1、山東大學(xué)數(shù)學(xué)院推薦使用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題精選精解概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題精選精解劉建亞、吳臻主審，張?zhí)斓?、葉宏主編;山東科技出版社2011年1月出版;山東大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教材的配套參考書;書中含有劉建亞主編概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教材中課后習(xí)題的詳細(xì)解答;往年考研題目解析;本書定價(jià)26元，山大學(xué)生收費(fèi)18元.購買：興隆山校區(qū)群樓購買：興隆山校區(qū)群樓3305 , (863)58102, (883)61396 ，13953172145 A. 太陽從東方升起；太陽從東方升起；B.上拋物體一定下落；上拋物體一定下落；C. 明天的最高溫度；明天的最高溫度；D. 新生嬰兒的體重新生嬰兒

2、的體重.隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象確定性現(xiàn)象確定性現(xiàn)象 在我們所生活的世界上， 充滿了隨機(jī)性 從扔硬幣、擲骰子和玩撲克等簡單的從扔硬幣、擲骰子和玩撲克等簡單的機(jī)會(huì)游戲，到復(fù)雜的社會(huì)現(xiàn)象；從嬰兒的機(jī)會(huì)游戲，到復(fù)雜的社會(huì)現(xiàn)象；從嬰兒的出生，到世間萬物的繁衍生息；從流星墜出生，到世間萬物的繁衍生息；從流星墜落，到大自然的千變?nèi)f化落，到大自然的千變?nèi)f化，我們無時(shí)，我們無時(shí)無刻不面臨著隨機(jī)性無刻不面臨著隨機(jī)性.概率統(tǒng)計(jì)的研究對(duì)象概率統(tǒng)計(jì)的研究對(duì)象二二. .概率統(tǒng)計(jì)的研究內(nèi)容概率統(tǒng)計(jì)的研究內(nèi)容 隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性隨機(jī)現(xiàn)象是不是沒有規(guī)律可言隨機(jī)現(xiàn)象是不是沒有規(guī)律可言? ?否！否！ 在一定條件下對(duì)

3、隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行大量在一定條件下對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行大量觀測會(huì)發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律性觀測會(huì)發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律性. 從表面上看，隨機(jī)現(xiàn)象的每一次觀察從表面上看，隨機(jī)現(xiàn)象的每一次觀察結(jié)果都是隨機(jī)的，但多次觀察某個(gè)隨機(jī)現(xiàn)結(jié)果都是隨機(jī)的，但多次觀察某個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，便可以發(fā)現(xiàn)，在大量的偶然之中存在象，便可以發(fā)現(xiàn)，在大量的偶然之中存在著必然的規(guī)律著必然的規(guī)律. 這種隨機(jī)現(xiàn)象所呈現(xiàn)出的這種隨機(jī)現(xiàn)象所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性，稱為隨機(jī)現(xiàn)象的固有規(guī)律性，稱為隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性統(tǒng)計(jì)規(guī)律性. .概率統(tǒng)計(jì)的研究內(nèi)容概率統(tǒng)計(jì)的研究內(nèi)容三三. .概率統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用 經(jīng)濟(jì)管理保險(xiǎn)金融生物醫(yī)藥天氣預(yù)報(bào) 下面我們就來開始一門下面我們就來開始一門“

4、將不定將不定性數(shù)量化性數(shù)量化”的的課程的學(xué)習(xí)，這就是課程的學(xué)習(xí)，這就是第一章第一章 隨機(jī)事件及其概率1.1 隨機(jī)事件及其運(yùn)算隨機(jī)事件及其運(yùn)算 對(duì)某事物特征進(jìn)行觀察, 統(tǒng)稱試驗(yàn)試驗(yàn).若它有如下特點(diǎn),則稱為隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn),用E表示q 試驗(yàn)前不能預(yù)知出現(xiàn)哪種結(jié)果 1.隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間 q 可在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行q 試驗(yàn)結(jié)果不止一個(gè),但能明確所有的結(jié)果樣本空間樣本空間 隨機(jī)試驗(yàn)E 所有可能的結(jié)果樣本空間的元素, 即E 的直接結(jié)果, 稱為隨機(jī)事件隨機(jī)事件 的子集, 記為 A ,B ,它是滿足某些條件的樣本點(diǎn)所組成的集合.組成的集合稱為樣本空間樣本空間 記為樣本點(diǎn)樣本點(diǎn)(或或基本事

