1、課程主要內容：一、兩個系統(tǒng)一、兩個系統(tǒng) 連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)。重點討論線性時不變時間系統(tǒng)。二、兩種分析方法二、兩種分析方法 時域分析方法和變域分析方法。三、三大數(shù)學變換三、三大數(shù)學變換 1、傅里葉變換 2、拉普拉斯變換 3、Z變換1.1概述（1）信息與信號 信息信息是信號的內容，信號信號是信息載體（信息的表現(xiàn)形式）。 （2）信號與系統(tǒng) 系統(tǒng)對（輸入）信號加工（處理或操作）,產生新的（輸出）信號。 系統(tǒng)系統(tǒng)是由若干相互關聯(lián)又相互作用的事物組合而成，具有某些特定功能的整體。 信號的產生、傳輸、加工和處理離不開系統(tǒng)，系統(tǒng)的特定功能是用其輸入與輸出信號的變換關系來描述的。信號與系統(tǒng)兩者間是密不可分的。一

2、個簡單的信號消噪(平滑)系統(tǒng)： 中位數(shù)中位數(shù)濾波器濾波器取f(n+p)在 (-q p q) 2q+1個數(shù)的中間值f(m) g(n) = f(m) 輸入信號f(n)輸出信號g(n)01002003004005006007008009001000-100-80-60-40-2002040608010001002003004005006007008009001000-100-80-60-40-20020406080100本例中q=1，即相鄰三點取中間值。1.2.1 信號的描述 信號信號是信息的一種物理體現(xiàn)。它一般是隨時間或位置變化的物理量。信號可以是時間的一元函數(shù)， 也可以是空間的二元函數(shù)，還可以是

3、變換域中變量的函數(shù)。信號信號通過數(shù)學表達式描述。1.2.2 信號的分類1 1、確定信號與隨機信號確定信號與隨機信號 可用確定性圖形、曲線或數(shù)學公式準確描述的信號稱為確定信號確定信號。否則稱為隨隨機信號機信號。對于f2(t)，在其間斷點處，可做如下補充定義：如間斷點t=1處定義 f2(1)=(f2(1-)+f2 (1+)/2=(1-1)/2=0或定義 f2(1)=1 , f2(t)=-1(1t2)(1)連續(xù)信號 在連續(xù)的時間范圍內(-t)有定義的信號稱為連續(xù)時間信號，簡稱連續(xù)信號。常稱為模擬信號。 連續(xù)信號在其定義域上連續(xù)取值，函數(shù)值不一定連續(xù)；而連續(xù)函數(shù)是指函數(shù)值連續(xù)，因此連續(xù)函數(shù)為連續(xù)信號，

4、反之卻不一定。 僅在一些離散的瞬間才有定義的信號稱為離散時間信號，簡稱離散信號。常稱為數(shù)字信號。 “離散”指信號的定義域-時間是離散的，它只在某些規(guī)定的離散瞬間給出函數(shù)值，其余時間點無定義。1,12,01.5,1( )2, 20,31,40, nnnf nnnnotherwise(), 0,1, 2,1.5, 2, 0,1, 0,fn0n連續(xù)周期信號f(t)滿足： f(t) = f(t + mT)， m = 0,1,2, (1.1)離散周期信號f(n)滿足： f(n) = f(n + mN)，m = 0,1,2, (1.2) 滿足上述關系的最小T或整數(shù)N稱為該信號的周期。0，T，0（N-1 1

5、）稱為連續(xù)和離散周期信號的主值區(qū)間。 不滿足條件(1.1)或(1.2)的信號稱為非周期信號。例例1.11.1 考察連續(xù)信號 ，判斷上述信號是否為周期信號，若為周期信號，則其周期為多少？1( )sin2cos3 f ttt2( ) cos2sinf ttt解：對于信號 而言， 與 的周期分別為 與 （最小周期）而 為 和 的周期，顯然它們的最小公共周期為 。故信號f1(t)為周期信號。21( )f tsin2tcos3tsin2tcos3t23 , , 3 ,222 , 2 , ,33233判斷準則判斷準則 兩個周期信號x(t)，y(t)的周期分別為T1和T2，若其周期之比 T1/T2 為有理數(shù)

