1、主講教師：孫 雷宗 智B4.1 流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)B4.2 積分形式的連續(xù)性方程積分形式的連續(xù)性方程B4.3 伯努利方程及其應(yīng)用伯努利方程及其應(yīng)用B4.4 積分形式的動(dòng)量方程及其應(yīng)用積分形式的動(dòng)量方程及其應(yīng)用B4.5 積分形式的動(dòng)量矩方程積分形式的動(dòng)量矩方程B4.6 積分形式的能量方程積分形式的能量方程B4 積分形式的基本方程B4 積分形式的基本方程積分形式的基本方程 積分形式的流體力學(xué)基本方程描述空間有限體積域上的流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律，主要涉及流體質(zhì)量、動(dòng)量 、動(dòng)量矩和能量等物理量在有限體積域上的積分值（廣延量）隨時(shí)間和位置的變化規(guī)律，它在工程上有廣泛應(yīng)用。p主要內(nèi)容：流體系統(tǒng)的隨

2、體導(dǎo)數(shù)；積分形式的連續(xù)性方程、動(dòng)量方程、動(dòng)量矩方程和能量方程及其應(yīng)用，伯努利方程及其應(yīng)用等。重點(diǎn)：（1）有限控制體分析，輸運(yùn)公式； （2）有多個(gè)一維出入口的控制體上的連續(xù)性方程； （3）伯努利方程； （4）有多個(gè)一維出入口的控制體上的定常動(dòng)量方程等。 B4.1 流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù) p 系統(tǒng)廣延量由于 為流體系統(tǒng)內(nèi)物理量的空間分布函數(shù)，在系統(tǒng)（system）上積分：稱為系統(tǒng)廣延量。當(dāng) 取密度、動(dòng)量、動(dòng)量矩和能量函數(shù)時(shí)，分別可得系統(tǒng)質(zhì)量、系統(tǒng)動(dòng)量、系統(tǒng)動(dòng)量矩和系統(tǒng)能量等。),(tr( )( , )syssysNtr t dp 控制體廣延量( )( , , , )CVCVNtx y

3、 z t d控制體表面為CS，一流體系統(tǒng)sys（實(shí)線包圍區(qū)域）在 t 時(shí)刻剛好與控制體重合，以后流體系統(tǒng)可以與控制體形狀不同。右圖為控制體形狀變化示意圖：B4.1 流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)p 有限控制體分析，輸運(yùn)公式在流場(chǎng)中取一固定不變形的有限控制體 CV（圖中虛線包圍的區(qū)域）B4.1 流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)t 時(shí)刻物理量的空間分布函數(shù)（單位體積之值），在系統(tǒng)上的積分1452345() ()ttCV控制體控制面2345CSAAAA( )( , )syssysNtr t d由時(shí)間導(dǎo)數(shù)的定義，系統(tǒng)廣延量的時(shí)間導(dǎo)數(shù)可表示為00d11lim()( )limdddsystttt

4、tNN ttN tttt 由于控制體積分區(qū)域 可分割成數(shù)塊，()tt( ) tCVB4.1 流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)23045023400d1limdddd ddd1 limdd11 limddlimddsysCVtttttCVtttCVCVttttttttNttttt 5tt右端第一項(xiàng)代表控制體廣延量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)01IlimdddCVCVCVtttttt B4.1 流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)230231IIlim()d()d ()d()dAAtttAAA tA ttAA v nv nv nv n右端第三項(xiàng)代表單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)控制面流出控制體的廣延量（正值）450451II

5、Ilim()d()d ()d()dAAtttAAA tA ttAAv nv nv nv noutd()ddAtv n4501IIIlimddtttt 右端第二項(xiàng)代表單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)控制面流入控制體的廣延量（負(fù)值）2301IIlimddtttt ind()ddAt v nB4.1 流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)將I，II，III式代入原系統(tǒng)廣延量的時(shí)間導(dǎo)數(shù)公式，并用D/DT代替d/dt()sysCVCSDNdv n dADTt r r上式被稱為雷諾輸運(yùn)公式，簡(jiǎn)稱輸運(yùn)公式。將II與III相加可得2345II+III()d()dAAAACSAAv nv n上式代表單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)控制面凈流出控制體

6、的廣延量。類似于流體質(zhì)點(diǎn)的隨體導(dǎo)數(shù)（質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)）概念，用控制體上的歐拉坐標(biāo)表示流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)，關(guān)系式為：B4.1 流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)()sysCVCSDNdv n dADtt sysDNDtdCVt ()CSv n dA 表示系統(tǒng)與控制體重合時(shí)系統(tǒng)廣延量對(duì)時(shí)間的隨體導(dǎo)數(shù)，又稱系統(tǒng)導(dǎo)數(shù)；表示控制體廣延量隨時(shí)間的變化率，又稱當(dāng)?shù)刈兓?，反映流?chǎng)的不定常性（定常時(shí)為零）；表示通過(guò)控制面凈流出控制體的廣延量流量，又稱為遷移變化率，反映流場(chǎng)的不均勻性（均勻時(shí)為零）。p 定常流場(chǎng)輸運(yùn)公式上式表明在定常流場(chǎng)中，當(dāng)系統(tǒng)與控制體重合時(shí)，系統(tǒng)廣延量的變化只取決于控制面上的流動(dòng)，與控制體內(nèi)的流動(dòng)

7、無(wú)關(guān)（見(jiàn)下圖）。()sysCSDNv n dADt B4.1 流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)思考題：思考題：運(yùn)輸公式：是對(duì)固定控制體導(dǎo)出的，若控制體作勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，下面哪個(gè)結(jié)論是對(duì)的：（A）仍然適用；（B）不再適用； （C）形式不變，但需將遷移項(xiàng)中v改為相對(duì)速度vr。B4.1 流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)()sysCVCSDNdv n dADtt B4.2 積分形式的連續(xù)性方程積分形式的連續(xù)性方程上式稱為積分形式的連續(xù)性方程，適用于任何流體的定常和不定常流動(dòng)。設(shè) ，系統(tǒng)質(zhì)量為( , )r tsyssysmd 根據(jù)質(zhì)量守恒定律：dd0ddsyssysmdtt ()0CVCSdv n