5、件基本事件) 常記為 ， = , 3 , 2 , 1 , 02N),(213TyxTyx其中T1,T2分別是該地區(qū)的最低與最高溫度:3E觀察某地區(qū)每天的最高溫度與最低溫度:2E觀察總機(jī)每天9:0010:00接到的電話次數(shù)有限樣本空間無限樣本空間:1E投一枚硬幣3次，觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)3 , 2 , 1 , 01例例1 1 給出一組隨機(jī)試驗(yàn)及相應(yīng)的樣本空間基本事件基本事件 僅由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的子集它是隨機(jī)試驗(yàn)的直接結(jié)果,每次試驗(yàn)必定發(fā)生且只可能發(fā)生一個(gè)基本事件. 必然事件必然事件全體樣本點(diǎn)組成的事件,記為, 每次試驗(yàn)必定發(fā)生的事件.復(fù)合事件復(fù)合事件 由若干個(gè)基本事件組成的隨機(jī)事件.不可能事件不可

6、能事件不包含任何樣本點(diǎn)的事件,記為 ,每次試驗(yàn)必定不發(fā)生的事件.A 隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算類同集合的關(guān)系和運(yùn)算 2.事件的關(guān)系和運(yùn)算事件的關(guān)系和運(yùn)算文氏圖文氏圖 ( Venn diagram ) A 包含于BBA 事件 A 發(fā)生必導(dǎo)致事件 B 發(fā)生 A B BA BA AB 且1. 事件的包含2. 事件的相等BA或BA BAAB事件 A與事件B 至 少有一個(gè)發(fā)生BA發(fā)生nAAA,21的和事件 niiA1,21nAAA的和事件 1iiA A 與B 的和事件3. 事件的并(和) BA或AB事件 A與事件B 同時(shí) 發(fā)生BA 發(fā)生nAAA,21的積事件 niiA1,21nAAA的積事件 A 與B 的積事

7、件1iiABAB A4. 事件的交(積)BABA發(fā)生 事件 A 發(fā)生，但 事件 B 不發(fā)生BAB A A 與B 的差事件5. 事件的差 A 與B 互斥ABA、 B不可能同時(shí)發(fā)生ABnAAA,21兩兩互斥,21nAAA兩兩互斥njijiAAji, 2 , 1, 2 , 1,jijiAAji6. 事件的互斥(互不相容) A 與B 互相對(duì)立BAAB,每次試驗(yàn) A、 B中有且只有一個(gè)發(fā)生ABAB 稱B 為A的對(duì)立事件(或逆事件)，記為注意：“A 與B 互相對(duì)立”與“A 與B 互斥”是不同的概念7. 事件的對(duì)立Aq 吸收律AABAAAA)(ABAAAAA)(q 冪等律AAAAAAq 差化積)(ABABA

8、BAq 重余律AA運(yùn)算律運(yùn)算律對(duì)應(yīng)事件運(yùn)算集合運(yùn)算q 交換律ABBABAABq 結(jié)合律)()(CBACBA)()(BCACABq 分配律)()()(CBCACBA)()(CABABCABABABAABniiniiAA11niiniiAA11q 反演律運(yùn)算順序： 逆交并差，括號(hào)優(yōu)先逆交并差，括號(hào)優(yōu)先 例例1 1 在圖書館中隨意抽取一本書，A表示數(shù)學(xué)書，B表示中文書，C表示平裝書. 抽取的是精裝中文版數(shù)學(xué)書CABBC 精裝書都是中文書BA 非數(shù)學(xué)書都是中文版的，且中文版的書都是非數(shù)學(xué)書則事件例例2 2 利用事件關(guān)系和運(yùn)算表達(dá)多 個(gè)事件的關(guān)系A(chǔ) ,B ,C 都不發(fā)生CBACBA A ,B ,C 不都

9、發(fā)生CBAABC習(xí)題一中不多于一個(gè)發(fā)生。、中至少有一個(gè)不發(fā)生；、中恰有兩個(gè)發(fā)生；、都不發(fā)生；、都發(fā)生；、不發(fā)生；發(fā)生，與表示下列事件：、表示三個(gè)事件，利用、設(shè)CBACBACBACBACBACBACBACBA)6()5()4()3()2() 1 (. 1CABABCCBABCACBACABCBACBACBACBACBA.)4()3()2() 1 (. 2ACBAAABCABAAAB；間的關(guān)系：指出下面式子中事件之BABCAACBAB 1.2 隨機(jī)事件的概率隨機(jī)事件的概率歷史上概率的三次定義歷史上概率的三次定義 公理化定義 統(tǒng)計(jì)定義 古典定義概率的最初定義基于頻率的定義于1933年由前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯

10、爾莫哥洛夫給出設(shè)在 n 次試驗(yàn)中，事件 A 發(fā)生了m 次， 1. 頻率與概率頻率與概率nmfn則稱 為事件 A 發(fā)生的 頻率頻率頻率的性質(zhì)頻率的性質(zhì)q 1)(0Afnq 1)(nfq 事件 A, B互斥，則)()()(BfAfBAfnnn可推廣到有限個(gè)兩兩互斥事件的和事件非負(fù)性非負(fù)性規(guī)范性規(guī)范性可加性可加性穩(wěn)定性穩(wěn)定性某一定數(shù)某一定數(shù))()(limAPAfnnq 投一枚硬幣觀察正面向上的次數(shù) n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069 n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016n = 24000, nH =12012, f n(

11、 H ) = 0.5005頻率穩(wěn)定性的實(shí)例頻率穩(wěn)定性的實(shí)例 蒲豐投幣蒲豐投幣 皮爾遜投幣皮爾遜投幣 概率的統(tǒng)計(jì)定義概率的統(tǒng)計(jì)定義在相同條件下重復(fù)進(jìn)行的 n 次試驗(yàn)中, 事件 A 發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù)p 附近擺動(dòng), 且隨 n 越大擺動(dòng)幅度越小, 則稱 p 為事件 A 的概率, 記作 P(A).對(duì)本定義的評(píng)價(jià)對(duì)本定義的評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)：直觀 易懂缺點(diǎn)：粗糙 模糊不便使用設(shè) 隨機(jī)試驗(yàn)E 具有下列特點(diǎn)：q 基本事件的個(gè)數(shù)有限q 每個(gè)基本事件等可能性發(fā)生則稱 E 為 古典(等可能)概型古典概型中概率的計(jì)算：記 個(gè)數(shù)中所包含的基本事件的n的基本事件的個(gè)數(shù)組成 Am nmAP)(則2. 古典概型古典概型 概率

12、的古典定義概率的古典定義例例 一顆骰子擲兩次，求出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和是一顆骰子擲兩次，求出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和是8的概率的概率答案：答案：P(A)=5/36 擲一顆骰子，有擲一顆骰子，有6個(gè)等可能的結(jié)果，擲兩次個(gè)等可能的結(jié)果，擲兩次有有66=36個(gè)等可能結(jié)果，設(shè)個(gè)等可能結(jié)果，設(shè)A 為為點(diǎn)數(shù)之和是點(diǎn)數(shù)之和是8，有（有（2，6），（），（3，5），（），（4，4），（），（5，3），），（6，2）共）共5種情形。種情形。例例 把把C、C、E、E、I、N、S七個(gè)字母分別七個(gè)字母分別寫在七張同樣的卡片上，并且將卡片放入同寫在七張同樣的卡片上，并且將卡片放入同一盒中，現(xiàn)從盒中任意一張一張地將卡片取一盒中，現(xiàn)從盒中任意一張

13、一張地將卡片取出，并將其按取到的順序排成一列，有多大出，并將其按取到的順序排成一列，有多大可能排列結(jié)果恰好拼成一個(gè)英文單詞：可能排列結(jié)果恰好拼成一個(gè)英文單詞：C ISN C EE拼成英文單詞拼成英文單詞SCIENCE 的情況數(shù)為的情況數(shù)為故該結(jié)果出現(xiàn)的概率為：故該結(jié)果出現(xiàn)的概率為：42200079. 012601! 74p解：七個(gè)字母的排列總數(shù)為解：七個(gè)字母的排列總數(shù)為7！例例 設(shè)有設(shè)有N件產(chǎn)品件產(chǎn)品,其中有其中有M件次品件次品,現(xiàn)從這現(xiàn)從這N件中任取件中任取n件件,求其求其中恰有中恰有k件次品的概率件次品的概率.解：令解：令A(yù)=恰有恰有k件次品件次品nNknMNkMCCCAP)(超幾何公式

