1、南康二中 高二數(shù)學(xué)選修2-1導(dǎo)學(xué)案 2.1.1空間向量及其運(yùn)算 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 理解空間向量的概念，掌握其表示方法；2. 會(huì)用圖形說(shuō)明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運(yùn)算律；3. 能用空間向量的運(yùn)算意義及運(yùn)算律解決簡(jiǎn)單的立體幾何中的問(wèn)題 學(xué)習(xí)過(guò)程 一、課前準(zhǔn)備（預(yù)習(xí)教材P84 P86，找出疑惑之處）復(fù)習(xí)1：平面向量基本概念：具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或長(zhǎng)度）； 叫零向量，記著 ； 叫單位向量. 叫相反向量， 的相反向量記著 . 叫相等向量. 向量的表示方法有 ， ，和 共三種方法. 復(fù)習(xí)2：平面向量有加減以及數(shù)乘向量運(yùn)算：1. 向量的加法和減法的運(yùn)算法則有 法則 和 法則. 2.

2、 實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè) 量，記作 ，其長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下： (1)|a| . (2)當(dāng)0時(shí)，a與A. ；當(dāng)0時(shí)，a與A. ；當(dāng)0時(shí)，a .3. 向量加法和數(shù)乘向量，以下運(yùn)算律成立嗎？加法交換律：abba加法結(jié)合律：(ab)ca（bc）數(shù)乘分配律：(ab)ab二、新課導(dǎo)學(xué) 學(xué)習(xí)探究探究任務(wù)一：空間向量的相關(guān)概念問(wèn)題： 什么叫空間向量？空間向量中有零向量，單位向量，相等向量嗎？空間向量如何表示？新知：空間向量的加法和減法運(yùn)算：空間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一平面內(nèi)，變?yōu)閮蓚€(gè)平面向量的加法和減法運(yùn)算，例如上圖中， ， ，試試：1. 分別用平行四邊形法則和三角形法則求.2. 點(diǎn)C在線

3、段AB上，且,則 , .反思：空間向量加法與數(shù)乘向量有如下運(yùn)算律嗎？加法交換律：A. + B. = B. + a；加法結(jié)合律：(A. + b) + C. =A. + (B. + c)；數(shù)乘分配律：(A. + b) =A. +b 典型例題例1 已知平行六面體（如圖），化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量：變式：在上圖中，用表示和.小結(jié)：空間向量加法的運(yùn)算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，求空間若干向量之和時(shí)，可通過(guò)平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量例2 化簡(jiǎn)下列各式： ; .變式：化簡(jiǎn)下列各式： ; ; .小結(jié)：化簡(jiǎn)向量表達(dá)式主要是利用平行四邊形法則或

4、三角形法則，遇到減法既可轉(zhuǎn)化成加法，也可按減法法則進(jìn)行運(yùn)算，加法和減法可以轉(zhuǎn)化. 動(dòng)手試試練1. 已知平行六面體, M為AC與BD的交點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列表達(dá)式： ; ; .三、總結(jié)提升 學(xué)習(xí)小結(jié)1. 空間向量基本概念；2. 空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運(yùn)算律 知識(shí)拓展平面向量?jī)H限于研究平面圖形在它所在的平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移，它們的共同點(diǎn)都是指“將圖形上所有點(diǎn)沿相同的方向移動(dòng)相同的長(zhǎng)度”，空間的平移包含平面的平移. 學(xué)習(xí)評(píng)價(jià) 自我評(píng)價(jià) 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差 當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分：1. 下列說(shuō)

5、法中正確的是（ ）A. 若=，則，的長(zhǎng)度相同，方向相反或相同;B. 若與是相反向量，則=;C. 空間向量的減法滿足結(jié)合律;D. 在四邊形ABCD中，一定有.2. 長(zhǎng)方體中，化簡(jiǎn)= 3. 已知向量，是兩個(gè)非零向量，是與，同方向的單位向量，那么下列各式正確的是（ ）A. B. 或C. D. =4. 在四邊形ABCD中，若,則四邊形是（ ）A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四邊形5. 下列說(shuō)法正確的是（ ）A. 零向量沒(méi)有方向 B. 空間向量不可以平行移動(dòng)C. 如果兩個(gè)向量不相同，那么它們的長(zhǎng)度不相等D. 同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量 課后作業(yè) 1. 在三棱柱ABC-ABC中，M,