8、dAt 由輸運(yùn)公式可得：上式表明：通過(guò)控制面凈流出的質(zhì)流量等于控制體內(nèi)流體質(zhì)量隨時(shí)間的減少率。B4.2.1 固定控制體固定控制體p 不可壓縮流體 實(shí)際上，對(duì)固定不變形的控制體，上面式子中的當(dāng)?shù)仨?xiàng)中微分和積分運(yùn)算可變換，遷移項(xiàng)中 為絕對(duì)速度。v當(dāng)密度為常數(shù)時(shí)，式中當(dāng)?shù)仨?xiàng)為零，遷移項(xiàng)中密度項(xiàng)可消去，得上式的物理意義是：對(duì)不可壓縮流體的流動(dòng)，從任何固定不變形的控制面凈流出的體積流量恒為零。CSA0d)(nv0ddCSCVAtnv對(duì)不可壓縮流體一維流管流動(dòng)B4.2.1 固定控制體固定控制體()()0outinoutinv n dAv n dA 12QQ2211V AV A令截面1,2上的流量大小分別為

9、Q1, Q2，由流量公式可得由平均速度公式可得早在16世紀(jì)初，達(dá).芬奇就發(fā)現(xiàn)了這一規(guī)律。outinQQB4.2.1 固定控制體固定控制體若控制面上有多個(gè)出入口，設(shè)出入口的流量大小為Qout, Qin，由前面的公式可得()()outinVAVA思考題：思考題： 對(duì)于連續(xù)性方程：的說(shuō)法，下列哪個(gè)是對(duì)的（ ）（A）僅適用于不可壓縮流體的定常流動(dòng)的；（B）也適用于不可壓縮流體的不定常流動(dòng)；（C）適用于任何流體的定常流動(dòng)。CSdAnv0)(B4.2.1 固定控制體固定控制體p 可壓縮流體定常運(yùn)動(dòng) B4.2.1 固定控制體固定控制體()0CSv n dA ()()outinVAVA對(duì)密度可變流體的定常流動(dòng)

10、，可得 上式的物理意義是：對(duì)可壓縮流體定常流動(dòng)，從任何固定不變形的控制面凈流出的質(zhì)流量恒為零。 對(duì)一維流管流動(dòng)，設(shè)出入口的質(zhì)量流量大小分別為 和 ，從質(zhì)量流量公式可得outm inm inoutmmB4.2.1 固定控制體固定控制體對(duì)有多個(gè)出入口的控制面上的定常流動(dòng)，由前面的公式可得inoutmm()()outinVAVA例題B4.2.1：主動(dòng)脈弓流動(dòng)：多個(gè)一維出入口連續(xù)性方程已知：下圖是人主動(dòng)脈弓模型示意圖。血液從升主動(dòng)脈1經(jīng)主動(dòng)脈弓流向降主動(dòng)脈5，方向改變約180，主動(dòng)脈弓上分支出頭臂干動(dòng)脈2，左頸總動(dòng)脈3和左鎖骨下動(dòng)脈4。設(shè)所有管截面均為圓形，管直徑分別為d1=2.5cm, d2=1.1

11、cm, d3=0.7cm, d4=0.8cm, d5=2.0cm。已知平均流量分別為Q1=6 L/min, Q3= 0.07Q1, Q4 = 0.04Q1, Q5= 0.78Q1。試求：(1)管2的平均流量Q2； (2)各管的平均速度（用cm/s表示）。 解：由取圖中虛線所示控制體，有多個(gè)出入口。血液按不可壓縮流體處理，由式Qout=QinQ1 = Q2 + Q3 + Q4 + Q5例題B4.2.1：主動(dòng)脈弓流動(dòng)：多個(gè)一維出入口連續(xù)性方程（1）管2的流量為Q2 = Q1(Q3 + Q4 + Q5) = Q1(0.07+0.04+0.78)Q1 = 0.11Q1= 0.66 L/min（2）各管

12、的平均速度為 cm/s4 .20s/min 60cm 5 . 2/lcm 1000l/min 644232111dQV cm/s6 .11s/min 60cm .11/lcm 1000l/min 66. 044232222dQV cm/s2 .18s/min 60cm .70/lcm 1000l/min 6.07044232333dQV cm/s0 . 8s/min 60cm .80/lcm 1000l/min 6.04044232444dQV cm/s8 .24s/min 60cm .02/lcm 1000l/min 6.78044232555dQVB4.2.2 運(yùn)動(dòng)控制體運(yùn)動(dòng)控制體 無(wú)論是

13、慣性系還是非慣性系，只要將遷移項(xiàng)中的速度改為相對(duì)于控制體的相對(duì)速度，即可得運(yùn)動(dòng)控制體形式的連續(xù)性方程：0)(dCVCSdAtnvr對(duì)具有多個(gè)一維出入口的定常流動(dòng)為 ()()routrinV AV A上兩式常在旋轉(zhuǎn)控制體（如流體機(jī)械）中運(yùn)用。思考題：思考題： 所謂非慣性系是僅指：（A） 做加速運(yùn)動(dòng)的控制體； （B） 做勻角速度旋轉(zhuǎn)的控制體；（C） 做非勻角速度旋轉(zhuǎn)的控制體；（D） 包括以上三個(gè)答案。B4.2.2 運(yùn)動(dòng)控制體運(yùn)動(dòng)控制體相對(duì)于慣性系（靜止或勻速運(yùn)動(dòng)的參考系）加速運(yùn)動(dòng)的參考系稱為非慣性系參考系。地球有自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)，我們?cè)诘厍蛏纤^察到的各種力學(xué)現(xiàn)象，實(shí)際上是非慣性系中的力學(xué)問(wèn)題。已知：下

14、圖為灑水器示意圖。臂長(zhǎng)R=150mm，噴水管面積A=40mm2，噴口偏轉(zhuǎn)角 水從中心轉(zhuǎn)軸底部流入，總流量Q=120mL/s，從兩噴口流出。噴管角速度為=500轉(zhuǎn)/分求：（1）管內(nèi)水流的相對(duì)速度Vr。 （2）管口水流的絕對(duì)速度V。解：取包圍噴管，并與噴管一起旋轉(zhuǎn)的控制體，如圖中虛線所示。對(duì)站在控制體上的觀察者而言，水以速度Vr沿兩支噴管做定常直線流動(dòng)。由下式：30()()routrinV AV A111222rrV AV AQ例題B4.2.2：灑水器：運(yùn)動(dòng)控制體連續(xù)性方程可得水為不可壓縮流體 ，且 ，由兩臂對(duì)稱方程 ，上式化為：管內(nèi)相對(duì)速度為：噴口的牽連速度為：由噴口的速度矢量合成，絕對(duì)速度為：

