1、*MCM1第二章、初等模型第二章、初等模型 對(duì)于一些較簡(jiǎn)單的問題，只需要應(yīng)用初等數(shù)學(xué)對(duì)于一些較簡(jiǎn)單的問題，只需要應(yīng)用初等數(shù)學(xué)或簡(jiǎn)單的微積分知識(shí)即可建模加以研究。而對(duì)于一或簡(jiǎn)單的微積分知識(shí)即可建模加以研究。而對(duì)于一些過于復(fù)雜的黑箱模型，如果目前還沒有可能作深些過于復(fù)雜的黑箱模型，如果目前還沒有可能作深入細(xì)致的研究，那么，應(yīng)用初等方法對(duì)它先作一番入細(xì)致的研究，那么，應(yīng)用初等方法對(duì)它先作一番粗略的分析研究也是十分有意義的。本章將結(jié)合實(shí)粗略的分析研究也是十分有意義的。本章將結(jié)合實(shí)例，介紹一些對(duì)問題作粗略研究的技巧與方法。例，介紹一些對(duì)問題作粗略研究的技巧與方法。*MCM2 某航空母艦派其護(hù)衛(wèi)艦去搜尋一

2、名被迫跳傘的飛行員，某航空母艦派其護(hù)衛(wèi)艦去搜尋一名被迫跳傘的飛行員，護(hù)衛(wèi)艦找到飛行員后，航母向護(hù)衛(wèi)艦通報(bào)了航母當(dāng)前的位護(hù)衛(wèi)艦找到飛行員后，航母向護(hù)衛(wèi)艦通報(bào)了航母當(dāng)前的位置、航速與航向，并指令護(hù)衛(wèi)艦盡快返回，問護(hù)衛(wèi)艦應(yīng)當(dāng)置、航速與航向，并指令護(hù)衛(wèi)艦盡快返回，問護(hù)衛(wèi)艦應(yīng)當(dāng)怎樣航行，才能在最短時(shí)間內(nèi)與航母匯合。怎樣航行，才能在最短時(shí)間內(nèi)與航母匯合。 2.1 2.1 艦艇的會(huì)合艦艇的會(huì)合 為計(jì)算方便，我們?yōu)橛?jì)算方便，我們假設(shè)海洋是一個(gè)平面，假設(shè)海洋是一個(gè)平面，建立平面直角坐標(biāo)系如建立平面直角坐標(biāo)系如圖圖 2 - 12 - 1 所 示 ， 航 母 在所 示 ， 航 母 在A(0,b)A(0,b)處，護(hù)衛(wèi)

3、艦在處，護(hù)衛(wèi)艦在B(0B(0，b)b)處，兩者間的距離處，兩者間的距離設(shè)為設(shè)為2b2b。圖圖2-12-1*MCM3 設(shè)航母沿與設(shè)航母沿與x x軸正向夾角為軸正向夾角為 的方向以速度的方向以速度v v1 1行駛行駛( (假設(shè)假設(shè)v v1 1為常數(shù)為常數(shù)) )，護(hù)衛(wèi)，護(hù)衛(wèi) 艦將沿與艦將沿與x x軸正向夾角為軸正向夾角為 的的方向以速度方向以速度v v2 2行駛行駛, , 并設(shè)匯合地點(diǎn)為并設(shè)匯合地點(diǎn)為P(x,y)P(x,y)。我們記。我們記 ( (設(shè)設(shè)v v2 2為常數(shù)，從而為常數(shù)，從而 亦為常數(shù)，后面會(huì)說明，令亦為常數(shù)，后面會(huì)說明，令v v2 2為為常數(shù)是有理由的常數(shù)是有理由的) )。1221va

4、va討論討論 根據(jù)題意，護(hù)衛(wèi)艦和航母將在某段時(shí)間之后同根據(jù)題意，護(hù)衛(wèi)艦和航母將在某段時(shí)間之后同時(shí)到達(dá)會(huì)合地點(diǎn)，護(hù)衛(wèi)艦到達(dá)會(huì)合地點(diǎn)所行進(jìn)的距離時(shí)到達(dá)會(huì)合地點(diǎn)，護(hù)衛(wèi)艦到達(dá)會(huì)合地點(diǎn)所行進(jìn)的距離應(yīng)該為航母行進(jìn)距離的應(yīng)該為航母行進(jìn)距離的 倍，即倍，即 ，將各點(diǎn)坐，將各點(diǎn)坐標(biāo)帶入得：標(biāo)帶入得：aBPa AP22222()() )xybaxyb*MCM4此方程為會(huì)合地點(diǎn)的軌跡方程。此方程為會(huì)合地點(diǎn)的軌跡方程。故故 2222222(1)(1)2(1)(1)0axayabyab（2.12.1） 若若 ，即航母速度與護(hù)，即航母速度與護(hù)衛(wèi)艦速度相等，則衛(wèi)艦速度相等，則(2.1)(2.1)式可式可化為化為 ，其解為，

5、其解為y=0y=0。因。因此這種情況下會(huì)合地點(diǎn)必然在此這種情況下會(huì)合地點(diǎn)必然在線段線段ABAB的垂直平分線即的垂直平分線即x x軸上軸上( (見右面的圖見右面的圖2-2)2-2)，護(hù)衛(wèi)艦只，護(hù)衛(wèi)艦只需沿與需沿與x x軸正向成軸正向成 的方向以的方向以速度速度v v1 1行駛即可完成會(huì)合。行駛即可完成會(huì)合。1a 40by1圖圖2-22-2*MCM5若若 ，(2.1)(2.1)式可化為式可化為 即即令令 ，則上式可以簡(jiǎn)記為，則上式可以簡(jiǎn)記為1a 2222212()01axybyba22222222141(1)aa bxybaa22212,11aabhb raa222()xyhr（2.22.2） 此

6、時(shí)會(huì)合地點(diǎn)的軌跡為一個(gè)以此時(shí)會(huì)合地點(diǎn)的軌跡為一個(gè)以(0,h)(0,h)為圓心、為圓心、r r為半徑的圓。為半徑的圓。 *MCM6 顯然，顯然，h h的正負(fù)由的正負(fù)由a a的大小的大小來(lái)確定，但不論來(lái)確定，但不論h h是正是負(fù)，易是正是負(fù)，易見見|h|b|h|b且且|h|r|h|r，即圓心，即圓心(0,h)(0,h)位于位于ABAB所在直線所在直線( (即即y y軸軸) )上，但上，但不在線段不在線段ABAB上，整個(gè)圓上，整個(gè)圓(2.2)(2.2)位位于于x x軸上方軸上方( (若若a1)(a1)(見圖見圖2-3)2-3)或或整個(gè)位于整個(gè)位于x x軸下方軸下方( (若若a1)a1a1，護(hù)衛(wèi)艦的速

7、度，護(hù)衛(wèi)艦的速度v v2 2大于大于航母的速度航母的速度v v1 1 。*MCM7由于由于 222222 (1)40,0(1)(1)drbadhabdaadaa 不難看出：不難看出：a a越大，越大，r r也越??；也越??；h h越小，越小，|AP|AP|也越小，也越小，故為了與航母盡早會(huì)合，護(hù)衛(wèi)艦必以其最大可能的行駛故為了與航母盡早會(huì)合，護(hù)衛(wèi)艦必以其最大可能的行駛速度行駛，這也說明，我們假設(shè)速度行駛，這也說明，我們假設(shè)v v2 2與與a a均為常數(shù)是合理均為常數(shù)是合理的。的。 假如假如a1 a1a1，在獲知航母的航向，在獲知航母的航向和速度之后，根據(jù)護(hù)衛(wèi)艦自身的和速度之后，根據(jù)護(hù)衛(wèi)艦自身的最大

