的比例中項為C，則C2ab，a16cm，b4cm，C8（cm），即a和b的比例中項為8cm，故選：A.3在RtABC中，C90，AB4，AC2，則A的度數(shù)為（ ）A30 B45 C60 D75解答：在RtABC中，

18、C90，cosA，而cos45，A45，故選：B.4已知圓心O在等腰直角ABC的內(nèi)部，且過頂點B、C，若BAC90，OA1，BC6，則O的半徑為（ ）21世紀*教育網(wǎng)A B2 C D3解答：過點A作ADBC于D，則AD必過點O，連結OB，ABC是等腰直角三角形，BAC90，BDCDAD3，ODADOA2，在RtOBD中，由勾股定理得：OB，故選：C.5在一個不透明的盒子中裝有m個除顏色外完全相同的球，這m個球中只有3個紅球，若每次將球充分攪勻后，任意摸出1個球記下顏色再放回盒子，通過大量反復試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%左右，則m的值約為（ ）21世紀教育網(wǎng)版權所有A12 B15 C1

19、8 D21解答：由題意可得：100%20%，解得：m15，故選：B.6如果拋物線ymx2+2mx5（m為常數(shù)，且m0）的頂點在反比例函數(shù)y圖象上，那么m的值為（ ）21教育名師原創(chuàng)作品A5 B2 C5 D10解答：由ymx2+2mx5（m為常數(shù)，且m0）得拋物線頂點的橫坐標為1，把x1，代入y得：y10，則拋物線的頂點坐標為（1，10），10，解得：m5，故選：C.7如圖，在ABC中，D、E分別是AB、BC上的點，且DEAC，若SBDE：SCDE1：3，則SDOE：SAOC的值為（ ）21*cnjy*comA B C D解答：BDE與CDE是同高的兩個三角形，且SBDE：SCDE1：3，BE：

20、EC1：3，BE+ECBC，BE：BC1：4，DEAC，BDEBAC，DOEAOC，()2()2，故選：D.8如圖，菱形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，若sinAOC，OA5，則點B的坐標為（ ）A(4，3) B(3，4) C(9，3) D(8，4)解答：過點B作BDx軸于點D，四邊形OABC是菱形，ABOA5，ABOC，BADAOC，sinBADsinAOC，在RtABD中，BDABsinBAD53，由勾股定理得：AD4，ODOA+AD9，點B在第一象限，點B的坐標為（9，3），故選：C.9如圖，O的半徑為2，AB，CD是互相垂直的兩條直徑，點P是O上任意一點（P與A，B，C，D不

21、重合），過點P作PMAB于點M，PNCD于點N，點Q是MN的中點，當點P沿著圓周轉過45時，點Q走過的路徑長為（ ）A B C D解答：連結OP，ABCD，PMAB，PNCD，四邊形PNOM是矩形，OPMN2，Q是MN的中點，也是OP的中點，OQ1，當點P沿著圓周轉過45時，點Q也轉過45，點Q走過的路經(jīng)長，故選：A.10.如圖是某大橋的一段拋物線型的拱梁，拋物線的表達式為yax2+bx.小明騎自行車從拱梁一端O沿直線勻速穿過拱梁部分的橋面OC，當小明騎自行車行駛10s時和26s時拱梁的高度相同，則小明騎自行車通過拱梁部分的橋面OC所需時間為（ ）A30s B32s C36s D40s解答：假

22、設小明騎自行車行駛10s時到達M處，行駛26s時到達N處，10s時和26s時拱梁的高度相同，點M與點N關于拋物線的對稱軸對稱，點M到點N需要16s，則從M到D需要8s，從O到D需要10+818s，從O到C需要21836s，故選：C.二、填空題11.若4x5y（x，y均不為0），則_.解答：由4x5y得，設x5k，y4k，則，故答案為：.12.如果二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（2，1），且當x1時，函數(shù)有最大值2，那么這個二次函數(shù)的表達式是_.www-2-1-cnjy-com解答：當x1時，函數(shù)有最大值2，該二次函數(shù)圖象的頂點坐標為（1，2），設二次函數(shù)的表達式為ya(x+1)2+2，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過

