1、資料收集于網(wǎng)絡如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝第二章開放式光腔與高斯光束101.證明如圖2.1 所示傍軸光線進入平面介質(zhì)界面的光線變換矩陣為0。12證明：設入射光線坐標參數(shù)為r1,1，出射光線坐標參數(shù)為r2 ,2 ，根據(jù)幾何關系可知r2r1,1 sin12 sin2傍軸光線 sin則 1 122 ，寫成矩陣形式r210r1得證0122111 d2. 證明光線通過圖2.2所示厚度為 d 的平行平面介質(zhì)的光線變換矩陣為2。01證明：設入射光線坐標參數(shù)為r1 , 1 ，出射光線坐標參數(shù)為r2 , 2 ，入射光線首先經(jīng)界面1 折射，然后在介質(zhì) 2 中自由傳播橫向距離d，最后經(jīng)界面2 折射后出射。根據(jù) 1 題

2、的結(jié)論和自由傳播的光線變換矩陣可得10r22 021101d010r1化簡后r211 d r1得證。122120113試利用往返矩陣證明共焦腔為穩(wěn)定腔，即任意傍軸光線在其中可以往返無限多次，而且兩次往返即自行閉合。證：設光線在球面鏡腔內(nèi)的往返情況如下圖所示：精品文檔資料收集于網(wǎng)絡如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝其往返矩陣為：AB101L101L22TD101101CR1R2由于是共焦腔，則有R1R2L將上式代入計算得往返矩陣10T10T nTr TLTr TLn1 n 1 0nnA B1 n 1 012C D0 10 1可以看出，光線在腔內(nèi)往返兩次的變換矩陣為單位陣，所以光線兩次往返即自行閉合。于是

3、光線在腔內(nèi)往返任意多次均不會溢出腔外，所以共焦腔為穩(wěn)定腔。4. 試求平凹、雙凹、凹凸共軸球面鏡腔的穩(wěn)定性條件。0g1g21其中 g11L, g21L解：共軸球面腔穩(wěn)定性條件1R2R1對平凹共軸球面鏡腔有 R1, R2 0。則 g1 1, g2L1，再根據(jù)穩(wěn)定性條件R2L1 R2L 。0 g1 g2 1可得 0 1R2對雙凹共軸球面腔有， R10, R20 則 g11L , g2 1L ,根據(jù)穩(wěn)定性條件R1R2LLR1L0R1L0 g1 g2 1 可得 0 111或0 R2L 。R2R2LR1R1R2L對凹凸共軸球面鏡腔有，R10, R20 則 g11L , g21L0, 根據(jù)穩(wěn)定性條件R1R2

4、0 g1 g2 1 可得 0 1L1L1R1L。R2R1R2R1L精品文檔資料收集于網(wǎng)絡如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝5. 激光器的諧振腔由一面曲率半徑為1m 的凸面鏡和曲率半徑為2m 的凹面鏡組成，工作物質(zhì)長0.5m ，其折射率為1.52 ，求腔長 L 在什么范圍內(nèi)是穩(wěn)定腔。解：設兩腔鏡M 1 和 M 2 的曲率半徑分別為 R1 和 R2， R11m, R2 2m工作物質(zhì)長 l0.5m ，折射率1.52當腔內(nèi)放入工作物質(zhì)時, 穩(wěn)定性條件中的腔長應做等效, 設工作物質(zhì)長為 l, 工作物質(zhì)左右兩邊剩余的腔長分別為l1 和 l2 ，則 l1ll2L 。設此時的等效腔長為L ，則光在腔先經(jīng)歷自由傳播橫向

5、距離 l1 ，然后在工作物質(zhì)左側(cè)面折射，接著在工作物質(zhì)中自由傳播橫向距離l ，再在工作物質(zhì)右側(cè)面折射，最后再自由傳播橫向距離l 2 ，則1 L1 l 21 0 1 l101 l1010100101101l2ll101ll所以等效腔長等于Ll2l1(Ll )再利用穩(wěn)定性條件01LL(1)1121由(1) 解出則所以得到：2mL1m1LL0.5(1)L0.171.521.17m<L2.17m6.圖 2.3 所示三鏡環(huán)形腔，已知l ，試畫出其等效透鏡序列圖，并求球面鏡的曲率半徑R在什么范圍內(nèi)該腔是穩(wěn)定腔。圖示環(huán)形腔為非共軸球面鏡腔。在這種情況下，對于在由光軸組成的平面內(nèi)傳輸?shù)淖游绻饩€，式 (2