8、速度，馬上可以求出最大速度，馬上可以求出a a。假設(shè)。假設(shè)按照航向按照航向 與航母會(huì)合的時(shí)間為與航母會(huì)合的時(shí)間為T T，則在時(shí)間則在時(shí)間T T內(nèi)護(hù)衛(wèi)艦行進(jìn)的距離應(yīng)內(nèi)護(hù)衛(wèi)艦行進(jìn)的距離應(yīng)為航母的為航母的a a倍。如圖倍。如圖2-42-4所示所示圖圖2-42-42*MCM10 ， ， ， ，由正弦定理由正弦定理馬上可以確定出護(hù)衛(wèi)艦的航向馬上可以確定出護(hù)衛(wèi)艦的航向1PAvT1PBavT12PAB22PBA1211sin()sin()22avTvT12cosarccos()a*MCM11 2.2 2.2 三村短路問題三村短路問題 有三個(gè)村莊，由于條件所限，打算合建一所小學(xué)，有三個(gè)村莊，由于條件所限，打算

9、合建一所小學(xué)，并且共同修筑從小學(xué)到各村的道路。問應(yīng)該將小學(xué)的并且共同修筑從小學(xué)到各村的道路。問應(yīng)該將小學(xué)的地址選在什么地方，才能使修筑的道路總長(zhǎng)度最短呢？地址選在什么地方，才能使修筑的道路總長(zhǎng)度最短呢？這是一個(gè)著名的趣味數(shù)學(xué)問題，稱為三村短路問題。這是一個(gè)著名的趣味數(shù)學(xué)問題，稱為三村短路問題。 設(shè)三個(gè)村莊的位置分別為點(diǎn)設(shè)三個(gè)村莊的位置分別為點(diǎn)A A1 1，A A2 2，A A3 3，小學(xué)的位，小學(xué)的位置是點(diǎn)置是點(diǎn)P P，則三村短路問題可敘述為：，則三村短路問題可敘述為：A A1 1，A A2 2，A A3 3為平為平面上三個(gè)不同的點(diǎn)面上三個(gè)不同的點(diǎn)P P，在平面上求一點(diǎn)，使得它到這三，在平面上

10、求一點(diǎn)，使得它到這三個(gè)已知點(diǎn)的距離之和個(gè)已知點(diǎn)的距離之和S=|PAS=|PA1 1|+|PA|+|PA2 2|+|PA|+|PA3 3| |最小。最小。*MCM12解法一：解法一：( (微分法微分法) )在平面上建立直角坐標(biāo)系，設(shè)已知在平面上建立直角坐標(biāo)系，設(shè)已知A Ai i坐標(biāo)為坐標(biāo)為(x(xi i,y,yi i)(i=1,2,3)(i=1,2,3)，所求點(diǎn)，所求點(diǎn)P P坐標(biāo)為坐標(biāo)為(x,y)(x,y)則則我們只需求二元函數(shù)我們只需求二元函數(shù)S=f(x,y)S=f(x,y)的最小值點(diǎn)即可。的最小值點(diǎn)即可。222222112233()()()()()()Sx xy yx xy yx xy y解

11、法二：解法二：( (幾何方法幾何方法) )如圖如圖2-52-5所示，所示，設(shè)設(shè)P P是是A A1 1A A2 2A A3 3內(nèi)的任意點(diǎn)，將內(nèi)的任意點(diǎn)，將A A1 1A A2 2P P繞繞A A2 2向外旋轉(zhuǎn)向外旋轉(zhuǎn)6060，到達(dá)，到達(dá) A A2 2P P A A3 3 的 位 置 。 顯 然 ：的 位 置 。 顯 然 ：|PA|PA1 1|=|P|=|PA A3 3| |，又因?yàn)?，又因?yàn)锳 A2 2A A3 3是由是由A A2 2A A1 1旋 轉(zhuǎn)旋 轉(zhuǎn) 6 06 0 而 來(lái) ， 故而 來(lái) ， 故|A|A2 2A A3 3|=|A|=|A1 1A A2 2| |，A A1 1A A2 2A A

12、3 3為正三為正三角形。角形。 圖圖2-52-5*MCM13 同理，同理，PA2PPA2P也為正三角形，故可知也為正三角形，故可知|PP|PP|=|PA|=|PA2 2| |。于是，即可得到于是，即可得到 |PA|PA1 1|+|PA|+|PA2 2|+|PA|+|PA3 3|=|A|=|A3 3P P|+|P|+|PP|+|PAP|+|PA3 3| | 那么要使那么要使|PA|PA1 1|+|PA|+|PA2 2|+|PA|+|PA3 3| |最短，只須使最短，只須使|A|A3 3P P|+|P|+|PP|+|PAP|+|PA3 3| |最短即可，而后者是折線最短即可，而后者是折線A A3

13、3P PPAPA3 3的的長(zhǎng)度，因?yàn)殚L(zhǎng)度，因?yàn)锳 A3 3、A A3 3都是定點(diǎn)，我們知道，兩點(diǎn)之間的最都是定點(diǎn)，我們知道，兩點(diǎn)之間的最短路徑是連接它們的線段，故最短時(shí)的點(diǎn)短路徑是連接它們的線段，故最短時(shí)的點(diǎn)P P和和P P必在線段必在線段A A3 3A A3 3上。此時(shí)可得上。此時(shí)可得A A2 2PAPA3 3=A=A2 2P PA A3 3=120=120，而，而A A2 2P PA A3 3=A=A2 2PAPA1 1，故，故A A2 2PAPA1 1=120=120，最終我們有，最終我們有A A1 1PAPA2 2=A=A2 2PAPA3 3=A=A3 3PAPA1 1=120=120

14、。三角形內(nèi)滿足此關(guān)系的。三角形內(nèi)滿足此關(guān)系的點(diǎn)點(diǎn)P P就是所求之點(diǎn)就是所求之點(diǎn)( (注：這樣的點(diǎn)被稱為斯坦納點(diǎn)或費(fèi)馬注：這樣的點(diǎn)被稱為斯坦納點(diǎn)或費(fèi)馬點(diǎn)，關(guān)于斯坦那點(diǎn)，后面我們還將作進(jìn)一步的介紹點(diǎn)，關(guān)于斯坦那點(diǎn)，后面我們還將作進(jìn)一步的介紹) )。 *MCM14 由點(diǎn)由點(diǎn)P P的特征的特征A A1 1PAPA2 2=A=A2 2PAPA3 3=A=A3 3PAPA1 1均為均為120120，我們知道，我們知道P P點(diǎn)就是三角形點(diǎn)就是三角形中的費(fèi)馬點(diǎn)中的費(fèi)馬點(diǎn)( (后面的章節(jié)將有詳細(xì)后面的章節(jié)將有詳細(xì)介紹介紹) )。費(fèi)馬點(diǎn)位置的確定方法數(shù)。費(fèi)馬點(diǎn)位置的確定方法數(shù)學(xué)上已經(jīng)有很多了，我們介紹一學(xué)上已經(jīng)有

15、很多了，我們介紹一種較為簡(jiǎn)便的方法：分別以種較為簡(jiǎn)便的方法：分別以A A1 1A A2 2，A A1 1A A3 3為一邊，向?yàn)橐贿?，向A A1 1A A2 2A A3 3的外部作的外部作正三角形正三角形A A1 1A A2 2A A3 3 和和A A1 1A A2 2A A3 3( (如如圖圖2-62-6所示所示) )圖圖2-62-6 連結(jié)連結(jié)A3A3A3A3、A2A2A2A2，設(shè)其交點(diǎn)為，設(shè)其交點(diǎn)為P P，則點(diǎn)，則點(diǎn)P P即為小學(xué)選即為小學(xué)選址地點(diǎn)。址地點(diǎn)。 *MCM15 以上的討論只適用于以上的討論只適用于A A1 1A A2 2A A3 3的每個(gè)角均小于的每個(gè)角均小于120120的的情