23、點（2，1），a(2+1)2+21，解得：a3，二次函數(shù)的表達式為y3(x1)2+2，故答案為：y3(x1)2+2.13.密碼鎖的密碼有五位，每位上的數(shù)字是0到9中的任一個.在開鎖時，某人忘了密碼的最后兩個數(shù)字，他隨意撥動最后兩位號碼，則恰好打開鎖的概率是_.解答：最后一位數(shù)共有10個，后兩位數(shù)共有1010100個數(shù)，而密碼鎖的后兩位數(shù)只有一種情況，所以隨意撥動后兩位號碼恰好打開鎖的概率是，故答案為：.14.已知扇形的圓心角為120，所對的弧長為，則此扇形的面積是_.解答：由弧長公式得：，解得：r4，扇形的面積，故答案為：.15.若拋物線yx22x+m與x軸有兩個交點，則m的取值范圍是_.解答

24、：拋物線yx22x+m與x軸有兩個交點，(2)241m44m0，解得：m1，故答案為：m1.16.如圖，D是ABC的BC邊上的一點，ABCDBA，E，F(xiàn)分別是AC，AD的中點，且AB28，BC36，則BE：BF_.【來源：21世紀教育網(wǎng)】解答：E，F(xiàn)分別是AC，AD的中點，BF，BE分別是AD，AC邊上的中線，ABCDBA，即BE：BF9：7，故答案為：9：7.17.將一副三角板如圖所示疊放在一起，則的值是_.解答：由題意可知：ABAC，BACACD90，B45，D30，ABCD，ABEDCE，設ABACx，則在RtACD中，CDx，故答案為：.18.如圖，AB是O的弦，AB6，點C是O上的一

25、個動點，且ACB45.若點M，N分別是AB，BC的中點，則MN長的最大值是_.21*cnjy*com解答：點M，N分別是AB，BC的中點，MNAC，當AC最長時，MN的長最大，而圓中直徑是最長的弦，AC為O的直徑，如圖，ACBD45，AB6，AD6，MN3，故答案為：3.19.如圖，A是反比例函數(shù)y（x0）圖象上一點，點B、D在y軸正半軸上，ABD是COD關于點D的位似圖形，且ABD與COD的位似比是1：3，ABD的面積為1，則該反比例函數(shù)的表達式為_.【出處：21教育名師】解答：過點A作AEx軸，ABD與COD關于點D位似圖形，且ABD與COD的位似比是1：3，OEAB，設BDx，ABy，D

26、O3x，AE4x，CO3y，ABD的面積為1，xy1，xy2，ABAE4xy8，該反比例函數(shù)的表達式為：y，故答案為：y.第20題圖20.如圖所示，已知拋物線y1x2+1，直線y2x+1，當x任取一值時，x對應的函數(shù)值分別為y1，y2.若y1y2，取y1，y2中的較小值記為M；若y1y2，記My1y2.例如：當x2時，y13，y21，y1y2，此時M3.下列判斷：當x0時，My1；當x0時，M隨x的增大而增大；使得M大于1的x值不存在；使得M的值是或，其中正確的有_.（填寫正確的序號）解答：當x任取一值時，x對應的函數(shù)值分別為y1，y2.若y1y2，取y1，y2中的較小值記為M；若y1y2，記

27、My1y2，當x0時，由圖象可得y1y2，My1，故正確；當1x0時，y1y2，My2，直線 y2x+1中y隨x的增大而減小，M也隨x的增大而減小，故錯誤；由圖象可得：M最大值為1，所以使得M大于1的x值不存在，故正確；當1x0，M時，即y1x2+1，解得：x1或x1（不合題意舍去），當0x0，M時，即y2x+1，解得：x，使得M的值是或，故正確，www.21-cn-故答案為：.三、解答題21.(6分)如圖，在43的正方形方格中，ABC和DEF的頂點均在邊長為1的小正方形的頂點上.（1）填空：BCF_，BC_；（2）判斷ABC與DEC是否相似？并證明你的結論.解答：（1）BCF45，BC2；（