14、設(shè)有 k 個(gè)不同的球, 每個(gè)球等可能地落入 N 個(gè)盒子中（ ）, 設(shè)每個(gè)盒子容球數(shù)無限, 求下列事件的概率:Nk（1）某指定的 k 個(gè)盒子中各有一球；（3）恰有 k 個(gè)盒子中各有一球.km（2）某指定的一個(gè)盒子恰有 m 個(gè)球( )例例 （分房模型）（分房模型）解解kNn kNkAP!)(1kkNNkCAP!)(3kmkmkNNCAP) 1()(2例例 “分房模型分房模型”的應(yīng)用的應(yīng)用解解 n 個(gè)人的生日均不相同,相當(dāng)于本問題中的人可被視為“球”，365天為365只“盒子”每個(gè)盒子至多有一個(gè)球或恰有n個(gè)盒子中各有一球. nnnCAP365!)(365 某班級(jí)有 n (n 365)個(gè)人，求n 個(gè)人

15、的生日均不相同（設(shè)為事件A ) 的概率.3.幾何概型幾何概型 (古典概型的推廣) 把等可能推廣到無限個(gè)樣本點(diǎn)場合把等可能推廣到無限個(gè)樣本點(diǎn)場合,人們引入了人們引入了幾何概型幾何概型. 由此形成了確定由此形成了確定概率的另一方法概率的另一方法幾何幾何概率概率. 早在概率論發(fā)展初期，人們就認(rèn)識(shí)到，早在概率論發(fā)展初期，人們就認(rèn)識(shí)到，只考慮有限個(gè)等可能樣本點(diǎn)的古典方法是不只考慮有限個(gè)等可能樣本點(diǎn)的古典方法是不夠的夠的.幾何方法的思路是：幾何方法的思路是：1、設(shè)樣本空間、設(shè)樣本空間S是平面上某個(gè)區(qū)域，它是平面上某個(gè)區(qū)域，它的面積記為的面積記為(S);S該點(diǎn)落入該點(diǎn)落入S內(nèi)任何部分內(nèi)任何部分區(qū)域內(nèi)的可能性

16、只與這區(qū)域內(nèi)的可能性只與這部分區(qū)域的面積成比例，部分區(qū)域的面積成比例，而與這部分區(qū)域的位置而與這部分區(qū)域的位置和形狀無關(guān)和形狀無關(guān).S2、向區(qū)域、向區(qū)域S上隨機(jī)投擲一點(diǎn)，上隨機(jī)投擲一點(diǎn)，“隨機(jī)投擲一點(diǎn)隨機(jī)投擲一點(diǎn)”的含義是的含義是:3、設(shè)事件、設(shè)事件A是是S的某個(gè)區(qū)域，它的面積為的某個(gè)區(qū)域，它的面積為 (A)，則向區(qū)域則向區(qū)域S上隨機(jī)投擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落上隨機(jī)投擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在區(qū)域在區(qū)域A的概率為的概率為SA)()()(SAAP4、假如樣本空間、假如樣本空間S可用一線段，或空間中某可用一線段，或空間中某個(gè)區(qū)域表示，并且向個(gè)區(qū)域表示，并且向S上上隨機(jī)投擲一點(diǎn)隨機(jī)投擲一點(diǎn)的含的含義如前述，則事件義如前

17、述，則事件A的概率仍可用的概率仍可用)()()(SAAP)(確定，只不過把確定，只不過把 理解為長度或體積即可理解為長度或體積即可.幾何概率幾何概率 設(shè)樣本空間為有限區(qū)域 , 若樣本點(diǎn)落入 內(nèi)任何區(qū)域 G 中的概率與區(qū)域G 的測度成正比, 則樣本點(diǎn)落入G內(nèi)的概率為的測度的測度GAP)(例例 某人的表停了，他打開收音機(jī)聽電臺(tái)報(bào)時(shí)， 已知電臺(tái)是整點(diǎn)報(bào)時(shí)的，問他等待報(bào)時(shí)的時(shí) 間短于十分鐘的概率9點(diǎn)10點(diǎn)10分鐘616010)(AP例例 在區(qū)間在區(qū)間( (0, 1) )中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，求中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，求這兩個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值小于這兩個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值小于1/2的概率的概率. A 1/211Oyx21

