1、2.1.1 2.1.1 函數(shù)的極限函數(shù)的極限第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)2.1 2.1 極極 限限2.1.6 2.1.6 小小結(jié)結(jié)2.1.5 2.1.5 無(wú)窮大量無(wú)窮大量2.1.4 2.1.4 極限的性極限的性質(zhì)質(zhì)2.1.3 2.1.3 無(wú)窮小無(wú)窮小量量2.1.2 2.1.2 左極限與右極左極限與右極限限按正整數(shù)順序排列的無(wú)窮多個(gè)數(shù)按正整數(shù)順序排列的無(wú)窮多個(gè)數(shù) 1y，2y，3y，ny， 稱為稱為數(shù)列數(shù)列，簡(jiǎn)記作：，簡(jiǎn)記作：ny. 其中其中 ny稱為數(shù)列的稱為數(shù)列的通項(xiàng)通項(xiàng)或或一般項(xiàng)一般項(xiàng) 數(shù)列的極限數(shù)列的極限2.1.1 2.1.1 函數(shù)的極限函數(shù)的極限例例 1 1 看下面的例子看下面的

2、例子 (1) n1：，：， 21，31，n1，；，； (2) 1nn：21，32，43，1nn，；，； (3) 2n：12，22，32，2n，；，； (4) 11( 1)nn：，：，-21，31，-41， 11( 1)nn， 等等都是數(shù)列等等都是數(shù)列. 觀察如上觀察如上 4 個(gè)數(shù)列在個(gè)數(shù)列在n無(wú)限增大時(shí)的變化趨勢(shì)， 可以看到數(shù)無(wú)限增大時(shí)的變化趨勢(shì)， 可以看到數(shù)列列n1和和11( 1)nn無(wú)限接近于無(wú)限接近于 0，數(shù)列，數(shù)列1nn無(wú)限接近于常數(shù)無(wú)限接近于常數(shù)1，而數(shù)列，而數(shù)列 2n隨著隨著 n 的增大的增大,數(shù)列中的項(xiàng)也越來(lái)越大，不會(huì)靠數(shù)列中的項(xiàng)也越來(lái)越大，不會(huì)靠近一個(gè)確定的常數(shù)，我們給出數(shù)列極

3、限的定義近一個(gè)確定的常數(shù)，我們給出數(shù)列極限的定義. 定定義義 2 2. .1 1 設(shè)設(shè)數(shù)數(shù)列列 ny，若若當(dāng)當(dāng) n無(wú)無(wú)限限增增大大時(shí)時(shí)，ny趨趨于于一一個(gè)個(gè)確確定定的的常常數(shù)數(shù) A，則則稱稱 A 為為數(shù)數(shù)列列 ny的的極極限限，記記作作 limnnyA，或或 ny A（n ）亦亦稱稱數(shù)數(shù)列列 ny收收斂斂于于 A 按上述定義，表示例按上述定義，表示例 1 中數(shù)列（中數(shù)列（1） ， （） ， （2） ， （） ， （4）的極限分別為）的極限分別為: limn n10；limn1nn1；limn（-1） 1n n10 數(shù)列（數(shù)列（3）的極限不存在，當(dāng)）的極限不存在，當(dāng) n 時(shí)，時(shí)， ny越來(lái)越大趨

4、于越來(lái)越大趨于 ，這種數(shù)列通常也形式地記作這種數(shù)列通常也形式地記作 limn nylim2nn + 2. 2. 函數(shù)的極限函數(shù)的極限定義定義 2.22.2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf，如果當(dāng)，如果當(dāng)x的絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)的絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)，函數(shù))(xf無(wú)限趨于一個(gè)確定的常數(shù)無(wú)限趨于一個(gè)確定的常數(shù) A，則稱當(dāng)，則稱當(dāng) x趨于無(wú)窮時(shí)，函數(shù)趨于無(wú)窮時(shí)，函數(shù))(xf以以 A 為極限，記作為極限，記作limx)(xfA，或，或 )(xfA ( x ). 如果如果x且且x無(wú)限增大（記作無(wú)限增大（記作 x ）時(shí)）時(shí), 函數(shù)函數(shù))(xf無(wú)限趨近無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)于一個(gè)確定的常數(shù) A，可得，可得 lim(