6、，則兩周期信號的代數(shù)和仍然是周期信號， 其周期為T1和T2的最小公因子(x(t)，y(t)的最小公共周期)。對信號f2(t)，按上述判斷準則，其為非周期信號。解：設抽樣間隔（抽樣周期）為 Ts ，于是 例例1.21.2 正弦序列 為連續(xù)周期信號 等間隔抽樣后所得， 試分析該正弦序列為周期序列的條件， 若為周期序列，其周期？ 0( ) sin()f nn( ) sin()f tt02( ) sin()sin()2 sin() sin()ssf nttt nTtnTTTsnnT當2/0為有理數(shù)，有2/0=T/Ts=P/Q,其含義是正弦序列的抽樣間隔是通過取周期信號f(t)的Q個周期段 ，并取這個時

7、長的P等分后得到的，故而這個正弦序列是周期的，其周期為P。當2/0為無理數(shù)時，無論取多少個周期段，均無法用整數(shù)等分的方式獲得抽樣間隔，因此這樣的序列為非周期序列。（1）能量信號對于連續(xù)信號 ，如果有 （1.3）對于離散信號 ，如果有 （1.4）則稱 和 為能量信號。不滿足(1.3)或(1.4)的信號稱為能量無限信號。例如：一個單邊衰減的指數(shù)信號 為能量信號。而周期信號 為能量無限信號。2( )f t dt( )f t2( )f n ( 0,0)tAetcos( )t ( )f t( )f n( )f n對于連續(xù)信號 ，如果有 （1.5） 對于離散信號 ，如果有 （1.6） 則稱f(t)和f(n

8、)為功率信號。不滿足式(1.5)或(1.6)的信號稱為功率無限信號。()f t/2/221lim( )TTTf tdtT( )f n2/2/21lim( )NNkNf nN若信號f(t)為能量信號，則其也為功率信號。工程中常用的一般能量無限信號的平均功率是有限的。如周期信號為功率信號。 從信號數(shù)學表達式來看，信號可以表示為一個或多個變量的函數(shù)，稱為一維或多維信號。 語音信號可表示為聲壓隨時間變化的函數(shù)，這是一維信號。而一張黑白圖像每個點(像素)具有不同的光強度，任一點的光強度又是二維平面坐標中兩個變量的函數(shù)，這是二維信號。視頻信號為三維信號，現(xiàn)實生活場景為四維信號。 本課程只研究一維信號，且自

9、變量多為時間。一維信號常稱作時間信號。因果信號 反因果信號 1.3常用典型信號1 1、正弦信號正弦信號 （1.7）其中， 為幅值， 為初相位， 為角頻率。其周期 ，頻率 與角頻率 的關系為 （1.8） ( ) , ( ( ) 0 , 0 )f tf tt( ) , ( ( ) 0 , 0 )f tf tt( )sin()f tAtATf12 Tf( ) , ( g( ) 0 , 0 )g nnn( ) , ( ( ) 0 , 0 )g ng nnl當 為實常數(shù)時 隨時間t的增加單調增 隨時間t的增加單調減 為直流信號l當 為復常數(shù) 時 利用Euler公式，得當 時，f(t)的實部與虛部分別隨t

10、的增加單調增。當 時，f(t)的實部與虛部分別隨t的增加單調減。 （1.9）其中 為常數(shù)， 為常數(shù)（實常數(shù)或復常數(shù)）。( ) tf tAeA0 , ( ) 0 , ( ) 0 , ( )f tf tf tA()( )tjtf tAeAej()( )(cossin)jtj tttf tAeAe eAetjt00 （1.10） 其為偶函數(shù)，具有如下特性： 定義 有最大值 有局部極值 sin( )tSa tt0( )/2Sa t dt( )Sa t dt0( )( ) ),( ySi ySa t dtSi yy,( )2 ,3 ,. ( )ySi yySi y 抽樣信號不是實際物理裝置能產生的信號，

