1、第五章第五章 留數(shù)及其應用留數(shù)及其應用 孤立奇點的概念孤立奇點的概念 留數(shù)的定義、計算、留數(shù)定理留數(shù)的定義、計算、留數(shù)定理 留數(shù)定理的應用（積分計算）留數(shù)定理的應用（積分計算）5.1 孤立奇點的分類孤立奇點的分類1、孤立奇點的定義、孤立奇點的定義00( )f zzz若在 點不解析，但在 的某個去心鄰域內(nèi)解析的的孤孤立立奇奇點點。為為則則稱稱)(0zfz例如：例如：的的孤孤立立奇奇點點。、是是zezzz1sin0 )1)(1)( zizzf1, ziz有有兩兩個個孤孤立立奇奇點點點點，的的奇奇點點，但但不不是是孤孤立立奇奇是是函函數(shù)數(shù)zz1sin10 1()zkk因為為非零整數(shù) 都是它的奇點，時

2、時）當當 kk(01 00zz注：當 為不解析點，又是一系列奇點的極限點，則 為非孤立奇點。例2、孤立奇點的分類、孤立奇點的分類的的孤孤立立奇奇點點，是是設(shè)設(shè))(0zfz 000zzz 的的去去心心鄰鄰域域則則存存在在在該鄰域內(nèi)解析。在該鄰域內(nèi)解析。)(zf內(nèi)可展開為洛朗級數(shù)內(nèi)可展開為洛朗級數(shù)在在于是于是 00)(zzzf nnnzzazf)()(0 0100)()(nnnnnnzzazza（1）可去奇點）可去奇點的的負負冪冪項項，若若洛洛朗朗展展開開式式中中不不含含有有)(0zz , 0 na即即的的可可去去奇奇點點。為為則則稱稱孤孤立立奇奇點點)(0zfz例如：例如：zzsin由由于于 z

3、zz0.! 5! 3142的的可可去去奇奇點點。是是所所以以，zzzsin0 ,.)2 , 1( n351(.)3!5zzzz！可去奇點的判別法：可去奇點的判別法：(i) 展開為洛朗級數(shù)；展開為洛朗級數(shù)；(ii)0lim( )(zzf zl有限值），0( )zf z為的可去奇點的充分必要條件是21cos0zzz是的什么類型的孤立奇點？.)!2()1(.! 4! 21cos242 nzzzznn由于由于 z.)!2()1(.! 4! 21cos122122 nzzzznn于是于是為為可可去去奇奇點點。所所以以0 z解法一20cos1limzzz 由于由于212sin2lim220 zzz為為可可

4、去去奇奇點點。所所以以0 z例解法二（2）極點）極點的的負負冪冪項項，有有限限項項若若洛洛朗朗展展開開式式中中只只含含有有)(0zz 100( -)()mz zzzm 且其中關(guān)于的最高冪為，這里是正整數(shù)，級級極極點點。的的為為則則稱稱mzfz)(00( )zf z則稱為的極點。的的負負冪冪項項，有有限限項項若若洛洛朗朗展展開開式式中中只只含含有有)(0zz 例如：例如：2)(zezfz 因為因為.)! 21(122 zzz.! 4! 3! 21212 zzzz的的二二級級極極點點。是是所所以以，)(0zfz 極點的判別法：極點的判別法：(i)展開為洛朗級數(shù)，用定義判別；展開為洛朗級數(shù)，用定義判

5、別；(iii)級極點級極點的的為為mzfz)(0mzzzhzf)()()(0 00()0( )h zh zz其中，且在解析；（iv)000-( )lim()( )0mmzzmzf zmzzf zccm為的 階極點，這里， 為正整數(shù)（ii) )(lim)(00zfzfzzz的的極極點點為為例如：例如：22)1)(1(2)( zzzzf的的一一級級極極點點。是是的的二二級級極極點點，為為)()(1zfizzfz 注意判別條件注意判別條件21)(zezfz 例如：例如：的的二二級級極極點點，不不是是)(0zfz .)!3!2(1)(322 zzzzzf因因為為.! 3! 211 zz的的一一級級極極

