1、第三章第三章 算符算符3.1 3.1 算符算符(1) 算符定義算符定義：對(duì)一個(gè)函數(shù)施行某種運(yùn)算（或動(dòng)作）：對(duì)一個(gè)函數(shù)施行某種運(yùn)算（或動(dòng)作）得到另一個(gè)函數(shù)的符號(hào)。如：得到另一個(gè)函數(shù)的符號(hào)。如：dxdlg,令令 ，將其作用于一個(gè)函數(shù)，將其作用于一個(gè)函數(shù)f1(6x2-2x)，得到的，得到的將是另一個(gè)函數(shù)將是另一個(gè)函數(shù)f2，即：，即：d dx xd dD D 221f212x2x6xdxdfD(2) 算符的運(yùn)算規(guī)則：算符的運(yùn)算規(guī)則：算符的和、差：算符的和、差：令令 是將一函數(shù)乘以是將一函數(shù)乘以3的算符，則：的算符，則：3 36x18x2x6x3f3221 xfBxfAxfBA如：如： x2x2xx21

2、2e3x2x9e3x3e2x3ex3D算符的積：算符的積：即：先用算符積右邊的算符作用于函數(shù)，再用算符積即：先用算符積右邊的算符作用于函數(shù)，再用算符積左邊的算符作用于所得函數(shù)。左邊的算符作用于所得函數(shù)。 xfBAxfBA如：如： xfDx1xfxxfxxfdxdxfxD xfxxfdxdxxfDx由上可見(jiàn)，算符的乘法不一定滿足乘法交換律。一般由上可見(jiàn)，算符的乘法不一定滿足乘法交換律。一般來(lái)說(shuō)，來(lái)說(shuō)，ABBA算符的相等：算符的相等：若對(duì)于任意函數(shù)若對(duì)于任意函數(shù)f來(lái)說(shuō)，都有來(lái)說(shuō)，都有 則，算符則，算符 。由上例可知：。由上例可知：其中，其中， 稱為單位算符。另外還有零算符稱為單位算符。另外還有零算

3、符 。 xfBxfAB BA ADxDx1xD1 10 0 xxxxee1,eedxd1dxd算符滿足乘法結(jié)合律：算符滿足乘法結(jié)合律： CBACBA如：令如：令3C, xB,dxdA則有則有f3x3f3fDx13fxDfCBAf3x3f3xfDfCBA(3) 算符的對(duì)易：算符的對(duì)易： 定義算符定義算符 與與 的對(duì)易子的對(duì)易子 為算符為算符 ，即：即：ABB,AAB-BAAB-BAB,A若若 ，則算符，則算符 與與 是可對(duì)易的，否則是不可是可對(duì)易的，否則是不可對(duì)易的。對(duì)易的。ABBAAB如：如：03dxddxd3dxd, 3-1xdxddxdxdxd, x所以，算符所以，算符 與與 是是可對(duì)易可

4、對(duì)易的，而算符的，而算符 與與 是是不不可對(duì)易可對(duì)易的。的。3dxdx dxd(4)線性算符：線性算符：當(dāng)算符當(dāng)算符 滿足下列兩個(gè)條件時(shí)，我們稱滿足下列兩個(gè)條件時(shí)，我們稱算符算符 為線性算符：為線性算符：AA xfAcxcfAxgAxfAxgxfA式中，式中，f和和g為任意函數(shù)，為任意函數(shù)，c為任意常數(shù)。為任意常數(shù)。如：算符如：算符 為線性算符；為線性算符； 而平方根算符而平方根算符SQRT為非線性算符。為非線性算符。22dxd,dxd, x 注意：下列兩個(gè)等式成立的條件：注意：下列兩個(gè)等式成立的條件：CBCACBA對(duì)于任意算符都成立對(duì)于任意算符都成立 xfxfxfxfxfxfxfCBCACB