6、N分別為BC,BC的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列式子： + + 2. 如圖，平行六面體中，點(diǎn)為與的的交點(diǎn)，則下列向量中與相等的是（ ）A. B. C. D. 2.1.2 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算（一） 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 掌握空間向量的數(shù)乘運(yùn)算律，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的代數(shù)式化簡(jiǎn)；2. 理解共線向量定理和共面向量定理及它們的推論； 3. 能用空間向量的運(yùn)算意義及運(yùn)算律解決簡(jiǎn)單的立體幾何中的問(wèn)題 學(xué)習(xí)過(guò)程 一、課前準(zhǔn)備（預(yù)習(xí)教材P86 P87，找出疑惑之處）復(fù)習(xí)1：化簡(jiǎn)： 5（）+4（）； .復(fù)習(xí)2：在平面上，什么叫做兩個(gè)向量平行？在平面上有兩個(gè)向量， 若是非零向量，則與平行的充要條件是 二、新課導(dǎo)學(xué) 學(xué)習(xí)探究探究任務(wù)一：空間向

7、量的共線問(wèn)題：空間任意兩個(gè)向量有幾種位置關(guān)系？如何判定它們的位置關(guān)系？新知：空間向量的共線：1. 如果表示空間向量的 所在的直線互相 或 ，則這些向量叫共線向量，也叫平行向量. 2. 空間向量共線：定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量（）， 的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)，使得 推論：如圖，l為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量的直線，對(duì)空間的任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是 試試：已知 ，求證: A,B,C三點(diǎn)共線. 反思：充分理解兩個(gè)向量共線向量的充要條件中的，注意零向量與任何向量共線. 典型例題例1 已知直線AB，點(diǎn)O是直線AB外一點(diǎn)，若，且x+y1，試判斷A,B,P三點(diǎn)是否共線？變式：已知A,B,P

8、三點(diǎn)共線，點(diǎn)O是直線AB外一點(diǎn)，若，那么t 例2 已知平行六面體，點(diǎn)M是棱AA的中點(diǎn)，點(diǎn)G在對(duì)角線AC上，且CG:GA=2:1,設(shè)=，試用向量表示向量.變式1：已知長(zhǎng)方體，M是對(duì)角線AC中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列表達(dá)式： ; 變式2：如圖，已知不共線，從平面外任一點(diǎn)，作出點(diǎn),使得：. 小結(jié)：空間向量的化簡(jiǎn)與平面向量的化簡(jiǎn)一樣，加法注意向量的首尾相接，減法注意向量要共起點(diǎn)，并且要注意向量的方向. 動(dòng)手試試練1. 下列說(shuō)法正確的是（ ）A. 向量與非零向量共線，與共線，則與 共線；B. 任意兩個(gè)共線向量不一定是共線向量；C. 任意兩個(gè)共線向量相等；D. 若向量與共線，則. 2. 已知，若，求實(shí)數(shù) 三、總結(jié)提升

9、 學(xué)習(xí)小結(jié)1. 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算法則及它們的運(yùn)算律；2. 空間兩個(gè)向量共線的充要條件及推論. 知識(shí)拓展平面向量?jī)H限于研究平面圖形在它所在的平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移，它們的共同點(diǎn)都是指“將圖形上所有點(diǎn)沿相同的方向移動(dòng)相同的長(zhǎng)度”，空間的平移包含平面的平移. 學(xué)習(xí)評(píng)價(jià) 自我評(píng)價(jià) 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差 當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分：1. 下列說(shuō)法正確的是（ ）A.與非零向量共線,與共線，則與共線B. 任意兩個(gè)相等向量不一定共線C. 任意兩個(gè)共線向量相等D. 若向量與共線，則2. 正方體中，點(diǎn)E是上底面的中心

10、，若,則x ，y ，z . 3. 若點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)O在直線AB外，則 + .4. 平行六面體, O為AC與BD的交點(diǎn),則 5. 已知平行六面體，M是AC與BD交點(diǎn)，若，則與相等的向量是（ ）A. ； B. ；C. ； D. . 課后作業(yè)： 2.1.2 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算（二） 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 掌握空間向量的數(shù)乘運(yùn)算律，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的代數(shù)式化簡(jiǎn)；2. 理解共線向量定理和共面向量定理及它們的推論； 3. 能用空間向量的運(yùn)算意義及運(yùn)算律解決簡(jiǎn)單的立體幾何中的問(wèn)題 學(xué)習(xí)過(guò)程 一、課前準(zhǔn)備（預(yù)習(xí)教材P86 P87，找出疑惑之處）復(fù)習(xí)1：什么叫空間向量共線？空間兩個(gè)向量， 若是非零向量，則與平行的

