1、信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)多媒體教學(xué)課件多媒體教學(xué)課件(第第2章章 Part 3)2022年6月1日23時(shí)44分信號(hào)與系統(tǒng) 第2章(Part3)2第第2章線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域分析章線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域分析2.0 引言引言2.1 用微分用微分(差分差分)方程描述方程描述LTI系統(tǒng)系統(tǒng)2.2 LTI系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)2.3 卷積積分卷積積分2.4 卷積和卷積和2.5 LTI系統(tǒng)性質(zhì)系統(tǒng)性質(zhì)2.6 LTI系統(tǒng)的框圖表示系統(tǒng)的框圖表示2022年6月1日23時(shí)44分信號(hào)與系統(tǒng) 第2章(Part3)32.4 卷積和卷積和2022年6月1日23時(shí)44分信號(hào)與系統(tǒng) 第2章(Part3)42.4.1 卷積和

2、的定義和求解卷積和的定義和求解 . 1 10 1 12 2 .x nxnxnxnxn kx nx knk Hnh n y nH x n ky nHx nnk ky nx k h nk kx nh nx k h nk卷積和卷積和 u一個(gè)線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)對(duì)任意輸入的響應(yīng)可一個(gè)線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)對(duì)任意輸入的響應(yīng)可以用系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)的線性組合來表示。以用系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)的線性組合來表示。 u離散時(shí)間系統(tǒng)的任意激勵(lì)信離散時(shí)間系統(tǒng)的任意激勵(lì)信號(hào)號(hào)xn可以表示為單位樣值可以表示為單位樣值序列序列 n的線性組合。的線性組合。 2022年6月1日23時(shí)44分信號(hào)與系統(tǒng) 第2章(Part3)5【例例2

3、-28】 2022年6月1日23時(shí)44分信號(hào)與系統(tǒng) 第2章(Part3)6卷積和計(jì)算過程卷積和計(jì)算過程 (1) 以以k作為自變量，畫出作為自變量，畫出xk和和hk的信號(hào)波形。的信號(hào)波形。(2) 將將hk以縱軸為對(duì)稱軸反褶，得到以縱軸為對(duì)稱軸反褶，得到h-k。(3) 將將h-k隨變量隨變量n平移得到平移得到hn-k。如果。如果n是負(fù)數(shù)是負(fù)數(shù)，則則hn-k是由是由hk的反褶信號(hào)的反褶信號(hào)向左時(shí)移向左時(shí)移得到的；而得到的；而如果如果n是正數(shù)是正數(shù)，則由，則由hk的反褶信號(hào)的反褶信號(hào)向右時(shí)移向右時(shí)移。(4) 將將xk和和hn-k各對(duì)應(yīng)點(diǎn)相乘。各對(duì)應(yīng)點(diǎn)相乘。(5) 對(duì)某個(gè)選定的對(duì)某個(gè)選定的n值，將相乘后

4、的各點(diǎn)值相加，即值，將相乘后的各點(diǎn)值相加，即得到了系統(tǒng)在得到了系統(tǒng)在n時(shí)刻的響應(yīng)值時(shí)刻的響應(yīng)值yn。改變。改變n值，重值，重復(fù)復(fù)(3)、(4)、(5)步，直到計(jì)算出全部的步，直到計(jì)算出全部的yn的值。的值。2022年6月1日23時(shí)44分信號(hào)與系統(tǒng) 第2章(Part3)7【例例2-29】 2022年6月1日23時(shí)44分信號(hào)與系統(tǒng) 第2章(Part3)8卷積和計(jì)算卷積和計(jì)算-列表法列表法 0 * nky nx nh nx k h nku假如假如xn或或hn的第一項(xiàng)不是從的第一項(xiàng)不是從n=0開始，則開始，則y0是含有行和列的是含有行和列的第零項(xiàng)之叉乘積項(xiàng)第零項(xiàng)之叉乘積項(xiàng)的兩條對(duì)角線之間各項(xiàng)的和。列表

5、法特別適合于的兩條對(duì)角線之間各項(xiàng)的和。列表法特別適合于求兩個(gè)有限長序列的卷積和。求兩個(gè)有限長序列的卷積和。 2022年6月1日23時(shí)44分信號(hào)與系統(tǒng) 第2章(Part3)9【例例2-30】 計(jì)算計(jì)算xn=1, 2, 0, 3, 2(n=-2, -1, 0, 1, 2)與與hn=1, 4, 2, 3(n=-1, 0, 1, 2)的卷積和。的卷積和。解：根據(jù)表解：根據(jù)表2-3所示的列表規(guī)律，列表下所示，由此可計(jì)所示的列表規(guī)律，列表下所示，由此可計(jì)算出：算出：yn=1, 6, 10, 10, 20, 14, 13, 6, (n=-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4)。2022年6月1日