15、 2112rrrVVVAAA212rV AQ63621200 10/15/22(40 10)rQmsVm sAmsmmsrRU/85. 7)15. 0(min/602min)/500(221/2221/22cos (15/ )(7.85/ )2(15/ )(7.85/ )cos30 9.1/rrVVUV Um sm sm sm sm s例題B4.2.2：灑水器：運(yùn)動(dòng)控制體連續(xù)性方程B4.3 伯努利方程及其應(yīng)用伯努利方程及其應(yīng)用 伯努利方程首次以動(dòng)能與壓強(qiáng)勢(shì)能相互轉(zhuǎn)換的形式確定了流體運(yùn)動(dòng)中速度與壓強(qiáng)之間的關(guān)系。 伯努利方程由伯努利（D.Bernouli，1738）首先提出，后來(lái)由歐拉（L.Eul

16、er）完善其理論推導(dǎo)過(guò)程。B4.3.1 沿流線的伯努利方程沿流線的伯努利方程p 沿流線的歐拉運(yùn)動(dòng)方程 在無(wú)粘性流體的重力流場(chǎng)中沿流線S取一圓柱形體積元控制體（如圖）,控制元長(zhǎng)s, 端面面積為A; 兩端面上的壓強(qiáng)分別為p和p + p,重力為gAs, 在流線切線方向（即速度方向）運(yùn)用牛頓第二定律可得d ( , ) cos( ) dpv a tg A sp ApsAA sst整理后取極限可得：1d ( , )cosdpv s tgstB4.3.1 沿流線的伯努利方程沿流線的伯努利方程d ( , )dv s tvvvtts由幾何關(guān)系coszs將流體元的加速度表達(dá)為歐拉形式代回原式得：1d ( , )d

17、zpv s tvvgvsstts式中 s為流線坐標(biāo)，z為高度坐標(biāo)，p為圓柱形體積元端面壓強(qiáng)， v為圓柱形體積元速度。B4.3.1 沿流線的伯努利方程沿流線的伯努利方程將上式沿流線積分，可得：2dd 2vvpsgzt常數(shù)（沿流線）上式為無(wú)粘流體沿流線作不定常運(yùn)動(dòng)時(shí)的積分方程。 上式為無(wú)粘流體沿流線運(yùn)動(dòng)的微分方程，又稱一維歐拉運(yùn)動(dòng)方程。1zpvvgvsstsp 伯努利方程及其限制條件 當(dāng)無(wú)粘性不可壓縮流體沿流線做定常運(yùn)動(dòng)時(shí)，一維歐拉方程沿流線的積分形式可化為：22vpgzc伯努利方程的限制條件： 定常流動(dòng)； 無(wú)粘流體（忽略粘性影響）； 不可壓縮流體； 沿流線。 B4.3.1 沿流線的伯努利方程沿流

18、線的伯努利方程上式稱為伯努利方程,式中c為常數(shù)。 p 伯努利方程的物理意義 表示單位質(zhì)量流體的動(dòng)能、位能和壓能之和沿流線保持常數(shù)，即：表示單位質(zhì)量流體所具有的動(dòng)能表示單位質(zhì)量流體所具有的位置勢(shì)能表示單位質(zhì)量流體所具有的壓強(qiáng)勢(shì)能表示單位質(zhì)量流體所具有的總能（常數(shù)）c22vgzp動(dòng)能+位能+壓能=常數(shù)B4.3.1 沿流線的伯努利方程沿流線的伯努利方程伯努利方程是無(wú)粘性不可壓縮流體在重力場(chǎng)中沿流線作定常流動(dòng)時(shí)的機(jī)械能守恒方程。思考題：伯努利方程的限制條件是：定常無(wú)粘性不可壓縮和沿流線。實(shí)際上在推導(dǎo)伯努利方程過(guò)程中未言明的還包括以下條件：（ ）（A）無(wú)旋流動(dòng)； （B）等熵流動(dòng)；（C）無(wú)機(jī)械能輸入輸出。

19、B4.3.1 沿流線的伯努利方程沿流線的伯努利方程B4.3.1 沿流線的伯努利方程沿流線的伯努利方程伯努利方程的條件雖然苛刻，但揭示的規(guī)律可應(yīng)用于實(shí)際流動(dòng)中去，例如解釋河道流動(dòng)規(guī)律，虹吸管原理及機(jī)翼升力產(chǎn)生原因等。已知：流體密度為，U形管內(nèi)液體密度為m，液位差讀數(shù)為 h 求：來(lái)流速度v與這些參數(shù)的關(guān)系式。例題B4.3.1 皮托測(cè)速管：總壓強(qiáng)與動(dòng)壓強(qiáng) 說(shuō)明：皮托測(cè)速管由法國(guó)人H. Pitot發(fā)明。結(jié)構(gòu)示意圖如下，由粗細(xì)兩根同軸管子組成，細(xì)管（直徑約1.5mm）前端開(kāi)口（O點(diǎn)），粗管（直徑約8mm ）在距前端適當(dāng)長(zhǎng)距離處的側(cè)壁上開(kāi)數(shù)個(gè)小孔（B點(diǎn)），在孔后足夠長(zhǎng)距離處兩管彎成柄狀，兩管的壓強(qiáng)被引入U(xiǎn)

20、形測(cè)壓計(jì)中。測(cè)量時(shí)管軸線需沿來(lái)流方向放置。解：設(shè)流動(dòng)符合無(wú)粘性不可壓縮定常流動(dòng)條件，從皮托管正前方的A點(diǎn)沿端點(diǎn)O至側(cè)壁孔B是一條流線AOB（常稱為零流線）。設(shè)A點(diǎn)的速度為v，壓強(qiáng)為p ，沿流線AO伯努利方程為例題B4.3.1 皮托測(cè)速管：總壓強(qiáng)與動(dòng)壓強(qiáng)(a)在管端點(diǎn)O，流體速度降至零 ，稱為駐點(diǎn)（或滯止點(diǎn)），p0 被稱為駐點(diǎn)壓強(qiáng)，U形管右支管測(cè)到的為駐點(diǎn)壓強(qiáng)。由于zA=zO ，由(a)式得：(b)0020222pgzvpgzvA2012ppv例題B4.3.1 皮托測(cè)速管：總壓強(qiáng)與動(dòng)壓強(qiáng)因 vB=v，故pB=p ，U形管左支管測(cè)到的為當(dāng)?shù)仂o壓強(qiáng)。U形管內(nèi)靜力學(xué)關(guān)系是 (d)對(duì)流線上A,B兩點(diǎn)，忽