16、形，如果情形，如果A A1 1A A2 2A A3 3中有一個(gè)角大于或等于中有一個(gè)角大于或等于120120，則應(yīng)該，則應(yīng)該將小學(xué)的位置取在鈍角的頂點(diǎn)上。將小學(xué)的位置取在鈍角的頂點(diǎn)上。*MCM16圖圖2-72-7 為什么線結(jié)會(huì)自動(dòng)停在長(zhǎng)度之和最小的為什么線結(jié)會(huì)自動(dòng)停在長(zhǎng)度之和最小的位置呢？位置呢？設(shè)每個(gè)重物的質(zhì)量為設(shè)每個(gè)重物的質(zhì)量為m m。首先，由力學(xué)。首先，由力學(xué)原理，系統(tǒng)處于平衡位置時(shí)，三個(gè)重物原理，系統(tǒng)處于平衡位置時(shí)，三個(gè)重物的總勢(shì)的總勢(shì)E E能達(dá)到最小值。薄板所在位置能達(dá)到最小值。薄板所在位置的水平高度我們記為的水平高度我們記為0 0，由于三個(gè)重物，由于三個(gè)重物均在薄板的下方，故它們的高

17、度均取負(fù)均在薄板的下方，故它們的高度均取負(fù)值，且高度的絕對(duì)值等于細(xì)線長(zhǎng)度值，且高度的絕對(duì)值等于細(xì)線長(zhǎng)度l l與與薄板上洞口和結(jié)點(diǎn)之間的距離之差，即薄板上洞口和結(jié)點(diǎn)之間的距離之差，即第第i i個(gè)重物的高度個(gè)重物的高度|0iihPAl 其勢(shì)能為其勢(shì)能為 (12 3)iiEmgh i ， ，*MCM17三個(gè)重物的總勢(shì)能為三個(gè)重物的總勢(shì)能為123123123(|)3EEEEmghmghmghPAPAPAmgl由于由于m, g, lm, g, l均為常量，故均為常量，故E E取到最小值當(dāng)且僅當(dāng)取到最小值當(dāng)且僅當(dāng)|321PAPAPAS因此，系統(tǒng)處于平衡位置時(shí)，結(jié)點(diǎn)所在位置即為我們要因此，系統(tǒng)處于平衡位置時(shí)

18、，結(jié)點(diǎn)所在位置即為我們要尋找的點(diǎn)的位置。尋找的點(diǎn)的位置。*MCM18另一方面，系統(tǒng)處于平衡位置時(shí)，另一方面，系統(tǒng)處于平衡位置時(shí)，P P點(diǎn)所受合力應(yīng)為點(diǎn)所受合力應(yīng)為0 0。假。假設(shè)結(jié)點(diǎn)的平衡位置設(shè)結(jié)點(diǎn)的平衡位置P P與與 均不重合，則點(diǎn)只受到來(lái)均不重合，則點(diǎn)只受到來(lái)自三條線的拉力自三條線的拉力 , ,其大小相等，等于每個(gè)重物的其大小相等，等于每個(gè)重物的重量重量 ，其方向分別指向，其方向分別指向 三點(diǎn)。三個(gè)大小相等三點(diǎn)。三個(gè)大小相等的力，的力， , ,平衡的條件為：三個(gè)力在同一平面內(nèi)且兩平衡的條件為：三個(gè)力在同一平面內(nèi)且兩兩夾角均等于兩夾角均等于120120。也就是說：線段，。也就是說：線段， ,

19、 ,兩兩的兩兩的夾角均為夾角均為120120。123,A A Amg123,F F F123,A A A123,FFF123,PA PA PA 若若 中有某個(gè)角大于或等于中有某個(gè)角大于或等于120120，則，則P P點(diǎn)在合力點(diǎn)在合力作用下將被拉到點(diǎn)作用下將被拉到點(diǎn) ， 點(diǎn)就是我們的選址地點(diǎn)。點(diǎn)就是我們的選址地點(diǎn)。123A A AiAiA*MCM19三村短路問題其實(shí)是最簡(jiǎn)單的斯坦納（三村短路問題其實(shí)是最簡(jiǎn)單的斯坦納（SteinerSteiner）樹問題，）樹問題，原問題是：給定平面上的原問題是：給定平面上的n n個(gè)點(diǎn)，要求找出連接這個(gè)點(diǎn)，要求找出連接這n n個(gè)點(diǎn)的個(gè)點(diǎn)的最短網(wǎng)絡(luò)。對(duì)于一般的最短網(wǎng)

20、絡(luò)。對(duì)于一般的SteinerSteiner樹問題，由于計(jì)算量的原樹問題，由于計(jì)算量的原因，求解極其困難（參見第六章中的計(jì)算復(fù)雜性），但因，求解極其困難（參見第六章中的計(jì)算復(fù)雜性），但n=3n=3時(shí)并不難解。最先研究時(shí)并不難解。最先研究SteinerSteiner樹的其實(shí)并非樹的其實(shí)并非SteinerSteiner，而是大名鼎鼎的高斯（而是大名鼎鼎的高斯（GaussGauss）。高斯的一個(gè)兒子是鐵路）。高斯的一個(gè)兒子是鐵路工程師，他想知道建造鐵路連接三個(gè)城市時(shí)應(yīng)當(dāng)怎樣建才工程師，他想知道建造鐵路連接三個(gè)城市時(shí)應(yīng)當(dāng)怎樣建才能使總長(zhǎng)度最短，就寫信請(qǐng)教了自己的父親，高斯在回信能使總長(zhǎng)度最短，就寫信請(qǐng)教

21、了自己的父親，高斯在回信時(shí)作了解答。大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬也曾用本題考過自己的學(xué)生，時(shí)作了解答。大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬也曾用本題考過自己的學(xué)生，要求學(xué)生給出連接三點(diǎn)的最短方法。只要你能想出辦法，要求學(xué)生給出連接三點(diǎn)的最短方法。只要你能想出辦法，其實(shí)證明并不太困難。其實(shí)證明并不太困難。 *MCM20費(fèi)馬的辦法是這樣的：作費(fèi)馬的辦法是這樣的：作 ，任取其中的一邊，例，任取其中的一邊，例如，取邊如，取邊 。以。以 為一邊，在三角形的另一側(cè)作一為一邊，在三角形的另一側(cè)作一個(gè)等邊三角形個(gè)等邊三角形 ，作此等邊三角形的外接圓，連接，作此等邊三角形的外接圓，連接 和和 ，設(shè)，設(shè) 與等邊三角形的外接圓相交與與等邊三角形的外接圓相

22、交與S S，則，則S S點(diǎn)即點(diǎn)即為所求之點(diǎn)。為所求之點(diǎn)。S S點(diǎn)為什么就是所求之點(diǎn)，請(qǐng)讀者自行分析點(diǎn)為什么就是所求之點(diǎn)，請(qǐng)讀者自行分析并加以證明。并加以證明。123A A A23A A23A A23A A B1ABBA1讀者還可以進(jìn)一步討論一下問題：如果有四村或更多的讀者還可以進(jìn)一步討論一下問題：如果有四村或更多的村莊要合建一所小學(xué)，那么小學(xué)的位置應(yīng)如何選取，如村莊要合建一所小學(xué)，那么小學(xué)的位置應(yīng)如何選取，如果村莊果村莊i i有學(xué)生數(shù)有學(xué)生數(shù) ，那么，為了讓學(xué)生走，那么，為了讓學(xué)生走的總路程最少，學(xué)校又該建在何處。請(qǐng)讀者考慮一下：的總路程最少，學(xué)校又該建在何處。請(qǐng)讀者考慮一下：上面敘述的幾種方

23、法能否繼續(xù)使用，如果能，怎么使用，上面敘述的幾種方法能否繼續(xù)使用，如果能，怎么使用，優(yōu)缺點(diǎn)如何？（注：這一被推廣的問題即著名的最優(yōu)選優(yōu)缺點(diǎn)如何？（注：這一被推廣的問題即著名的最優(yōu)選址問題，它有很強(qiáng)的實(shí)際背景）。址問題，它有很強(qiáng)的實(shí)際背景）。），niKi.1( ,*MCM21到過東北地區(qū)的同學(xué)可能會(huì)發(fā)現(xiàn)，那里的大部分建筑物到過東北地區(qū)的同學(xué)可能會(huì)發(fā)現(xiàn)，那里的大部分建筑物的窗戶都是雙層的，即窗戶上裝有兩層玻璃且中間留有一的窗戶都是雙層的，即窗戶上裝有兩層玻璃且中間留有一定的空隙。據(jù)當(dāng)?shù)鼐用裾f，安裝雙層玻璃窗戶的房間與同定的空隙。據(jù)當(dāng)?shù)鼐用裾f，安裝雙層玻璃窗戶的房間與同類型的只安裝單層玻璃窗戶的房間

