1、16.5 6.5 麥克斯韋速率分布定律麥克斯韋速率分布定律 - - 185918592 引引 言言 對(duì)于一個(gè)處于平衡態(tài)的系統(tǒng)，若在某個(gè)時(shí)刻去觀對(duì)于一個(gè)處于平衡態(tài)的系統(tǒng)，若在某個(gè)時(shí)刻去觀察某個(gè)分子，其速度的大小和方向均不可預(yù)料，是偶察某個(gè)分子，其速度的大小和方向均不可預(yù)料，是偶然的。然而，在一定的條件下，從大量分子的整體看，然的。然而，在一定的條件下，從大量分子的整體看，它們的速率分布遵循著一定統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。它們的速率分布遵循著一定統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。一一 統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的演示統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的演示伽伽耳耳頓頓板板3二二 麥克斯韋速率分布定律麥克斯韋速率分布定律研究氣體分子的速率分布研究氣體分子的速率分布(1) 把

2、速率分成若干相等區(qū)間把速率分成若干相等區(qū)間;(2) 求氣體在平衡態(tài)下分布在各區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)求氣體在平衡態(tài)下分布在各區(qū)間內(nèi)的分子數(shù);(3) 各區(qū)間的分子數(shù)占?xì)怏w分子總數(shù)的百分比。各區(qū)間的分子數(shù)占?xì)怏w分子總數(shù)的百分比。分布表分布表 分布曲線分布曲線 分布函數(shù)分布函數(shù)1 速率分布的幾種表示形式速率分布的幾種表示形式4Hg分分子子在在某某溫溫度度時(shí)時(shí)V(m/s)(N/N)*100%90以下以下6.290 14010.32140 19018.93190 24022.7240 29018.3290 34012.8340 3906.2390以上以上4.0(1) 速率速率分布表分布表速率分布速率分布：各不同速

3、率范圍內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。：各不同速率范圍內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。5(2) 速率分布速率分布矩方圖：矩方圖：1) 每個(gè)小長(zhǎng)方形每個(gè)小長(zhǎng)方形面積面積代表某速率區(qū)間的分子數(shù)代表某速率區(qū)間的分子數(shù) 占總分子數(shù)的百分比占總分子數(shù)的百分比 N/N2) 所有小面積的和恒等于一；所有小面積的和恒等于一；3)0v 時(shí)，小矩形面積的端點(diǎn)時(shí)，小矩形面積的端點(diǎn)連成一函數(shù)曲線連成一函數(shù)曲線速率分布函數(shù)曲線速率分布函數(shù)曲線vvf)(6.2%10.32%18.93%22.7%18.3%12.8%6.2%4.0%0 90 140 190 240 290 340 390 vNNv 6(3) 速率分布函數(shù)、曲線

4、速率分布函數(shù)、曲線1) 每個(gè)小長(zhǎng)方形每個(gè)小長(zhǎng)方形面積面積代表某代表某速率區(qū)間速率區(qū)間的分子的分子數(shù)占總分子數(shù)的數(shù)占總分子數(shù)的百分比百分比dN/N1)(0 dvvf2)(vf3)極大值處對(duì)應(yīng)的速率極大值處對(duì)應(yīng)的速率)(vf最概然速率最概然速率pv附近單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比附近單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比最大最大pvpv)(vfvdvvv NdvdNvf )(7dvvekTmNdNkTmv222/3224 在平衡態(tài)下，理想氣體分子速度分布是有規(guī)律的，這個(gè)在平衡態(tài)下，理想氣體分子速度分布是有規(guī)律的，這個(gè)規(guī)律叫規(guī)律叫麥克斯韋速度分布律麥克斯韋速度分布律。若不考慮分子速度的方向

5、，。若不考慮分子速度的方向，則叫麥克斯韋速率分布律。則叫麥克斯韋速率分布律。1895，麥克斯韋應(yīng)用，麥克斯韋應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法統(tǒng)計(jì)方法推導(dǎo)出速率分布定律。推導(dǎo)出速率分布定律。(1) 分布分布定律定律2 麥克斯韋速率分布定律麥克斯韋速率分布定律物理意義物理意義：對(duì)于一定量的氣體，在溫度為：對(duì)于一定量的氣體，在溫度為T的平衡態(tài)下，的平衡態(tài)下，氣體分子速率氣體分子速率vv+dv區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)dN占總分子數(shù)占總分子數(shù)N的百分比的百分比 (概率概率)。8在平衡態(tài)下，理想氣體分子速度分布是有規(guī)律的，這個(gè)在平衡態(tài)下，理想氣體分子速度分布是有規(guī)律的，這個(gè)規(guī)律叫麥克斯韋速度分布律。若不考慮分子速度的方向