11、充要條件是 復(fù)習(xí)2：已知直線AB，點(diǎn)O是直線AB外一點(diǎn)，若，試判斷A,B,P三點(diǎn)是否共線？二、新課導(dǎo)學(xué) 學(xué)習(xí)探究探究任務(wù)一：空間向量的共面問(wèn)題：空間任意兩個(gè)向量不共線的兩個(gè)向量有怎樣的位置關(guān)系？空間三個(gè)向量又有怎樣的位置關(guān)系？ 新知：共面向量： 同一平面的向量. 2. 空間向量共面：定理：對(duì)空間兩個(gè)不共線向量，向量與向量共面的充要條件是存在 ， 使得 .推論：空間一點(diǎn)P與不在同一直線上的三點(diǎn)A,B,C共面的充要條件是： 存在 ，使 對(duì)空間任意一點(diǎn)O，有 試試：若空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A,B,C滿足關(guān)系式,則點(diǎn)P與 A,B,C共面嗎？反思：若空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A,B,C滿足關(guān)系式

12、,且點(diǎn)P與 A,B,C共面，則 . 典型例題例1 下列等式中，使M,A,B,C四點(diǎn)共面的個(gè)數(shù)是（ ）.A. 1 B. 2 C. 3 D. 4變式：已知A,B,C三點(diǎn)不共線，O為平面ABC外一點(diǎn)，若向量則P,A,B,C四點(diǎn)共面的條件是 例2 如圖，已知平行四邊形ABCD,過(guò)平面AC外一點(diǎn)O作射線OA,OB,OC,OD,在四條射線上分別取點(diǎn)E,F,G,H,并且使求證：E,F,G,H四點(diǎn)共面. 變式：已知空間四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)A,B,C,D不共面，E,F,G,H分別是AB,BC,CD,AD的中點(diǎn)，求證：E,F,G,H四點(diǎn)共面.小結(jié)：空間向量的化簡(jiǎn)與平面向量的化簡(jiǎn)一樣，加法注意向量的首尾相接，減

13、法注意向量要共起點(diǎn)，并且要注意向量的方向. 動(dòng)手試試練1. 已知三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外任一點(diǎn)，滿足條件，試判斷：點(diǎn)與是否一定共面？練2. 已知，若，求實(shí)數(shù) 三、總結(jié)提升 學(xué)習(xí)小結(jié)1. 空間向量的數(shù)乘運(yùn)算法則及它們的運(yùn)算律；2. 空間兩個(gè)向量共線的充要條件及推論. 知識(shí)拓展平面向量?jī)H限于研究平面圖形在它所在的平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移，它們的共同點(diǎn)都是指“將圖形上所有點(diǎn)沿相同的方向移動(dòng)相同的長(zhǎng)度”，空間的平移包含平面的平移. 學(xué)習(xí)評(píng)價(jià) 自我評(píng)價(jià) 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差 當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分：1. 在平行

14、六面體ABCDA1B1C1D1中，向量、是（ ）A. 有相同起點(diǎn)的向量 B等長(zhǎng)向量 C共面向量 D不共面向量.2. 正方體中，點(diǎn)E是上底面的中心，若,則x ，y ，z . 3. 若點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)O在直線AB外，則 + .4. 平行六面體, O為AC與BD的交點(diǎn),則 .5. 在下列命題中：若a、b共線，則a、b所在的直線平行；若a、b所在的直線是異面直線，則a、b一定不共面；若a、b、c三向量?jī)蓛晒裁?，則a、b、c三向量一定也共面；已知三向量a、b、c，則空間任意一個(gè)向量p總可以唯一表示為pxaybzc其中正確命題的個(gè)數(shù)為 （ ）.A0 B.1 C. 2 D. 3課后作業(yè)： 1. 若，

15、若，求實(shí)數(shù).2.已知兩個(gè)非零向量不共線, . 求證：共面2.1.3空間向量的數(shù)量積（1） 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 掌握空間向量夾角和模的概念及表示方法；2. 掌握兩個(gè)向量的數(shù)量積的計(jì)算方法，并能利用兩個(gè)向量的數(shù)量積解決立體幾何中的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題 學(xué)習(xí)過(guò)程 一、課前準(zhǔn)備（預(yù)習(xí)教材P90 P92，找出疑惑之處）復(fù)習(xí)1：什么是平面向量與的數(shù)量積？ 復(fù)習(xí)2：在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，求.二、新課導(dǎo)學(xué) 學(xué)習(xí)探究探究任務(wù)一：空間向量的數(shù)量積定義和性質(zhì) 問(wèn)題：在幾何中，夾角與長(zhǎng)度是兩個(gè)最基本的幾何量，能否用向量的知識(shí)解決空間兩條直線的夾角和空間線段的長(zhǎng)度問(wèn)題？ 新知：1) 兩個(gè)向量的夾角的定義：已知兩非零向量，在