24、相比，保暖效果要強(qiáng)得類型的只安裝單層玻璃窗戶的房間相比，保暖效果要強(qiáng)得多。僅僅是多裝了一層玻璃就會(huì)有這么強(qiáng)的保暖效果嗎？多。僅僅是多裝了一層玻璃就會(huì)有這么強(qiáng)的保暖效果嗎？在本節(jié)中，我們將建立數(shù)學(xué)模型來(lái)描述熱量通過窗戶的流在本節(jié)中，我們將建立數(shù)學(xué)模型來(lái)描述熱量通過窗戶的流失（傳導(dǎo)）過程，并將雙層玻璃與用同樣多材料做成的單失（傳導(dǎo)）過程，并將雙層玻璃與用同樣多材料做成的單層玻璃的熱量流失（傳導(dǎo)）作一對(duì)比，對(duì)雙層玻璃窗能夠?qū)硬ＡУ臒崃苛魇В▊鲗?dǎo)）作一對(duì)比，對(duì)雙層玻璃窗能夠減少多少熱量損失給出一定程度的定量分析。減少多少熱量損失給出一定程度的定量分析。雙層玻璃和單層玻璃的圖形如圖雙層玻璃和單層玻璃的圖

25、形如圖2-82-8所示：所示： 2.3 2.3 雙層玻璃的功效雙層玻璃的功效*MCM22圖圖2-82-8 *MCM23模型所需的符號(hào)見下表：模型所需的符號(hào)見下表：符號(hào)符號(hào)意義單位雙層玻璃厚度厘米室內(nèi)溫度攝氏度室外溫度攝氏度雙層玻璃內(nèi)層玻璃外側(cè)溫度攝氏度雙層玻璃外側(cè)玻璃內(nèi)側(cè)溫度攝氏度雙層玻璃熱量損失焦耳單層玻璃熱量損失焦耳d1T2TaTbTQQ*MCM24l1k2k雙層玻璃內(nèi)間隔距離厘米玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)焦耳/厘米秒攝氏度空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)焦耳/厘米秒攝氏度*MCM25模型假設(shè)：模型假設(shè)：（1 1）熱量的傳播過程中只有傳導(dǎo)沒有對(duì)流，即假定房間）熱量的傳播過程中只有傳導(dǎo)沒有對(duì)流，即假定房間的密封性能很

26、好。的密封性能很好。（2 2）熱傳導(dǎo)過程已處于穩(wěn)定狀態(tài)，室內(nèi)溫度）熱傳導(dǎo)過程已處于穩(wěn)定狀態(tài)，室內(nèi)溫度 和室外溫和室外溫度度 保持不變，即沿著熱傳導(dǎo)方向，單位時(shí)間通過單位面保持不變，即沿著熱傳導(dǎo)方向，單位時(shí)間通過單位面積的熱量是常數(shù)。積的熱量是常數(shù)。（3 3）玻璃材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)是常數(shù)。）玻璃材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)是常數(shù)。在上述假設(shè)下，由熱傳導(dǎo)過程遵循的物理規(guī)律可知：?jiǎn)挝辉谏鲜黾僭O(shè)下，由熱傳導(dǎo)過程遵循的物理規(guī)律可知：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)由溫度較高的一側(cè)向溫度較低的一側(cè)通過單位面積時(shí)間內(nèi)由溫度較高的一側(cè)向溫度較低的一側(cè)通過單位面積的熱量傳導(dǎo)與兩側(cè)間的溫差成正比，與厚度成反比，即的熱量傳導(dǎo)與兩側(cè)間的溫差成正

27、比，與厚度成反比，即1T2TdTkQ（k k與傳導(dǎo)物質(zhì)有關(guān)）與傳導(dǎo)物質(zhì)有關(guān)）此即牛頓熱傳導(dǎo)方程。此即牛頓熱傳導(dǎo)方程。*MCM26于是雙層玻璃在單位時(shí)間里通過單位面積傳導(dǎo)的熱量（即于是雙層玻璃在單位時(shí)間里通過單位面積傳導(dǎo)的熱量（即熱量流失）為熱量流失）為dTTklTTkdTTkQbbaa21211（2.42.4） 從此式中消去從此式中消去 可得：可得： baTT 、)2()(211sdTTkQ（2.52.5） 其中其中 dlhkkhs,21*MCM27對(duì)于厚度為對(duì)于厚度為2d2d 的單層玻璃，容易寫出其單位時(shí)間單位面的單層玻璃，容易寫出其單位時(shí)間單位面積的傳導(dǎo)熱量為積的傳導(dǎo)熱量為dTTkQ221

28、1（2.62.6） 二者相比得二者相比得 22sQQ（2.72.7） 顯然顯然 。為了得到更具體的結(jié)果，我們需要。為了得到更具體的結(jié)果，我們需要 和和 的的數(shù)據(jù)。從有關(guān)資料中查得，常用玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)數(shù)據(jù)。從有關(guān)資料中查得，常用玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù) ( (焦耳焦耳/ /厘米厘米秒秒攝氏度），不流通的干燥空氣的熱傳導(dǎo)系攝氏度），不流通的干燥空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)數(shù) （焦耳（焦耳/ /厘米厘米秒秒攝氏度），于是攝氏度），于是QQ1k2k331108104k42105 . 2k321621kk*MCM28在分析雙層玻璃窗比單層玻璃窗可減少多少熱量損在分析雙層玻璃窗比單層玻璃窗可減少多少熱量損失時(shí)，讓我們來(lái)做一

29、個(gè)最保守的估計(jì)，即取失時(shí)，讓我們來(lái)做一個(gè)最保守的估計(jì)，即取1621kk代入代入(2.7)(2.7)式得式得181hQQdlh 其中其中 （2.82.8） 比值反映出了雙層玻璃窗在減少熱量損失上的功效，它與比值反映出了雙層玻璃窗在減少熱量損失上的功效，它與h h有關(guān)，即只和有關(guān)，即只和l l與與d d的比值的比值 有關(guān)，圖有關(guān)，圖2-92-9給出了給出了 的曲線，顯然的曲線，顯然 但考慮到但考慮到h h的實(shí)際意義，的實(shí)際意義，h h不可不可能取無(wú)窮大，當(dāng)能取無(wú)窮大，當(dāng)h h由由0 0增加時(shí)，增加時(shí)， 迅速下降，而迅速下降，而h h當(dāng)達(dá)到當(dāng)達(dá)到一定數(shù)值（比如一定數(shù)值（比如h4h4）后）后 的下降明

30、顯變緩。由于兩層的下降明顯變緩。由于兩層玻璃間的距離不宜過大，故玻璃間的距離不宜過大，故h h的選擇應(yīng)當(dāng)恰當(dāng)。的選擇應(yīng)當(dāng)恰當(dāng)。 dlhQQ, 0)(limhfhQQQQ*MCM290123456700.10.20.30.40.50.60.70.80.91hQ/Q圖圖2-92-9 *MCM30此模型具有一定的應(yīng)用價(jià)值。制作雙層玻璃窗雖然工藝復(fù)此模型具有一定的應(yīng)用價(jià)值。制作雙層玻璃窗雖然工藝復(fù)雜會(huì)增加一些費(fèi)用，但它減少的熱量損失卻是相當(dāng)可觀的，雜會(huì)增加一些費(fèi)用，但它減少的熱量損失卻是相當(dāng)可觀的，在可利用自然資源日益減少的今天，通過減少熱量損失而在可利用自然資源日益減少的今天，通過減少熱量損失而減少