21、略其高度差，伯努利方程可表示為2222BBvpvp0()mppg h上式中右端第二項(xiàng)稱為動(dòng)壓強(qiáng)，指流體質(zhì)元的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為壓強(qiáng)勢(shì)能時(shí)應(yīng)具有的壓強(qiáng)。（b）式表明駐點(diǎn)壓強(qiáng)為靜壓強(qiáng)和動(dòng)壓強(qiáng)之和，故又稱為總壓強(qiáng)。由（b）式動(dòng)壓強(qiáng)可表示為2012vpp(c)例題B4.3.1 皮托測(cè)速管：總壓強(qiáng)與動(dòng)壓強(qiáng)(g)k 稱為皮托管系數(shù)，由標(biāo)定測(cè)量后確定。實(shí)際流體有粘性，實(shí)際速度比(f)式略小，應(yīng)加以修正：12mvkg h 由(c), (d)兩式可得21()2mvg h(e)12mvg h (f)已知：圖中所示一大的敞口貯水箱，側(cè)壁下部開(kāi)一小孔，孔與液面的垂直距離h（淹深）保持常數(shù)（水位不變），孔口面積為A。求：小

22、孔出流速度v ；流量Q 。例題B4.3.1A 小孔出流：托里拆里公式及縮頸效應(yīng) 解： 設(shè)流動(dòng)符合無(wú)粘性不可壓縮定常流動(dòng)條件。從自由液面上任選一點(diǎn)（O）至小孔畫一流線。列伯努利方程)(2220020apgZvpgzv液面速度取為零 v0= 0，液面和孔口均為大氣壓強(qiáng) p0= p =0（表壓），由（a）式可得02 ()2( )vg ZZghb例題B4.3.1A 小孔出流：托里拆里公式及縮頸效應(yīng) 討論1：（b）式稱為托里拆里（E.Torricelli, 1644）公式，該式也適用于平行于液面的狹縫出流。（b）式形式上與初始速度為零的自由落體運(yùn)動(dòng)一樣，這是不考慮流體粘性損失的結(jié)果，液面上流體質(zhì)元具有的

23、位能全部轉(zhuǎn)化為小孔出流的動(dòng)能。02 ()2( )vg ZZghb例題B4.3.1A 小孔出流：托里拆里公式及縮頸效應(yīng) 小孔出流流量應(yīng)為 在孔口，由于兩側(cè)流體的運(yùn)動(dòng)慣性，流線不平行，形成縮頸效應(yīng)，如圖b所示。設(shè)縮頸處的截面積為 Ae，與孔口截面積A之比稱為收縮系數(shù) ：/( )eAAc2( )eQVAV AAghd上式中的h應(yīng)取液面至小孔中心的垂直距離。收縮系數(shù) 與孔口邊緣狀況有關(guān)，如圖所示, 圖（b）為銳角邊=0.61 ，圖（c）為內(nèi)伸管銳角邊 =0.5 ，圖（d）為流線型圓弧邊 1 （沒(méi)有收縮）。例題B4.3.1A 小孔出流：托里拆里公式及縮頸效應(yīng) 2( )QAghf討論2：實(shí)際流體具有粘性，

24、在孔口因微團(tuán)碰撞和摩擦均有能量損失，實(shí)際孔口出流速度應(yīng)小于（b）式，流量小于（d）式，均應(yīng)乘上一修正系數(shù)k0.1h ）應(yīng)考慮速度不均勻分布的影響。說(shuō)明：三角堰是一種簡(jiǎn)單而又實(shí)用的水力流量計(jì)。在明渠中人為設(shè)置一帶三角形孔的薄壁障礙物，稱為三角堰。堰造成上游水位壅高，測(cè)量壅高高度可計(jì)算渠內(nèi)流量。已知：下圖為一個(gè)三角堰，倒三角孔口夾角為，上游水面距角尖的淹深為 h，流動(dòng)為定常的。求：三角堰流量Q的表達(dá)式。解：取 Z 軸由水面鉛錘向下，通過(guò)角尖?？疾烊强卓谏涎蜕顬?Z ，面積為bdz的狹縫微元面上的流量，利用托里拆里公式例題B4.3.1B 三角堰流量計(jì)：孔口速度不均勻分布其中f()應(yīng)略小于理論值，由

25、實(shí)驗(yàn)測(cè)定。例題B4.3.1B 三角堰流量計(jì)：孔口速度不均勻分布總流量為但是考慮到粘性及孔口收縮等影響，令p 沿流線法線方向的速度壓強(qiáng)關(guān)系式 當(dāng)無(wú)粘性不可壓縮流體在重力流場(chǎng)中沿流線作定常流動(dòng)時(shí)，如圖，在流線上沿法線方向取圓柱形體積元由牛頓第二定律可得：B4.3.2 沿總流的伯努利方程沿總流的伯努利方程整理后取極限，考慮幾何關(guān)系：若忽略重力影響（流體平行于地面流動(dòng)時(shí)），可得：B4.3.2 沿總流的伯努利方程沿總流的伯努利方程取R 0則p/n 0，即彎曲流線外側(cè)的壓強(qiáng)總是大于內(nèi)側(cè)，這是流線發(fā)生彎曲的原因。上式為無(wú)粘性不可壓縮流體在流線法線方向的速度壓強(qiáng)關(guān)系式。式中R為流線曲率半徑，n為曲率半徑方向的

26、法線坐標(biāo)，z為高度坐標(biāo)，p為圓柱形體積元端面壓強(qiáng)，v為圓柱形體積元的速度?？傻茫核伎碱}： 在流線法線方向的關(guān)系式： 中 為流線曲率半徑， 為流體速度，由此可判斷：（1）當(dāng) 和 不變時(shí)，流體速度大，要求法向壓強(qiáng)梯度： （a）大；（b）小。（2）保持 和 相同時(shí)，密度大的流體，要求法向壓強(qiáng)梯度： （a）大；（b）小。（A）a,a;（B）a,b;（C）b,a;（D）b,b。Rvnp2RnRRvB4.3.2 沿總流的伯努利方程沿總流的伯努利方程p 緩變流有效截面上的壓強(qiáng)分布 B4.3.2 沿總流的伯努利方程沿總流的伯努利方程當(dāng)流動(dòng)為緩變流 R ，且考慮重力時(shí)，可得上式沿n方向積分可得或上式表明在緩變流

