1、一、古典概型一、古典概型二、典型例題二、典型例題三、幾何概率三、幾何概率四、小結(jié)四、小結(jié)第三節(jié)第三節(jié) 古典概型古典概型. . )2(; )1(古古典典概概型型驗(yàn)驗(yàn)稱稱為為等等可可能能概概型型或或具具有有以以上上兩兩個(gè)個(gè)特特點(diǎn)點(diǎn)的的試試生生的的可可能能性性相相同同試試驗(yàn)驗(yàn)中中每每個(gè)個(gè)基基本本事事件件發(fā)發(fā)有有限限個(gè)個(gè)元元素素試試驗(yàn)驗(yàn)的的樣樣本本空空間間只只包包含含1. 定義定義一、古典概型一、古典概型 設(shè)試驗(yàn)設(shè)試驗(yàn) E 的樣本空間由的樣本空間由n 個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成， A 為為 E 的任意一個(gè)事件的任意一個(gè)事件，且包含且包含 m 個(gè)樣本點(diǎn)個(gè)樣本點(diǎn)，則事則事件件 A 出現(xiàn)的概率記為出現(xiàn)的概率記

2、為: 2. 古典概型中事件概率的計(jì)算公式古典概型中事件概率的計(jì)算公式.)(樣本點(diǎn)總數(shù)樣本點(diǎn)總數(shù)所包含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)所包含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)AnmAP 稱此為概率的古典定義稱此為概率的古典定義. 二、典型例題二、典型例題例例1 1 從標(biāo)號(hào)為從標(biāo)號(hào)為1,21,2，1010的的1010個(gè)同樣大小的個(gè)同樣大小的球中任取一個(gè)，求下列事件的概率：球中任取一個(gè)，求下列事件的概率：A A：“抽到抽到2 2號(hào)號(hào)”B B：“抽中奇數(shù)號(hào)抽中奇數(shù)號(hào)”C C：“抽中的號(hào)數(shù)不小于抽中的號(hào)數(shù)不小于7 7”解：解：P(A)=1/10P(A)=1/10 P(B)=5/10 P(B)=5/10 P(C)=4/10 P(C)=4/10例例

3、2 從從6雙不同的鞋子中任取雙不同的鞋子中任取4只，求：其中恰只，求：其中恰有一雙配對(duì)的概率；至少有兩只鞋子配成一雙有一雙配對(duì)的概率；至少有兩只鞋子配成一雙的概率。的概率。解：解： 分析：先從分析：先從6雙中取出一雙，兩只全?。浑p中取出一雙，兩只全?。辉購氖Ｏ碌脑購氖Ｏ碌?雙中任取兩雙，每雙中取到一只，則雙中任取兩雙，每雙中取到一只，則中所含樣本點(diǎn)數(shù)為中所含樣本點(diǎn)數(shù)為1212252216CCCCC所以所求概率所以所求概率P4121212252216/CCCCCC 3316 設(shè)B表示至少有兩只鞋子配成一雙，則：1)(1)(BPBP4121212121 .2. 46/CCCCCC3317還能寫出別

4、的表達(dá)式嗎？還能寫出別的表達(dá)式嗎？例例3 （分房問題）有（分房問題）有n個(gè)人，每個(gè)人都以同樣的概個(gè)人，每個(gè)人都以同樣的概率被分配在率被分配在N（n N）間房中的每一間中，試求下）間房中的每一間中，試求下列各事件的概率：列各事件的概率： (1) A =“某指定某指定n間房中各有一人間房中各有一人”； (2) B =“恰有恰有n間房，其中各有一人間房，其中各有一人”； (3) C =“某指定房中恰有某指定房中恰有m (m n)人人”解解：因?yàn)槊總€(gè)人都可以分配到因?yàn)槊總€(gè)人都可以分配到N間房中任一間，間房中任一間，所以所以n個(gè)人分配房間的方式共有個(gè)人分配房間的方式共有Nn種，即樣本空種，即樣本空間中所