28、2）ABC與DEC相似，證明：由圖可知：ABDE2，由勾股定理，得：BC2，AC2，同理：CE，CD，ABCDEC.22.(8分) 已知拋物線y(xm)2(xm)，其中m是常數(shù).（1）求證：不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個公共點；（2）若該拋物線的對稱軸為直線x.求該拋物線的函數(shù)解析式；把該拋物線沿y軸向上平移多少個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點.解答：（1）證明：y(xm)2(xm)x2(2m+1)x+m2+m，(2m+1)24(m2+m)10，不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個公共點；（2）解：x，m2，拋物線解析式為yx25x+6；設拋物線沿y軸向上平移k個單位長

29、度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點，則平移后拋物線解析式為yx25x+6+k，拋物線yx25x+6+k與x軸只有一個公共點，524（6+k）0，k，即把該拋物線沿y軸向上平移個單位長度后，得到的拋物線與x軸只有一個公共點23.(8分)如圖，某校綜合實踐活動小組的同學欲測量公園內(nèi)一棵樹DE的高度，他們在這棵樹的正前方一座樓亭前的臺階上A點處測得樹頂端D的仰角為30，朝著這棵樹的方向走到臺階下的點C處，測得樹頂端D的仰角為60，已知A點的高度AB為2米，臺階AC的坡比為1：，且B、C、E三點在同一條直線上，請根據(jù)以上條件求出樹DE的高度（測量儀高度忽略不計，參考數(shù)值：1.414，1.732，結

30、果保留一位小數(shù)）解答：過點A作AFDE于點F，則四邊形ABEF為矩形，AFBE，EFAB2，設DExm，在RtCDE中，CEx，在RtABC中，AB2，BC2，在RtAFD中，DFDEEFx2，AF(x2)，AFBEBC+CE，(x2)2+x，解得：x6，即DE6（米），答：樹DE的高度為6米.24.(10分)如圖，O中，AB、CD是O的直徑，F(xiàn)是O上一點，連結BC、BF，若點B是的中點.（1）求證：ABFDCB；（2）若CDAF，垂足為E，AF5，C60，求劣弧的長.解答：（1）證明：AB、CD是O的直徑，F(xiàn)DBC90，點B是的中點，BFBC，在RtABF和RtDCB中，RtABFRtDCB

31、（HL）；（2）連結OF，由（1）知RtABFRtDCB，ABFC60，A90ABF30，OAOF，AAFO30，AOF1803030120，CDAF，CD為直徑，且AF5，AEAF，在RtAEO中，OA5，.25.某水果批發(fā)商銷售每箱進價為40元蘋果，物價部門規(guī)定每箱售價在不虧本的情況下不得高于55元.市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每箱以50元的價格銷售，平均每天能賣出90箱，價格每提高1元，平均每天少賣3箱.【來源：21cnj*y.co*m】（1）求平均每天銷售y(箱)與銷售價x(元/箱)之間的函數(shù)關系式；（2）求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤w(元)與銷售價x(元/箱)之間函數(shù)關系式；（3）當每箱蘋果的銷

32、售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？解答：（1）由題意，得：y903(x50)3x+240（40x55）；（2）w(x40)y(x40)(3x+240)3x2+360x9600；（3）由w3x2+360x9600得w3(x60)2+1200，a30，拋物線開口向下，且在x60時w取得最大值，而40x55，由二次函數(shù)性質(zhì)可知：當x60時，w隨x的增大而增大，當x55時，w取得最大值，最大值為3(5560)2+12001125，故當每箱蘋果的售價為55元時，每天可獲得最大利潤，最大利潤為1125元.26.如圖，ABC是等邊三角形，AOBC，垂足為點O，O與AC相切于點D，BEAB交AC延長線于點E，與O相交于G、F兩點.（1）求證：AB與O相切；（2）若等邊ABC的邊長是4，求線段BF的長.解答：（1）過點O作OMAB，垂足是M，O與AC相切于點D，ODAC，ADOAMO90，ABC是等邊三角形，DAONAO，OMOD，AB與O相切；（2）過點O作ONBE于點N，連結OF，O是BC的中點，OB2，在RtOBM中，MBO60，OMOBsin60，BMOBcos601，BEAB，四邊形OMBN是矩形，ONBM1，BNOM，OFOM，由勾股定理得：NF，BFBN+NF+.27.(1