18、1( )32( )( )14S AP AS概率的公理化理論由前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫1933年建立. 4. 概率的公理化定義概率的公理化定義 即通過規(guī)定概率應(yīng)具備的基本即通過規(guī)定概率應(yīng)具備的基本性質(zhì)來定義概率性質(zhì)來定義概率. . 設(shè) 是隨機(jī)試驗(yàn)E 的樣本空間，若對(duì)于E 的每一事件 A ，都有一個(gè)實(shí)數(shù)P ( A )與之對(duì)應(yīng), 則稱之為事件 A 的概率，只要滿足下面的三條公理：q 非負(fù)性：0)(,APAq 規(guī)范性：1)(P11)(iiiiAPAPq 可列可加性：,21AA其中 為兩兩互斥事件， 由概率的三條公理，我們可以推導(dǎo)由概率的三條公理，我們可以推導(dǎo)出概率的若干性質(zhì)及公式出概率的若干性質(zhì)及公式

19、. 下節(jié)課我們下節(jié)課我們會(huì)詳細(xì)介紹概率的一些簡單性質(zhì)會(huì)詳細(xì)介紹概率的一些簡單性質(zhì).1.3 概率的基本運(yùn)算法則概率的基本運(yùn)算法則 它給出了概率所必須滿足的最基本的它給出了概率所必須滿足的最基本的性質(zhì)，為建立嚴(yán)格的概率理論提供了一個(gè)性質(zhì)，為建立嚴(yán)格的概率理論提供了一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).上次我們介紹了上次我們介紹了概率的公理化定義概率的公理化定義 由概率所必須滿足的三條公理，我們由概率所必須滿足的三條公理，我們推導(dǎo)出概率的其它幾條重要性質(zhì)推導(dǎo)出概率的其它幾條重要性質(zhì). 它們?cè)谒鼈冊(cè)谟?jì)算概率時(shí)很有用，尤其是加法公式計(jì)算概率時(shí)很有用，尤其是加法公式.三條公理：q 非負(fù)性：0)(APq 規(guī)范性：1)(

20、P11)(iiiiAPAPq 可列可加性：,21AA其中 為兩兩互斥事件，1. 概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)0)(P基本性質(zhì)加法公式性質(zhì)性質(zhì)1 加法公式加法公式)()()(,BPAPBAPBA互斥，則若事件niiniinAPAPAAA1121)(,兩兩互斥，則若事件S因?yàn)橐驗(yàn)锳AS互斥與AA1=P(S)=P(A)+P( )AAS 性質(zhì)性質(zhì)2逆事件公式逆事件公式)(1)(APAP對(duì)任一事件A ，有 性質(zhì)性質(zhì)2在概率的計(jì)算上很有用，如果在概率的計(jì)算上很有用，如果正面計(jì)算事件正面計(jì)算事件A的概率不容易，而計(jì)算其的概率不容易，而計(jì)算其對(duì)立事件對(duì)立事件 的概率較易時(shí)，可以先計(jì)算的概率較易時(shí)，可以先計(jì)算 ，再計(jì)算

21、，再計(jì)算P(A).)(APA)(1)(APAP注意注意:S)()(ABAPBP0)( ABP再由再由)(ABA)()(ABPAP由可加性由可加性 設(shè)設(shè)、B是兩個(gè)事件，若是兩個(gè)事件，若 , 則則有有 )()()(APBPABP)()(APBPBABA性質(zhì)性質(zhì)3 減法公式減法公式)()(APBP移項(xiàng)得移項(xiàng)得)()()(APBPABPq 對(duì)任意兩個(gè)事件A, B, 有 )()()(ABPBPABP BAB=AB+(B A)P(B)=P(AB)+ P(B AB) B - ABAB注意注意:S)()()()(ABBPAPABBAPBAPBAB 又因又因再由性質(zhì)再由性質(zhì) 3得證得證 .)(ABBA 對(duì)任意兩

22、個(gè)事件對(duì)任意兩個(gè)事件A、B，有有 )()()()(ABPBPAPBAPABAB性質(zhì)性質(zhì)4 廣義加法公式廣義加法公式推廣推廣：)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP)() 1()()()()(2111111nnnnkjikjinjijiniiniiAAAPAAAPAAPAPAP一般一般：右端共有 項(xiàng).12 n.4305. 1格品的概率件，求至少有一件不合任取件不合格品，從中件產(chǎn)品，其中有設(shè)有例解法一：321AAAAiAAi件不合格品，則表示恰好有品，表示至少有一件不合格設(shè))()()()()(321321APAPAPAAAPAP4504473)(CCCAPi

