1、文觥華教學(xué)工作室reniuguanhua中國(guó)界州干將跖新詈普小號(hào)：口至Tel : 13 言5 3觸 Lntai 1 M-mF-uiznEboa M 271L21 二匚cm高中聯(lián)賽難度幾何100題及其解答.解答人=文武光華數(shù)學(xué)工作室田開(kāi)裁一第一題、如圖J F為00外一點(diǎn)密咫分別切0）于A、B.尸印為CX）害性J CO 交。0于另一點(diǎn)E, M、EE交于點(diǎn).F,證明：CD平分/鼠十證明方法一:如乳 延長(zhǎng)即交CA于埠根據(jù)條件如四邊彩CADB為調(diào)和四邊形j故 ED、EC、EA. EH構(gòu)成一組調(diào)和線束）進(jìn)而知以C、配F構(gòu)成一組調(diào)和點(diǎn)列3而KD，CD, 故CD平分NADF。4Ji迪昉法二二如圖,連緒M、UB

2、、軸，BC,因?yàn)?AFB=NACE /BEC二AOE-EOC ibo'-ZAOC-ZEOC APC且PA = PEj故點(diǎn)P為八9的外心口于是知ZPFA = ZPAC = ZPDA7所以P、A、D、F四點(diǎn)共圓=又PA = PF,做平分/FJE第二題、如圖F僦為0。直徑I c、口為0。上兩點(diǎn),且在應(yīng)同惻？ CX在5 日兩處 的切線交于點(diǎn)E, BC、仙交于點(diǎn)F, EF交AE于肛證明：E、C、機(jī)D四點(diǎn),共胤r證明:如圖,延長(zhǎng)由部 于點(diǎn)處 則既_LAK, ADU%從而知F為口 的垂心 又在圓內(nèi)接六邊形CC仙四中使用帕斯卡定理,知K、E、F三點(diǎn)共線從而KM1好于1k 于是知NCMF=ZCAF =

3、ZCDE,所以E、C、也D四點(diǎn)共圖& /1第三題、如圖，行為00直各/c、D為00上兩點(diǎn)，且在必同側(cè).S在C、D兩處 的切線交于點(diǎn)處第.如交于點(diǎn)嗎由交。0于點(diǎn)講用/CEF = 2/AGF硼;如圖，根據(jù)條件知/CFD = 華="爐-物了所-甄=/CAB + ZDBA = ZECF + ZEDF,且EC = ED,也息 E 為Aw 外心口 于是知/EFC = ZECF = ZCAB = ZCGE,故E、J F, G四點(diǎn)共圓,所以/ZCGF = ZCEF = 2（90D- ZECF5 = 2（90B-ZCAB）= 2ZABC = 2ZAGC p所以/AGF =二與曳，即得NCEF

4、= 2ZAGFc *第四題、如圖,處為0。直徑，F(xiàn)為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),FC切00于C?點(diǎn)C關(guān)于杷的 對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D, CE_LAD于E, F為CE中點(diǎn)，AF交0。于/求證;AP為PCK外接圓的切 線。（第三十九屆工股限選題+，證明£如圖j連接FD,根據(jù)圓的對(duì)稱性知，點(diǎn)3在OQ上，且PD切CX于D+連接CD 交AB于T,則且I為中點(diǎn)心連緒IK TK顯然TF為CM的中位線？所以TF/AD,所以TFCE,且/TFK = 2DAK =/TCK, 所以 g F“ T、K 四點(diǎn)共圖，于是知NKTP = 90*-NKT£ = JKCD = NKDP,所以 T D、 A K四點(diǎn)共圓j所以/T

5、PK= /TDK = ZPCK,所以AT為APCK外界圓的配累#第五題、如圖，四邊形必內(nèi)接于。0,且K為00直徑，D關(guān)于M的對(duì)稱點(diǎn)為“ 。關(guān)于就的對(duì)稱點(diǎn)為F, AF交加于G, BE交M于/求證：KC1BG& (2014年新加坡數(shù) 學(xué)奧林匹克公開(kāi)褰第二輪試題卡證明方法如圖,根據(jù)條件F顯然息E在日。上，從而RC平分NDEE。設(shè)即交M 于N。注意到/AB。=9。%所以始為/KE1的外角平分線g于是失脖三黑三裊j從而LnuUj IXL 1J JO XV.AM AK4 CM CK連結(jié)GC,根據(jù)對(duì)稱性，GB平分NAGC,斯1潴=箸=察 所以及為NAGC的外角平 分線j所以BGiBGo產(chǎn)證明方法二：

6、如圖,根據(jù)條件.顯然點(diǎn)E在電。上，從而EC平分上DEE.設(shè)即交M 于小注意到/ABC = 90、所以&網(wǎng)J A構(gòu)成一蛆調(diào)和點(diǎn)列。連結(jié)區(qū)，根據(jù)對(duì)稱性, GB平分N如C,根據(jù)調(diào)和性質(zhì)知KG_LBG4命題得證"第六題、如凰"、PB分另物&于隊(duì)fK為0。上一點(diǎn)，ED_L0K于D分別交 KA于E、F,證睥E為EF中點(diǎn).，證明方法L：如圖，過(guò)點(diǎn)K作00的切線KT,貝lECT#BD。又燈、EP. KB、。構(gòu)成一 組調(diào)和線束，故E為BF中點(diǎn)“羽P證明方法二：如圖，延長(zhǎng)即交0。于延長(zhǎng)T上交KB于工連結(jié)TB交蚯于H,在 圖內(nèi)接六邊形AA在改中使用帕斯卡定理,知入P、H三點(diǎn)共絳又