6、.2.7)中的 F( R cos ) / 2 ，對于在與此垂直的平面內(nèi)傳輸?shù)幕∈腹饩€，F(xiàn)R / (2cos) ，為光軸與球面鏡法線的夾角。精品文檔資料收集于網(wǎng)絡如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝平面鏡llRlR圖 2.1解：AB1l1012l1011CD011011FF14l4l 23l2l 2FF 2F2l 2212lF 2lF1AD13ll 22FF 2穩(wěn)定條件1l 23l11F 2Fl 23l20F 2Fll左邊有所以有21llF或210FFF對子午線：F子午R cos對弧矢線：F弧矢R2cos2對子午線和弧矢光線分別代入上述不等式得子午光線4 l2 l或 R4 l3R333弧矢光線l3 l 或

7、RR3l32任意光線需同時滿足子午線與弧矢線的條件得43R34 3ll 或 Rl923精品文檔資料收集于網(wǎng)絡如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝7.有一方形孔徑的共焦腔氦氖激光器，=30cmd2a0.12cm，=632.8nmL，方形孔邊長，鏡的反射率為 r1 1,r2 0.96 ，其他的損耗以每程0.003估計。此激光器能否作單模運轉(zhuǎn)？如果想在共焦鏡面附近加一個方形小孔闌來選擇TEM 00 模，小孔的邊長應為多大？試根據(jù)圖2.5.5作一個大略的估計。氦氖增益由公式eg0l13104ld估算（ l 為放電管長度，假設 lL ）解：TEM 01 模為第一高階橫模， 并且假定 TEM 00 和 TEM 01

8、 模的小信號增益系數(shù)相同，用 g0表示。要實現(xiàn)單模運轉(zhuǎn)，必須同時滿足下面兩個關系式g0 lr1 r2(10.003)1Ie00g0 lr1 r2(10.003)1IIe01根據(jù)已知條件求出腔的菲涅耳數(shù)Na20.0621.9L30 632.8107由圖 2.5.5 可查得 TEM 00和 TEM 01 模的單程衍射損耗為0 10 8.371 10 6氦氖增益由公式eg0 l1310 4Ld計算。代入已知條件有eg0l1.075 。將 eg 0l、00 、01 、 r1 和 r2的值代入 I 、 II式，兩式的左端均近似等于 1.05 ，由此可見式II的條件不能滿足，因此該激光器不能作單模運轉(zhuǎn)。為

9、了獲得基模振蕩，在共焦鏡面附近加一個方形小孔闌來增加衍射損耗。若滿足II 式的條件，則要求010.047根據(jù)圖 2.5.5 可以查出對應于01 的腔菲涅耳數(shù)N '0.90由菲涅耳數(shù)的定義可以算出相應的小孔闌的邊長2aLN '2300632.8 10 6 0.90.83mm同理利滿足 I 式的條件可得 2a0.7mm精品文檔資料收集于網(wǎng)絡如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝因此，只要選擇小孔闌的邊長滿足0.7mm2a0.83mm 即可實現(xiàn) TEM 00 模單模振蕩。8試求出方形鏡共焦腔面上TEM 30 模的節(jié)線位置，這些節(jié)線是等距分布的嗎？解：在厄米 - 高斯近似下，共焦腔面上的TEM 3

10、0模的場分布可以寫成x2 y2v30(x, y) C H32 x e (L / )I30L令 X2/( L ) x，則 I 式可以寫成x2y2v ( x, y) C30H3X e ( L / )30式中 H3X 為厄米多項式，其值為H3X8X 3 -12X由于厄米多項式的零點就是場的節(jié)點位置，于是令H 3 X0 ，得X1 0; X23/ 2; X33/ 2考慮到0sL / ，于是可以得到鏡面上的節(jié)點位置x10; x23320s ; x30s2所以， TEM 30 模在腔面上有三條節(jié)線，其x 坐標位置分別在 0 和3 0s / 2 處，節(jié)線之間位置是等間距分布的，其間距為30s / 2 ；而沿y