27、中（圖中A1, A2截面），沿流線法線方向的壓強(qiáng)分布規(guī)律與靜止流體中一樣。利用上述性質(zhì)，通過(guò)測(cè)量緩變流邊界上的壓強(qiáng)，可計(jì)算內(nèi)部流線上的壓強(qiáng)，將伯努利方程推廣應(yīng)用到緩變流流束和總流上去。 （1）p 沿總流的伯努利方程 伯努利方程描述單位質(zhì)量流體沿流線流動(dòng)時(shí)總機(jī)械能守恒。在由無(wú)數(shù)流線組成的流束中，將伯努利方程中三項(xiàng)機(jī)械能在有效截面A上按質(zhì)量流量積分，總機(jī)械能沿流束仍保持守恒，即工程上常將上式化為沿總流的形式，并用總流有效截面上的平均速度代替不均勻的速度分布，為此引入動(dòng)能修正因子 ，定義為：若截面A符合緩變流條件，將（1）（3）代入到（2）中，考慮到 Q=常數(shù)，可得：B4.3.2 沿總流的伯努利方程

28、沿總流的伯努利方程（2）（3）（4）和（5）兩式稱為沿總流的伯努力方程或一維平均流動(dòng)伯努力方程。沿總流伯努力方程成立的限制條件：（1）忽略粘性；（2）不可壓縮流體；（3）定常流動(dòng)；（4） A1、A2 截面符合緩變流條件，其它截面上允許有急變流存在。B4.3.2 沿總流的伯努利方程沿總流的伯努利方程（4）常用的形式為沿總流取兩個(gè)緩變流截面A1、A2，平均速度分別為V1、V2，可得（5）如下圖所示，文丘里管（Venturi tube）是一段先收縮后擴(kuò)張的變截面直管道，管截面面積變化引起流速改變，從而導(dǎo)致壓強(qiáng)改變。通過(guò)測(cè)量不同截面上的壓強(qiáng)差，利用沿總流的伯努利方程計(jì)算管內(nèi)流量，是用于定常流動(dòng)的常用流

29、量計(jì)。按圖中所示條件，求管內(nèi)流量Q。 例題B4.3.2 文丘里管：沿總流的伯努利方程解：設(shè)流動(dòng)符合不可壓縮流體定常流動(dòng)條件，忽略粘性。取大小直圓管的截面為A1、A2，平均速度為V1、V 2，流體密度為，由沿總流的伯努利方程，設(shè) 1 =2 = 1(a)移項(xiàng)可得(b)例題B4.3.2 文丘里管：沿總流的伯努利方程(c)及(d)由于A1、A2截面上為緩變流，截面上的壓強(qiáng)分布規(guī)律與U形管內(nèi)靜止流體一樣，分別可得設(shè)U形管內(nèi)液體的密度為m，液位差為h 。由于3，5點(diǎn)位于等壓面上p3= p5，由壓強(qiáng)公式可得例題B4.3.2 文丘里管：沿總流的伯努利方程(e)(f)將上兩式代入(d)式可得將(c )、(e )

30、式代入(b)式，整理后可得2221(1)2mVVgh由連續(xù)性方程例題B4.3.2 文丘里管：沿總流的伯努利方程上式中代入（f）式，整理后可得大管的平均速度為(g)稱為流速系數(shù)，文丘里管的流量公式為(h)(i)討論：當(dāng)、m確定后，Q與h的關(guān)系僅取決于文丘里管的面積比 A1 / A2，且與管子的傾斜角無(wú)關(guān)。文丘里管中收縮和擴(kuò)張段內(nèi)的流動(dòng)不符合緩變流條件，伯努利方程的計(jì)算截面不能選擇在這兩段內(nèi)。在本例中，選擇的A1、A2截面之間存在收縮段急變流并不影響應(yīng)用伯努利方程。B4.3.3 伯努利方程的水力學(xué)意義伯努利方程的水力學(xué)意義沿總流的伯努利方程可改寫為：該式表示無(wú)粘性不可壓縮流體作定常流動(dòng)時(shí)單位質(zhì)量流

31、體沿總流機(jī)械能守恒，該式是水力學(xué)中常用的形式。如圖，在水力學(xué)中：將相應(yīng)的水頭高度連成線稱為水頭線。水面線為測(cè)壓管水頭線，總水頭線保持定值。思考題： 在下圖所示的伯努利方程的水頭線圖中，理論總水頭線（實(shí)線）保持水平，但實(shí)際水流的總水頭線（虛線）是逐漸下降的這是因?yàn)椋?）（A）下游坡度變陡（B）下游水中壓強(qiáng)增大（C）水的粘性影響。B4.3.3 伯努利方程的水力學(xué)意義伯努利方程的水力學(xué)意義B4.3.4 不定常伯努利方程不定常伯努利方程對(duì)于粘性不可壓縮流體的不定常流動(dòng)，由歐拉一元運(yùn)動(dòng)方程沿流線從位置1到位置2積分可得：上式為不定常流伯努利方程。式中最后一項(xiàng)表示單位質(zhì)量流體的非定常慣性力沿流線從位置1到

32、位置2所做的功。已知：圖示開(kāi)口式U形管，管內(nèi)液柱長(zhǎng) l 。設(shè)液柱從液面高度差位為2h的靜止?fàn)顟B(tài)開(kāi)始，在重力作用下做震蕩運(yùn)動(dòng)，各點(diǎn)的速度隨時(shí)間變化。求：液柱振蕩規(guī)律。解：取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，z軸鉛垂向上，左右液面分別記為（1）和（2）。例題B4.3.4 U形管內(nèi)振蕩流：不定常流伯努利方程因管截面面積處處相等由不可壓連續(xù)性方程，速度也處處相等：)()()(21tVtVtV非定常慣性力所做功為ldtdVldtdVdldtdVdltV212121(a)例題B4.3.4 U形管內(nèi)振蕩流：不定常流伯努利方程因 z1=-z2, p1=p2=0，（表壓），由不定常流伯努利方程可得上式表明非定常慣性力所做功與

33、流體位能的守恒關(guān)系。考慮到v2=dz2/dt，上式可化為上式為簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程。當(dāng)初始條件為 t = 0時(shí)， z2=h及 dz2/dt =0，可解得0222 gzdtdVl(b)022222zlgdtzd)2cos(2tlghz (c)例題B4.3.4 U形管內(nèi)振蕩流：不定常流伯努利方程討論：該簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率為 ，由重力加速度和液柱長(zhǎng)決定，液柱越長(zhǎng)振動(dòng)頻率越低，這種情況同單擺相似（單擺振動(dòng)頻率為 ，l為擺長(zhǎng)）。液柱振動(dòng)周期為 ，振幅為h。lg2glT22lg)2cos(2tlghz B4.4 積分形式的動(dòng)量方程及其應(yīng)用積分形式的動(dòng)量方程及其應(yīng)用設(shè) ，流體系統(tǒng)的動(dòng)量為vr)t ,(根據(jù)牛頓第二定律上