5、有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為間中所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為Nn (1) A =“某指定某指定n間房中各有一人間房中各有一人”，“某指定某指定n間房中各有一人間房中各有一人”的分配方法共有的分配方法共有n! 種，種，因而事件因而事件A中含有中含有n!個(gè)樣本點(diǎn)，個(gè)樣本點(diǎn)，于是于是nNnAP!)( (2) B =“恰有恰有n間房，其中各有一人間房，其中各有一人”這這n間房可自間房可自N間中任意選出，間中任意選出，共有種選法，共有種選法，因而事件因而事件B中含有中含有 個(gè)樣本點(diǎn)，個(gè)樣本點(diǎn)，于是于是nNC!nCnN nnNNnCBP!)( )!(!nNNNn (3) C =“某指定房中恰有某指定房中恰有m (m n)人人”

6、事件事件C中的中的m個(gè)人可自個(gè)人可自n個(gè)人中任意選出個(gè)人中任意選出, 共有種選法，共有種選法，其余其余n m個(gè)人可以任意分配在其余個(gè)人可以任意分配在其余N 1間房里，間房里，共有共有 個(gè)分配法，個(gè)分配法，因而事件因而事件C中有中有 個(gè)樣本點(diǎn)，個(gè)樣本點(diǎn)，于是于是mnCmnN )1(mnmnNC ) 1(nmnmnNNCCP ) 1()(mnmmnNNNC 1)1(例例4 4 有六本不同的書，任意分給甲，乙，丙三人，有六本不同的書，任意分給甲，乙，丙三人，如果每人可得如果每人可得0 0本，本，1 1本，本，2 2本，本， ，6 6本不限，求本不限，求下列各事件的概率。下列各事件的概率。（1 1）甲

7、得）甲得3 3本，乙得本，乙得2 2本，丙得本，丙得1 1本本（2 2）一人得）一人得3 3本，一人得本，一人得2 2本，一人得本，一人得1 1本本（3 3）每人各得）每人各得2 2本本解：（解：（1） （2） （3） （分子需要乘以（分子需要乘以3！嗎？）！嗎？）61123363/CCCP 61123363/! 3CCCP 62224263/CCCP 例例5 從數(shù)字從數(shù)字1,2,9中有放回地取出中有放回地取出n個(gè)數(shù)字，求取個(gè)數(shù)字，求取出這些數(shù)字的乘積能被出這些數(shù)字的乘積能被10整除的概率整除的概率?解：設(shè)解：設(shè) n 次抽取中取到可被次抽取中取到可被2整除的數(shù)的事件為整除的數(shù)的事件為A ,取到

8、可被取到可被5整除的數(shù)的事件為整除的數(shù)的事件為 B ,則取出的數(shù)的則取出的數(shù)的乘積乘積能被能被10整除的事件為整除的事件為AB ,所以有所以有)(1)(1)(BAPABPABP)()()(1BAPBPAPnnn9498951例例6 若若n個(gè)人站成一行，其中有個(gè)人站成一行，其中有A，B兩人，問兩人，問（1）夾在）夾在A，B之間恰有之間恰有r個(gè)人的概率是多少？個(gè)人的概率是多少？（2）如果）如果n個(gè)人圍成一個(gè)圓圈，求從個(gè)人圍成一個(gè)圓圈，求從A到到B順時(shí)順時(shí)針方向，針方向，A，B之間恰有之間恰有r個(gè)人的概率？個(gè)人的概率？!/)!2)(1(2) 1 (nnrnP!/)!1( !22nrnrCPrn或或!