16、空間 一點(diǎn)，作，則叫做向量與的夾角，記作 . 試試： 范圍: =0時(shí), ;=時(shí), 成立嗎？ ，則稱與互相垂直，記作 .2) 向量的數(shù)量積：已知向量，則 叫做的數(shù)量積，記作，即 .規(guī)定:零向量與任意向量的數(shù)量積等于零.反思： 兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量還是向量？ （選0還是） 你能說(shuō)出的幾何意義嗎？3) 空間向量數(shù)量積的性質(zhì)： （1）設(shè)單位向量，則（2） （3） .4) 空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：（1）（2）（交換律）（3）（分配律反思： 嗎？舉例說(shuō)明. 若，則嗎？舉例說(shuō)明. 若，則嗎？為什么？ 典型例題例1 用向量方法證明：在平面上的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直

17、.變式1：用向量方法證明：已知：是平面內(nèi)的兩條相交直線，直線與平面的交點(diǎn)為，且.求證： 例2 如圖，在空間四邊形中，求與的夾角的余弦值變式：如圖，在正三棱柱ABC-ABC中，若AB=BB,則AB與CB所成的角為（ ）A. 60 B. 90 C. 105 D. 75 例3 如圖，在平行四邊形ABCD-ABCD中，,=60,求的長(zhǎng). 動(dòng)手試試練1. 已知向量滿足，則_.練2. , 則的夾角大小為_.三、總結(jié)提升 學(xué)習(xí)小結(jié)1.向量的數(shù)量積的定義和幾何意義.2. 向量的數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律的運(yùn)用. 知識(shí)拓展向量給出了一種解決立體幾何中證明垂直問(wèn)題，求兩條直線的夾角和線段長(zhǎng)度的新方法. 學(xué)習(xí)評(píng)價(jià) 自我評(píng)

18、價(jià) 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差 當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分：1. 下列命題中：若，則，中至少一個(gè)為若且，則正確有個(gè)數(shù)為（ ）A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè)2. 已知和是兩個(gè)單位向量，夾角為，則下面向量中與垂直的是（ ）A. B. C. D. 3.已知中，所對(duì)的邊為，且,則= 4. 已知，且和不共線，當(dāng) 與的夾角是銳角時(shí)，的取值范圍是 .5. 已知向量滿足，則_課后作業(yè)： 1. 已知空間四邊形中，求證：.2. 已知線段AB、BD在平面內(nèi),BDAB, 線段,如果ABa,BDb,ACc,求C、D間的距離.2.1.4

19、 空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 掌握空間向量的正交分解及空間向量基本定理和坐標(biāo)表示；2. 掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算的規(guī)律； 學(xué)習(xí)過(guò)程 一、課前準(zhǔn)備（預(yù)習(xí)教材P92-96找出疑惑之處）復(fù)習(xí)1：平面向量基本定理：對(duì)平面上的任意一個(gè)向量，是平面上兩個(gè) 向量，總是存在 實(shí)數(shù)對(duì)，使得向量可以用來(lái)表示，表達(dá)式為 ，其中叫做 . 若，則稱向量正交分解. 復(fù)習(xí)2：平面向量的坐標(biāo)表示：平面直角坐標(biāo)系中，分別取x軸和y軸上的 向量作為基底，對(duì)平面上任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得，則稱有序?qū)橄蛄康?，即 .二、新課導(dǎo)學(xué) 學(xué)習(xí)探究探究任務(wù)一：空間向量的正交分解問(wèn)題：對(duì)空間的任意向量，能否用空

20、間的幾個(gè)向量唯一表示？如果能，那需要幾個(gè)向量？這幾個(gè)向量有何位置關(guān)系？新知：1 空間向量的正交分解：空間的任意向量，均可分解為不共面的三個(gè)向量、，使. 如果兩兩 ，這種分解就是空間向量的正交分解.(2)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量 ，對(duì)空間任一向量，存在有序?qū)崝?shù)組，使得. 把 的一個(gè)基底，都叫做基向量.反思：空間任意一個(gè)向量的基底有 個(gè).單位正交分解：如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相 ，長(zhǎng)度都為 ，則這個(gè)基底叫做單位正交基底，通常用i,j,k表示.空間向量的坐標(biāo)表示：給定一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O-xyz和向量a，且設(shè)i、j、k為 x軸、y軸、z軸正方向的單位向量，則存在有序?qū)崝?shù)組，使得，則稱有序