31、自然資源的消耗也變的越發(fā)重要了。通常，建筑規(guī)范減少自然資源的消耗也變的越發(fā)重要了。通常，建筑規(guī)范要求要求 。按照這個(gè)模型，。按照這個(gè)模型， ，即雙層玻璃窗，即雙層玻璃窗比用同樣多的玻璃材料制成的單層玻璃窗可節(jié)約能量比用同樣多的玻璃材料制成的單層玻璃窗可節(jié)約能量90%90%多達(dá)左右。不難發(fā)現(xiàn)，之所以有如此高的功效，主要是由多達(dá)左右。不難發(fā)現(xiàn)，之所以有如此高的功效，主要是由于層間空氣有極低的熱傳導(dǎo)系數(shù)于層間空氣有極低的熱傳導(dǎo)系數(shù) ，而這要求空氣是干，而這要求空氣是干燥而又不流通的。作為模型假設(shè)的這個(gè)條件在實(shí)際環(huán)境中燥而又不流通的。作為模型假設(shè)的這個(gè)條件在實(shí)際環(huán)境中當(dāng)然不可能完全滿足，所以實(shí)際上裝有

32、雙層玻璃的窗戶的當(dāng)然不可能完全滿足，所以實(shí)際上裝有雙層玻璃的窗戶的功效會(huì)比上述結(jié)果稍差一些。功效會(huì)比上述結(jié)果稍差一些。4dlh2k3%Q Q 事實(shí)上，雙層玻璃窗的功效不僅體現(xiàn)在節(jié)能方面，在科技事實(shí)上，雙層玻璃窗的功效不僅體現(xiàn)在節(jié)能方面，在科技事業(yè)飛速發(fā)展的今天，城市交通、城市建設(shè)等帶來(lái)的噪聲事業(yè)飛速發(fā)展的今天，城市交通、城市建設(shè)等帶來(lái)的噪聲污染也變得日益嚴(yán)重，雙層玻璃在減噪方面也起到不小的污染也變得日益嚴(yán)重，雙層玻璃在減噪方面也起到不小的作用，有興趣的同學(xué)也可建立數(shù)學(xué)模型來(lái)研究一下這一問作用，有興趣的同學(xué)也可建立數(shù)學(xué)模型來(lái)研究一下這一問題。題。*MCM31 2.4 2.4 崖高的估算崖高的估算

33、假如你站在崖頂，身上只帶了一只具有跑表功能的計(jì)算器，假如你站在崖頂，身上只帶了一只具有跑表功能的計(jì)算器，你也許會(huì)出于好奇心想用扔下一塊石頭聽回聲的方法來(lái)估你也許會(huì)出于好奇心想用扔下一塊石頭聽回聲的方法來(lái)估計(jì)出山崖的高度，假定你能準(zhǔn)確地測(cè)定時(shí)間，你又怎樣來(lái)計(jì)出山崖的高度，假定你能準(zhǔn)確地測(cè)定時(shí)間，你又怎樣來(lái)推算山崖的高度呢，請(qǐng)你分析一下這一問題。推算山崖的高度呢，請(qǐng)你分析一下這一問題。（方法一）（方法一）假定空氣阻力不計(jì)，你可以直接利用自由落體假定空氣阻力不計(jì)，你可以直接利用自由落體運(yùn)動(dòng)的公式運(yùn)動(dòng)的公式221gth 來(lái)計(jì)算。例如，設(shè)來(lái)計(jì)算。例如，設(shè)t=4t=4秒，秒，g=9.81g=9.81米米/

34、 /秒秒2 2，則可求得，則可求得h78.5h78.5米，中學(xué)生采用得就是這一方法。米，中學(xué)生采用得就是這一方法。*MCM32（方法二）（方法二）假定你已學(xué)過微積分，你就可以做得更好些。假定你已學(xué)過微積分，你就可以做得更好些。除去地球吸引力外，對(duì)石塊下落影響最大的當(dāng)屬空氣阻力。除去地球吸引力外，對(duì)石塊下落影響最大的當(dāng)屬空氣阻力。根據(jù)流體力學(xué)知識(shí)，此時(shí)可設(shè)空氣阻力正比于石塊下落的根據(jù)流體力學(xué)知識(shí)，此時(shí)可設(shè)空氣阻力正比于石塊下落的速度，阻力系數(shù)為常數(shù)，因而，由牛頓第二定律可得：速度，阻力系數(shù)為常數(shù)，因而，由牛頓第二定律可得：KvmgdtdvmF上式上式 的與你手中的石塊有關(guān)，而石塊的下落時(shí)間卻與你

35、的與你手中的石塊有關(guān)，而石塊的下落時(shí)間卻與你撿的石塊無(wú)關(guān)（除非你撿的石塊形狀太過特殊）。在等式撿的石塊無(wú)關(guān)（除非你撿的石塊形狀太過特殊）。在等式兩邊同時(shí)除以石塊的質(zhì)量?jī)蛇呁瑫r(shí)除以石塊的質(zhì)量m m，并令，并令 ，則有，則有KmKk kvgdtdv（注：由于這里的（注：由于這里的k k與石塊無(wú)與石塊無(wú)關(guān)，可查資料得到）關(guān)，可查資料得到） *MCM33這是一個(gè)一階常系數(shù)線性微分方程，其解為這是一個(gè)一階常系數(shù)線性微分方程，其解為kgcevkt代入初始條件代入初始條件 , ,得得 ，故有，故有0)0(vkgc ktekgkgv再積分一次，得到：再積分一次，得到：cekgtkghkt2（2.92.9） 查

36、資料確定空氣的阻力系數(shù)，若設(shè)查資料確定空氣的阻力系數(shù)，若設(shè)0.050.05，并仍設(shè)，并仍設(shè)4 4秒，則秒，則可求得可求得h73.6h73.6米。由于考察了空氣阻力，這一結(jié)果應(yīng)當(dāng)米。由于考察了空氣阻力，這一結(jié)果應(yīng)當(dāng)比方法一得到的結(jié)果更接近實(shí)際高度。比方法一得到的結(jié)果更接近實(shí)際高度。*MCM34細(xì)心的讀者一定會(huì)發(fā)現(xiàn)，還有一些問題需要考慮。細(xì)心的讀者一定會(huì)發(fā)現(xiàn)，還有一些問題需要考慮。 問題問題1 1 方法一既然是不考慮空氣阻力時(shí)得出的公式，那么方法一既然是不考慮空氣阻力時(shí)得出的公式，那么在（在（2.92.9）中令）中令k=0k=0應(yīng)當(dāng)還原成自由落體公式。但（應(yīng)當(dāng)還原成自由落體公式。但（2.92.9）

37、中中k k在分母上，不能直接令在分母上，不能直接令k=0k=0，這一困難如何解決呢？辦，這一困難如何解決呢？辦法不難找到，你已有了極限概念，只要將法不難找到，你已有了極限概念，只要將 用泰勒公式用泰勒公式展開展開 ，代入（，代入（2.92.9）式，并）式，并令令 ，即可得出，即可得出困難就迎刃而解了。困難就迎刃而解了。kte2 22 21()2ktk tekto k t 0k201lim2khgt*MCM35問題問題2 2 聽到回聲再按跑表，計(jì)算得到的時(shí)間中還包含了聽到回聲再按跑表，計(jì)算得到的時(shí)間中還包含了反應(yīng)時(shí)間，反應(yīng)時(shí)間雖然不長(zhǎng)，但石塊落地時(shí)的速度已變反應(yīng)時(shí)間，反應(yīng)時(shí)間雖然不長(zhǎng)，但石塊落地