11、但在信號分析中有重要地位。 5 5、單位階躍序列單位階躍序列 （1.12）依據(jù)單位樣值信號與單位階躍序列的定義，有 ， （1.11）根據(jù)單位樣值信號定義，有 1 =0( ) 0 0nnn 1 =() 0 n mn mn m 1 0( ) 0 0nu nn0()()knku n( )( )(1)nu nu n1 1、斜變函數(shù)斜變函數(shù) （1.13） ， 利用單位階躍函數(shù)可方便表示單邊信號，如 ， 等。利用單位階躍信號可用來表示矩脈沖函數(shù) 。2 2、單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù) （1.14） 0( ) 0 0ttR tt 1 0( ) 0 0tu tt( )( )R ttu t( )( )dR tu t

12、dt( )tAeu t01( )()() G tu ttu ttsin() ( )tAetu t （1.15) 符號函數(shù)可用如下雙邊奇指數(shù)信號的極限來描述 符號函數(shù)與單位階躍信號的關系 1sgn( )1 t0t t0 0() 0ttetf tet0sgn( )lim ( )tf tsgn( )2 ( )1tu t4 4、單位沖激函數(shù)單位沖激函數(shù) “沖激函數(shù)”為描述作用時間極短，相應作用量值極大的一類物理現(xiàn)象的數(shù)學抽象。0從某些函數(shù)的極限定義單位沖激函數(shù) 用矩形脈沖逼近單位沖激函數(shù) ( )lim()kktSa kt還可選取其他函數(shù)來定義，如抽樣函數(shù)面積=101( )lim()()22tu tu

13、t （1.16）幅度=強度=1狄拉克（Dirac）定義 ， （1.17） 此定義與(1.16)的定義相符合。（2）單位沖激函數(shù)的性質取樣特性 若 在 處連續(xù)，其值為 ， 則有 篩選特性 若 在 處連續(xù)，其值為 ， 則有 ，類似有 為偶函數(shù)，即微分特性 尺度特性 ()f t0t t 0( )f t000( ) ()( ) ()f tt tf tt t()f t0t(0)f-( ) ( )(0)f tt dtf00-( ) ( - )( )f tt t dtf t( )( )tt( ) t( )( )d uttd t1()( )atta( )( )0 1 t dtt0t 由狄拉克函數(shù)定義(1.17

14、)，可知 00-00() ()() ()() ()() ()(0)f tt dtf tt dtf tt dtf tt dtf000-( ) ( - )( ) ()tft df t u t t -sin() ( )4tt dt0.9-7sin() ( )4tt dt130cos(2) (1)tettdt112()td21(1)( )td 2( )tde u tdt 222202(1)(1)t u tu t( )u t22( )( )te u tt例例1.31.3 綜合舉例若 在 處連續(xù)，則沖激偶函數(shù)是奇函數(shù)，即 單位沖激函數(shù)的微分 定義為單位沖激偶函數(shù)，記為 。按沖激函數(shù)定義(1.16)， 單位

15、沖激偶函數(shù)可看作矩形脈沖求導后， 時的極限，如下圖所示。 單位沖激偶函數(shù)在零點處有正負一對沖激，其強度為無窮大。( )dtdt ( ) t 0 ()f t 0t t00-( ) ( - ) ( )f tt t dtft ( )0t dt1.5.1 系統(tǒng)的描述 為了便于分析系統(tǒng)，需要建立系統(tǒng)模型。所謂模型，是系統(tǒng)物理特性的數(shù)學抽象。1 1、連續(xù)時間系統(tǒng)的描述連續(xù)時間系統(tǒng)的描述 連續(xù)時間系統(tǒng)通常用微分方程來描述（代數(shù)方程，一階或高階微分方程，非線性微分方程或微分方程組）。 一個n階微分方程（SISO）可能是 （1.18）1110111101( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnn

16、nmmmmmmd r tdr tdr taaaa r tdtdtdtd e tde tde tbbbb e tdtdtdt0na 單輸入單輸出系統(tǒng) 還可借助方框圖表示系統(tǒng)模型。如2 2、離散時間系統(tǒng)的描述離散時間系統(tǒng)的描述 離散時間系統(tǒng)的輸入與輸出是離散的時間序列,常用差分方程來描述。 N階差分方程(a00)(SISO)有如下兩種形式 后向差分方程 （1.19） 前向差分方程 （1.20）012012()(1)(2)( )( )(1)(2)()NMa r nNa r nNa r nNa r nb e nb e nb e nb e nM012012()(1)(2)( )( )(1)(2)()NM

17、a r nNar nNa r nNa r nb e nbe nb e nb e nM1 1、連續(xù)時間系統(tǒng)與離散時間系統(tǒng)連續(xù)時間系統(tǒng)與離散時間系統(tǒng) 系統(tǒng)描述中已討論。除此外，還有混合系統(tǒng)。2 2、動態(tài)系統(tǒng)與即時系統(tǒng)動態(tài)系統(tǒng)與即時系統(tǒng) 若系統(tǒng)在任一時刻的響應不僅與該時刻的激勵有關，而且與它過去的歷史狀況有關，則稱為動態(tài)系統(tǒng)動態(tài)系統(tǒng)或記憶系統(tǒng)記憶系統(tǒng)。含有記憶元件 (電容、電感等) 的系統(tǒng)是動態(tài)系統(tǒng)。否則稱即即時時系統(tǒng)系統(tǒng)或無記憶系統(tǒng)無記憶系統(tǒng)。 具有疊加性和均勻性（齊次性）的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。所謂疊加性指當幾個輸入信號（激勵）同時作用于系統(tǒng)時，總的輸出（響應）等于每個激勵單獨作用所產生的響應之和；

18、均勻性指當輸入信號乘以某常數(shù)時，響應也倍乘相同常數(shù)。不滿足疊加性和均勻性的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。判斷準則：若系統(tǒng)全響應可分解為零輸入響應與零狀態(tài) 響應之和。系統(tǒng)的零輸入響應與零狀態(tài)響滿足疊加性和 均勻性。滿足上述要求的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。例例1.41.4 考察下列四個系統(tǒng)（1）y(t)=3x(0)+2f(t)-5x(0)f(t)+9（2）y(t)=t2x(0)+2|f(t)|（3）y(t)=x3(0)+3f2(t)（4）y(t)=7t3x(0)+2t2f(t)其中x(0) 初始狀態(tài)， f(t)激勵， y(t)系統(tǒng)響應，判斷這幾個系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)。線性非線性非線性非線性4 4、時不變系統(tǒng)與時變系統(tǒng)時

19、不變系統(tǒng)與時變系統(tǒng) 如果描述系統(tǒng)的微分或差分方程的系數(shù)與時間t 或n無關，則該系統(tǒng)為“時不變系統(tǒng)時不變系統(tǒng)”，記作LTI(linear time invariant) 。如果有關則為“時變時變系統(tǒng)系統(tǒng)”。 由于系統(tǒng)參數(shù)不隨時間變換，系統(tǒng)響應與激勵施加于系統(tǒng)的時刻無關。當激勵x(t)，零狀態(tài)響應yzs(t)，則當激勵為x(t-t0)時(激勵延遲一段時間),零狀態(tài)響應為yzs(t-t0) (輸出響應也延遲相同時間)。 微分特性 若x(t) yzs(t), 則有x(t) yzs(t) 積分特性 若x(t) yzs(t), 則有 ( ) txd ( )zstyd解：已知x(t-)u(t-)-u(t-2)因此，有x(t-(t0+)u(t-t0-)-u(t-2t0-2) hr(t-t0)= u(t-t0-)-u(t-t0-2)所以該系統(tǒng)為時變系統(tǒng)。例例1.5 1.5 一個系統(tǒng)對x(t-)的零狀態(tài)響應為 x(t-)hr(t)=u(t-)-u(t-2) 該系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)嗎？5 5、集總參數(shù)系統(tǒng)與分布參數(shù)系統(tǒng)集總參數(shù)系統(tǒng)與分布參數(shù)系統(tǒng) 只由集總參數(shù)元件組成的系統(tǒng)是集總參數(shù)系統(tǒng)，一般用常微分方程描述其數(shù)學模型；