34、式稱為流體系統(tǒng)的動(dòng)量方程， 為作用在流體系統(tǒng)上的合外力。B4.4.1 固定控制體固定控制體 如下圖，在流場(chǎng)中取固定不變形的控制體CV，控制面CS。設(shè)在 t 時(shí)刻，作用在流體系統(tǒng)上的合外力與作用在控制體上的外力也重合。上式為對(duì)固定不變形控制體的流體動(dòng)量方程, 式中v均取絕對(duì)速度。設(shè)在 t 時(shí)刻，流體系統(tǒng)與控制體相重合，利用輸運(yùn)公式可得系統(tǒng)動(dòng)量在控制體上的隨體導(dǎo)數(shù)：當(dāng)流動(dòng)為定常時(shí)，動(dòng)量方程中的當(dāng)?shù)仨?xiàng)為零，方程變?yōu)椋荷鲜綖閷?duì)固定不變形控制體的定常流動(dòng)動(dòng)量方程，該式表明: 定常流動(dòng)中作用在控制體上的合外力等于從控制面凈流出的動(dòng)量流量（見(jiàn)圖）B4.4.1 固定控制體固定控制體p 沿流管的定常流動(dòng) B4.

35、4.1 固定控制體固定控制體圖示為一維流管控制體，出入口截面為A1, A2，平均速度為 V1, V2，凈流出流管的動(dòng)量流量為這里 , ，為出入口質(zhì)量流量大小，式中負(fù)號(hào)是因?yàn)槿肟诙说?v n) 0。1m 2m 上式稱為沿流管的定常流動(dòng)動(dòng)量方程或一維定常流動(dòng)動(dòng)量方程。 運(yùn)用可壓縮流體定常流動(dòng)連續(xù)性方程B4.4.1 固定控制體固定控制體mmm21FVV)(m12由動(dòng)量方程可得它表明: 流出流管的動(dòng)量流量減去流入流管的動(dòng)量流量等于作用在流束上的合外力。 思考題: 對(duì)一維定常流動(dòng)的動(dòng)量方程 ，請(qǐng)判斷如下說(shuō)法哪個(gè)是錯(cuò)誤的（ ）（A） 坐標(biāo)系可任意設(shè)定；（B） 合外力作用方向可任意設(shè)定；（C） 但分量式中速

36、度和外力的正負(fù)號(hào)與坐標(biāo) 系的選擇和外力方向的設(shè)定均有關(guān)；（D） 作用在控制體上的合外力等于凈流入的 動(dòng)量流量。B4.4.1 固定控制體固定控制體p 在具有多個(gè)一維出入口的控制體上的定常流動(dòng) B4.4.1 固定控制體固定控制體當(dāng)控制面上有多個(gè)一維出入口時(shí)，由不定常流動(dòng)動(dòng)量方程可得：FVVinout)()(iiiimm式中：out代表是出口，in代表是入口， 應(yīng)滿足連續(xù)性方程要求。思考題： 關(guān)于動(dòng)量方程中的 ，下列說(shuō)法正確的是（ ） （A）流體對(duì)固壁的作用力合力；（B）固壁對(duì)流體作用力的合力；（C）作用在控制體上的作用力合力；FB4.4.1 固定控制體固定控制體已知：下圖是人主動(dòng)脈弓模型示意圖。血

37、液從升主動(dòng)脈1經(jīng)主動(dòng)脈弓流向降主動(dòng)脈5，方向改變約180，主動(dòng)脈弓上分支出頭臂干動(dòng)脈2，左頸總動(dòng)脈3和左鎖骨下動(dòng)脈4。設(shè)所有管截面均為圓形，管直徑分別為d1=2.5cm, d2=1.1cm, d3=0.7cm, d4=0.8cm, d5=2.0cm。已知平均流量分別為 Q1=6L/min, Q3= 0.07Q1, Q4 = 0.04Q1, Q5= 0.78Q1。設(shè)血液密度為=1055 kg/m3試求：血流對(duì)主動(dòng)脈弓的平均沖擊力F。 例題B4.4.1A 主動(dòng)脈弓流動(dòng)：多個(gè)一維出入口動(dòng)量方程yx解：由取圖中虛線所示控制體，并建立坐標(biāo)系如圖所示。血流對(duì)主動(dòng)脈弓的沖擊力為F，設(shè)控制體受到的外力僅為-F

38、。這是控制面有多個(gè)一維出入口的問(wèn)題，用動(dòng)量方程：例題B4.4.1A 主動(dòng)脈弓流動(dòng)：多個(gè)一維出入口動(dòng)量方程yx質(zhì)流量例題B4.4.1A 主動(dòng)脈弓流動(dòng)：多個(gè)一維出入口動(dòng)量方程主動(dòng)脈弓的平均受力為(mV)x = Q1(0.11V2sin16+ 0.07V3sin6+ 0.04 V4sin23) = (0.1055kg/s) 0.11(0.116m/s)(0.2756) + 0.07(0.182m/s)(0.1045) + 0.04(0.08m/s)(0.3907) = 110 4 N (mV)y = Q1(0.11V2cos16+ 0.07V3cos6+ 0.04 V4cos23 0.78V5 V1

39、 ) = (0.1055kg/s)0.11(0.116m/s)(0.9613) + 0.07(0.182m/s)(0.9945) + 0.04(0.08m/s)(0.9205) 0.78(0.248m/s) (0.204m/s) = 0.039 N討論：結(jié)果表明血流的平均沖擊力很小。實(shí)際上主動(dòng)脈弓除了受到血流沖擊力外還有各出入口壓強(qiáng)合力，而且由于心臟的搏動(dòng)，這些力都是隨心動(dòng)周期變化的。xFyF已知:如下圖，收縮噴管底面積為 ，進(jìn)出口速度為： ，現(xiàn)設(shè)噴管前半部向下彎曲，偏轉(zhuǎn)角 , 忽略重力。求：噴管所受的力F。 smQmA/02. 0,00636. 0320smVsmV/29.28,/14. 3