38、時(shí)的速度已變得較大，對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響仍然較大。如何解決這一問題得較大，對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響仍然較大。如何解決這一問題呢？我們根本無(wú)法知道某次具體測(cè)量時(shí)的反應(yīng)時(shí)間究竟有呢？我們根本無(wú)法知道某次具體測(cè)量時(shí)的反應(yīng)時(shí)間究竟有多長(zhǎng)，只好用平均反應(yīng)時(shí)間來(lái)代替。例如，不妨設(shè)平均反多長(zhǎng)，只好用平均反應(yīng)時(shí)間來(lái)代替。例如，不妨設(shè)平均反應(yīng)時(shí)間為應(yīng)時(shí)間為0.10.1秒，假如你還不放心，可多測(cè)幾次自己的反秒，假如你還不放心，可多測(cè)幾次自己的反應(yīng)時(shí)間，用測(cè)得時(shí)間的平均值作為你的反應(yīng)時(shí)間。假如仍應(yīng)時(shí)間，用測(cè)得時(shí)間的平均值作為你的反應(yīng)時(shí)間。假如仍設(shè)設(shè)t=4t=4秒，反應(yīng)時(shí)間為秒，反應(yīng)時(shí)間為0.10.1秒，扣除反應(yīng)時(shí)間后應(yīng)為秒，扣

39、除反應(yīng)時(shí)間后應(yīng)為3.93.9秒，秒，代入公式（代入公式（2.92.9），求得），求得h69.9h69.9米。米。*MCM36問題問題3 3 細(xì)心的讀者一定已經(jīng)想到，其實(shí)，石塊下落的時(shí)細(xì)心的讀者一定已經(jīng)想到，其實(shí)，石塊下落的時(shí)間還不是間還不是3.93.9秒，因?yàn)檫@秒，因?yàn)檫@3.93.9秒里還包括了聲音傳回來(lái)所需秒里還包括了聲音傳回來(lái)所需要的時(shí)間，即回聲時(shí)間。為此，令石塊下落的真正時(shí)間要的時(shí)間，即回聲時(shí)間。為此，令石塊下落的真正時(shí)間為為 ，聲音傳回來(lái)的時(shí)間為，聲音傳回來(lái)的時(shí)間為 ，還必須解一個(gè)方程組：，還必須解一個(gè)方程組：1t2t1122121()3403.9ktgghtekkkhttt在這里，我

40、們已假定聲音速度為在這里，我們已假定聲音速度為340340米米/ /秒。麻煩的是這一秒。麻煩的是這一方程組是非線性的，求解不太容易，為了估算山崖大約有方程組是非線性的，求解不太容易，為了估算山崖大約有多高竟要去解一個(gè)非線性主程組，似乎不合情理。多高竟要去解一個(gè)非線性主程組，似乎不合情理。 *MCM37我們的一些學(xué)生想出了一個(gè)十分簡(jiǎn)便的方法，他們認(rèn)為，我們的一些學(xué)生想出了一個(gè)十分簡(jiǎn)便的方法，他們認(rèn)為，相對(duì)于石塊速度，聲音速度要快得多，可用方法二先求一相對(duì)于石塊速度，聲音速度要快得多，可用方法二先求一次次h h，令，令 ，校正，校正t t，求石塊下落時(shí)間，求石塊下落時(shí)間 將代入（將代入（2.92.

41、9）再算一次，即可得出崖高的近似值。例）再算一次，即可得出崖高的近似值。例如，若如，若h=69.9h=69.9米，則米，則 秒，故秒，故 秒，秒， 求得求得 米，顯然，最后的結(jié)果應(yīng)當(dāng)最接近山崖米，顯然，最后的結(jié)果應(yīng)當(dāng)最接近山崖的實(shí)際高度。這一做法雖不難想到，但這樣做卻非常聰明。的實(shí)際高度。這一做法雖不難想到，但這樣做卻非常聰明。至此，我們求得的高度與實(shí)際高度之差已只有幾米，用跑至此，我們求得的高度與實(shí)際高度之差已只有幾米，用跑表測(cè)量時(shí)間所造成的誤差早已超過了計(jì)算中所產(chǎn)生的誤差，表測(cè)量時(shí)間所造成的誤差早已超過了計(jì)算中所產(chǎn)生的誤差，事實(shí)上，在這種情況下，希望把事實(shí)上，在這種情況下，希望把 求得更精

42、確一點(diǎn)的任求得更精確一點(diǎn)的任何努力都是毫無(wú)意義的。何努力都是毫無(wú)意義的。2340ht 12ttt 62.3h 20.21t 13.69t 2t*MCM38 2.5 2.5 經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ徒?jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ彤?dāng)問題的機(jī)理非常不清楚難以直接利用其它知識(shí)來(lái)建模時(shí)，當(dāng)問題的機(jī)理非常不清楚難以直接利用其它知識(shí)來(lái)建模時(shí)，一個(gè)常見的方法就是利用已有數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，找出變一個(gè)常見的方法就是利用已有數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，找出變量之間函數(shù)關(guān)系的近似表達(dá)式，我們稱之為經(jīng)驗(yàn)公式。通量之間函數(shù)關(guān)系的近似表達(dá)式，我們稱之為經(jīng)驗(yàn)公式。通過經(jīng)驗(yàn)公式建立的模型稱為經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?。過經(jīng)驗(yàn)公式建立的模型稱為經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?。?jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥^(qū)別于其它類型模型的特點(diǎn)是它的建

43、立不需要根經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥^(qū)別于其它類型模型的特點(diǎn)是它的建立不需要根據(jù)問題機(jī)理去提出假設(shè)，它只是建模者對(duì)數(shù)據(jù)分析所做的據(jù)問題機(jī)理去提出假設(shè)，它只是建模者對(duì)數(shù)據(jù)分析所做的經(jīng)驗(yàn)判斷。建模者要首先對(duì)照數(shù)據(jù)特點(diǎn)根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)判經(jīng)驗(yàn)判斷。建模者要首先對(duì)照數(shù)據(jù)特點(diǎn)根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)判斷該函數(shù)關(guān)系應(yīng)當(dāng)用哪類函數(shù)中的一個(gè)來(lái)近似表達(dá)，兩者斷該函數(shù)關(guān)系應(yīng)當(dāng)用哪類函數(shù)中的一個(gè)來(lái)近似表達(dá)，兩者的偏差才不會(huì)太大。其后，只需在此類函數(shù)中找出在某種的偏差才不會(huì)太大。其后，只需在此類函數(shù)中找出在某種意義下偏差最小的一個(gè)即可。意義下偏差最小的一個(gè)即可。*MCM39建立經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷囊话悴襟E為：建立經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷囊话悴襟E為：(1)(1)將數(shù)據(jù)畫在某

44、坐標(biāo)系中，觀察這些點(diǎn)的分布，根據(jù)經(jīng)將數(shù)據(jù)畫在某坐標(biāo)系中，觀察這些點(diǎn)的分布，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)判定哪類函數(shù)作為近似表達(dá)式較為合適驗(yàn)判定哪類函數(shù)作為近似表達(dá)式較為合適(2)(2)然后確定函數(shù)中的參數(shù)，使經(jīng)驗(yàn)公式與數(shù)據(jù)的相符性然后確定函數(shù)中的參數(shù)，使經(jīng)驗(yàn)公式與數(shù)據(jù)的相符性在某種意義下最好在某種意義下最好(3)(3)最后，對(duì)公式做試用檢驗(yàn)，考察其造成的誤差是否在最后，對(duì)公式做試用檢驗(yàn)，考察其造成的誤差是否在可接受的范圍內(nèi)，若不能接受，則需要修正經(jīng)驗(yàn)公式，可接受的范圍內(nèi)，若不能接受，則需要修正經(jīng)驗(yàn)公式，重新建模。重新建模。建立經(jīng)驗(yàn)公式較為常用的方法有最小二乘法和插值方法。建立經(jīng)驗(yàn)公式較為常用的方法有最小二乘法和插

45、值方法。*MCM40( (最小二乘法）最小二乘法）假設(shè)經(jīng)過測(cè)量得到的假設(shè)經(jīng)過測(cè)量得到的n n組數(shù)據(jù)列表如下：組數(shù)據(jù)列表如下：ixiy0123456727.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8將這些數(shù)據(jù)畫在平面直角坐標(biāo)系中，見散點(diǎn)圖將這些數(shù)據(jù)畫在平面直角坐標(biāo)系中，見散點(diǎn)圖2-102-10。從圖。從圖上可看出，這些點(diǎn)的分布大致在一條直線附近，于是我們上可看出，這些點(diǎn)的分布大致在一條直線附近，于是我們根據(jù)經(jīng)驗(yàn)判斷根據(jù)經(jīng)驗(yàn)判斷 是線性函數(shù)，并設(shè)是線性函數(shù)，并設(shè) ，其中、，其中、 為待定常數(shù)。為待定常數(shù)。)(xfy baxxf)(, a b*MCM4101234567