6、23時(shí)44分信號(hào)與系統(tǒng) 第2章(Part3)10卷積和的序列長度卷積和的序列長度若序列若序列xn僅在僅在 間有非零數(shù)值，序列間有非零數(shù)值，序列長度長度L1=N2-N1+1；序列序列hn僅在僅在 間有非零數(shù)值，序列長間有非零數(shù)值，序列長度度L2=N4-N3+1，則卷積和則卷積和yn=xn*hn僅在間有非零數(shù)值，僅在間有非零數(shù)值，卷積和卷積和yn的序列長度的序列長度L=L1+L2-1。34NnN21NnN2022年6月1日23時(shí)44分信號(hào)與系統(tǒng) 第2章(Part3)112.4.2 卷積和的性質(zhì)卷積和的性質(zhì)交換律交換律 * * x nh nh nx n分配律分配律 1212 * * * x nh n

7、h nx nh nx nh n1212 * * * * x nh nh nx nh nh n * x nnx n與與 (t)的卷積的卷積un是累加器是累加器 n-n0是是n0秒的延時(shí)器秒的延時(shí)器 00 * x nnnx nn * nkx nu nx k結(jié)合律結(jié)合律2022年6月1日23時(shí)44分信號(hào)與系統(tǒng) 第2章(Part3)122.5 LTI系統(tǒng)性質(zhì)系統(tǒng)性質(zhì)LTI系統(tǒng)的輸入輸出行為完全可以由其單位系統(tǒng)的輸入輸出行為完全可以由其單位沖激響應(yīng)或單位樣值響應(yīng)來表征。因此，沖激響應(yīng)或單位樣值響應(yīng)來表征。因此，系統(tǒng)的特性系統(tǒng)的特性(如如記憶性記憶性、因果性因果性、可逆性可逆性和和穩(wěn)定性穩(wěn)定性)是與系統(tǒng)的

8、是與系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng)或或單位樣單位樣值響應(yīng)值響應(yīng)相聯(lián)系的，所以可以通過單位沖激相聯(lián)系的，所以可以通過單位沖激響應(yīng)或單位樣值響應(yīng)對(duì)響應(yīng)或單位樣值響應(yīng)對(duì)LTI系統(tǒng)的性質(zhì)作進(jìn)系統(tǒng)的性質(zhì)作進(jìn)一步的研究。一步的研究。 2022年6月1日23時(shí)44分信號(hào)與系統(tǒng) 第2章(Part3)132.5.1 無記憶的無記憶的LTI系統(tǒng)系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng)是無記憶系統(tǒng)的離散時(shí)間系統(tǒng)是無記憶系統(tǒng)的充分必要條件充分必要條件是是 h nKn y nKx n無記憶系統(tǒng)表示為無記憶系統(tǒng)表示為 ( )( )h tKt無記憶的連續(xù)時(shí)間無記憶的連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)表示為系統(tǒng)表示為 ( )( )y tKx t 無記憶系統(tǒng)在任何時(shí)

9、刻的輸出只與該時(shí)刻的輸入有關(guān)；無記憶系統(tǒng)在任何時(shí)刻的輸出只與該時(shí)刻的輸入有關(guān)； 有記憶系統(tǒng)在任何時(shí)刻的輸出不僅與該時(shí)刻的輸入有關(guān)有記憶系統(tǒng)在任何時(shí)刻的輸出不僅與該時(shí)刻的輸入有關(guān)而且與該時(shí)刻以前的輸入有關(guān)。而且與該時(shí)刻以前的輸入有關(guān)。 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)2022年6月1日23時(shí)44分信號(hào)與系統(tǒng) 第2章(Part3)142.5.2 系統(tǒng)的可逆性系統(tǒng)的可逆性nn*hnhinvhnxnhinvnwn)()()(tt*hthinv系統(tǒng)的輸出系統(tǒng)的輸出wn=xn 如果系統(tǒng)的輸入可由該系統(tǒng)的輸出恢復(fù)出來，則如果系統(tǒng)的輸入可由該系統(tǒng)的輸出恢復(fù)出來，則該系統(tǒng)是可逆的系統(tǒng)。如果一個(gè)該系統(tǒng)是可逆的系統(tǒng)。如果一