6、，規(guī)律叫麥克斯韋速度分布律。若不考慮分子速度的方向，則叫麥克斯韋速率分布律。則叫麥克斯韋速率分布律。1895，麥克斯韋應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法推導(dǎo)出速率分布定律。，麥克斯韋應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法推導(dǎo)出速率分布定律。(2) 麥克斯韋速率分布函數(shù)麥克斯韋速率分布函數(shù)2 麥克斯韋速率分布定律麥克斯韋速率分布定律物理意義物理意義：對(duì)于一定量的氣體，在溫度為：對(duì)于一定量的氣體，在溫度為T的平衡態(tài)下，的平衡態(tài)下，氣體分子速率出現(xiàn)在氣體分子速率出現(xiàn)在v附近、附近、單位速率區(qū)間單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)內(nèi)的分子數(shù)dN占總分子數(shù)占總分子數(shù)N的百分比的百分比 (概率概率)。222/3224)(vekTmNdvdNvfkTmv 9麥克斯韋速

7、率分布函數(shù)麥克斯韋速率分布函數(shù)1）分子速率在分子速率在0內(nèi)各種可能內(nèi)各種可能值，但所占比率不同，具有中等值，但所占比率不同，具有中等速率的分子數(shù)所占比率較大，兩速率的分子數(shù)所占比率較大，兩邊的分子數(shù)所占百分比較小。邊的分子數(shù)所占百分比較小。歸一化條件：歸一化條件：1)(0 dvvf2）曲線下所包圍的面積為曲線下所包圍的面積為1 - 分布函數(shù)歸一化。分布函數(shù)歸一化。3）最概然速率最概然速率（最可幾速率）（最可幾速率） 分布曲線的峰值所對(duì)應(yīng)的速率。分布曲線的峰值所對(duì)應(yīng)的速率。氣體中分子速率與最概然速率相近的分子數(shù)最多氣體中分子速率與最概然速率相近的分子數(shù)最多(單位區(qū)間單位區(qū)間)vOdvvfNdN)

8、( NdvdNvf )(dvvv pv101 最概然速率最概然速率 (最可幾速率最可幾速率)物理意義：物理意義：vp與分布函數(shù)與分布函數(shù)f(v)的極大值相對(duì)應(yīng)的速率。的極大值相對(duì)應(yīng)的速率。極值條件極值條件0)( pvvdvvdf三三 分子速率的三個(gè)統(tǒng)計(jì)值分子速率的三個(gè)統(tǒng)計(jì)值222/3224)(vekTmNdvdNvfkTmv RTRTmkTvp41. 122 0)22(2242222/322 pvvkTmvkTmvvekTmvvekTm 0)22224222/32 pvvkTmvkTmvvvekTm 112 平均速率平均速率v大量大量分子速率的統(tǒng)計(jì)平均值分子速率的統(tǒng)計(jì)平均值NNvviiii 0

9、對(duì)于連續(xù)分布對(duì)于連續(xù)分布 0)(dvvvfNdNvNvdNv RTRTmkTv60.188 0222/3224dvvekTmvkTmv 0232/3224dvevkTmkTmv )(22422/3mkTkTm mkT 8 123 方均根速率方均根速率2v大量分子速率的平方平均值的平方根大量分子速率的平方平均值的平方根 02022)(dvvfvNdNvv RTRTmkTv73. 1332 mkT3 0222/32224dvvekTmvkTmv 0242/3224dvevkTmkTmv kTvmEt2321_2 mkTv3_2 ANRk 13三種不同速率的公式三種不同速率的公式 RTRTmkTv7