40、3030解：建立圖示坐標(biāo)系oxy和包圍噴管內(nèi)流體的控制體CV。忽略重力，沿管軸列伯努力方程例題B4.4.1B 彎曲噴管受力分析：壓強(qiáng)合力影響因上式中 ，i為x方向單位矢，動(dòng)量方程的x方向分量式為 設(shè)力 F 如圖所示，則流體控制體上受噴管合外力為 -F。由一維定常流動(dòng)動(dòng)量方程可得：例題B4.4.1B 彎曲噴管受力分析：壓強(qiáng)合力影響3100.0220/mQKg s壓強(qiáng)合力動(dòng)量變化例題B4.4.1B 彎曲噴管受力分析：壓強(qiáng)合力影響y方向分量式為討論：從上述結(jié)果可看到彎曲噴管受力中壓強(qiáng)合力占主要部分，流體加速造成的動(dòng)量變化引起的力只占次要部分。當(dāng)角改變時(shí)，壓強(qiáng)合力保持不變，僅動(dòng)量變化引起的力發(fā)生變化，

41、且占的比例較小。如在Fx中動(dòng)量變化占的比例在 =83.62為零。在 =180時(shí)最大為25 。因 ，故 ；由不可壓縮條件 。已知:如下圖，一股由噴管流出的自由射流沿水平方向沖入固定導(dǎo)流片水平入口，水流截面積 ，速度 。設(shè)水流沿導(dǎo)流片偏轉(zhuǎn)以角度 后流出，忽略質(zhì)量力和粘性影響。求：射流對(duì)固定導(dǎo)流片的沖擊力 與 的關(guān)系。 解：建立圖示坐標(biāo)系和控制體，按一維流動(dòng)處理，設(shè)出口速度為 ，由伯努力方程：2110cmA smV/451F2V例題B4.4.1C 自由射流沖擊固定導(dǎo)流片：偏轉(zhuǎn)角的影響120pp12VVV12AAA例題B4.4.1C 自由射流沖擊固定導(dǎo)流片：偏轉(zhuǎn)角的影響123342 (10g/)(45

42、/ )(40 10)180/mmmQVAkmm smkg s質(zhì)流量為設(shè)F如圖示，控制體所受的合外力為F ，由動(dòng)量方程21()m VVF12()AFVVV或2(cos )(1 cos )(180/ )(45/ )(1 cos )8100(1 cos ) ()xFVA VVV Akg sm sN2sinsin8100sin()yFVAVV AN例題B4.4.1C 自由射流沖擊固定導(dǎo)流片：偏轉(zhuǎn)角的影響討論：本題中水流對(duì)導(dǎo)流片的沖擊力完全由出入口動(dòng)量變化決定。作用力大小和方向由（a）和（b）式?jīng)Q定。隨著角增大，沖擊力F逐漸增大，方向從y 軸負(fù)方向（=0+）逐漸轉(zhuǎn)到x軸正向（ =180 ）。1(/)si

43、n/(1 cos )yxarctg FFtg228100 2(1 cos ) ()xyFFFN（a）（b）作用力大小和方向令 ， vr為運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中的相對(duì)速度。由動(dòng)量定律和輸運(yùn)公式可得B4.4.2 勻速運(yùn)動(dòng)控制體勻速運(yùn)動(dòng)控制體 當(dāng)控制體作勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，固結(jié)于控制體上的坐標(biāo)系仍是慣性系。上式為勻速運(yùn)動(dòng)控制體的流體動(dòng)量方程。rv FnvvvAtrrrd)(dCSCV當(dāng)流動(dòng)為定常時(shí)： 如下圖，對(duì)具有多個(gè)一維出入口的控制體中的定常流動(dòng)：B4.4.2 勻速運(yùn)動(dòng)控制體勻速運(yùn)動(dòng)控制體()()rrrroutinmmvvF式中： 為運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中的質(zhì)流量rm 已知:一車廂以 的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)，一般由固定噴管流出

44、的自由射流沿車廂前進(jìn)方向沖入固結(jié)于車廂上的導(dǎo)流片，水流截面積 ，速度 ，水流沿導(dǎo)流片偏轉(zhuǎn)一角度 后流出，忽略質(zhì)量力和粘性影響。求：射流對(duì)固定導(dǎo)流片的沖擊力F 與 的關(guān)系。 解：建立圖示坐標(biāo)系和控制體，按一維流動(dòng)處理，在坐標(biāo)系中，入口和出口的速度分別為 ,由伯努力方程：2140cmA smVe/15smV/4521,rrVV例題B4.4.2 自由射流沖擊運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)流片：相對(duì)運(yùn)動(dòng)的影響因 ，故 ，由不可壓縮條件 ，質(zhì)流量為例題B4.4.2 自由射流沖擊運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)流片：相對(duì)運(yùn)動(dòng)的影響120pp121(45 15)/30/rrreVVVVVm sm s12AAA123342 (10g/)(30/ )(40

45、 10)120/rrrrrmmmQV Akmm smkg s作用在控制體上的外力為 ，由動(dòng)量方程21()rrm VVF12()rrrAFVVV或2(cos )(1 cos )(120/ )(30/ )(1 cos )3600(1 cos )xrrrrFV A VVV Akg sm s2sinsin3600sinyrrrFV AVV A例題B4.4.2 自由射流沖擊運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)流片：相對(duì)運(yùn)動(dòng)的影響討論：計(jì)算結(jié)果表明與例B4.4.1C相比，除了沖擊力減小外，其余結(jié)果相似，相當(dāng)于用絕對(duì)速度 v=30m/s，沖擊固定導(dǎo)流片情況一樣。結(jié)果相似1(/)sin/(1 cos )yxarctg FFtg22360

46、0 2(1 cos )xyFFF（a）（b）作用力大小和方向B4.5 積分形式的動(dòng)量矩方程積分形式的動(dòng)量矩方程B4.5.1 固定的控制體固定的控制體根據(jù)動(dòng)量矩定律，流體系統(tǒng)的動(dòng)量矩方程為：設(shè) ，r為從原點(diǎn)到流體元的矢徑，v為流體元的速度。由系統(tǒng)廣延量定義，流體系統(tǒng)的動(dòng)量矩為)()t ,(vrrsyssysdvrLsyssysdddddMvrLttM為作用在流體系統(tǒng)上的合外力矩。（a）如圖，在流場(chǎng)中取固定不變形的控制體CV，控制面為CS。設(shè)在 t 時(shí)刻流體系統(tǒng)與控制體相重合，利用輸運(yùn)公式，可得系統(tǒng)動(dòng)量矩在控制體上的隨體導(dǎo)數(shù)：設(shè)在t時(shí)刻作用在流體系統(tǒng)上的合外力矩與作用在控制體上的合外力矩也重合:B