7、玲TT1KS,項(xiàng) 點(diǎn)H為ZiSTK垂心進(jìn)而知/SAF=NTKA=/ASPj從而知F為5日中點(diǎn)。注意陽(yáng)加印, 故E為距中點(diǎn)- 4S第七顆t如圖,紀(jì)C甲，CA =CB, D為AB中點(diǎn),EF過(guò)點(diǎn)D,且使得亞C與EFC 有共同的內(nèi)心，證明！ DE * DF = DA=o "證明:如圖設(shè)AEC與££共同的內(nèi)心為b股/UBC的C售心為點(diǎn)L貝J J D、 工、J構(gòu)成一組調(diào)和點(diǎn)列，從而點(diǎn)J也為水郎的c臂心。取工J中勵(lì)心貝Jki =町= KA 二 KB = KE = KF,故 M E、1 E、F、J 六點(diǎn)共畫，所以DE DF = DA - DB = DA九第八題、如凰ZUBC中，就

8、平分NBAC交BC于% DE1陽(yáng)于% DFj_M于卜.CE、 即交于點(diǎn)K,證明：AK_LBC» "初;如圖：延長(zhǎng)AH交網(wǎng)于巳根據(jù)塞瓦定理朱嘿噌嘿=意=松=富瓷 故 AK±ECc ¥第九題.如圖，P為。外一點(diǎn)，PA、PB分別切00于& B, C為0上一點(diǎn),過(guò)。作 。口切黃分別交對(duì) FB于E、Fj UC交顯于Lj LF交WF于以證明：D為EF中點(diǎn)。（1四1年四川竟寒題）+證明：如圖j過(guò)點(diǎn)L作0C的垂線分別交FM FE于M、用注意到QA_LPM、0E_LPW，根 據(jù)西媽松定理逆定理知柒隊(duì)P、N四點(diǎn)共圜口又平分/APE,故0M=。山進(jìn)而知 LM=LN。而

9、MN力E%故D為EF中點(diǎn)口 J第十題、如圖，點(diǎn)P為©。外一點(diǎn)，F(xiàn)M FB分別切0。于肌B, C為00上一點(diǎn)，CD J_AB于L過(guò)C作曉 的律戔分別交叫PR于E.已證明士比平分訪證明方法一:如圖？延長(zhǎng)在交地于過(guò)K作0。切線近切。于T,注意到點(diǎn)K 在F關(guān)于0。的極線上j故點(diǎn)P也在點(diǎn)K關(guān)于。0的根線上，從而知八g T共線口于是知 K+ C、E、F構(gòu)成一組調(diào)和點(diǎn)列&而CD_LAE,故平分NEDF& +P證明方法二二如圖作ejlLab于比作fn_Lab于電則符=靠=需=匿 故EWD sAfi叫所以/EDM = Z7DN,所以/EDC = /FDC© 丁P文觥華斂學(xué)工作

10、室 Sss? leniuguanghua中國(guó)豆州干茸踏斯春桂博導(dǎo)卻3至Tc：: 138 |41$ 53a EmvJ： iwjy?L-urjmjtaiisrniai! com 曠高中聯(lián)賽難度幾何100題及其解答解答人=文或光華教學(xué)工作室田開(kāi)過(guò)山第H一題.如圖J軸為eo直徑,以切。于& PCD為G。一條害域j F0交珈于當(dāng) 證明：acIaEo 1-'證明方法一；如圖J作PK切。于K,則pe_L越，bk_Lak,所以ed"fe。又注意到 四邊形CADK為調(diào)和四邊泥？故BK、BA、BC、BD構(gòu)成一組調(diào)不筮戔束，從而。為EF中點(diǎn)，進(jìn) 而知四邊兆國(guó)F為平行四邊形”于是知AE AR

11、C,從而知AEj_A黑#P證明方法二:如圖，連結(jié)配交PE于葭 作OK_LCD于K,則K為CD中點(diǎn)一注意到0. K、樂(lè)P四點(diǎn)共圖故NAKD=/F0B號(hào)又/ADK=/FB。，故仙KsAfBO。注意點(diǎn)Q 為恥中點(diǎn)j故AD3AFM,從而知/PAR = ZACD = ZAED,故AF#肛 于是知四邊 形豌EF為平行四邊形，所以杷力明,即知皿*BF證明方法三:如圖；延長(zhǎng)妣交00于跖在圓內(nèi)接六邊形眄飛中使用帕斯卡由里, 注意到J 0、E邱篆故C, 0. K共綜斫以AELc, UB第十二題.如圖，AB為半圓0直徑，C、D為半圖上兩點(diǎn)過(guò)E作半圖。的切線交CD 于P,直線P0分別交直線 僅 于鳳F,求證二0E =

12、 OF. ( 2007年第四屆東南地區(qū)額 學(xué)奧林匹克試題證明方法一:如圖j過(guò)F作PG切半圓。于G連接Gh GE、GCt GD i EC、即。易知 OP1BG, AG1BG,斫以蛇/OP。又四山刑CEM是調(diào)和四邊形，所以AC、皿 4 AB構(gòu)成 一組調(diào)和線束。又因?yàn)樗訡E = 0入川E砒昉法二:如胤作PG切3。于G,則B、G關(guān)于田對(duì)稱，且F、&G四點(diǎn)共獨(dú) 所以/GPO = /GB4= ZGDA,于是知D“ P、口 G四點(diǎn)、共僵U迸而知NPBP= NFGP = ZFDP = ZCDA= ZGBA)故/FBC = NFBA 二 9(F =/ECB,所以 FBMeM 而。為 AB 中 點(diǎn),故。

13、為EF申點(diǎn)第十三題、如圖J AABC中，及3分別為AK AC上一點(diǎn)，且DE/9C, BECD交于點(diǎn)F, 口他的外接圓©。,與口F的外接圖©P交于點(diǎn)內(nèi)求證：ZBAF = ZCAGo證明：如圖j延長(zhǎng)AF交BC于X因?yàn)槿缂覤C,所以H為BC申點(diǎn)，延長(zhǎng)也到1使 得AH =叫 連接EC. CL則四邊形皿工C是平行四邊形一連接 GC、GE. GD、比、FG,因?yàn)镹ACG =/BFG = NEDG,所以 M D、G、C 四點(diǎn)共 圓白于是知/DGC = 18（T-/BAC = /ABL同理可知* B、G、E四點(diǎn)共園力所以 ZDBG = ZCEG, /BDG=NEGGj所以ZkBD叱或Gj所

