1、 第一章 一、一、 極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則 二、二、 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限第三節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 極限的運(yùn)算三、三、 無窮小的比較無窮小的比較一、一、 極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則,)(lim,)(limBxgAxf則有則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf證證: 因因,)(lim,)(limBxgAxf則有則有BxgAxf)(,)(其中其中,為無窮小為無窮小) 于是于是)()()()(BAxgxf)()(BA由于由于也是無窮小也是無窮小, 再利用極限與無窮小再利用極限與無窮小BA的關(guān)系定理的關(guān)系定理 , 知定理結(jié)論成立知定理結(jié)論成立

2、 .定理定理 1 . 若若機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 推論推論: 若若,)(lim,)(limBxgAxf且且),()(xgxf則則.BA)()()(xgxfx利用保號性定理證明利用保號性定理證明 .說明說明: 定理定理 1 可推廣到有限個(gè)函數(shù)相加、減的情形可推廣到有限個(gè)函數(shù)相加、減的情形 .提示提示: 令令機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 定理定理 2 . 若若,)(lim,)(limBxgAxf則有則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf提示提示: 利用極限與無窮小關(guān)系定理及本節(jié)定理利用極限與無窮小關(guān)系定理及本節(jié)定理2

3、 證明證明 .說明說明: 定理定理 2 可推廣到有限個(gè)函數(shù)相乘的情形可推廣到有限個(gè)函數(shù)相乘的情形 .推論推論 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 為常數(shù)為常數(shù) )極限存在為前提極限存在為前提推論推論 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 為正整數(shù)為正整數(shù) )例例2. 設(shè)設(shè) n 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式,)(10nnnxaxaaxP試證試證).()(lim00 xPxPnnxx證證:)(lim0 xPnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xPnBA機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 為無窮小為無窮小(詳見詳見P44)B2B1)(1xg)(0

4、xx定理定理 3 . 若若,)(lim,)(limBxgAxf且且 B0 , 則有則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf證證: 因因,)(lim,)(limBxgAxf有有,)(,)(BxgAxf其中其中,設(shè)設(shè)BAxgxf)()(BABA)(1BB)(AB無窮小無窮小有界有界BA因此因此由極限與無窮小關(guān)系定理由極限與無窮小關(guān)系定理 , 得得BAxgxf)()(lim)(lim)(limxgxfBAxgxf)()(為無窮小為無窮小,由B不等于0,由函數(shù)極限的局部保號性可得g(x)在某領(lǐng)域內(nèi)不為0,從而可做分母.定理定理4 . 若若,lim,limByAxnnnn則有則有)(lim

5、) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(時(shí)且當(dāng)BynBAyxnnnlimBABA提示提示: 因?yàn)閿?shù)列是一種特殊的函數(shù)因?yàn)閿?shù)列是一種特殊的函數(shù) , 故此定理故此定理 可由可由定理定理1 , 2 , 3 直接得出結(jié)論直接得出結(jié)論 .機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 x = 3 時(shí)分母為時(shí)分母為 0 !31lim3xxx例例3. 設(shè)有分式函數(shù)設(shè)有分式函數(shù),)()()(xQxPxR其中其中)(, )(xQxP都是都是多項(xiàng)式多項(xiàng)式 ,0)(0 xQ試證試證: . )()(lim00 xRxRxx證證: )(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxx

6、xx)()(00 xQxP)(0 xR說明說明: 若若,0)(0 xQ不能直接用商的運(yùn)算法則不能直接用商的運(yùn)算法則 .例例4.934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx6231 若若機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例5 . 求求.4532lim21xxxx解解: x = 1 時(shí)時(shí)3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母分母 = 0 , 分子分子0 ,但因但因機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 利用無窮大和無窮利用無窮大和無窮小關(guān)系小關(guān)系.例例6 . 求求.125934lim22x

7、xxxx解解: x時(shí)時(shí),分子分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以分子分母同除以,2x則則54分母分母“ 抓大頭抓大頭”原式原式機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 一般有如下結(jié)果：一般有如下結(jié)果：為非負(fù)常數(shù)為非負(fù)常數(shù) )nmba,0(00mn 當(dāng)( 如如P28 例例5 )( 如如P28 例例6 )mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 mn 當(dāng)mn 當(dāng)例例8 . 求求sinlimxxx解解: x時(shí)時(shí),sin xx看著看著商的極限運(yùn)算法則不能用商的極限運(yùn)算法則不能用

8、. .11sinsin2xxxxx 與 的乘積，由于 當(dāng)時(shí)為無窮小，而是有界函數(shù)則根據(jù)定理 ，有如果把如果把分母分子極限都不存在分母分子極限都不存在,故關(guān)于故關(guān)于sinlim0.xxx圓扇形圓扇形AOB的面積的面積二、二、 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限 證證: 當(dāng)當(dāng)即即亦即亦即)0(tansin2xxxx),0(2x時(shí)，時(shí)，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx顯然有顯然有AOB 的面積的面積AOC的面積的面積11sincosxxx故有故有注注0sin1lim1xxx、111sintan222xxxsincos1xxxACxoBD當(dāng)20 x時(shí)xxcos1cos102sin2