5、CACBCACBACBA算符的和算符的和算符的積算符的積算符的和算符的和算符的積算符的積CABACBA只有在算符只有在算符A為線性為線性算符時(shí)等式才成立算符時(shí)等式才成立 xfxfxfxfxfxfxfxfxfCABACABACABACBAACBCBA算符的和算符的和算符的積算符的積為線性算符為線性算符A A算符的和算符的和算符的算符的積3.2 3.2 本征函數(shù)、本征值和本征方程本征函數(shù)、本征值和本征方程 如果一個(gè)算符作用于某一函數(shù)的效果只簡(jiǎn)單地為如果一個(gè)算符作用于某一函數(shù)的效果只簡(jiǎn)單地為某一常數(shù)乘以原函數(shù)本身，即：某一常數(shù)乘以原函數(shù)本身，即： xkfxfA則，我們稱函數(shù)則，我們稱函數(shù)f(x)為算

6、符為算符A的具有本征值的具有本征值k的本征函數(shù)。的本征函數(shù)。上式稱為上式稱為本征方程本征方程。 例如：例如：2x2x2eedxd我們說(shuō)：我們說(shuō)：e2x是算符是算符 d/dx具有本征值具有本征值2的本征函數(shù)。的本征函數(shù)。求算符求算符d/dx所有的本征函數(shù)和本征值。其本征方程為：所有的本征函數(shù)和本征值。其本征方程為： xkfdxxdf kdxxfxdf等式兩端積分，得：等式兩端積分，得：為常數(shù)為常數(shù)其中其中AA,kxf，lnAkxeef。為另一常數(shù)為另一常數(shù)CCefkx,本征值本征值k可以是任意數(shù)。可以是任意數(shù)。但是，若我們要求函數(shù)但是，若我們要求函數(shù)f(x)是品優(yōu)波函數(shù)的話是品優(yōu)波函數(shù)的話,本征

7、值本征值k就有了限制。就有了限制。設(shè)：設(shè)：k為復(fù)數(shù)，那么為復(fù)數(shù)，那么ka+ib，其中，其中a，b為實(shí)數(shù)。這樣，為實(shí)數(shù)。這樣，f(x)=Ceaxeibx。若。若a為正，則當(dāng)為正，則當(dāng)x趨向無(wú)窮大時(shí)，趨向無(wú)窮大時(shí)，eax趨于趨于無(wú)窮大；若無(wú)窮大；若a為負(fù)，則當(dāng)為負(fù)，則當(dāng)x趨向負(fù)無(wú)窮大時(shí)，趨向負(fù)無(wú)窮大時(shí)，eax趨于無(wú)趨于無(wú)窮大。因此，邊界條件要求窮大。因此，邊界條件要求a0，而有純虛數(shù)的本征，而有純虛數(shù)的本征值，值，kib。3.3 3.3 算符與量子力學(xué)算符與量子力學(xué) xExxVdxd2m222前面已經(jīng)學(xué)過(guò)，一維單粒子的薛定諤方程為：前面已經(jīng)學(xué)過(guò)，一維單粒子的薛定諤方程為：其中，中括號(hào)里的整體實(shí)際是

8、一個(gè)算符，這個(gè)算符我其中，中括號(hào)里的整體實(shí)際是一個(gè)算符，這個(gè)算符我們叫做體系的哈密頓算符，用們叫做體系的哈密頓算符，用 來(lái)表示。它作用與體來(lái)表示。它作用與體系的狀態(tài)函數(shù)等于一個(gè)常數(shù)系的狀態(tài)函數(shù)等于一個(gè)常數(shù)E(體系的能量體系的能量)乘以原函數(shù)乘以原函數(shù)本身，所以該方程實(shí)際是本身，所以該方程實(shí)際是哈密頓算符的本征方程。本哈密頓算符的本征方程。本征值為體系的總能量征值為體系的總能量E，因此哈密頓算符為能量算符。，因此哈密頓算符為能量算符。H H量子力學(xué)的一個(gè)基本假設(shè)量子力學(xué)的一個(gè)基本假設(shè)：經(jīng)典力學(xué)中的物理量都有：經(jīng)典力學(xué)中的物理量都有一個(gè)與之相對(duì)應(yīng)的量子力學(xué)算符。同時(shí)假定：一個(gè)與之相對(duì)應(yīng)的量子力學(xué)算