14、以黑="=罪=喻所以 DGCsml 所以/EAF : /GDC : ZCAGc 命題得證口 i”*I注：點(diǎn)G即為完全四邊形如壓配的密克點(diǎn)0/第十四頻.如圖，。0.0F交于隊(duì)E兩點(diǎn)，ED、p內(nèi)延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Cj 5、CE分別切 Oo. 0P于D、E.連接施立始于明求證二為DE中點(diǎn)產(chǎn)（深圳黎譽(yù)俊老師題）4因?yàn)闂lsin CPOS EEL .ZAPQJQs in 4 8PsiELEOP門所以ACD0S&CE巴于是知 in'Li Ci證明:如圖，延長(zhǎng)AF交。F于G,連接四、 。、0P半彳扮別為口、尸口進(jìn)而易知CDESZXCE3Z1C應(yīng) 于是知普二詈二哥由巖二季 知ACD且s/XC

15、HE,從而A 口LA LBCADA于是知產(chǎn)=DADB-sinA3A DB SLEL ADEEA -EB sm XAEBBE AE sinZAEBGyQAsin AOP匚口sin. XAOP白CACEsin ZAPOCEsin ZAPOr.U二人所以f為跖中點(diǎn)b + 門f JP第十五藕，如圖，半徑不相等的兩圓四、©P交于小E兩點(diǎn)，過(guò)4的直線CD分別交 00. OF于仁D; CE延長(zhǎng)交。P于FDE延長(zhǎng)2蛟00于吃過(guò)乩作CD察蛟EF中垂 線于與 求證；AG2 EG3 + AC - ADo （2013年 m第一題推廣）UM：如圖，連接出 CE、DF GF.因?yàn)镹CAE = NCBE=/FBD

16、 = NFAD, NACE = ZABD = ZAPD,所以ACEsAAFD,所以AC , AD = AE - AF,又由干G。、©P 者至不相等,所以AEfAF又因?yàn)槎? 二 9。£一上口1£=90口 /。匪二9臚一上日口=90口 /曲口 = ZFAG , GE= GR所以3E. Gh F四點(diǎn)共圓口易知AgekAse,所以EG。= GKXG©又易知 四KsAAGF所以AKAG = AE - AF = AC - ADo 于是如EG2 AC - AD = GK-AG+AK- AG = AG2?命題得證 +第十六題、如圖J AAEC內(nèi)接于Os D為BC中點(diǎn)

17、J交Co于Ej過(guò)E作EF"時(shí)j交 。主巴過(guò)c作CG_Lm?交AE于7 求證：NAGC=NFGCc證明:如圖，連接BE、CK DF,過(guò)C作CK/BE交AE于心因?yàn)锽D二CDj所以四邊 形BECK為平行四邊形*于是知CK = BE= CF-ZKCD = ZEBC = ZFCB7所以KCU9d fcd,所以 kfIeco 于是知Ncfk = 9(t /fcd = 90° Nebs = 9。°/eac =/cgk, 所以G、F、a K四點(diǎn)共圖。而CK = CF,所以NAGC = /FGC第十七題、如圖J AAB匚內(nèi)切圓31切EC于Dj過(guò)I作IE，AD交EC于E,過(guò)E作Ol

18、 切線，分別交屈此于F. g求正E為FG中點(diǎn)證明:如圖,連結(jié)附交IE于M,則M為陽(yáng)申點(diǎn)中連結(jié)膽，延長(zhǎng)M1交阻于隊(duì)因?yàn)?MN"仙，所以W為AH申點(diǎn)©在退化的圓外切四邊形EFRG中使用牛頓定理，即知E為田中 點(diǎn)匕第十，燔.如圖，OP、交于hE兩點(diǎn),它們的外公切線分別切GP、0Q于C、 DE為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)j EU交0P千FED交0。于G, AH平分/FAG交M于比求證； ZFCH = ZGM.(深圳黎譽(yù)俊老師題)基證明：因?yàn)镋在(Do、OF根申肚，所以F、£ D、G四點(diǎn)共圖。#如圖，設(shè)點(diǎn)。為0F、0Q的外位似中心，則0P. ®Q以點(diǎn)0為反演中心互為反形。延

19、 長(zhǎng)須交0Q于則。# = OC，0D = OF，OG”所以F、C、D、G)四點(diǎn)共圓。于是點(diǎn)G工與 點(diǎn)G重合為一點(diǎn)口以口為畫心，以。在為半徑作00交于K,則00為IC關(guān)于C、D的阿 波羅尼斯圖，由于AH平分NFAG,所以點(diǎn)日為?？谂cFG的交點(diǎn)，從而5也為點(diǎn)H關(guān)于F、 G的阿波羅尼斯圖。于是十ZFCH- Ngdh = (Zfca - Zhca) - (Zgda -Zhda) =(ZFCA - ZGDA) - (ZHCA - ZHDA)4二(180&- ZFBA)- (1800- ZGBA)- (ZHCA - ZHKA)-(NHDA+NHKA)+2NHKA=(ZCBA- ZF3A) - (Z

20、KAC - ZKHC)- (ZKAD - ZKHD)+ 2ZHKA小=(ZGBH + ZHBA) - (ZFEH - ZHBA) - 2ZHKA = 2ZHBA- 2ZHKA = 0 R所以NFCH = ZCDHo f第十九題、如圖，0。為ABC外接圖，I、E分別為ABD的內(nèi)心?個(gè)旁心，/BAC的 外角平分線交用延長(zhǎng)線于D, IF1DE于F,交。Q于G,求證：G為于中點(diǎn).潘成華老1ft 題:證明方法l=連接EE、EC并延長(zhǎng)m分別交直線M于K L則易知K、J也罡AABC的 旁心且AABC為AEEJ的垂足三角形,I為公明 的垂心夕從而。0為AEEJ的九點(diǎn)圖辦設(shè) 。分別交町、邛于L、M,則知3 %分