9、2x222x22x0)cos1(lim0 xx注注注意分段考慮注意分段考慮例例2. 求求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例3. 求求.arcsinlim0 xxx解解: 令令,arcsin xt 則則,sintx 因此因此原式原式tttsinlim0 1lim0tttsin1nnnRcossinlim2Rn例例4. 求求.cos1lim20 xxx解解: 原式原式 =2220sin2limxxx212121例例5. 已知圓內(nèi)接正已知圓內(nèi)接正 n 邊形面積為邊形面積為證明證明: .lim2RAnn

10、證證: nnAlimnnnnRnAcossin22R說明說明: 計(jì)算中注意利用計(jì)算中注意利用1)()(sinlim0)(xxx20sinlimx2x2x21證證: 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí), 設(shè)設(shè), 1nxn則則xx)1 (111(1)nnnn)1 (11nnn)1 (lim11 limn111)1 (nn111ne11lim(1)nnn1)1(lim11）（nnnneexxx)1(lim1機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 12lim(1)xxex、定義定義ennn )11(limnnnx)11( 設(shè)設(shè) 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(

11、! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( ).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn類似地類似地,1nnxx 顯然顯然 ;是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim記為記為)71828. 2( e當(dāng)當(dāng)x, ) 1( tx則則,t從而有從而有xxx)1 (lim1) 1(11)1 (limttt) 1(1)(limtttt11)1 (limttt)1 ()1(lim11tttte故

12、故exxx)1 (lim1說明說明: 此極限也可寫為此極限也可寫為1( )( )0lim (1( )u xu xu xe時(shí)時(shí), 令令機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ( )11( )( )( )lim (1),xu xxxxe若令（ ）=則可得例例6. 求求.)1 (lim1xxx解解: 令令,xt則則xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1說明說明 ：若利用若利用( )1( )( )lim (1),xxxe機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 則則 原式原式111)1 (limexxxlimx例例7. 求求.

13、)cos(sinlim11xxxx解解: 原式原式 =2)cos(sinlim211xxxx2)sin1 (lim2xxx)sin1(2xexx22sin機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 x2sin1,0時(shí)xxxxsin,32都是無窮小,引例引例 .xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但 可見無窮小趨于 0 的速度是多樣的 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三 無窮小的比較lim0,(0)kCk定義定義.,0lim若若則稱則稱 是比是比 高階高階的無窮小的無窮小,( )o,lim若若若若若若, 1lim若若,0limC或或0

14、,設(shè)設(shè)是自變量是自變量同一變化過程同一變化過程中的無窮小中的無窮小,記作記作則稱則稱 是比是比 低階低階的無窮小的無窮小; 則稱則稱 是是 的的同階同階無窮小無窮小; 則稱則稱 是關(guān)于是關(guān)于 的的 k 階階無窮小無窮小; 則稱則稱 是是 的的等價(jià)等價(jià)無窮小無窮小, 記作記作機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 是是 的的等價(jià)等價(jià)無窮小無窮小 是關(guān)于是關(guān)于 k次方次方的同階無窮小的同階無窮小 是是 的的同階同階無窮小無窮小?( 稱稱是是 高階高階的無窮小的無窮小)特別的特別的:0021( )(1)()0,(1)(0)().()(0)()nkkkfxxf xoxxxx xxx

15、oxkNxo xxkN當(dāng)時(shí)為無窮小量可記作例如，當(dāng)時(shí)，等都是無窮小量，因而有而且他們一個(gè)比一個(gè)高階，即例如例如 , 當(dāng)當(dāng))(o0 x時(shí)時(shí)3x26xxsin;xxtan;xxarcsin; x20cos1limxxx220sin2limxx又如又如 ，22)(4x21故故0 x時(shí)時(shí)xcos1xcos1221x且且機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 是關(guān)于是關(guān)于 x 的二階無窮小的二階無窮小,也可以稱也可以稱為是關(guān)于為是關(guān)于 的同階無窮小的同階無窮小,2xln(1) xx例例1. 證明證明: 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí),11nxxn1證證: lim0 x11nxxn10limx11nn

16、xxn111nnx21nnx11,0時(shí)當(dāng) x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 定理定理1.( )o證證:1lim, 0)1lim(0lim即即( ),o即即( )o例如例如,0 時(shí)x,sinxx,tanxx故故,0 時(shí)x, )(sinxoxx)(tanxoxx機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 定理定理2 . 設(shè)設(shè),且且lim存在存在 , 則則lim lim證證:limlim limlimlim lim例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim052機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁

17、上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 設(shè)對設(shè)對同一變化過程同一變化過程 , , 為無窮小為無窮小 ,說明說明:無窮小的性質(zhì)無窮小的性質(zhì), (1) 和差取低規(guī)則和差取低規(guī)則: 由等價(jià)由等價(jià)可得簡化某些極限運(yùn)算的下述規(guī)則可得簡化某些極限運(yùn)算的下述規(guī)則. 若若 = o( ) , (2) 和差代替規(guī)則和差代替規(guī)則: , 若且與不等價(jià),則例如例如,xxxx3sinlim30 xxx3lim013機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 則,limlim且(?. )但時(shí)此結(jié)論未必成立例如例如,11sin2tanlim0 xxxxxxxx2102lim2(3) 因式代替規(guī)則因式代替規(guī)則:極限