6、點點。是是所所以以，)(0zfz 極極點點和和零零點點的的關(guān)關(guān)系系：零零點點：的的零零點點。稱稱為為的的點點使使解解析析函函數(shù)數(shù))(0)(0zfzzf 級級零零點點：m),()()()(0zgzzzfzfm 可可表表示示為為若若為為正正整整數(shù)數(shù)點點解解析析，且且在在其其中中，mzgzzg,0)()(00 級級零零點點。的的為為則則稱稱mzfz)(0零零點點的的判判別別：級級零零點點的的為為的的解解析析點點，則則為為若若mzfzzfz)()(00)1,.1 , 0(0)(0)( mkzfk0)(0)( zfm而而例如：例如：3( )1,f zz1( )zf z所以，為的一級零點。21(1)0,(

7、1)3|30zffz（v)級級零零點點；的的為為級級極極點點的的為為mzfzmzfz)(1)(00(vi)點點解解析析，在在且且若若00)(0)(,)()()(zzPzPzQzPzf 級級極極點點。的的級級零零點點，則則必必為為的的是是若若mzfmzQz)()(0例例的的奇奇點點類類型型。試試確確定定函函數(shù)數(shù)1)1tan()( zzzf解：解：)1cos()1()1sin(1)1tan()( zzzzzzf由于由于顯顯然然，函函數(shù)數(shù)的的奇奇點點是是1,1(0, 1, 2.)2kzzkk 1)1tan(lim1 zzz由于由于)1cos(11)1sin(lim1 zzzz1 為為可可去去奇奇點點

8、。所所以以，1 zkkzzzz)1sin( )1cos( sin()2k 1k （）110k （）的的一一級級極極點點。的的一一級級零零點點，是是是是所所以以)()1cos(zfzzk , 01)1sin( kzzz又又0)1cos( kzz3、本性奇點、本性奇點的的負負冪冪項項，窮窮多多項項的的洛洛朗朗展展開開式式中中含含有有無無若若)()(0zzzf 的本性奇點。的本性奇點。為為則稱則稱)(0zfz判別法：判別法：(i)( )f z把展開為洛朗級數(shù)，用定義判別；(ii) 不不存存在在，也也不不是是的的本本性性奇奇點點是是)(lim)(00zfzfzzz例如：例如：為為本本性性奇奇點點，因因

9、為為以以函函數(shù)數(shù)0)(1 zezfz的負冪項。的負冪項。中含有無窮多中含有無窮多zznzzenz.!1.! 211211 1sin1z 例討論的孤立奇點及類型。解：解： ）（1的孤立奇點。的孤立奇點。是是11sin1 zz120)1()!12(1)1(11sin nnnznz由于由于 10z的負冪項，的負冪項，有無窮多個有無窮多個1 z的本性奇點。的本性奇點。是是所以，所以，)(1zfz 例的的孤孤立立奇奇點點的的類類型型。討討論論)1(sin)( zezzzf解：解：:)(的的孤孤立立奇奇點點為為zf）,.2, 1(2, 0 kikzzk )(.! 5! 3sin53 zzzzz由于由于)(

10、.! 3! 2132 zzzzez).1.1(1)(!3!2!5!3242 zzzzzzf于是于是 zzhz)(1(0)0h其中，且在0解析，( )f z于是，0為的一級極點。,.)2, 1(2 kikzk 以下考察以下考察)1(sin)( zezzzf)1(sin zzze解析，解析，在在且且由于由于kzzzzzzksin0sin 0)1(, 0)1( kkkzzzzzeee而而的一級零點。的一級零點。是是于是于是1,.)2, 1(2 zkekikz 的的一一級級極極點點。因因此此是是)(zf定義10( )( )tfmtzfzm 如 果是的 可 去 奇 點 ，階 極 點 或 本 性 奇 點 ，則 稱為的 可 去 奇 點 ，階 極 點 或 本 性 奇 點4、函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)、函數(shù)在無窮遠點的性態(tài)( )|0( )f zzRzRf z 在擴充的復平面上，如果函數(shù) 在 的去心鄰域 內(nèi)解析（）, 則稱點 為 的孤立奇點231