21、另性用和工E的中點(diǎn)。又易如K、B. g 1四點(diǎn)共 圓，且圓心為L(zhǎng)于是知L11DE,所以J工、G、F四點(diǎn)共線s于是如/MGL=/MAL 二 郵,從而叫"E?又M為工E中點(diǎn),所以G為印中點(diǎn)證明方法二:如圄.，連接皿交0。于L則知小限入E共縹且J為L(zhǎng)E中點(diǎn)。又 因?yàn)?IBE =/KE = NIFE,所以方、E、葭1工五點(diǎn)共圓，且圓4為人延長(zhǎng)岫交Q0 于 Hj ffltflDF-DE = DC-DB = DA-DH,所以 H、取 E、F 四點(diǎn)共圖，于是知/HFE = ZHAE = 90%所以H. 1、孰F四點(diǎn)捋電又NHGJ = /HAJ=9”所以JG“EF,所以,G 為IF中點(diǎn)。卡M第二十題

22、，如圖，在銳角皿£中，F(xiàn)是RC的中點(diǎn)7 BE.是高。6 H分. 別是FD*比的中點(diǎn)，若過(guò)A且平行于0c的直線交田于口求證；AI = FIo同昉法一e如胤 顯然E、C、E. D四點(diǎn)共圖，目圓心為點(diǎn)已過(guò)點(diǎn)A作AF的垂線, 交佻于明交屈千明根據(jù)4觸果定理知AM = AM,從而國(guó)監(jiān)區(qū)FM所以/AFM = ZAJN 一設(shè)GH交FK于匕因?yàn)镚H#DE,所以1為FN中點(diǎn),所以A1=F】.所以加= ZITA= NMFA,所以AIMB&于是知I與I重合為一點(diǎn)。所以AI=FU "W文觥華教學(xué)工作室Sss? Terwuguanghua卬國(guó)蘇州車將夠新春卷19號(hào)如:!室lei： KE I4

23、濁5手融 Emailithifu粵即m斗等im： rwn我高中聯(lián)賽難度幾何100題及其解答解答A：文武光華數(shù)學(xué)工作室田開(kāi)斌第二十T近、如圖，D是AAK邊印上一點(diǎn)j使得/I>AC = /ABD, 00過(guò)點(diǎn)B、D分 別交AB、于點(diǎn).E、%直線BF交口E于點(diǎn)心M是的中點(diǎn),求證：CIllAOo (2009年國(guó) 家集訓(xùn)隊(duì)選拔考試試題。證明方法一二如闞，隹結(jié)EF并延長(zhǎng)交EC于點(diǎn)J,延長(zhǎng)蜴交酊于點(diǎn)L交國(guó)于目, 連結(jié)母、陽(yáng)，則知直線叼為點(diǎn)區(qū)關(guān)于日。的極線，于是知JG,就。*又NDAC = NABD = /DFI,所以，m#此 于是知會(huì)二六一又在完全四邊形BBFEJA中,知(AGH1：®一組調(diào)和

24、點(diǎn)列。又及是近中點(diǎn),所以G-IA= IH-IM,即巖=普=張于是知CM/JGj所以CM_LAOIIM. 124 BL迪肪法二:如圖,因?yàn)閺腉為一對(duì)共施點(diǎn),故M關(guān)于的幕為MA3于是知 M03 MA1=R2 = CO* -CD-CB = CM - CA2 ,從而 CI±A07 命題得證！小第二十二題、如圖,CD為00直徑，PC、PE分別切。0于C、E,割線PBA交00于且、 % 4 即 交于點(diǎn)P,況交AE于3 求證；ZGFE = ZADEo +證明:如圖J延長(zhǎng)附交時(shí)所以困口時(shí)DC是一組四口線束，從而H、G、A、E是一組調(diào)和點(diǎn)現(xiàn)于是知G在H 關(guān)于。的極線上.又F在口關(guān)于。的根線上所以直線段

25、是R關(guān)于的極線，于是 知 GF_LCD。從而知/GFB = 9LNFDC 三/DEB= lB(r/GEBj 所以 G、八隊(duì) Eia 點(diǎn)共圖p于是知/GFE= N&BE=NADE。3引理的證明:如圖,作dABC外接圓00,分別延長(zhǎng)BF、CF交00于L J,延長(zhǎng)11 正交于點(diǎn)K根據(jù)帕斯卡定理知代在上。延長(zhǎng)四交僅于T.連接TE交DE干巳延長(zhǎng) TC交DE于熊 根據(jù)蝴蝶定理仙FP = FE, FD = FQ%根據(jù)卬位線定理知加叫叫NF/CE, 所以NMFN = ZBTC = ZBACo aB 'J r / CJ1 KF面借助引理證明原命題。，如圖，連接皿、版 ML< NLo根據(jù)引理

26、知/MFN三/A也又因?yàn)閼?yīng)"ED, NLCF,所 以/MLN = ZA.所以NMFN = /MLN口所以F、J IL H四點(diǎn)共圓。上第二十幅、如圖j ABC內(nèi)切圓。1切比于AE1BC于E, F為芯中點(diǎn)，DF交0 工于文作ABCG的外接周0),求證：00. GH相切于點(diǎn)G,證明方法一；如圖連接卻交工于J,延長(zhǎng)。工交。于K因?yàn)镈K#杷，目?jī)雌?分犯 所以DK、DG、DJv DC是一組調(diào)和線束，所以四邊形D町G是一個(gè)調(diào)和四邊形力過(guò)J 作®工切線交比于L則應(yīng)認(rèn)C、口是一蛆謂和點(diǎn)列j且£6M三點(diǎn)用電所以DIL GM,所以GD平分上網(wǎng)盤延長(zhǎng)GD交。于南則N為瓠BC中點(diǎn)所以O(shè)N