21、實(shí)數(shù)組為向量a的坐標(biāo)，記著 .設(shè)A，B，則 .向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a，b，則ab；ab；a；ab.試試：1. 設(shè)，則向量的坐標(biāo)為 .2. 若A，B，則 .3. 已知a，b，求ab，ab，8a，ab 典型例題例1 已知向量是空間的一個(gè)基底，從向量中選哪一個(gè)向量，一定可以與向量 構(gòu)成空間的另一個(gè)基底？變式：已知O,A,B,C為空間四點(diǎn)，且向量不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么點(diǎn)O,A,B,C是否共面？小結(jié)：判定空間三個(gè)向量是否構(gòu)成空間的一個(gè)基底的方法是：這三個(gè)向量一定不共面.例2 如圖，M,N分別是四面體QABC的邊OA,BC的中點(diǎn)，P,Q是MN的三等分點(diǎn)，用表示和. 變式：已知平行六面體，點(diǎn)G是側(cè)面的

22、中心，且，試用向量表示下列向量: . 動(dòng)手試試練1. 已知，求：； .練2. 正方體的棱長(zhǎng)為2，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是 ， ， .三、總結(jié)提升 學(xué)習(xí)小結(jié)1. 空間向量的正交分解及空間向量基本定理；2. 空間向量坐標(biāo)表示及其運(yùn)算 知識(shí)拓展建立空間直角坐標(biāo)系前，一定要驗(yàn)證三條軸的垂直關(guān)系，若圖中沒(méi)有建系的環(huán)境，則根據(jù)已知條件，通過(guò)作輔助線來(lái)創(chuàng)造建系的圖形. 學(xué)習(xí)評(píng)價(jià) 自我評(píng)價(jià) 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差 當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分：1. 若為空間向量的一組基底，則下列各項(xiàng)

23、中，能構(gòu)成基底的是（ ）A. B. C. D. 2. 設(shè)i、j、k為空間直角坐標(biāo)系O-xyz中x軸、y軸、z軸正方向的單位向量，且，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是 3. 在三棱錐OABC中，G是的重心（三條中線的交點(diǎn)），選取為基底，試用基底表示 4. 正方體的棱長(zhǎng)為2，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，E為BB1中點(diǎn)，則E的坐標(biāo)是 .5. 已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)根，且，當(dāng)t 時(shí)，的模取得最大值. 課后作業(yè) 1. 已知,求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)及線段AB的長(zhǎng)度.2. 已知是空間的一個(gè)正交基底，向量是另一組基底，若在的坐標(biāo)是，求在的坐標(biāo).2.1.5 空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.

24、 掌握空間向量的長(zhǎng)度公式、夾角公式、兩點(diǎn)間距離公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式；2. 會(huì)用這些公式解決有關(guān)問(wèn)題. 學(xué)習(xí)過(guò)程 一、課前準(zhǔn)備（預(yù)習(xí)教材P95 P97，找出疑惑之處）復(fù)習(xí)1：設(shè)在平面直角坐標(biāo)系中，A，B，則線段AB .復(fù)習(xí)2：已知，求：aB. 3ab； 6A. ； ab.二、新課導(dǎo)學(xué) 學(xué)習(xí)探究探究任務(wù)一：空間向量坐標(biāo)表示夾角和距離公式問(wèn)題：在空間直角坐標(biāo)系中，如何用坐標(biāo)求線段的長(zhǎng)度和兩個(gè)向量之間的夾角？新知：1. 向量的模：設(shè)a，則a 2. 兩個(gè)向量的夾角公式：設(shè)a，b，由向量數(shù)量積定義： ab|a|b|cosa,b，又由向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算公式：ab ，由此可以得出：cosa,b 試試： 當(dāng)cos

25、a、b1時(shí)，a與b所成角是 ； 當(dāng)cosa、b1時(shí)，a與b所成角是 ； 當(dāng)cosa、b0時(shí)，a與b所成角是 ，即a與b的位置關(guān)系是 ，用符合表示為 .反思：設(shè)a，b，則 a/B. a與b所成角是 a與b的坐標(biāo)關(guān)系為 ； aba與b的坐標(biāo)關(guān)系為 ；3. 兩點(diǎn)間的距離公式：在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)度為：.4. 線段中點(diǎn)的坐標(biāo)公式：在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為: . 典型例題例1. 如圖,在正方體中，點(diǎn)分別是的一個(gè)四等分點(diǎn)，求與所成的角的余弦值變式：如上圖,在正方體中，求與所成角的余弦值 例2. 如圖，正方體中，點(diǎn)E,F分別是的中點(diǎn)，求證：. 變式：如圖，正方