5、)xf xA，或，或 ( )f xA ()x . 如果如果 x0 且且x無(wú)限增大 （記作無(wú)限增大 （記作x ） 時(shí)， 函數(shù)） 時(shí)， 函數(shù) )(xf無(wú)無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù) A，可得，可得 xlim)(xfA，或，或( )()f xA x . 定定理理 2 2. .2 2 limx)(xf的的充充要要條條件件是是 limx)(xf limx( )f xA 圖圖2-1 xyxy1解解 由圖由圖 2-1 可知可知 1limxx0， limxx10 . 所以所以1limxx0. 解解 由由于于lim (arctan )2xx(xarctan) 2， limx(xarctan)-

6、2 所所以以 limxxarctan不不存存在在 (2) x0 x時(shí)時(shí), 函數(shù)的極限函數(shù)的極限 圖圖2-2 設(shè)實(shí)數(shù)設(shè)實(shí)數(shù)0,x 且且 0，數(shù)集，數(shù)集00.x xxx叫點(diǎn)叫點(diǎn)0 x的的鄰域鄰域，記作，記作0(, )U x即即000(, ).U xx xxx 點(diǎn)點(diǎn)0 x叫鄰域的中心，叫鄰域的中心，叫鄰域的半徑叫鄰域的半徑 因 為因 為0 xx相 當(dāng) 于相 當(dāng) 于 0 xx ， 即， 即00 xxx， 所以在幾何上， 鄰域， 所以在幾何上， 鄰域 0(, )U x表示以點(diǎn)表示以點(diǎn)0 x為為中心，長(zhǎng)為中心，長(zhǎng)為 2的開區(qū)間的開區(qū)間00(,)xx如圖如圖 2 2- -2 2 鄰域的概念鄰域的概念: :

7、0 x+0 x0 x定定義義 2 2. .3 3 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在點(diǎn)點(diǎn) 0 x的的 去去心心鄰鄰域域 00(, )U x內(nèi)內(nèi)有有定定義義，若若當(dāng)當(dāng)x無(wú)無(wú)限限趨趨近近于于 0 x時(shí)時(shí)，函函數(shù)數(shù))(xf無(wú)無(wú)限限趨趨近近于于一一個(gè)個(gè)確確定定的的常常數(shù)數(shù) A，則則稱稱當(dāng)當(dāng)0 xx時(shí)時(shí),函函數(shù)數(shù))(xf以以 A 為為極極限限.記記作作 0limxx)(xf=A 或或)(xf A（0 xx） 例例討論函數(shù)討論函數(shù)21( )1xyf xx當(dāng)當(dāng)x無(wú)限趨近于無(wú)限趨近于 1 時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì). 圖圖2-3 211xyxyx112解解 當(dāng)當(dāng)x從從 1 的左側(cè)無(wú)限接近的左側(cè)無(wú)限接近 1 時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值

8、變化如下時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值變化如下: 該函數(shù)的圖像是直線該函數(shù)的圖像是直線1 xy上除去點(diǎn)（上除去點(diǎn)（1，2）以外的部分，）以外的部分，如圖如圖 2-3，從圖，從圖 2-3 可以看到，此函數(shù)在可以看到，此函數(shù)在x1 處雖然沒有定義，處雖然沒有定義，但是當(dāng)?shù)钱?dāng)x從從x1 處的左右兩邊分別越來(lái)越接近處的左右兩邊分別越來(lái)越接近 1 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)21( )1xf xx的值越來(lái)越趨的值越來(lái)越趨 近于近于 2，于是，于是，按定義，按定義 2.3， 函數(shù)函數(shù)21( )1xf xx當(dāng)當(dāng)1x 時(shí)時(shí) 以以 2 為極限為極限 即即1limx211xx 定義定義 2.42.4 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的左