10、個(gè)LTI系統(tǒng)可逆，那系統(tǒng)可逆，那么就意味存在一個(gè)將原系統(tǒng)的輸出作為輸入并能么就意味存在一個(gè)將原系統(tǒng)的輸出作為輸入并能輸出原系統(tǒng)的輸入信號(hào)的逆系統(tǒng)。輸出原系統(tǒng)的輸入信號(hào)的逆系統(tǒng)。2022年6月1日23時(shí)44分信號(hào)與系統(tǒng) 第2章(Part3)152.5.3 LTI系統(tǒng)的因果性系統(tǒng)的因果性 0nh0nnkknhkxny( )0h t 0t對(duì)于連續(xù)時(shí)間對(duì)于連續(xù)時(shí)間LTI因果系統(tǒng)，有因果系統(tǒng)，有 tdthxty)()()(對(duì)于離散時(shí)間因果對(duì)于離散時(shí)間因果LTI系統(tǒng)，必有系統(tǒng)，必有 2022年6月1日23時(shí)44分信號(hào)與系統(tǒng) 第2章(Part3)162.5.4 LTI系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)的穩(wěn)定性kkh dh)(

11、連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件充分必要條件 單位沖激響應(yīng)絕對(duì)可積：單位沖激響應(yīng)絕對(duì)可積： 穩(wěn)定性：輸入有界則輸出必定有界穩(wěn)定性：輸入有界則輸出必定有界(BIBO)離散時(shí)間離散時(shí)間LTI系統(tǒng)穩(wěn)定性的系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分必要條件充分必要條件 單位樣值響應(yīng)絕對(duì)可和：單位樣值響應(yīng)絕對(duì)可和： 2022年6月1日23時(shí)44分信號(hào)與系統(tǒng) 第2章(Part3)172.6 LTI系統(tǒng)的框圖表示系統(tǒng)的框圖表示x(t)xny(t)=ax(t)yn=axnax(t)xnw(t)wny(t)=x(t)+w(t)yn=xn+wnx(t)tdxty)()(xnDyn=xn-1(a) 倍乘器倍

12、乘器 (b) 加法器加法器 (c) 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的積分器連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的積分器 (d) 離散時(shí)間系統(tǒng)的延遲器離散時(shí)間系統(tǒng)的延遲器 基本運(yùn)算的部件及其框圖表示基本運(yùn)算的部件及其框圖表示 2022年6月1日23時(shí)44分信號(hào)與系統(tǒng) 第2章(Part3)1812012 12 12y na y na y nb x nb x nb x nxnynDb0Db1b2wnDD-a2-a1xnynDb0Db1b2-a2-a1【例例2-33】 12012 12 12y na y na y nb x nb x nb x n “直接直接I型型” “直接直接II型型” 2022年6月1日23時(shí)44分信號(hào)與系統(tǒng) 第2章(Pa

13、rt3)19連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的方框圖表示系統(tǒng)的方框圖表示 (1)(2)(1)(2)12210( )( )( )( )( )( )y ta yta ytb x tb xtb xt x(t)b0b1b2-a2-a1w(t)y(t)b0b1b2-a2-a1x(t)y(t) “直接直接I型型” 先要將微分方程重寫為積分形式先要將微分方程重寫為積分形式 “直接直接II型型” 2022年6月1日23時(shí)44分信號(hào)與系統(tǒng) 第2章(Part3)202.7 小結(jié)小結(jié)重要知識(shí)點(diǎn)：重要知識(shí)點(diǎn)：輸入輸出方程的建立與解法輸入輸出方程的建立與解法零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)單位沖激響應(yīng)與單位階躍響

14、應(yīng)單位沖激響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)卷積的運(yùn)算與性質(zhì)卷積的運(yùn)算與性質(zhì)線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)及框圖表示線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)及框圖表示2022年6月1日23時(shí)44分信號(hào)與系統(tǒng) 第2章(Part3)212.7.1 輸入輸出方程的建立及解法輸入輸出方程的建立及解法 在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以用在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以用常系數(shù)常系數(shù)微分方程微分方程來描述，一個(gè)來描述，一個(gè)N階線性常系階線性常系數(shù)微分方程形式如數(shù)微分方程形式如(2-1)；線性常系數(shù)微分方；線性常系數(shù)微分方程完全解由程完全解由齊次解和特解齊次解和特解兩部分組成。式兩部分組成。式(2-3)給出了其齊次解，幾種典型輸入信號(hào)對(duì)應(yīng)給出了