26、體中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，求與CM所成角的余弦值. 小結(jié)：求兩個(gè)向量的夾角或角的余弦值的關(guān)鍵是在合適的直角坐標(biāo)系中找出兩個(gè)向量的坐標(biāo)，然后再用公式計(jì)算. 動(dòng)手試試練1. 已知A(3,3,1)、B(1，0，5)，求：線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)度；到A、B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)x、y、z滿足的條件練2. 如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出正方體各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并和你的同學(xué)交流.三、總結(jié)提升 學(xué)習(xí)小結(jié)1. 空間向量的長(zhǎng)度公式、夾角公式、兩點(diǎn)間距離公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式；2. 解決立體幾何中有關(guān)向量問(wèn)題的關(guān)鍵是如何建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫出向量的坐標(biāo)，然后再代入公式進(jìn)行計(jì)算. 知識(shí)拓展在

27、平面內(nèi)取正交基底建立坐標(biāo)系后，坐標(biāo)平面內(nèi)的任意一個(gè)向量，都可以用二元有序?qū)崝?shù)對(duì)表示，平面向量又稱二維向量.空間向量可用三元有序?qū)崝?shù)組表示，空間向量又稱三維向量.二維向量和三維向量統(tǒng)稱為幾何向量. 學(xué)習(xí)評(píng)價(jià) 自我評(píng)價(jià) 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差 當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分：1. 若a，b，則是的（ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不不要條件2. 已知，且，則x .3. 已知,與的夾角為120，則的值為（ ）A. B. C. D. 4. 若，且的夾角為鈍角，則的取值范圍是（ ）A. B. C.

28、 D. 5. 已知 ， 且，則（ ）A. B. C. D. 課后作業(yè)： 1. 如圖，正方體棱長(zhǎng)為， 求的夾角；求證：. 2. 如圖，正方體中，點(diǎn)M,N分別為棱的中點(diǎn)，求CM和所成角的余弦值. 2.1 空間向量及其運(yùn)算（練習(xí)） 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 熟練掌握空間向量的加法，減法，向量的數(shù)乘運(yùn)算，向量的數(shù)量積運(yùn)算及其坐標(biāo)表示；2. 熟練掌握空間線段的長(zhǎng)度公式、夾角公式、兩點(diǎn)間距離公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并能熟練用這些公式解決有關(guān)問(wèn)題. 學(xué)習(xí)過(guò)程 一、課前準(zhǔn)備：（閱讀課本p115）復(fù)習(xí)：1. 具有 和 的量叫向量， 叫向量的模； 叫零向量，記著 ； 具有 叫單位向量.2. 向量的加法和減法的運(yùn)算法則有 法則

29、和 法則.3.實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè) 量，記作 ，其長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下： (1)|a| . (2)當(dāng)0時(shí)，a與A. ；當(dāng)0時(shí)，a與A. ；當(dāng)0時(shí)，a .4. 向量加法和數(shù)乘向量運(yùn)算律：交換律：ab 結(jié)合律：(ab)c 數(shù)乘分配律：(ab) 5. 表示空間向量的 所在的直線互相 或 ，則這些向量叫共線向量，也叫平行向量.空間向量共線定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量（）， 的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)， 使得 ； 推論： l為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量的直線，對(duì)空間的任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是 6. 空間向量共面：共面向量： 同一平面的向量. 定理：對(duì)空間兩個(gè)不共線向量，向量與向量共面的充要

30、條件是存在 ， 使得 .推論：空間一點(diǎn)P與不在同一直線上的三點(diǎn)A,B,C共面的充要條件是： 存在 ，使 對(duì)空間任意一點(diǎn)O，有 7. 向量的數(shù)量積： .8. 單位正交分解：如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相 ，長(zhǎng)度都為 ，則這個(gè)基底叫做單位正交基底，通常用i,j,k表示.9.空間向量的坐標(biāo)表示：給定一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O-xyz和向量a，且設(shè)i、j、k為 x軸、y軸、z軸正方向的單位向量，則存在有序?qū)崝?shù)組，使得，則稱有序?qū)崝?shù)組為向量a的坐標(biāo)，記著 .10. 設(shè)A，B，則 .11. 向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a，b，則ab ； ab ；a ； ab 動(dòng)手試試1在下列命題中：若a、b共線，則a、b所在的直線