46、2424.52525.52626.52727.5圖圖2-102-10*MCM42常數(shù)常數(shù)a,ba,b如何選定呢？我們當(dāng)然希望如何選定呢？我們當(dāng)然希望 經(jīng)過所有的經(jīng)過所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)，即對(duì)于每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，即對(duì)于每個(gè) ，能有，能有 ，但此式一，但此式一般是不成立的般是不成立的 baxyix0)(baxyii我們只能要求我們只能要求 與與 的偏差的偏差 , ,都都很小。那么所有偏差之和很小。那么所有偏差之和 最小能否保證每個(gè)最小能否保證每個(gè)偏差都很小呢？顯然不行，因?yàn)槠钣姓胸?fù)，求和時(shí)有偏差都很小呢？顯然不行，因?yàn)槠钣姓胸?fù)，求和時(shí)有可能會(huì)互相抵消從而將偏差掩蓋起來(lái)。若要求偏差的絕對(duì)可能會(huì)互相抵消從而

47、將偏差掩蓋起來(lái)。若要求偏差的絕對(duì)值之和值之和 很小的話，雖然可以避免這種相互很小的話，雖然可以避免這種相互抵消，但函數(shù)不具備連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，不利于進(jìn)一步的討論。抵消，但函數(shù)不具備連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，不利于進(jìn)一步的討論。為避免上述兩種情況的產(chǎn)生，我們一般都采用以誤差的平為避免上述兩種情況的產(chǎn)生，我們一般都采用以誤差的平方和方和 達(dá)到最小的方法來(lái)保證總體偏差較小。達(dá)到最小的方法來(lái)保證總體偏差較小。這種選擇參數(shù)這種選擇參數(shù)a a、b b的方法叫做最小二乘法。的方法叫做最小二乘法。iybaxi(),(1,2, )iiyaxbinniiibaxy1niiibaxy1niiibaxy12*MCM43niiibax

48、y12 是一個(gè)二元函數(shù)，由多元微積分知識(shí)，為是一個(gè)二元函數(shù)，由多元微積分知識(shí)，為使它取到最小，只需令其對(duì)變量、的一階偏導(dǎo)數(shù)均為零，使它取到最小，只需令其對(duì)變量、的一階偏導(dǎo)數(shù)均為零，解相應(yīng)的二元一次方程組即可，據(jù)此，不難求得：解相應(yīng)的二元一次方程組即可，據(jù)此，不難求得：xaybxxyyxxaniiniii121其中其中 niixnx11niiyny11*MCM44例例2.12.1（刀具的更換）（刀具的更換）用自動(dòng)化機(jī)床連續(xù)加工某零件，由于刀具損壞等原因會(huì)生用自動(dòng)化機(jī)床連續(xù)加工某零件，由于刀具損壞等原因會(huì)生產(chǎn)出次品，但實(shí)際情況是，當(dāng)發(fā)現(xiàn)刀具已壞時(shí)，利用這把產(chǎn)出次品，但實(shí)際情況是，當(dāng)發(fā)現(xiàn)刀具已壞時(shí)，

49、利用這把壞刀具也許已經(jīng)生產(chǎn)了若干個(gè)次品。如果我們能在平時(shí)生壞刀具也許已經(jīng)生產(chǎn)了若干個(gè)次品。如果我們能在平時(shí)生產(chǎn)中留意一下，掌握刀具磨損的規(guī)律，在其壞掉之前就將產(chǎn)中留意一下，掌握刀具磨損的規(guī)律，在其壞掉之前就將它更換下來(lái)，也許可以減少因出次品而造成的損失。為此，它更換下來(lái)，也許可以減少因出次品而造成的損失。為此，我們做了這樣一個(gè)實(shí)驗(yàn)，每隔一小時(shí)，測(cè)量一次刀具的厚我們做了這樣一個(gè)實(shí)驗(yàn)，每隔一小時(shí)，測(cè)量一次刀具的厚度，得到后面表格中的數(shù)據(jù)，其中度，得到后面表格中的數(shù)據(jù)，其中：刀具使用時(shí)間（單位：小時(shí)）：刀具使用時(shí)間（單位：小時(shí)）：刀具厚度（單位：毫米）。：刀具厚度（單位：毫米）。 ixiy*MCM4

50、5經(jīng)擬合，我們可得經(jīng)驗(yàn)公式為經(jīng)擬合，我們可得經(jīng)驗(yàn)公式為 ，其圖形見圖其圖形見圖2-112-11。假如我們發(fā)現(xiàn)在刀具的厚度為。假如我們發(fā)現(xiàn)在刀具的厚度為10mm10mm時(shí)損時(shí)損壞的概率極大，那么我們只需令壞的概率極大，那么我們只需令 ，得得 ，即當(dāng)?shù)毒呤褂昧私?，即?dāng)?shù)毒呤褂昧私?656個(gè)小時(shí)之后，刀具的個(gè)小時(shí)之后，刀具的厚度將變?yōu)楹穸葘⒆優(yōu)?0mm10mm。因此我們可以考慮使用刀具。因此我們可以考慮使用刀具5555或或5656個(gè)小個(gè)小時(shí)后更新刀具（注：這里我們沒有考慮更換刀具的費(fèi)用。時(shí)后更新刀具（注：這里我們沒有考慮更換刀具的費(fèi)用。如果刀具較為昂貴，還應(yīng)求解一個(gè)優(yōu)化問題），已確定怎如果刀具較為昂

51、貴，還應(yīng)求解一個(gè)優(yōu)化問題），已確定怎樣做可以使總費(fèi)用最省。樣做可以使總費(fèi)用最省。125.273036. 0)(xxfy10)(xf964.55x*MCM46圖圖2-112-1101234567824.52525.52626.52727.5*MCM47例例2.22.2（地高辛的使用）（地高辛的使用）地高辛是用來(lái)治療心臟病的一種藥物。醫(yī)生在開處方時(shí)必地高辛是用來(lái)治療心臟病的一種藥物。醫(yī)生在開處方時(shí)必須寫明用藥量，要便保持血液中地高辛的濃度，使之既高須寫明用藥量，要便保持血液中地高辛的濃度，使之既高于有效水平以保持藥效，又不至于超過安全用藥水平而導(dǎo)于有效水平以保持藥效，又不至于超過安全用藥水平而導(dǎo)致

52、危險(xiǎn)，為此，醫(yī)生必須研究地高辛在血液中的衰減率。致危險(xiǎn)，為此，醫(yī)生必須研究地高辛在血液中的衰減率。假定地高辛在血液中的初始劑量為假定地高辛在血液中的初始劑量為0.5mg0.5mg（毫克），經(jīng)過（毫克），經(jīng)過檢測(cè)得到下表的數(shù)據(jù)如下：檢測(cè)得到下表的數(shù)據(jù)如下： 表表2.32.3 xy0123456780.5000.3450.2380.1640.1130.0780.0540.0370.026xy*MCM48其中其中x x表示使用初始劑量之后的天數(shù)，而則表示某特定病表示使用初始劑量之后的天數(shù)，而則表示某特定病人血液中剩余的地高辛含量。根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，我們想建人血液中剩余的地高辛含量。根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，我們