11、 方向沒有節(jié)線分布。9. 求圓形鏡共焦腔 TEM 20 和 TEM 02 模在鏡面上光斑的節(jié)線位置。解：在拉蓋爾高斯近似下，可以寫成如下的形式m2r 22rn2r0smn r ,CmnLme220 s0 scosmsin m對于 TEM mn ，兩個三角函數(shù)因子可以任意選擇，但是當m為零時，只能選余弦，否則無意義2r22r2r 2對于 TEM 20 ： 20 r ,C20L020 s2e20 s0s2并且 L22r1 ，代入上式，得到020scos2sin 2精品文檔資料收集于網(wǎng)絡如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝2r 22r220 r ,C20e 0 s0s取余弦項，根據(jù)題中所要求的結(jié)果，我們?nèi)o

12、s2，sin 220 r ,C202r2r 2，就能e0 s cos2020 s求出鏡面上節(jié)線的位置。即cos201, 2344同理，對于 TEM 02 ，2r02r2r 22r2r 200s00 sr ,C02L2e2C02 L2e2020s220 s0s02r 214r 22r 4L2224，代入上式并使光波場為零，得到0 s0 s0s2r04r22r4r 20 sr ,C021e2002240s0 s0s02r 214r 22r 40 即滿足上式顯然，只要L22240 s0s0 s鏡面上節(jié)線圓的半徑分別為：r1120s, r2120s2210. 今有一球面腔， R11.5m ， R21m

13、 ， L80cm。試證明該腔為穩(wěn)定腔；求出它的等價共焦腔的參數(shù)；在圖上畫出等價共焦腔的具體位置。解：該球面腔的 g 參數(shù)為g11L7g2 1LR1151.8R2由此， g1g20.85 ，滿足諧振腔的穩(wěn)定性條件0g1g21，因此，該腔為穩(wěn)定腔。由穩(wěn)定腔與共焦腔等價條件精品文檔資料收集于網(wǎng)絡如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝R1( z1f 2)z1R2(z2f 2 ) 和 0 1L1L1z2R1R2Lz2 z1可得兩反射鏡距離等效共焦腔中心O點的距離和等價共焦腔的焦距分別為z11.31mz20.51mf0.50m根據(jù)計算得到的數(shù)據(jù)，在下圖中畫出了等價共焦腔的具體位置。等價共焦腔R1R2z2z1OLff1

14、6某高斯光束腰斑大小為0 =1.14mm，=10.6 m。求與束腰相距30cm、 10m、1000m 遠處的光斑半徑及波前曲率半徑R。解：入射高斯光束的共焦參數(shù)f20 0.385m根據(jù)2z(z)=01fR( z)zf 2z求得：z30cm10m1000m(z)1.45mm2.97cm2.96mR(z)0.79m10.0m1000m精品文檔資料收集于網(wǎng)絡如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝17若已知某高斯光束之0 =0.3mm，=632.8nm 。求束腰處的 q 參數(shù)值，與束腰相距30cm 處的 q 參數(shù)值，以及在與束腰相距無限遠處的q 值。解：入射高斯光束的共焦參數(shù)f20 44.7cm根據(jù) q( z)

15、zq0 zif，可得束腰處的 q 參數(shù)為： q(0)44.7 icm與束腰相距 30cm 處的 q 參數(shù)為： q(30)(3044.7i )cm與束腰相距無窮遠處的q 參數(shù)為： R e (q), I m ( q) 44.7cm21某高斯光束0=1.2mm=10.6m=2cm，。今用F的鍺透鏡來聚焦，當束腰與透鏡的距離為10m、 1m、 10cm、 0 時，求焦斑的大小和位置，并分析所得的結(jié)果。解：入射高斯光束的共焦參數(shù)f200.427m設入射高斯光束的q 參數(shù)為 q1 ，像高斯光束的q 參數(shù)為 q2 ，根據(jù) ABCD法則可知111q1q2F其中q1lifl和f 分別為入射高斯光束的焦斑位置和共

16、焦參數(shù)； q2lif2l 和f 分別為像高斯光束的焦斑位置和共焦參數(shù)。 f0f20Fq1利用以上關系可得q2q1Fl10m1m10cm0l2.00cm2.08cm2.01cm2.00cm02.40m22.5m55.3 m56.2 m從上面的結(jié)果可以看出，由于f 遠大于 F，所以此時透鏡一定具有一定的聚焦作用，并且不論入射光束的束腰在何處，出射光束的束腰都在透鏡的焦平面上。22=10.6m0 =3mm=2cm'=20m0CO2激光器輸出光的凸透鏡距角， 求欲得到，用一 F及精品文檔資料收集于網(wǎng)絡如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝2.5 m時透鏡應放在什么位置。解：入射高斯光束的共焦參數(shù)f20 2