31、平行；若a、b所在的直線是異面直線，則a、b一定不共面；若a、b、c三向量?jī)蓛晒裁妫瑒ta、b、c三向量一定也共面；已知三向量a、b、c，則空間任意一個(gè)向量p總可以唯一表示為pxaybzc其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）A0 B. 1 C. 2 D. 32在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，向量、是（ ）A有相同起點(diǎn)的向量 B等長(zhǎng)向量 C共面向量 D不共面向量3已知a（2，1，3），b（1，4，2），c（7，5，），若a、b、c三向量共面，則實(shí)數(shù)=（ ）A. B. C. D. 4若a、b均為非零向量，則是a與b共線的（ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要

32、條件5已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A（3，3，2），B（4，3，7），C（0，5，1），則BC邊上的中線長(zhǎng)為（ ）A2 B3 C4 D56. 則（ ）A15 B5 C3 D1 典型例題例1 如圖，空間四邊形OABC中，點(diǎn)M在OA上，且OM=2MA,點(diǎn)為的中點(diǎn)，則 . 變式：如圖，平行六面體中，,點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在上，且,用基底表示下列向量： ; ; ; .例2 如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，,點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：. 變式：正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)為2，底面邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，在直線上求一點(diǎn)N，使得 學(xué)習(xí)評(píng)價(jià) 自我評(píng)價(jià) 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好

33、C. 一般 D. 較差 當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分：1直三棱柱ABCA1B1C1中，若， 則（ ）A. B. C. D. 2.、（ ）A B 與不平行也不垂直C. ， D以上情況都可能.3. 已知+，|2，|3，|，則向量與之間的夾角為（ ）A30 B45 C60 D以上都不對(duì)4.已知且與互相垂直，則的值是（ ）A. .1 B. C. D. 5. 若A(m1，n1,3)， B. (2m,n,m2n)，C(m3,n3,9)三點(diǎn)共線，則m+n= 課后作業(yè) 如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn). 求證：； 求與所成角的余弦； 求的長(zhǎng). 2.2立體幾何中的向量方法（1）學(xué)習(xí)目標(biāo)

34、1. 掌握直線的方向向量及平面的法向量的概念;2. 掌握利用直線的方向向量及平面的法向量解決平行、垂直、夾角等立體幾何問(wèn)題 學(xué)習(xí)過(guò)程 一、課前準(zhǔn)備（預(yù)習(xí)教材P102 P104，找出疑惑之處）復(fù)習(xí)1： 可以確定一條直線；確定一個(gè)平面的方法有哪些？ 復(fù)習(xí)2：如何判定空間A,B,C三點(diǎn)在一條直線上？ 復(fù)習(xí)3：設(shè)a，b，ab 二、新課導(dǎo)學(xué) 學(xué)習(xí)探究探究任務(wù)一： 向量表示空間的點(diǎn)、直線、平面問(wèn)題：怎樣用向量來(lái)表示點(diǎn)、直線、平面在空間中的位置？新知： 點(diǎn)：在空間中，我們?nèi)∫欢c(diǎn)作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)的位置就可以用向量來(lái)表示，我們把向量稱為點(diǎn)的位置向量. 直線： 直線的方向向量：和這條直線平行或共線的

35、非零向量. 對(duì)于直線上的任一點(diǎn),存在實(shí)數(shù)，使得，此方程稱為直線的向量參數(shù)方程. 平面： 空間中平面的位置可以由內(nèi)兩個(gè)不共線向量確定.對(duì)于平面上的任一點(diǎn),是平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，則存在有序?qū)崝?shù)對(duì),使得. 空間中平面的位置還可以用垂直于平面的直線的方向向量表示空間中平面的位置. 平面的法向量：如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面,記作，那 么向量叫做平面的法向量.試試： .1.如果都是平面的法向量，則的關(guān)系 .2.向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內(nèi)，則與的關(guān)系是 .反思： 1. 一個(gè)平面的法向量是唯一的嗎？2. 平面的法向量可以是零向量嗎？ 向量表示平行、垂

36、直關(guān)系：設(shè)直線的方向向量分別為，平面 的法向量分別為，則 典型例題例1 已知兩點(diǎn),求直線AB與坐標(biāo)平面的交點(diǎn). 變式：已知三點(diǎn),點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）,求當(dāng)取得最小值時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo).小結(jié)：解決有關(guān)三點(diǎn)共線問(wèn)題直接利用直線的參數(shù)方程即可. 例2 用向量方法證明兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行. 變式：在空間直角坐標(biāo)系中,已知,試求平面ABC的一個(gè)法向量. 小結(jié)：平面的法向量與平面內(nèi)的任意向量都垂直. 動(dòng)手試試練1. 設(shè)分別是直線的方向向量，判斷直線的位置關(guān)系： ； .練2. 設(shè)分別是平面的法向量，判斷平面的位置關(guān)系： ； .三、總結(jié)提升 學(xué)習(xí)小