27、；/ ID,所以、I、 G三點(diǎn)共線，所以®。，。1相切于點(diǎn)G，泅!肪法二:如圖作AEC的勃臂切圓。，設(shè)。J切時(shí)于T,貝ICT=BD<延長(zhǎng)AD 交3J于L,根據(jù)位似關(guān)系知n為GJ直徑0注意到J為L(zhǎng)T申點(diǎn)F F為AE中點(diǎn)？且LT/ 圾所以八九F、G四點(diǎn)共線作IS_LgD于，則S為GD中點(diǎn)b因?yàn)?1§廠ZlBJ=ZlCh所以J S、E.入C五 點(diǎn)塊圓，取叮申點(diǎn)為此典BD CD=SD,JD=nbMD1所以%點(diǎn)M、C四點(diǎn)共圓。作 加LLEC干町則再為DT中點(diǎn) > 進(jìn)而知M為BC中點(diǎn)，于是知MB=MC,故GM平分/BGC 從而知。、。工相切于點(diǎn),以1第二十五題.如圖，JME

28、C內(nèi)接于00,內(nèi)切圓1分削徹杷，M于J、K,就交6 于九連接IH,延長(zhǎng)g到瑪使得AF=BJ,過(guò)F作DI的垂Z殷助延長(zhǎng)名行求證： AG = CK. J證明：如圖f延長(zhǎng)D工交0。于L交FG延長(zhǎng)線于L則FlDE.連接1人Ik JK. FJ、FK* PE、PCPAHd AP_LlPo ®?1ZA - ZAKI = ZAP = 90 所以 A、J、1, 除 F 五點(diǎn)共圖“所以/JPK二 ZJAK= PBPg 于是知NJPB - PKPC" 又/PBJ = /Pg 所 以AFJB必FKC,刪展二義又因?yàn)镹FE1=NFKI = 91,所以八限K、工四點(diǎn)共圖,所以NPJK=/PIK二 ZA

29、FG,又NJPK = ZJAK = ZFAG.所以?眸山虻電所以芻=+ 所以霹=霜 所 rft AUAb Vft以AG = g f第二十六題“如圖,為也立 外接畫AD平分NRAC交回0于D, 0E"國(guó)交AB于E, OF# CD 交配于 F)H 為AEG 垂心？ HG”"交 DC于 G7求證;BE = GE = GF = CP” e證明；如圖，延長(zhǎng)AH交。于L則翅_1附，且易知Eh J關(guān)于BC對(duì)稱。延長(zhǎng)了G交 0。于葭 因?yàn)?GJH =GHJ = /DAJ,所以KD"里，所以®lLBC,即改為00直徑，K 為弧BAC中點(diǎn)KB-IKv /連接KE、XF.因?yàn)?/p>

30、DB_LKB, OE#ED,所以。E_LKE,即直線0E為EK中垂線。進(jìn)而知 /KEB = 1劑-2/KBE = 1 眇-2/GJH = 2(9*/GJH)= 2ZJGC = 2ZKGB；瞰 E 為AKEG外心4同理可知F為隱C外心b又根據(jù)正弓杭理如KBG和KCG外接園半福相 等,所以BE = GE = GP = CPg /第二十七題, 如圖，四邊形A2IC中，AB = AC； AABD外接圖00交AC于口 皎D 外接圖。外交皿于E,聽(tīng)CE交于點(diǎn)C,求證士相二景(田開(kāi)斌題)/Ai!M：如圖，連接仙、ED, HR GD*因?yàn)辄c(diǎn)口為©。與95的交點(diǎn),所以點(diǎn)D為完 全四邊形阻北BC的密克點(diǎn)

31、工所以鳳八& E四點(diǎn)共圓,3 D、6F四點(diǎn)共圖。所以 NBDG = ZGEA = ZCDAj ZCDG = ZBFA 三 ZBDAu 干是關(guān)噥&BDG 和的C 中有 ZCBD= ZCAD7 NRDG=/ADC,所以8>2UD£ 同理可知CD8AADL 于是知 EC _ACC(x 匚白、i PC 口口一 二 ,pirij、 ,<. BD Ab AD 8 CC CD第二十AS、如置。為AAD?外心？。為4曲內(nèi)一點(diǎn),使得/DAB = /DBgZDAC = ZDCB, W為中點(diǎn)，過(guò)E作甌1交CE延長(zhǎng)線于H，連接FA、FD. FO,求證t /如D=Z/QFG2008

32、年美國(guó)教學(xué)奧林匹克試題)一解答+如圖，作AAEC外接圓色。，延長(zhǎng)即交困于匕交于G,連接BG. g 0A、 砥口因?yàn)?GBC = GAC = /DCB,所以同理可知。G"眈，所以四邊形陽(yáng)3c為平 行四邊形.所以H為BC DG的中點(diǎn)由p又 AF 工=EFZ + EA2 = FH2-EH: + EA: = FH2-(EH + EAJ(EH-EA) =FH2-AH- <JH = FH2-BH2 = F0FC,所以FA切3于%所以。丸LF心所以0、爪八H四點(diǎn)共圓, 所I4NF0H = ZFAE,所以/OFH = ZAFE,所以/AFD = 2NOFC。/第二十力聶、如圖j 0。的內(nèi)接四邊

33、形ABtDj AB, M交于點(diǎn)Ej、BC交于點(diǎn)向 EFC的外接圜0P交®。于G,必交EF于H, HC交®。于L求證士 AT,次、FE三點(diǎn)1其級(jí)。1證明：如圖,延長(zhǎng)AH交Of于心連接風(fēng) 風(fēng)風(fēng)DG、EG.的因?yàn)?GBF = /GDE /CFB=/GED,所以AGRPsAse,慚以ACDEsAcef。于是知上GAD二NGBD = /GFE= NGKE,斫以AW/EK4同理可知AE#FK,所以四邊形AEKF是平行四邊形口所以口為由和AK中點(diǎn)。又知CH . JH = GH . KH = GH . AH = CH . 1% 所以H為工工中點(diǎn)，所以四邊形IETF是平行四邊形，所以NEIF