9、符。同時(shí)假定：;zz,yy,xxzip,yip,xipzyx根據(jù)假定，對(duì)應(yīng)于物理量根據(jù)假定，對(duì)應(yīng)于物理量F的算符可以這樣得到的算符可以這樣得到:寫出寫出物理量物理量F做為笛卡兒坐標(biāo)和對(duì)應(yīng)動(dòng)量的函數(shù)的經(jīng)典力學(xué)做為笛卡兒坐標(biāo)和對(duì)應(yīng)動(dòng)量的函數(shù)的經(jīng)典力學(xué)表達(dá)式，然后將表達(dá)式，然后將笛卡兒坐標(biāo)和對(duì)應(yīng)動(dòng)量用其相應(yīng)的算笛卡兒坐標(biāo)和對(duì)應(yīng)動(dòng)量用其相應(yīng)的算符所代替。符所代替。如：寫出一維單粒子的動(dòng)能算符。如：寫出一維單粒子的動(dòng)能算符。第一步：寫出其用笛卡兒坐標(biāo)和對(duì)應(yīng)動(dòng)量的經(jīng)典力學(xué)第一步：寫出其用笛卡兒坐標(biāo)和對(duì)應(yīng)動(dòng)量的經(jīng)典力學(xué)表達(dá)式：表達(dá)式：2mpm21T2x2x第二步：將第二步：將笛卡兒坐標(biāo)和對(duì)應(yīng)動(dòng)量用相應(yīng)的算符

10、代替，笛卡兒坐標(biāo)和對(duì)應(yīng)動(dòng)量用相應(yīng)的算符代替，就得到動(dòng)能的算符為：就得到動(dòng)能的算符為：2222xdxd2m2mpT一般來(lái)說(shuō)，體系的勢(shì)能函數(shù)所對(duì)應(yīng)的算符為：一般來(lái)說(shuō)，體系的勢(shì)能函數(shù)所對(duì)應(yīng)的算符為： xVxV這樣，體系的總能量算符為：這樣，體系的總能量算符為： xVdxd2mVT222此即體系的哈密頓算符，所以此即體系的哈密頓算符，所以哈密頓算符為體系的總哈密頓算符為體系的總的能量算符。的能量算符。量子力學(xué)算符與體系性質(zhì)的關(guān)系：量子力學(xué)算符與體系性質(zhì)的關(guān)系：每個(gè)量子力學(xué)算符每個(gè)量子力學(xué)算符有其自己的一套本征函數(shù)和本征值。若有其自己的一套本征函數(shù)和本征值。若 是是 的具有的具有本征值本征值ai的本征函

11、數(shù)，則有：的本征函數(shù)，則有：iFiiiaF量子力學(xué)又一個(gè)基本的假設(shè)：量子力學(xué)又一個(gè)基本的假設(shè)：對(duì)體系性質(zhì)對(duì)體系性質(zhì)F的每一次測(cè)的每一次測(cè)量只能得到其本征值量只能得到其本征值ai之一。之一。若體系所處的狀態(tài)為若體系所處的狀態(tài)為F的的具有本征值具有本征值ai的的本征函數(shù)，那么對(duì)性質(zhì)本征函數(shù)，那么對(duì)性質(zhì)F的每一次測(cè)量的每一次測(cè)量肯定得到確定值肯定得到確定值ai。若體系所處的狀態(tài)不是若體系所處的狀態(tài)不是F的本征函的本征函數(shù)，對(duì)性質(zhì)數(shù)，對(duì)性質(zhì)F的每一次測(cè)量得到是其本征值之一，但不的每一次測(cè)量得到是其本征值之一，但不能確定是哪一個(gè)本征值能確定是哪一個(gè)本征值?？紤]動(dòng)量：考慮動(dòng)量：kpxkdxdi - 求解可