37、結(jié)1. 空間點(diǎn)，直線和平面的向量表示方法2. 平面的法向量求法和性質(zhì). 知識(shí)拓展：求平面的法向量步驟：設(shè)平面的法向量為；找出(求出)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量的坐標(biāo)；根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于的方程組；解方程組,取其中的一個(gè)解,即得法向量. 學(xué)習(xí)評(píng)價(jià) 自我評(píng)價(jià) 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差 當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分：1. 設(shè)分別是直線的方向向量，則直線的位置關(guān)系是 .2. 設(shè)分別是平面的法向量，則平面的位置關(guān)系是 .3. 已知，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）A. 若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則4.下列說(shuō)法正確的是（ ）A.平面

38、的法向量是唯一確定的B.一條直線的方向向量是唯一確定的C.平面法向量和直線的方向向量一定不是零向量D.若是直線的方向向量，則5. 已知，能做平面的法向量的是（ ）A. B. C. D. 課后作業(yè) 1. 在正方體中，求證：是平面的一個(gè)法向量.2已知，求平面的一個(gè)法向量.2.2立體幾何中的向量方法（2） 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 掌握利用向量運(yùn)算解幾何題的方法，并能解簡(jiǎn)單的立體幾何問(wèn)題；2. 掌握向量運(yùn)算在幾何中求兩點(diǎn)間距離和求空間圖形中的角度的計(jì)算方法. 學(xué)習(xí)過(guò)程 一、課前準(zhǔn)備（預(yù)習(xí)教材P105 P107，找出疑惑之處.復(fù)習(xí)1：已知，且，求.復(fù)習(xí)2：什么叫二面角？二面角的大小如何度量？二面角的范圍是什么？

39、二、新課導(dǎo)學(xué) 學(xué)習(xí)探究探究任務(wù)一：用向量求空間線段的長(zhǎng)度 問(wèn)題：如何用向量方法求空間線段的長(zhǎng)度？新知：用空間向量表示空間線段，然后利用公式求出線段長(zhǎng)度.試試：在長(zhǎng)方體中，已知,求的長(zhǎng).反思：用向量方法求線段的長(zhǎng)度，關(guān)鍵在于把未知量用已知條件中的向量表示. 典型例題例1 如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等，且它們彼此的夾角都是60，那么以這個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的晶體的對(duì)角線的長(zhǎng)與棱長(zhǎng)有什么關(guān)系？ 變式1：上題中平行六面體的對(duì)角線的長(zhǎng)與棱長(zhǎng)有什么關(guān)系？變式2：如果一個(gè)平行六面體的各條棱長(zhǎng)都相等，并且以某一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都等于, 那么由這個(gè)平行六面體的對(duì)角線的

40、長(zhǎng)可以確定棱長(zhǎng)嗎?探究任務(wù)二：用向量求空間圖形中的角度例2 如圖，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)A處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)B處.從A，B到直線（庫(kù)底與水壩的交線）的距離分別為，的長(zhǎng)為，的長(zhǎng)為.求庫(kù)底與水壩所成二面角的余弦值.變式：如圖，的二面角的棱上有兩點(diǎn)，直線分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于已知,求的長(zhǎng). 動(dòng)手試試練1. 如圖，已知線段AB在平面內(nèi)，線段，線段BDAB，線段，如果ABa，ACBDb，求C、D間的距離. 練2. 如圖，M、N分別是棱長(zhǎng)為1的正方體的棱、的中點(diǎn)求異面直線MN與所成的角.三、總結(jié)提升 學(xué)習(xí)小結(jié)1. 求出空間線段的長(zhǎng)度：用空間向量表示空間線段，然后利用公式；2. 空間

41、的二面角或異面直線的夾角，都可以轉(zhuǎn)化為利用公式求解. 知識(shí)拓展解空間圖形問(wèn)題時(shí),可以分為三步完成: （1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題(還常建立坐標(biāo)系來(lái)輔助)；（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問(wèn)題；（3）把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義. 學(xué)習(xí)評(píng)價(jià) 自我評(píng)價(jià) 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差 當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分：1. 已知，則 .2. 已知，則的夾角為 .3. 若M、N分別是棱長(zhǎng)為1的正方體的棱的中點(diǎn),那么直線所