10、3. 1332 RTRTmkTv60.188 RTRTmkTvp41. 122 1 最概然速率最概然速率2 平均速率平均速率3 方均根速率方均根速率vp與分布函數(shù)與分布函數(shù)f(v)的極大值相對(duì)應(yīng)的速率，的極大值相對(duì)應(yīng)的速率，即即氣體中分氣體中分子速率與最概然速率相近的分子數(shù)最多子速率與最概然速率相近的分子數(shù)最多(單位區(qū)間單位區(qū)間)。v大量大量分子速率的統(tǒng)計(jì)平均值分子速率的統(tǒng)計(jì)平均值2v大量大量分子速率的平方平均值的平方根分子速率的平方平均值的平方根14測(cè)定分子速率分布的實(shí)驗(yàn)裝置測(cè)定分子速率分布的實(shí)驗(yàn)裝置圓筒不轉(zhuǎn)，分子束的分子圓筒不轉(zhuǎn)，分子束的分子都射在都射在P P處處圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)，分子束的速率不同

11、的分子將射在不同位置圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)，分子束的速率不同的分子將射在不同位置vDt vDt vDDl222 G為一彎曲玻璃板，可沉為一彎曲玻璃板，可沉積入射到上面的各種速率積入射到上面的各種速率的的Hg分子分子lDv22 ABSP P G 分分子子源源真空室真空室狹縫狹縫圓圓筒筒15速率分布速率分布f(v)與與T、m的關(guān)系的關(guān)系10 不同溫度下的同種氣體不同溫度下的同種氣體?or,2121TTTT 112RTvp 222RTvp 21ppvv 2T1T)(vfv1pv2pvT1 T2 隨著溫度的升高，曲線變得平坦，以隨著溫度的升高，曲線變得平坦，以保證曲線下包圍的面積不變。保證曲線下包圍的面積不變。16

12、20 同溫度下的不同種氣體同溫度下的不同種氣體 RTvp2 21ppvv 21 O2, H2對(duì)應(yīng)哪條曲線？對(duì)應(yīng)哪條曲線？v)(vf1pv2pv12曲線曲線1對(duì)應(yīng)的是對(duì)應(yīng)的是O2曲線曲線2對(duì)應(yīng)的是對(duì)應(yīng)的是H217說(shuō)出下列各式的物理意義說(shuō)出下列各式的物理意義)(1)vfdvvf)()2(Nvf)()3(對(duì)于一定量的氣體，在溫度為對(duì)于一定量的氣體，在溫度為T的平衡態(tài)下，氣體分子速率的平衡態(tài)下，氣體分子速率vv+dv區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)N占總分子數(shù)占總分子數(shù)N的百分比的百分比 (概率概率)。對(duì)于一定量的氣體，在溫度為對(duì)于一定量的氣體，在溫度為T的平衡態(tài)下，氣體分子速率的平衡態(tài)下，氣體分子速率出

13、現(xiàn)在出現(xiàn)在v附近、單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)附近、單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)N占總分子數(shù)占總分子數(shù)N的的百分比百分比 (概率概率)。對(duì)于一定量的氣體，在溫度為對(duì)于一定量的氣體，在溫度為T的平衡態(tài)下，氣體分子速率的平衡態(tài)下，氣體分子速率出現(xiàn)在出現(xiàn)在v附近、單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)附近、單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)NNdvdN NdN dvdNNNdvdN 18對(duì)于一定量的氣體，在溫度為對(duì)于一定量的氣體，在溫度為T的平衡態(tài)下，氣體分子速率的平衡態(tài)下，氣體分子速率v1v2區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)N占總分子數(shù)占總分子數(shù)N的百分比的百分比 (概率概率)。對(duì)于一定量的氣體，在溫度為對(duì)于一定量的氣體，在溫度為T的平衡態(tài)

14、下，氣體分子速率的平衡態(tài)下，氣體分子速率v1v2區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)N。 21)()4(vvdvvf 21)()6(vvdvvNfNNdvNdvdNvvvv2121 21vvNNdNN 說(shuō)出下列各式的物理意義說(shuō)出下列各式的物理意義氣體分子速率氣體分子速率0vp區(qū)間內(nèi)的概率區(qū)間內(nèi)的概率或或氣體分子速率氣體分子速率0vp區(qū)間區(qū)間內(nèi)分子數(shù)內(nèi)分子數(shù)dN占總分子數(shù)占總分子數(shù)N的百分比的百分比 (概率概率)。 pvdvvf0)()5(NNpv 019對(duì)于一定量的氣體，在溫度為對(duì)于一定量的氣體，在溫度為T的平衡態(tài)下，氣體分子速率的平衡態(tài)下，氣體分子速率平方的平均值。平方的平均值。對(duì)于一定量的氣體，在