15、其齊次解，幾種典型輸入信號(hào)對(duì)應(yīng)的特解函數(shù)式列于表的特解函數(shù)式列于表2-1。 對(duì)于離散時(shí)間系統(tǒng)，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以用對(duì)于離散時(shí)間系統(tǒng)，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以用常系數(shù)常系數(shù)差分方程差分方程來描述，線性常系數(shù)差分方來描述，線性常系數(shù)差分方程常的形式如程常的形式如(2-7)；式；式(2-11)、(2-12)和和(2-13)給出了給出了齊次解齊次解形式；而表形式；而表2-2給出了離散時(shí)給出了離散時(shí)間系統(tǒng)中一些常用信號(hào)的間系統(tǒng)中一些常用信號(hào)的特解特解形式。形式。2022年6月1日23時(shí)44分信號(hào)與系統(tǒng) 第2章(Part3)222.7.2零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) zizsy nynyn 系統(tǒng)

16、的零輸入響應(yīng)是指在沒有外加激勵(lì)信號(hào)的作用下，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是指在沒有外加激勵(lì)信號(hào)的作用下，只有只有起始狀態(tài)起始狀態(tài)(起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能)單獨(dú)作用時(shí)的響應(yīng)，記為單獨(dú)作用時(shí)的響應(yīng)，記為yzi(t)，其解形式由式其解形式由式(2-16)和和(2-17)及已知的及已知的y(k)(0-)來確定。來確定。 零狀態(tài)響應(yīng)是在不考慮起始時(shí)刻系統(tǒng)的儲(chǔ)能，零狀態(tài)響應(yīng)是在不考慮起始時(shí)刻系統(tǒng)的儲(chǔ)能，由外加輸入信由外加輸入信號(hào)單獨(dú)作用下所產(chǎn)生的系統(tǒng)響應(yīng)，記為號(hào)單獨(dú)作用下所產(chǎn)生的系統(tǒng)響應(yīng)，記為yzs(t)。其解形式如式。其解形式如式(2-19)，零狀態(tài)響應(yīng)是由強(qiáng)迫響應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)是由強(qiáng)迫響應(yīng)B(t)及自由響

17、應(yīng)的一部分組及自由響應(yīng)的一部分組成的。成的。 離散時(shí)間離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是指系統(tǒng)在沒有外加激勵(lì)的系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是指系統(tǒng)在沒有外加激勵(lì)的情況下，僅由系統(tǒng)初始狀態(tài)單獨(dú)作用下產(chǎn)生的響應(yīng)，可以記情況下，僅由系統(tǒng)初始狀態(tài)單獨(dú)作用下產(chǎn)生的響應(yīng)，可以記為如為如(2-27)式的式的yzin。零狀態(tài)響應(yīng)則是指系統(tǒng)初始狀態(tài)為零。零狀態(tài)響應(yīng)則是指系統(tǒng)初始狀態(tài)為零的情況下，僅由輸入激勵(lì)的情況下，僅由輸入激勵(lì)xn單獨(dú)作用下所產(chǎn)生的響應(yīng)，記單獨(dú)作用下所產(chǎn)生的響應(yīng)，記為如為如(2-30)式的式的yzsn。離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的完全響應(yīng)。離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的完全響應(yīng)yn可表示為可表示為2022年6月1日2

18、3時(shí)44分信號(hào)與系統(tǒng) 第2章(Part3)232.7.3沖激響應(yīng)和樣值響應(yīng)沖激響應(yīng)和樣值響應(yīng) 一線性時(shí)不變系統(tǒng)，當(dāng)其初始狀態(tài)為零時(shí)，輸入為單一線性時(shí)不變系統(tǒng)，當(dāng)其初始狀態(tài)為零時(shí)，輸入為單位沖激信號(hào)位沖激信號(hào) (t)所引起的響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，簡所引起的響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，用稱沖激響應(yīng)，用h(t)表示。表示。NM時(shí)，沖激響應(yīng)時(shí)，沖激響應(yīng)h(t)如如(2-21)式所示；式所示；NM時(shí)，沖激響應(yīng)時(shí)，沖激響應(yīng)h(t)如如(2-23)式所示，式所示，其中的待定系數(shù)可以用其中的待定系數(shù)可以用沖激函數(shù)匹配法沖激函數(shù)匹配法得以求解。得以求解。 在離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)中，單位樣值在離散時(shí)間線