12、得，其本征函數(shù)為：求解可得，其本征函數(shù)為：ikx/Ae為了使其本征函數(shù)為品優(yōu)波函數(shù)，本征值為了使其本征函數(shù)為品優(yōu)波函數(shù)，本征值k必須是實(shí)數(shù)。必須是實(shí)數(shù)。這很顯然是合理的，因?yàn)閷?duì)動(dòng)量的測(cè)量不可能得到虛這很顯然是合理的，因?yàn)閷?duì)動(dòng)量的測(cè)量不可能得到虛數(shù)?？梢?jiàn)在動(dòng)量算符中包含虛數(shù)數(shù)?？梢?jiàn)在動(dòng)量算符中包含虛數(shù)i是為了保證其本征值是為了保證其本征值為實(shí)的。為實(shí)的。考慮一維勢(shì)箱中一粒子的動(dòng)量考慮一維勢(shì)箱中一粒子的動(dòng)量：在一維勢(shì)箱中，粒子：在一維勢(shì)箱中，粒子的態(tài)函數(shù)及對(duì)應(yīng)的能量為：的態(tài)函數(shù)及對(duì)應(yīng)的能量為： lxnsinl22228mlhnE px常數(shù)常數(shù)此時(shí)此時(shí)這樣，當(dāng)粒子處在量子數(shù)為這樣，當(dāng)粒子處在量子數(shù)為

13、n的定態(tài)時(shí)，對(duì)其動(dòng)量的測(cè)的定態(tài)時(shí)，對(duì)其動(dòng)量的測(cè)量就不能給出確定值。量就不能給出確定值。4lhnp2222x但是，由于但是，由于這樣，動(dòng)量平方的測(cè)量?jī)H有的可能值這樣，動(dòng)量平方的測(cè)量?jī)H有的可能值 。2224lhn3.4 3.4 平均值平均值當(dāng)體系所處的狀態(tài)函數(shù)不是算符當(dāng)體系所處的狀態(tài)函數(shù)不是算符F的本征函數(shù)時(shí)，對(duì)性的本征函數(shù)時(shí)，對(duì)性質(zhì)質(zhì)F的每一次測(cè)量得到是其本征值之一。那么對(duì)一個(gè)態(tài)的每一次測(cè)量得到是其本征值之一。那么對(duì)一個(gè)態(tài)函數(shù)為函數(shù)為的體系其性質(zhì)的體系其性質(zhì)F的平均值如何得到呢？的平均值如何得到呢？實(shí)驗(yàn)上實(shí)驗(yàn)上，我們可以取大量獨(dú)立的體系，每個(gè)都處于同，我們可以取大量獨(dú)立的體系，每個(gè)都處于同樣的態(tài)

14、樣的態(tài)，在每個(gè)體系中做性質(zhì)，在每個(gè)體系中做性質(zhì)F的測(cè)量。的測(cè)量。F的平均值的平均值就定義為觀測(cè)到的值的算術(shù)平均。量子力學(xué)中如何得就定義為觀測(cè)到的值的算術(shù)平均。量子力學(xué)中如何得到到F的平均值呢？的平均值呢？假設(shè)：假設(shè)：性質(zhì)性質(zhì)F的平均值可通過(guò)下式得到：的平均值可通過(guò)下式得到：dFF注意：注意： 和和 與與 是不一樣的。是不一樣的。FFF如果如果為算符為算符F的本征函數(shù)，即：的本征函數(shù)，即：那么：那么：kFkdkkdFFd很顯然，這是合理的，因?yàn)閷?duì)性質(zhì)很顯然，這是合理的，因?yàn)閷?duì)性質(zhì)F每次的測(cè)量總是得每次的測(cè)量總是得到到k，所以其平均值必是，所以其平均值必是k。ddFF若若是歸一化的，則是歸一化的，則例如：三維勢(shì)箱中例如：三維勢(shì)箱中x坐標(biāo)的平均值為：坐標(biāo)的平均值為： a0dxxxfxfdxxxfxfdzzhzhdyygygdxxxfxfdxdydzzhygxxfzhygxfxxd對(duì)于體系的基態(tài)來(lái)說(shuō)：對(duì)于體系的基態(tài)來(lái)說(shuō)： 2adxaxxsina2dxxxfxfxa02a03.5 3.5 簡(jiǎn)并性簡(jiǎn)并性定理：定理：簡(jiǎn)并能級(jí)的簡(jiǎn)并能級(jí)的n個(gè)波函數(shù)的任意線性組合仍是哈密個(gè)波函數(shù)的任意線性組合仍是哈密頓算符的具有