17、.67m設入射高斯光束的q 參數(shù)為 q1 ，像高斯光束的q 參數(shù)為 q2 ，根據(jù) ABCD法則可知111q1q2F其中q1lifl和f 分別為入射高斯光束的焦斑位置和共焦參數(shù)； q2lif2l 和f 分別為像高斯光束的焦斑位置和共焦參數(shù)。 f0f20Fq1利用以上關系可得q2q1F0020m時， l1.39m ，即將透鏡放在距束腰1.39m 處；2.5ml 23.87m，即將透鏡放在距束腰23.87m 處 。時，23如圖 2.6 光學系統(tǒng)，如射光=10.6 m，求"0 及 l3 。F1 2cmF2 5cm0 3mm'''00l1l 2 15cml 32cm圖

18、2.2解：先求經(jīng)過一個透鏡的作用之后的束腰半徑及位置由于 l1F1 ，所以l1F1 =2cm精品文檔資料收集于網(wǎng)絡如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝0F22.49m0所以對第二個透鏡，有l(wèi) l 2l13cm24f01.499 10m已知 F20.05m ，根據(jù)111q1q2F其中 q1l ifl 和f 分別為入射高斯光束的焦斑位置和共焦參數(shù)； q2lif22l 和 f 分別為像高斯光束的焦斑位置和共焦參數(shù)。 f0f0得0 14.06m， l 3 8.12cm24某高斯光束0 =1.2mm，=10.6m。今用一望遠鏡將其準直。主鏡用鍍金反射鏡R=1m，口徑為 20cm；副鏡為一鍺透鏡，F(xiàn)1 =2.5cm

19、，口徑為1.5cm；高斯束腰與透鏡相距l(xiāng) =1m，如圖 2.7所示。求該望遠系統(tǒng)對高斯光束的準直倍率。R1mF1 2.5cm0 1.2mml圖 2.3解：入射高斯光束的共焦參數(shù)為f20 0.427m由于 F1 遠遠的小于 l ，所以高斯光束經(jīng)過鍺透鏡后將聚焦于前焦面上，得到光斑的束腰半徑為F10.028mm00(l F1 )2f 2精品文檔資料收集于網(wǎng)絡如有侵權請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝這樣可以得到在主鏡上面的光斑半徑為(R)R6cm 10cm0即光斑尺寸并沒有超過主鏡的尺寸，不需要考慮主鏡孔徑的衍射效應。這個時候該望遠系統(tǒng)對高斯光束的準直倍率為2RlM12F12 50.9025激光器的諧振腔有兩個相

20、同的凹面鏡組成，它出射波長為的基模高斯光束，今給定功率計，卷尺以及半徑為a 的小孔光闌，試敘述測量該高斯光束公焦參數(shù)f 的實驗原理及步驟。解：一、實驗原理通過放在離光腰的距離為z的小孔 ( 半徑為) 的基模光功率為a2 a2P(z)P0 (1e2 ( z) )(I)式中， P0 為總的光功率，P( z) 為通過小孔的光功率。記P1 P( z) ，則有2 ( z)2a2(II)P0)ln(P1P0注意到對基模高斯光束有2(z)22z, f0ff在(II)式的兩端同時乘以/，則有z22 a2Pfln(0)fP0P1令2a2ln(P0)(III)AP0P1則z2Aff精品文檔資料收集于網(wǎng)絡如有侵權請

21、聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝解此關于 f 的二次方程，得fA( A)2z2(IV)22因為 a 、P0、1 、 z 都可以通過實驗測得，所以由(III) 及 (IV) 式就可以求得基模高斯光束P的共焦參數(shù)f 。二、實驗步驟O2aBz功率計探頭1如上圖所示，在高斯光束的軸線上某一點B 處放入于光軸垂直的光闌( 其孔半徑為a) ，用卷尺測量出 B到光腰 O(此題中即為諧振腔的中心) 的距離 z；2用激光功率計測出通過小孔光闌的光功率P1 ；3移走光闌，量出高斯光束的總功率P0 ；4將所得到的數(shù)據(jù)代入(III)及 (IV) 式即可求出f ( 根據(jù)實際情況決定(IV) 式根號前正負號的取舍 )。28.試用自變換公式的定義式 qc l clq0 （ 2.12.2），利用 q 參數(shù)來推導出自變換條件1 l 122式 F02l證明：