15、溫度為對(duì)于一定量的氣體，在溫度為T的平衡態(tài)下，氣體分子速率的平衡態(tài)下，氣體分子速率的平均值。的平均值。 0)()7(dvvvf 02)()8(dvvfv說(shuō)出下列各式的物理意義說(shuō)出下列各式的物理意義對(duì)于一定量的氣體，在溫度為對(duì)于一定量的氣體，在溫度為T的平衡態(tài)下，氣體分子速率的平衡態(tài)下，氣體分子速率在在v1v2區(qū)間內(nèi)的平均值和在該區(qū)間概率的乘積。區(qū)間內(nèi)的平均值和在該區(qū)間概率的乘積。 21)()9(vvdvvvfdvNdvdNvvv 21 21vvNdNvNNNvdNvvvvvv212121 v 2v 20速率速率介于介于v1v2之間的氣體分子的平均速率的計(jì)算之間的氣體分子的平均速率的計(jì)算 212

16、121)()(vvvvvvdvvfdvvvfv 2121)(vvvvdvvvfv一般地，對(duì)于變量一般地，對(duì)于變量v的某個(gè)函數(shù)的某個(gè)函數(shù)g(v) 的平均值可以表示為：的平均值可以表示為： 00)()()()(dvvfdvvfvgvg思考題：思考題：某物理量平均值的計(jì)算某物理量平均值的計(jì)算 2121)(vvvvdvNdvdNvdvvvf 21vvNdNvNNNNvvvvvvvii212121 NNvvvii 21NNvvvvv2121 21例例1 設(shè)想有設(shè)想有N個(gè)氣體分子，其速率分布函數(shù)為個(gè)氣體分子，其速率分布函數(shù)為 00000)()(vvvvvvAvvf試求試求: (1)常數(shù)常數(shù)A；(2)最可幾

17、速率最可幾速率、平均速率和方均根速率；平均速率和方均根速率；(3)速率介于速率介于0v0/3之間的分子數(shù)；之間的分子數(shù)；(4)速率介于速率介于0v0/3之間的氣之間的氣體分子的平均速率。體分子的平均速率。)(vfov0v解：解： (1) 氣體分子的分布曲線如圖氣體分子的分布曲線如圖由歸一化條件由歸一化條件1)(0 dvvf16)(30000 vAdvvvAvv306vA 22(2) 最可幾速率由最可幾速率由0)( pvdvvdf決定決定20vvp 平均速率平均速率 0)( dvvvfv方均速率方均速率 022)( dvvfvv方均根速率為方均根速率為02103vv 0003000)(6)(vv

18、vvvvvvvf0)2()(0 ppvvvvAdvvdf即即2)(60002300vdvvvvvv 2000330103)(60vdvvvvvv 23(3) 速率速率介于介于0v0/3之間的分子數(shù)之間的分子數(shù) dNN(4) 速率速率介于介于0v0/3之間的氣體分子平均速率為之間的氣體分子平均速率為143277)(603002300vNdvvvvvNv 0003000)(6)(vvvvvvvvvf 300)(vdvvNf277)(6300300NdvvvvvNv 303030000vvvdNvdNv24作業(yè)：作業(yè)： 練習(xí)十五、十六練習(xí)十五、十六25例例2 設(shè)想有設(shè)想有N個(gè)氣體分子，其速率分布曲線如圖所示。設(shè)個(gè)氣體分子，其速率分布曲線如圖所示。設(shè)v0, N為已知，分子的質(zhì)量為為已知，分子的質(zhì)量為m。試求。試求: (1)用用v0, N表示表示a；(2)速率速率在在0.5v01.5v0之間的分子數(shù)之間的分子數(shù)；(3)分子的平均速率；分子的平均速率；(4)分子的分子的平均平動(dòng)動(dòng)能。平均平動(dòng)動(dòng)能。解：解： (1) 氣體分子的速率分布曲線知?dú)怏w分子的速率分布曲線知由歸一化