34、 = ZEJF = ZEKF = ZEAF, 所以人工、E、F四點(diǎn)共圓。根據(jù)案日定理知且工、史、壓三點(diǎn)共線。”第三十題*如圖J AEC中，D為BC中點(diǎn)F 0為外心，H為垂心，E、F分別為期、&C 上一點(diǎn)j使得AE=AF，且D、E、E三點(diǎn)共續(xù), F為八國(guó) 外心，求證！ 0M HD證明方法二:如圖,作AABe外接同。3延長(zhǎng)就交00千用則四邊形陽(yáng)既為平行 四邊形，故以D、H共線。延長(zhǎng)BH交及于此延長(zhǎng)CX交妞于心則入C、以N四點(diǎn)共 副 旦圓心為D。過(guò)E作DH的里豺圖及IE. M于UV,則艮劇觸默E理如HU=HV。延 長(zhǎng)處交HD于T,則AT平分/BACj且TU = TV,故T. U、小V四點(diǎn)共圓

35、。根據(jù)西姆松定 理，如點(diǎn)T在如、AV上的垂足與點(diǎn)H共線，進(jìn)而知DE1AU, DF_LM 故4、E、T F四點(diǎn) 共胤 且直徑為AT,于是知P為AT中點(diǎn)。注意I1!。為蛆中點(diǎn),，故0PKT,從而MJDHiW文武光華數(shù)學(xué)工作室Ssss能mruguanghua中國(guó)蘇州干將整新尋卷1。號(hào)203至Tei： 138 HSfl 5300 Emaali xvfli-ufuanrua ：/tsr.at； corn高中聯(lián)賽難度幾何100題及其解答解答人-文武光華數(shù)學(xué)工作室田開(kāi)斌第三十TL如圖,四邊形內(nèi)接于00, E為四邊形內(nèi)一點(diǎn)？使得/KAB = NECZEBA=ZEDC,過(guò)點(diǎn)E的直線咫平分NBEC,交。于電G商點(diǎn)

36、，求證: EF = EG. C 2006年第57屆皴蘭數(shù)學(xué)奧林匹克試題）證明：如圖.連接城、即交于點(diǎn)七延長(zhǎng)AB、DC交于點(diǎn)八根據(jù)條件知EABsZlECD, 進(jìn)而如EACsAEFD于是如/EAK= NER& ZECK=ZEDKr所以原現(xiàn)& E四點(diǎn)共 國(guó)f C、口、E、K四點(diǎn)共圖.根據(jù)蓑日定理知E. K、T共線卡又因?yàn)?amp;、B、k E四點(diǎn)共圓j C、口、E、K四點(diǎn)共同，所以NKEB = NKAB =ZKDC -ZKEC,所以K在直線FG上j也即F、&乩G、T五點(diǎn)共線注意到T、K為。的一對(duì)共輾點(diǎn)j故T、K、G、F為一組調(diào)和點(diǎn)列*而TGTF=TB. TA = TK TE,

37、根據(jù)調(diào)和的性JS知E為TO中點(diǎn)力,第三十二題、如圖，在aABC中，仙、EE、CF是三條高線，點(diǎn)P為AEC內(nèi)部一點(diǎn)3F 關(guān)于恥、C&妞的對(duì)的點(diǎn)分別為L(zhǎng)、肌N.線段研中點(diǎn)為內(nèi)求證;D一、八G四點(diǎn)共 國(guó)的充要條件為M L、L R四點(diǎn)共圓。證明：為證明充分性,即小J隊(duì)第四點(diǎn)共圖？則鳳口人2四點(diǎn)月圓取BC. CA、中點(diǎn)分別為5 Vx %連給GGL UVX UK則D* Ex F, U* I W六 點(diǎn)共圓，都在ABC的九點(diǎn)圖上.于是要證D. & F、G四點(diǎn)共圖，只需證明口、*隊(duì)G 四點(diǎn)共圓,即只需證明/WGV+/WUV=l80,而根據(jù)申位線定理知VG#HP, TO/；CP, 所0/WGV=

38、ZBPC,又顯然NWUG = ZBAC,所以只需i呼月NBPC+NB4C= 180 也 即只需證明NBA。= ZFBC + ZPCBo/因?yàn)楣厦蠓謩e為P關(guān)于CL AE的對(duì)稱點(diǎn)，所以/NAM= 2ZBAC0又因?yàn)?L、小 N 四點(diǎn)共圓，WZNLM = 180s - ZJJAM = 1800 - 2ZBA0 連結(jié) FL 交 BC 于距 連結(jié) PM 交火于Y,連結(jié)P口交業(yè)于卻 則K、Z分別為PL. PM、PW中點(diǎn)所以XZL嘰XY力 LM,于是知NZXY = ZN1M= 180& - 2NBAC。又易知 PK±BG 于 X)fyIca 于 Y, PZlJiB 于“所以Ph七、寸X四點(diǎn)

39、共以,人七5 X四點(diǎn)共圓口所以/PBC +/PCB = (ZABC - NABP)+ fZACB - NACP)=/ABC + ZACB)-(ZPXS + ZPXY)= (180° - ZBACj - ZZXY = (100° - ZBAC)- (1800 - 2ZBAC)= ZSAC, 5btt督導(dǎo)證口 >顯然上述推論過(guò)程是可逆的,即是等價(jià)推論，必要性顯然。(第三十三題、如圖J。0、0。£半彳空分別為r” SO交于且、B兩點(diǎn)J P為 平面上一點(diǎn)f PC切。0于C, PD切。%于瓦且案=3 求證：kasapbl0 口證明：如圖）連接C5、DO*因?yàn)榱?會(huì),所

40、以PCO1sZXPDOl于是知rw VUj粉二款=款，所以點(diǎn)F在。的阿淞羅尼斯圓上口作必0"4的阿誠(chéng)羅尼斯圓。0 交直線0于E+ F兩點(diǎn)J則知EF平分/。小口”又弧虹孚EEj所以EF平分/APE,所 以/O#A="#G。因?yàn)槟?微?且4A/與/PGOg均為鈍角,根據(jù)正弦定理知八 5PAs5PG,所以APUASAPD-APEDo u第三十四題、如圖，P是m 背角線由上一點(diǎn)J澗是/PCB = /aCD> ABT的外接匾與對(duì)角轂虬交于點(diǎn)E ,求證：ZAED=ZPEB< （2012年塞爾維亞數(shù)學(xué)奧林匹克試題）4迪昉法一，根據(jù)條件知/P3c = ZBDA = ZBEA,

