1、Real Analysis數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 曹麗霞曹麗霞臨沂師范學(xué)院數(shù)學(xué)系 臨沂師范學(xué)院數(shù)學(xué)系課題引入課題引入 第三節(jié)中，將有限集合“元素個數(shù)”的概念推廣到無限集合,通過在集合間建立一一映射,引入了集合的基數(shù)的概念. 大家比較熟悉、比較重要的三數(shù)集-自然數(shù)集合N、有理數(shù)集Q和實數(shù)集合R都是無限集合.它們給我們直觀的印象:自然數(shù)集合N “稀稀拉拉”排列在數(shù)軸上，有理數(shù)集Q“密密麻麻”排列在數(shù)軸上，實數(shù)集合R“密不透風(fēng)”地構(gòu)成實數(shù)直線，即數(shù)軸. 那么，它們的基數(shù)有什么不同么？ 下面我們將在第四節(jié)和第五節(jié)，對這些常見的無限集合的基數(shù)和運(yùn)算作較為詳盡的討論.臨沂師范學(xué)院數(shù)學(xué)系注：注

2、：A可數(shù)可數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) A可以寫成無窮序列的形式可以寫成無窮序列的形式a1, a2, a3, 1, 2, 3, 4, 5, 6,：與自然數(shù)集N對等的集合稱為可數(shù)集或可列集，其基數(shù)記為 a.2) 0,1上的有理數(shù)全體1 1( )nnf na a1, a2, a3, a4, a5, a6, 0,1,1 2,1 3,2 3,1 4,2 4,3 4,1 5,1) 0,1, 1,2, 2,3, 3, Z 臨沂師范學(xué)院數(shù)學(xué)系臨沂師范學(xué)院數(shù)學(xué)系*A則中的元素必是上述序列的一個無窮子序列：:中的元素可以排列成是一個可數(shù)集，則證明：設(shè)AA,321naaaa*AA若是 的有限子集，得證；,321knnnna

3、aaa是可數(shù)集。從而,321*knnnnaaaaA *AA若是 的無限子集，臨沂師范學(xué)院數(shù)學(xué)系推論推論 設(shè)設(shè) (1,2,3,)iA in是有限集或可數(shù)集是有限集或可數(shù)集,則則 1niiA也是有限集或可數(shù)集也是有限集或可數(shù)集,但如果至少有一個時，但如果至少有一個時， 1niiA可數(shù)集?？蓴?shù)集。 必為必為它們均為可數(shù)集。臨沂師范學(xué)院數(shù)學(xué)系. , 則*,BBA CCA令 *,AB且且*,ABABACAC 但B*作為B的子集仍為有限或可數(shù)集(定理2), 這樣就歸結(jié)到(1)的情形了.證畢.*AC臨沂師范學(xué)院數(shù)學(xué)系1nnA1 11 21 31 4,aaaa，2 12 22 32 4,aaaa，3 13 2

4、3 33 4,aaaa，4 14 24 34 4,aaaa，,，證明證明:臨沂師范學(xué)院數(shù)學(xué)系)1, 2()2 , 1 ()0 , 1()1 , 0 (QQQQQ臨沂師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,| ),(ByAxyxBA( , )|x Ax yyB 臨沂師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,| ),(QrQyxryxQQQA平面上坐標(biāo)為有理數(shù)的點全體所成的集為一可數(shù)集；平面上以有理點為圓心，有理數(shù)為半徑的圓全體A為可數(shù)集。臨沂師范學(xué)院數(shù)學(xué)系元素 12( ,)kn nn是由 k個正整數(shù)所組成的,其全體成一可數(shù)集. 整系數(shù)多項式1011nnnna xa xaxa的全體是一可數(shù)集.事實上,先固定 n，由定理6，整系數(shù)的 ，由定理6，整系數(shù)的的全體是一可數(shù)集，再用定理4即得。n次多項式每個多項式只有有限個根，所以得下面的定理。每個多項式只有有限個根，所以得下面的定理。臨沂師范學(xué)院數(shù)學(xué)系0nnPP為可數(shù)集（可數(shù)個可數(shù)集的并）110|,1,2, ,0nnnnninPa xaxaaZ in a0 (0)()nPZPZZZZnZ個