19、性時(shí)不變系統(tǒng)中，單位樣值 n作為激作為激勵(lì)而產(chǎn)生的系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)勵(lì)而產(chǎn)生的系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)hn被稱為單位樣值響應(yīng)。被稱為單位樣值響應(yīng)。單位樣值響應(yīng)的求解有兩種辦法：單位樣值響應(yīng)的求解有兩種辦法：迭代法和等效初始迭代法和等效初始條件的零輸入響應(yīng)法條件的零輸入響應(yīng)法。2022年6月1日23時(shí)44分信號(hào)與系統(tǒng) 第2章(Part3)242.7.4卷積積分卷積積分在連續(xù)時(shí)間在連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)中，輸入信號(hào)是一組加系統(tǒng)中，輸入信號(hào)是一組加權(quán)和移位的單位沖激疊加而成的信號(hào)時(shí)，權(quán)和移位的單位沖激疊加而成的信號(hào)時(shí)，其輸出是其單位沖激響應(yīng)的加權(quán)和移位疊其輸出是其單位沖激響應(yīng)的加權(quán)和移位疊加信號(hào)，這個(gè)過程稱為加信號(hào)，

20、這個(gè)過程稱為卷積積分卷積積分，簡稱為，簡稱為卷積。卷積的求解有卷積。卷積的求解有圖解法和解析法圖解法和解析法兩種兩種方法。方法。卷積有許多有用的性質(zhì)，這些性質(zhì)主要有：卷積有許多有用的性質(zhì)，這些性質(zhì)主要有：交換律，分配律，結(jié)合律，微分特性，積交換律，分配律，結(jié)合律，微分特性，積分特性，分特性，微積分特性微積分特性等。靈活應(yīng)用這些性等。靈活應(yīng)用這些性質(zhì)可有效減輕求解復(fù)雜信號(hào)之間卷積的運(yùn)質(zhì)可有效減輕求解復(fù)雜信號(hào)之間卷積的運(yùn)算量。算量。2022年6月1日23時(shí)44分信號(hào)與系統(tǒng) 第2章(Part3)252.7.5卷積和卷積和 在離散時(shí)間系統(tǒng)中，通過把激勵(lì)信號(hào)分解在離散時(shí)間系統(tǒng)中，通過把激勵(lì)信號(hào)分解為單位

21、樣值信號(hào)的線性組合，求出每一個(gè)為單位樣值信號(hào)的線性組合，求出每一個(gè)單位樣值信號(hào)單獨(dú)作用于系統(tǒng)的樣值響應(yīng)，單位樣值信號(hào)單獨(dú)作用于系統(tǒng)的樣值響應(yīng)，然后把這些響應(yīng)疊加，即得系統(tǒng)對(duì)應(yīng)此激然后把這些響應(yīng)疊加，即得系統(tǒng)對(duì)應(yīng)此激勵(lì)信號(hào)的零狀態(tài)響應(yīng)，這個(gè)疊加的過程表勵(lì)信號(hào)的零狀態(tài)響應(yīng)，這個(gè)疊加的過程表現(xiàn)為現(xiàn)為卷積和卷積和。卷積和的運(yùn)算有三種方法：。卷積和的運(yùn)算有三種方法：直接法、圖解法和列表法直接法、圖解法和列表法。 卷積和有許多有用的性質(zhì)，如交換律，分卷積和有許多有用的性質(zhì)，如交換律，分配律，結(jié)合律，與配律，結(jié)合律，與 n的卷積，與的卷積，與un的的卷積等性質(zhì)。靈活應(yīng)用這些性質(zhì)可有效減卷積等性質(zhì)。靈活應(yīng)用這些性質(zhì)可有效減輕求解復(fù)雜信號(hào)卷積和運(yùn)算的運(yùn)算量。輕求解復(fù)雜信號(hào)卷積和運(yùn)算的運(yùn)算量。2022年6月1日23時(shí)44分信號(hào)與系統(tǒng) 第2章(Part3)262.7.6 LTI系統(tǒng)性質(zhì)系統(tǒng)性質(zhì)LT