41、ZBCP = ZDCA = ZEAE,所以APBCAEEA,所以瞿二黑二 M 又知上PBE 二 NDAE,斫以PEESAuaE,所以 JS EijHEiZAED = ZPEB.命題得證& *澗肪法二二如圖j延長(zhǎng)DE交黑于F,連結(jié)P%因?yàn)?FDP = /EAB = NACD =ZFCP,所以 D、P、F、C 四點(diǎn)共員U 于是如/PFE = NPCD = NACE = NCAD=/PE& 所以P、%A E四點(diǎn)共圖口所以/PEB = ZPFB= ZBDC = /ARD=ZAEDo命題得證。第三十五題*如圖，內(nèi)接干E為DC中點(diǎn)，F(xiàn)為弧氏中點(diǎn)F 為AMC內(nèi)心, M為RI中點(diǎn),R為EE中點(diǎn)

42、，此交EC于點(diǎn)上證明上DM平分NADL2006年中國(guó)國(guó)旅隊(duì) 培訓(xùn)題/瞞：如凰連接AF,則I在AF上“囹SEF、叫氏臉因?yàn)?FIB = ZBAI + ZABI = ZCA1 + ZCB1 =ZFBC + ZCBI=瞅、PB=用“千電口回1。又易知FE1BC,所以灰以Ex F四點(diǎn)共園口 十進(jìn)而知/EMF = ZCBF = ZJAC = NIA% ZEFM = ZEBI = ZIBA,所以EMFsA IABo 于是知AEMNsAlAlb AFWABAMo 干是知/DMA - 360°-ZFMB- ZFMN - ZBMA = 360D - 90c - ZPMN - ZFNM = 90

43、6; + (180D - ZFMN - ZFNM)= 9。口 + ZMFN = 90° + ZMBE = 90D +又現(xiàn)平分/:題，所以點(diǎn)M為皿D內(nèi)心 , 所以DM平分41% 口第三十六超，如圖,。為AABC的外接圖,AF平分/BM交05于%H為AABC的垂 心CE_|_AB于& ED_LM于D, ZlADE麻夕展圓交0。于G。GF交EC于L求證：IH年分 ZbeCc +j如圖，連結(jié) GE、GC. GE.因?yàn)?GBE =/GCDjZGEB - 1BOC-ZAEG =1即Nm/GMj所以gebsAgdc）所以警=1=黑。又F為弧國(guó)中尻所以G1平分4冀，所以備二?所以需二事所以1

44、H平分/甌。注:謾C(jī)E交行于P；由以上結(jié)論易知/改1 = ：/89=/180/5與：）=9>- ZBACc yjeOZCFF = ZFAC+ ZACE = ZBAC+（905 -ZBAC= 9r-：/BAC,所 以/CHI =/CPF,可得 IH7AFF第三十七題.如圖j ABC中n AD、HE、CF是ABC的三條高線，H為斑）C的垂心, 0為AABC的外心J就交AB于此打交乩于也 求證；OJtLrah < 2001高中數(shù)學(xué)跺騫二 試試題十n證明:如圖：取陽(yáng)中點(diǎn)為K,則K為AAE。九點(diǎn)圖圖心,即為歸F的外心。作AM 外接回06作ADEF外接圖。心因?yàn)橐訠、口、E四點(diǎn)我周，頹MDME

45、 = MB，MA, 所以點(diǎn),M在0。和鐮的根軸上。同理可知，點(diǎn)R在6和0K的根軸上，所以直線股力。 。和CX的根軸j所以O(shè)KJJOT,即OHlm QM第三七慳.如圖，以即為斜邊向外作等腰直角曲,以肥為直角邊向外作等KB 角AKE,使得NCAE=90。，F(xiàn)為DE中點(diǎn)，證明:SiEcy =三C$aabu +招必值k1BCiiPfi：加國(guó)，連結(jié)e、BE,延長(zhǎng)AD到L,使得DL=DM則ZlBAL為等腰直角三角形#此中SiBCF =二(6AAED + ACE + 35iADEa S&ecd=(Sbcd+ SiBCE = SiABU + 與 兒CE）中+ 3£“口后 木+ SiACD +

46、 S-j,BDL)+ (Sece + Sabe) = (SiABD + Sbql + S 占 _AEE + 2SiADE) +SiACE + Sas 4 5iADE)rD S霞姍 BSL + 5口m ECEA = 5&LR旦十 S&ECD，事實(shí)上，我il何以證明S回邊瘠BCAL = S色lhe，ECEA = SaECD 作BGJLEC于G作DJ肥于上作DILBG干 PJADKBADJAp故AC D . A AT_ _。_ AC EG q _ -匚 RG+AE EK日之年 BCEA -4 3&eac =£+ JiEBC 7SiBAC - SCD + S上AE口

47、+ SAEAC - S&ECD *'作 Lld_CB 于 M,作 O1LM 于 N, JlJJALMBABCA.故J0_ 1c , _ AC BC , c _ AC-LM , c _ AE-LHl-AE- Mtf還形 BCAL = aABC 十十 JaLBA -：十 aLBA -S,AHL + S_AH3 + S_L2A = S_LEE +綜合上述機(jī)方面2即知*成立命題得證！7L*；'、£rr< bA£第三十力函.如圖J aABC中，旁切圓OP分另煙囑. C&延長(zhǎng)線于D、E,旁切圓0Q求證:AL平又根據(jù)對(duì)稱性知NMTA = NMEA =

48、 /BDM,所以入B、Ti M四點(diǎn)共圖J所以F、D、隊(duì)M 四點(diǎn)共圓,所以ENLLPQ。同理可知cm_Lpq©于是知Aeamscan,所以AL_LMNp所以al 率分4m分別切ECJA延長(zhǎng)線于R G,困FC分另狡黑;于瓜吼 M CM交于點(diǎn),毫 分Ne就。（潘成華老師題）第四十如圖，口ABCD中，& F分別為、CD上一點(diǎn)5蛻、CE交于點(diǎn)G, AAEG 的外接圖0。與CFG的外接圓OF交于點(diǎn)電連接BG、DH?求證；ZGBA=ZHDAe pi硼;如圖，連接即、貶、HA、HF、HC,則/HCF =/HGA =/HEA,所以 H、5 D、 E四息其圜，同理可知取F、口、A四息共同，&qu