23、ii2255. 0性質(zhì)1解法二：)(1)(APAPA表示全是合格品，則因?yàn)?50447)(CCAP4504471CC2255. 0計(jì)算事件計(jì)算事件A的概率不容易，而計(jì)算其對(duì)立的概率不容易，而計(jì)算其對(duì)立事件的概率較易時(shí)，可以利用性質(zhì)事件的概率較易時(shí)，可以利用性質(zhì)2。性質(zhì)2例例2 有有r 個(gè)人，設(shè)每個(gè)人的生日是個(gè)人，設(shè)每個(gè)人的生日是365天的天的任何一天是等可能的，試求事件任何一天是等可能的，試求事件“至少有兩至少有兩人同生日人同生日”的概率的概率. rrPAP)365()(365rrPAPAP)365(1)(1)(365A為求為求P(A), 先求先求P( )解：令解：令 A=至少有兩人同生日至少

24、有兩人同生日 = r 個(gè)人的生日都不同個(gè)人的生日都不同A則則用上面的公式可以計(jì)算此事出現(xiàn)的概率為用上面的公式可以計(jì)算此事出現(xiàn)的概率為 =1- -0.524=0.476)(AP 美國數(shù)學(xué)家伯格米尼曾經(jīng)做過一個(gè)美國數(shù)學(xué)家伯格米尼曾經(jīng)做過一個(gè)別開生面的實(shí)驗(yàn)，在一個(gè)盛況空前、別開生面的實(shí)驗(yàn)，在一個(gè)盛況空前、人山人海的世界杯足球賽賽場上，他人山人海的世界杯足球賽賽場上，他隨機(jī)地在某號(hào)看臺(tái)上召喚了隨機(jī)地在某號(hào)看臺(tái)上召喚了22個(gè)球迷，個(gè)球迷，請(qǐng)他們分別寫下自己的生日，結(jié)果竟請(qǐng)他們分別寫下自己的生日，結(jié)果竟發(fā)現(xiàn)其中有兩人同生日發(fā)現(xiàn)其中有兩人同生日.即即22個(gè)球迷中至少有兩人同生日的概率個(gè)球迷中至少有兩人同生日

25、的概率為為0.476. 這個(gè)概率不算小，而且這個(gè)概率隨著球這個(gè)概率不算小，而且這個(gè)概率隨著球迷人數(shù)的增加而迅速地增加，如下表所示：迷人數(shù)的增加而迅速地增加，如下表所示： 人數(shù)人數(shù) 至少有兩人同至少有兩人同 生日的概率生日的概率 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994 所有這些概率都是所有這些概率都是在假定一個(gè)人的生日在在假定一個(gè)人的生日在 365天的任何一天是等天的任何一天是等可能的前提下計(jì)算出來可能的前提下計(jì)算出來的的. 實(shí)際上實(shí)際上,這個(gè)假定并這個(gè)假定并不完全成立，有關(guān)

26、的實(shí)不完全成立，有關(guān)的實(shí)際概率比表中給出的還際概率比表中給出的還要大要大 . 例 已知 P ( A ) = P ( B ) = P(C) = 1/4 , P(AB) = 0 , P(AC) = P(BC) = 1/9 則事件A，B，C 全不發(fā)生的概率為 .)(1)(CBAPCBAP)()()(1CPBPAP.36/179/24/31)()()()(ABCPBCPACPABP1)()()()D(1)()()()C()()()B()()()A(. 6BPAPCPBPAPCPBAPCPABPCPCBA則下列結(jié)論正確的是必發(fā)生，同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件與當(dāng)事件例,C( )().()( )( )()( )( )

27、( )()( )( ) 1( ).ABABCP CP ABP ABP AP BP ABP CP AP BP ABP AP BC事件與同時(shí)發(fā)生時(shí) 事件必發(fā)生又由所以應(yīng)選習(xí)題一.)2() 1 (:13. 4有同號(hào)的概率；沒有同號(hào)的概率求取出的三張牌中，中，有放回抽三次張黑桃從一副撲克牌的313111213)(AP)(1)(APAP3131112131不定任何報(bào)的。至少訂一種報(bào)的；恰好訂兩種報(bào)的；只訂一種報(bào)的；報(bào)的；與只訂報(bào)的；只訂求下列概率：報(bào)的占與同時(shí)訂報(bào)的占與同時(shí)訂報(bào)的占與同時(shí)訂報(bào)的占與同時(shí)訂報(bào)的占訂報(bào)的占訂報(bào)的占訂在居民中三種報(bào)紙某城市有)6()5()4()3()2() 1 (%,3,%,5%,8%,01%,30%,35%,45,.,. 5BAACBA