53、想建立立y y與之與之x x間的關(guān)系。間的關(guān)系。將上述數(shù)據(jù)點(diǎn)畫在將上述數(shù)據(jù)點(diǎn)畫在x-yx-y平面上，（如圖平面上，（如圖2-122-12所示）顯然這所示）顯然這些點(diǎn)并不在任何一條直線的附近，不能使用我們前述的最些點(diǎn)并不在任何一條直線的附近，不能使用我們前述的最小二乘法，但根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，這些數(shù)據(jù)好像在一條指數(shù)函數(shù)圖小二乘法，但根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，這些數(shù)據(jù)好像在一條指數(shù)函數(shù)圖形的附近，因此我們考慮是否用指數(shù)函數(shù)來(lái)擬合形的附近，因此我們考慮是否用指數(shù)函數(shù)來(lái)擬合y y與與x x之間之間的關(guān)系的關(guān)系 對(duì)對(duì)y y取對(duì)數(shù)得取對(duì)數(shù)得 對(duì)照表：對(duì)照表： lnxy表表2.42.4 xyln012345678-0.693-1.0

54、64-1.435-1.808-2.180-2.551-2.919-3.297-3.650*MCM49圖圖2-122-12 01234567800.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5*MCM50再將數(shù)據(jù)畫在再將數(shù)據(jù)畫在x xy y平面上，如圖平面上，如圖2-132-13所示，這次你就會(huì)發(fā)所示，這次你就會(huì)發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)幾乎就分布在一條直線的附近了，令這條直線的現(xiàn)這些點(diǎn)幾乎就分布在一條直線的附近了，令這條直線的方程為方程為 ，并用最小二乘法求得，并用最小二乘法求得 故可令故可令 , ,即即 ，此即我們希望，此即我們希望得到的關(guān)系式。此方程圖形與原散點(diǎn)圖的對(duì)照?qǐng)D可見圖得到的

55、關(guān)系式。此方程圖形與原散點(diǎn)圖的對(duì)照?qǐng)D可見圖2-2-1414。若地高辛的有效水平為。若地高辛的有效水平為0.0055mg,0.0055mg,令令0.00550.0055得得12.1612.16。因此我們考慮服藥因此我們考慮服藥1212天之后補(bǔ)充藥物。天之后補(bǔ)充藥物。baxyln371. 0a693. 0b693. 0371. 0lnxyxey371. 05 . 0*MCM51圖圖2-132-13 012345678-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.501234567800.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5圖圖2-142-14 *MCM52最小二乘法的

56、使用需要對(duì)各種常用函數(shù)的圖形有大致的了最小二乘法的使用需要對(duì)各種常用函數(shù)的圖形有大致的了解，也需要一定的技巧，如例解，也需要一定的技巧，如例2.22.2中對(duì)中對(duì)y y取對(duì)數(shù)后取對(duì)數(shù)后x x與與 構(gòu)構(gòu)成線性關(guān)系。有時(shí)，需要對(duì)成線性關(guān)系。有時(shí)，需要對(duì)x x、y y均取對(duì)數(shù)值得到新的數(shù)均取對(duì)數(shù)值得到新的數(shù)據(jù)據(jù) ；觀察新的數(shù)據(jù)點(diǎn)是否滿足線性關(guān)系，若滿；觀察新的數(shù)據(jù)點(diǎn)是否滿足線性關(guān)系，若滿足用最小二乘擬合為足用最小二乘擬合為 ，即，即 來(lái)擬合，來(lái)擬合，此時(shí)此時(shí)y y是是x x的冪函數(shù)。有時(shí)也需要對(duì)、之一取倒數(shù)值或二者的冪函數(shù)。有時(shí)也需要對(duì)、之一取倒數(shù)值或二者均取倒數(shù)值得到新的數(shù)據(jù)均取倒數(shù)值得到新的數(shù)據(jù)l

57、n y)ln,(lnyxxbaylnlnbaxey1(, )yx1( ,)xy1 1( ,)x y觀察新的數(shù)據(jù)點(diǎn)是否近似滿足線性關(guān)系，假如基本滿足再觀察新的數(shù)據(jù)點(diǎn)是否近似滿足線性關(guān)系，假如基本滿足再用線性函數(shù)擬合。用線性函數(shù)擬合。 *MCM53比如，若比如，若 滿足線性關(guān)系滿足線性關(guān)系 ，則原先的變量，則原先的變量x x、y y滿足雙曲函數(shù)滿足雙曲函數(shù) 1 1( ,)x y11ayxxyaxb如果的數(shù)據(jù)點(diǎn)如果的數(shù)據(jù)點(diǎn) 明顯地分布在一條拋物線附近，我們還明顯地分布在一條拋物線附近，我們還可以用去擬合曲線，采用最小二乘法，我們類似可以導(dǎo)出可以用去擬合曲線，采用最小二乘法，我們類似可以導(dǎo)出求參數(shù)求參

58、數(shù)a a 、 b b、c c的公式，但公式較為復(fù)雜，好在現(xiàn)在許多的公式，但公式較為復(fù)雜，好在現(xiàn)在許多數(shù)學(xué)軟件中均有專用的最小二乘擬合命令，利用這些命令，數(shù)學(xué)軟件中均有專用的最小二乘擬合命令，利用這些命令，幾乎可以擬合所有類型的函數(shù)，我們所做的只是輸入數(shù)據(jù)幾乎可以擬合所有類型的函數(shù)，我們所做的只是輸入數(shù)據(jù)點(diǎn)和想要的擬合函數(shù)類型表達(dá)式，馬上就可以得到結(jié)果，點(diǎn)和想要的擬合函數(shù)類型表達(dá)式，馬上就可以得到結(jié)果，這給我們帶來(lái)了很大的便利。這給我們帶來(lái)了很大的便利。),(yx*MCM54（插值法）（插值法）在使用最小二乘法時(shí)，我們并未要求得到的擬合曲線一定在使用最小二乘法時(shí)，我們并未要求得到的擬合曲線一定要

59、經(jīng)過所有的樣本點(diǎn)，而只是要求總偏差最小。然而，當(dāng)要經(jīng)過所有的樣本點(diǎn)，而只是要求總偏差最小。然而，當(dāng)實(shí)際問題（如某地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)）要求擬合曲線必須經(jīng)過樣實(shí)際問題（如某地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)）要求擬合曲線必須經(jīng)過樣本點(diǎn)時(shí)，我們則一般選取多項(xiàng)式函數(shù)讓其通過這些點(diǎn)，但本點(diǎn)時(shí)，我們則一般選取多項(xiàng)式函數(shù)讓其通過這些點(diǎn)，但在樣本點(diǎn)數(shù)量較多時(shí)，這樣的曲線有可能彎曲得太多，解在樣本點(diǎn)數(shù)量較多時(shí)，這樣的曲線有可能彎曲得太多，解決的方法就是將樣本點(diǎn)就近分組，對(duì)每一分組用較低次數(shù)決的方法就是將樣本點(diǎn)就近分組，對(duì)每一分組用較低次數(shù)的多項(xiàng)式來(lái)近似表示，即使用分段插值法。普通插值法的的多項(xiàng)式來(lái)近似表示，即使用分段插值法。普通插值法的使

60、用有可能使曲線在連接點(diǎn)處出現(xiàn)尖角，導(dǎo)致數(shù)學(xué)上的不使用有可能使曲線在連接點(diǎn)處出現(xiàn)尖角，導(dǎo)致數(shù)學(xué)上的不可導(dǎo)（不光滑）現(xiàn)象。根據(jù)實(shí)際問題的不同需要，可采用可導(dǎo)（不光滑）現(xiàn)象。根據(jù)實(shí)際問題的不同需要，可采用只要求過樣本點(diǎn)的拉格朗日插值法、牛頓插值法等，也可只要求過樣本點(diǎn)的拉格朗日插值法、牛頓插值法等，也可以采用既要求過插值點(diǎn)（即樣本點(diǎn)）又對(duì)插值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)以采用既要求過插值點(diǎn)（即樣本點(diǎn)）又對(duì)插值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)有所要求的樣條（有所要求的樣條（SplineSpline）插值，甚至還有對(duì)插值曲線的）插值，甚至還有對(duì)插值曲線的凹凸性也有要求的凹凸性也有要求的B B樣條插值法。樣條插值法。*MCM55本書不準(zhǔn)備詳細(xì)介