49、ot;延長(zhǎng)CH交皿于L,則4LH=1&Q。HCF = /HGB所以以工、H、G四點(diǎn)共圓， 即L在00上.連接LG,則，ZLGC = ZLGH + ZCGH = ZLAH+ ZCFH = ZLAH + ZDAH /= NRAD = 180B-ZLBC /所以B, L、% C四點(diǎn)共圓。所以JGBA二/GCH = /HAD。命題得證文武光華數(shù)學(xué)工作室veniruguangliiia中國(guó)哥州干將路新春干2號(hào)寶Tel: 13814M $3g Enuik 琳,口1】孝皿ighu赴尹H eoi高中聯(lián)賽難度幾何1QO題及其解答解答人£文武光華麴學(xué)工作室田開(kāi)斌第四1一題、如圖-小 PH分別切O

50、。于粗EFCD為G）。一條氫線，過(guò)C作CF/PE, 交AE于%交助于吟求證：E為守中點(diǎn)口 （2010年第六屆匕方數(shù)學(xué)奧林匹克激清褰試 題）證明方法一E如圖,設(shè)PD、AC交于點(diǎn)/作卬_LS于心貝打?yàn)閰n點(diǎn),連接EJm 因?yàn)镴OAP= /0BP= /0之 所以兒F、B、丁、0因點(diǎn)洪圓,所以NIAE = ZDPB =/電所以品C、E. J四點(diǎn)共站所以/CJE= /CAB=/CDB,所以EJ/BD,所以E 為CT中點(diǎn)。f還肪法二:如圖j設(shè)PD、前交于點(diǎn)心連接班，Ca.貝庠二后黑二案. UiL Muv Uiv. jhlUCA CB CA PC PE PC- -oED BD AD PA PD PD根據(jù)梅捏勞

51、斯定理知：安 翳營(yíng)=1 =寨卷亭=1口 FE = EJ所以E為CP中點(diǎn) n.U EE P ELirU Irtj RL證明方法三：如圖,因?yàn)樗倪呅蜝、M C是調(diào)和四邊形,所以器、BM BC,BD是, 一組調(diào)和線束,因?yàn)镃F"PEn所以E為CF中點(diǎn),0 一第四十二S.如圖，H為AAHC重心，D為BC中點(diǎn)儲(chǔ)過(guò)M作EF1如分別交魴、肥干E、 F,求證：H為EF中點(diǎn)C010年摩爾多峻學(xué)奧林西克試題）公證明,如圖f作小軸C的外接圖延長(zhǎng)的交于連接BH、CL EG、CG、EG、 FGo因?yàn)镽G_L杷、CH_UE,所以的"CHm同理即"CGj所以四邊形BGCH是平行四邊形， 所以D

52、為GH中點(diǎn)，又因?yàn)锽、G、H、E四點(diǎn)共圓，即為BGH的外接國(guó),GE是直徑f G、F、C、H四點(diǎn)共 圖，即為ACHG的外接圓，GF是直徑。而AFG儂CH3所以GE= GF；,所以H為EF中點(diǎn)。+第四十三題、如圖,銳角此C中,AB<AC,且點(diǎn)口和E在邊BC上,滿足BD= CE, 若在ABC內(nèi)存在點(diǎn)F滿足FD"AE且NFAB三/ERC,證明：NPBA = /PCA。（2013 年全國(guó)蒿中數(shù)學(xué)歌喜遼寧寒區(qū)預(yù)喜試題）出證明：如圖，取0c中點(diǎn)為K,則K為DE中與，延長(zhǎng)FK交幅延長(zhǎng)線于F,因?yàn)镕D” 福PK = FK,所以四邊形理FC為平行四邊形。平移/XlEP到則四邊形APCQ為平 行四邊

53、形。因?yàn)镹FQC=/bAP = NEAC,所以ATO四點(diǎn)共圓J所以/AEP=/QFC = ZQAC= ZACP./F第四十噫、如國(guó)，般為半圓。直徑，81皿C在畫上，P是BA延性吐一點(diǎn)PD 且®。于Dj FE平分NDPB,分用皮 肌、BC于E. ¥,求證：/EOF = 90、(2007年遼寧 高中數(shù)學(xué)晾褰初寡試題)裂UM：如圖，連接照、DR、DC. DE. DF% DO。貝JZDPE =三/DPE = (ff5-AD)= 義(品+)一(AC CD) = ：E=NDAE,所以D、P,品E四點(diǎn)共圓,于是知 ZPDE = ZE AO = 45fr =:工PDOj所以E為200內(nèi)心，

54、廝以O(shè)F平分NA0D»又 ZDBF= ZDAE= ZDPF,所以D、P、B. F四點(diǎn)共圓，又PF平分/DPB,所以DF二BF,于是如AFPO段&FW,所以O(shè)F平分所以/E0F = 9Q, +第四十五麴、如圖，血為00的城看F比為0。的割線，M)_LOF于點(diǎn)回ADC的外, 接圓與BC的另一個(gè)交點(diǎn)為'ZBAE = ZACK.2。12年初中數(shù)學(xué)張黑二試試題)/®fl：如圖，旨0M孫0a ED、CD。Sft 081孫根據(jù)射影定理知/=PDP。 又根據(jù)切割線定理知PAN二PB , PC,所以PD - PO = PB PC,于是知FEMdPOC,所以 PDB = ZPCO,知氏 D、0、C 四點(diǎn)共圖。于是知NBEA = l&CT -/AEC = 180°- ZADC = 90*- ZCDO = 90&- ZCBO= ZBAC,于是如ABEsAcHL 所以/B4E = ZACB. _第四十六35.如圖,平行四邊附口3中. CE1AB于E,匠1仙干F, EF交E