18、存在或有且若)(,x界界, 則則)(limx)(limx例如例如,.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx21機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 32210limxxxx 例例1. 求求01sinlim1sinarcsinlim00 xxxxxx解解: 原式原式 2回答（ ）231x221x例例2. 求求.1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0時(shí)當(dāng)x1)1 (312 x231x1cosx221x0limx原式32機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 的不同數(shù)列的不同數(shù)列內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小

19、結(jié)1. 函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系的應(yīng)用函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系的應(yīng)用(1) 利用數(shù)列極限判別函數(shù)極限不存在利用數(shù)列極限判別函數(shù)極限不存在 (那存在呢那存在呢?)(2) 數(shù)列極限存在的夾逼準(zhǔn)則數(shù)列極限存在的夾逼準(zhǔn)則法法1 找一個(gè)數(shù)列找一個(gè)數(shù)列:nx,0 xxn)(0nxxn且且使使)(limnnxf法法2 找兩個(gè)趨于找兩個(gè)趨于0 xnx及及 ,nx使使)(limnnxf)(limnnxf不存在不存在 .函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1:夾逼準(zhǔn)則是證明極限和求極限的重要方法之一夾逼準(zhǔn)則是證明極限和求極限的重要方法之一2:單調(diào)有界

20、是判斷極限存在常用準(zhǔn)則單調(diào)有界是判斷極限存在常用準(zhǔn)則內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則(1) 無窮小運(yùn)算法則無窮小運(yùn)算法則(有限和差積有限和差積)(2) 極限四則運(yùn)算法則極限四則運(yùn)算法則(3) 復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則注意使用條件注意使用條件2. 求函數(shù)極限的方法求函數(shù)極限的方法(1) 分式函數(shù)極限求法分式函數(shù)極限求法0) 1xx 時(shí)時(shí), 用代入法用代入法( 分母不為分母不為 0 )0)2xx 時(shí)時(shí), 對對00型型 , 約去公因子約去公因子x)3時(shí)時(shí) , 分子分母同除最高次冪分子分母同除最高次冪 “ 抓大頭抓大頭”(2) 復(fù)合函數(shù)極限求法復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中間變量設(shè)

21、中間變量Th1Th2Th3Th4Th5Th7機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2. 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或或e1)1(lim0注注: 代表相同的表達(dá)式代表相同的表達(dá)式機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 兩種形式兩種形式,但是在但是在極限過程下都是極限過程下都是(10)0lim,0, )0(C,1,0lim Ck3. 無窮小的比較無窮小的比較設(shè)設(shè) , 對對同一自變量的變化過程同一自變量的變化過程為無窮小為無窮小, 且且 是是 的的高階高階無窮小無窮小 是是 的的低階低階無窮小無窮小 是是 的的同

22、階同階無窮小無窮小 是是 的的等價(jià)等價(jià)無窮小無窮小 是是 的的 k 階階無窮小無窮小機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2. 等價(jià)等價(jià)無窮小替換定理無窮小替換定理,0時(shí)當(dāng) xxsinxtanxarcsin,x,x,xxcos1,221x11nx1,nxTh 2常用等價(jià)無窮小常用等價(jià)無窮小 :sec1x22x1xe , xln(1) x, xarctan x,x三、三、 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則定理定理7. 設(shè)設(shè),)(lim0axxx且且 x 滿足滿足100 xx時(shí)時(shí),)(ax 又又lim( ),uaf uA則有則有 )(lim0 xfxxlim( )

23、uaf uA證證: lim( )uaf uA,0,0當(dāng)當(dāng)au0時(shí)時(shí), 有有 Auf)(axxx)(lim0,0,02當(dāng)當(dāng)200 xx時(shí)時(shí), 有有ax)(對上述對上述取取,min21則當(dāng)則當(dāng)00 xx時(shí)時(shí)ax )(au 故故0Axf)(Auf)(,因此因此式成立式成立.機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 定理定理7. 設(shè)設(shè),)(lim0axxx且且 x 滿足滿足100 xx時(shí)時(shí),)(ax 又又lim( ),uaf uA則有則有 )(lim0 xfxxlim( )uaf uA 說明說明: 1:若定理中若定理中,)(lim0 xxx則類似可得則類似可得 )(lim0 xfxx

24、lim( )uf uA機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2:定理說明如果函數(shù)定理說明如果函數(shù)f(u)和和g(x)滿足定理滿足定理?xiàng)l件條件,那么做變量代換那么做變量代換u=g(x)可把求極限可把求極限0000lim ( )lim( ),lim( )xxuuxxfxf uug x轉(zhuǎn)化為求這里例例7. 求求解解: 令令.93lim23xxx932xxu已知已知ux3lim61( 見見 P46 例例3 ) 原式原式 =uu61lim6166( 見見 P33 例例5 )機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例8 . 求求解解: 方法方法 1.11lim1xxx,xu 則則, 1lim1ux令令11112uuxx1 u