9、/)!2()2(nnnP例例7 7 袋中有袋中有a a只白球，只白球，b b只紅球，依次將球一只只摸出，只紅球，依次將球一只只摸出，不放回。求第不放回。求第k k次摸出白球的概率？次摸出白球的概率？baababaaP)!()!1(怎么理解這個(gè)結(jié)果？怎么理解這個(gè)結(jié)果？定義定義具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為幾何概型：具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為幾何概型： (1) 隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為某可度量的區(qū)域隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為某可度量的區(qū)域 ； (2) 中任一區(qū)域出現(xiàn)的可能性的大小與該區(qū)中任一區(qū)域出現(xiàn)的可能性的大小與該區(qū)域的幾何度量成正比而與該區(qū)域的位置和形狀無域的幾何度量成正比而與該區(qū)域的位置和形狀無關(guān)關(guān)三、幾

10、何概型三、幾何概型對(duì)于幾何概型，若事件對(duì)于幾何概型，若事件A是是 中的某一區(qū)域，且中的某一區(qū)域，且A可以度量，則事件可以度量，則事件A的概率為的概率為其中，如果其中，如果 是一維、二維或三維的區(qū)域，則是一維、二維或三維的區(qū)域，則 的幾何度量分別是長度、面積和體積的幾何度量分別是長度、面積和體積的幾何度量的幾何度量的幾何度量的幾何度量 AAP )(說明說明 當(dāng)古典概型的試驗(yàn)結(jié)果為連續(xù)無窮多個(gè)時(shí)當(dāng)古典概型的試驗(yàn)結(jié)果為連續(xù)無窮多個(gè)時(shí),就歸結(jié)為幾何概型就歸結(jié)為幾何概型. 那么那么.0,0TyTx 兩人會(huì)面的充要條件為兩人會(huì)面的充要條件為, tyx 例例10 甲、乙兩人相約在甲、乙兩人相約在 0 到到

11、T 這段時(shí)間內(nèi)這段時(shí)間內(nèi), 在在預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面. 先到的人等候另一個(gè)人先到的人等候另一個(gè)人, 經(jīng)過時(shí)間經(jīng)過時(shí)間 t( t0)的一些平行直的一些平行直線線,現(xiàn)向此平面任意投擲一根長為現(xiàn)向此平面任意投擲一根長為b( ba )的針的針,試求試求針與某一平行直線相交的概率針與某一平行直線相交的概率.ax M,直線的距離到最近的一條平行針的中點(diǎn)表示針投到平面上時(shí)解：以Mx.夾夾角角表表示示針針與與該該平平行行直直線線的的 .),(完全確定完全確定置可由置可由那么針落在平面上的位那么針落在平面上的位 x矩形區(qū)域矩形區(qū)域果與果與投針試驗(yàn)的所有可能結(jié)投針試驗(yàn)的所有可能結(jié)0 ,20),( axxS.中

12、的所有點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)中的所有點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)由投擲的任意性可知由投擲的任意性可知,這是一個(gè)幾何概型問題這是一個(gè)幾何概型問題.o中中的的點(diǎn)點(diǎn)滿滿足足發(fā)發(fā)生生的的充充分分必必要要條條件件為為針針與與某某一一平平行行直直線線相相交交所所關(guān)關(guān)心心的的事事件件SA ax M.0,sin20 bx的面積的面積的面積的面積SGSGAP )()()(2dsin20 ab .22abab o蒲豐投針試驗(yàn)的應(yīng)用及意義蒲豐投針試驗(yàn)的應(yīng)用及意義2)(abAP 那么那么的近似值代入上式的近似值代入上式作為作為即可即可則頻率值則頻率值的次數(shù)的次數(shù)測出針與平行直線相交測出針與平行直線相交很大時(shí)很大時(shí)當(dāng)投針試驗(yàn)次數(shù)當(dāng)投針試驗(yàn)次數(shù)根據(jù)頻率的穩(wěn)定性根據(jù)頻率的穩(wěn)定性,)(,APnmmn2abnm .2ambn . 的近似值的近似值利用上式可計(jì)算圓周率利用上式可計(jì)算圓周率歷史上一些學(xué)者的計(jì)算結(jié)果歷史上一些學(xué)者的計(jì)算結(jié)果(直線距離直線距離a=1) 3.179585925200.54191925Reina 3.1415929180834080.831901Lazzerini 3.159548910300.751884Fox 3.1373826001.01860De Morgan 3.1554121832040.61855Smith 3.1596253250000