47、4.5.1 固定的控制體固定的控制體CSCVsyssysd)(d)(dddAtDtDtnvvvrvrLr（b）上式為對(duì)固定不變形控制體的流體動(dòng)量矩方程。式中v為絕對(duì)速度。合外力包括重力、表面力等全部外力對(duì)原點(diǎn)的力矩：B4.5.1 固定的控制體固定的控制體由（a）式和（b）式可得：CSCVd)(d)(tMnvvrvrAt)(FrMB4.5.1 固定的控制體固定的控制體當(dāng)流體繞定軸旋轉(zhuǎn)時(shí)常單列出由轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生的力矩，稱為軸矩Ts, 即將動(dòng)量矩方程應(yīng)用于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的流體機(jī)械時(shí)，在一般情況下，重力和表面力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩與軸矩相比可以忽略，而且正常運(yùn)行時(shí)流動(dòng)可視為定常的，方程可簡(jiǎn)化為p 定軸旋轉(zhuǎn)流場(chǎng)動(dòng)量矩方程

48、sTFrM)(上式為定軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)流場(chǎng)的動(dòng)量矩方程一般式，常用于渦輪機(jī)械。p 歐拉渦輪機(jī)方程 右圖為渦輪機(jī)轉(zhuǎn)子示意圖，轉(zhuǎn)子繞z軸以勻角速度旋轉(zhuǎn)，流體以均勻分布的絕對(duì)速度V1 流入內(nèi)圓面（半徑為r2），質(zhì)流量為 ；以均勻分布的絕對(duì)速度V2流出外圓面（半徑為 r1），質(zhì)流量守恒質(zhì)流量守恒。m B4.5.1 固定的控制體固定的控制體B4.5.1 固定的控制體固定的控制體定義軸功率 ，由上式可得：ssWTmVrVrW2)(112s考慮到牽連速度 ，上式又可表示為UrmVUVUWs)(1122由定軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)流場(chǎng)的動(dòng)量矩方程得：mVrVrTs)(1122上式稱為歐拉渦輪機(jī)方程，式中V1 , V2 為轉(zhuǎn)子內(nèi)外

49、圓上切向速度分量，負(fù)號(hào)是因?yàn)樵趦?nèi)圓上(vn)0 。該式適用于各類定軸旋轉(zhuǎn)流體機(jī)械。思考題: 請(qǐng)指出下列說(shuō)法中正確的說(shuō)法：（ ）（A） 歐拉渦輪機(jī)方程僅適用于渦輪機(jī)，即輸出功的機(jī)械； （B） 歐拉渦輪機(jī)方程既適用于輸出功的機(jī)械（Ts0 ，如泵類）；（C） 歐拉渦輪機(jī)方程僅適用于不可壓縮流動(dòng)。B4.5.1 固定的控制體固定的控制體mVrVrTs)(1122已知:如圖一小型離心泵（軸向進(jìn)水，徑向出水），入口直徑 , 出口直徑 ，葉輪寬 , 葉輪轉(zhuǎn)速 ,出流徑向速度為 。試求：（1）輸入葉輪的軸距 ； （2）輸入軸功率解：取包圍整個(gè)葉輪的固定控制體如圖中虛線所示，忽略體積力和表面力。設(shè)流動(dòng)是定常的，由

50、連續(xù)性方程可得:smVn/32mmd301mmd1002mmb10min/4000 rn )(mNTs()sW W例題B4.5.1 混流式離心泵：固定控制體動(dòng)量矩方程)kg/s9.425(30.011 . 010mm32221nbVd例題B4.5.1 混流式離心泵：固定控制體動(dòng)量矩方程葉輪旋轉(zhuǎn)角速度為 = 2n / 60 = 24000 / 60 = 418.88 (rad/s )V2 = R2 = d2 /2 = 418.880.1 / 2 = 20.94 (m/s)流體的出口切向速度為因入口為軸向流動(dòng)，V1= 0，由歐拉渦輪機(jī)方程，軸矩為)mN(9.869.42520.9420.12)(2

51、112-mVdmVrVrT12s輸入功率為)kw(4.139.86418.88)(2122ssTmVrVrWB4.6 積分形式的能量方程積分形式的能量方程設(shè) (r, t)=e，e為單位質(zhì)量流體的儲(chǔ)存能：B4.6.1 固定的控制體固定的控制體22veegzsyssysEe d式中: e為單位質(zhì)量流體的內(nèi)能，v2/2為單位質(zhì)量流體的動(dòng)能，gz為單位質(zhì)量流體的重力勢(shì)能。 由系統(tǒng)廣延量的定義式，流體系統(tǒng)的能量為(1) 設(shè)在 t 時(shí)刻流體系統(tǒng)與控制體相重合，利用輸運(yùn)公式，可得系統(tǒng)能量在控制體上的隨體導(dǎo)數(shù)：Ddd()dDsysCVCSeeeAttvn如圖，在流場(chǎng)中取固定不變形的控制體CV，控制面為CS。B

52、4.6.1 固定的控制體固定的控制體dddddsyssysEeQWtt根據(jù)熱力學(xué)第一定律，流體系統(tǒng)的能量方程為(2)(3)B4.6.1 固定的控制體固定的控制體 設(shè)在 t 時(shí)刻, 單位時(shí)間外界傳入系統(tǒng)的熱能與外界傳入控制體的熱能相同，系統(tǒng)對(duì)外界所做的功與控制體內(nèi)流體對(duì)外界所做的功也相同，由(2)和(3)式，可得：d()dCVCSeeAQWtvn上式中， 包括在控制面上流體壓強(qiáng)所作功率 和通過(guò)旋轉(zhuǎn)軸表面所作的功率（軸功率） , 及粘性切應(yīng)力所作摩擦功 ：WCSApd)(nvsWvWCSvsWWApWd)(nv(4)(5)上式為對(duì)固定不變形控制體的流體能量方程。u 若流動(dòng)為定常的，上式可變?yōu)椋?d()()d2svCVCSvpeegzAQWWvnB4.6.1 固定的控制體固定的控制體將（5）式代入（4）式中，并利用（1）式，可整理得：2()()d2svCSvpegzAQWWvnu 當(dāng)控制體有多個(gè)一維出入口時(shí)（如圖），忽略粘性切應(yīng)力所做功率，由定常流動(dòng)能量方程可得：B4.6.1 固定的控制體固定的控制體sinin2outout2)2()2(WQmpgzVempgzVe)2(2pgzVe上式中 取出入口截面上的平均值。 u 若只有一個(gè)出口（如圖） ：B4.6.1 固定的控制