9、半領(lǐng)域內(nèi)有定義，當(dāng)自的左半領(lǐng)域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在此半領(lǐng)域內(nèi)無(wú)限接近于變量在此半領(lǐng)域內(nèi)無(wú)限接近于0 x時(shí)， 函數(shù)時(shí)， 函數(shù))(xf無(wú)限接近于常數(shù)無(wú)限接近于常數(shù)A，則稱，則稱 A 為函數(shù)為函數(shù))(xf在在0 x點(diǎn)的左極限，記作點(diǎn)的左極限，記作 0limxx)(xf= A 或或)(xfA（0 xx）或或0()f xA 函數(shù)函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的右半鄰域內(nèi)有定義， 當(dāng)自變量在此半鄰的右半鄰域內(nèi)有定義， 當(dāng)自變量在此半鄰域內(nèi)無(wú)限接近于域內(nèi)無(wú)限接近于0 x時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù))(xf無(wú)限接近于常數(shù)無(wú)限接近于常數(shù) A，則稱，則稱 A為函數(shù)為函數(shù))(xf在在0 x點(diǎn)的右極限，記作點(diǎn)的右極限，記作 0lim

10、xx( )f xA或或( )f xA（0 xx）或）或 0()f xA 左，右極限統(tǒng)稱單側(cè)極限左，右極限統(tǒng)稱單側(cè)極限. 2.1.2 2.1.2 左極限與右極限左極限與右極限例例 求求函函數(shù)數(shù). 0, 1; 0,)(xxxxf當(dāng)當(dāng)x0 時(shí)時(shí)的的左左極極限限0()f x和和右右極極限限0()f x. 圖圖2-4 解解 這是一個(gè)分段函數(shù)，如這是一個(gè)分段函數(shù)，如 圖圖 2-4 所示，由圖可直觀看到，所示，由圖可直觀看到， 0()f x0limx)(xf0lim()xx0 0()f x0limx)(xf0limx11 yx11yxy例例討討論論函函數(shù)數(shù) . 0, 1; 0, 0; 0, 1)(xxxxx

11、xf當(dāng)當(dāng) x0 時(shí)時(shí)的的極極限限 0limx)(xf. 圖圖2-5 解解 如如圖圖 2-5 所所示示 0limx)(xf0lim(1)1xx ； 0limx)(xf0lim(1)1xx； 因因 0limx)(xf0limx)(xf 故故 0limx)(xf不不存存在在 11 xyxy1 xy由由極極限限定定義義可可以以推推算算出出下下述述兩兩個(gè)個(gè)結(jié)結(jié)論論: 00limxxxx， limCC, （C為為常常數(shù)數(shù)） 1 1無(wú)窮小量的定義無(wú)窮小量的定義2.1.3 2.1.3 無(wú)窮小量無(wú)窮小量例例如如 limx x1=0，所所以以函函數(shù)數(shù) x1當(dāng)當(dāng) x時(shí)時(shí)是是無(wú)無(wú)窮窮小小 又如又如 1lim(1)xx

12、=0，所以函數(shù)，所以函數(shù)1x當(dāng)當(dāng) 1x時(shí)是無(wú)窮小時(shí)是無(wú)窮小 例例 自自變變量量x在在怎怎樣樣的的變變化化過(guò)過(guò)程程中中， 下下列列函函數(shù)數(shù)為為無(wú)無(wú)窮窮小小. (1) 11xy； （2）12 xy； （3）2xy ； （4）1( )4xy . 解解 （1）因因 limx11x0，故故當(dāng)當(dāng) x時(shí)時(shí)，11x為為無(wú)無(wú)窮窮小?。?(2) 因因 12limx ) 12(x0，故故當(dāng)當(dāng) x21時(shí)時(shí)， 12 x為為無(wú)無(wú)窮窮小??； (3) 因因limx2x0，故故當(dāng)當(dāng) x 時(shí)時(shí)， 2x為為無(wú)無(wú)窮窮小??； (4) 因因 limx1( )4x0，故故當(dāng)當(dāng) x 時(shí)時(shí)，1( )4x為為無(wú)無(wú)窮窮小小. 定定理理 2 2.

13、.4 4 lim( )f xA的的充充要要條條件件是是( )f xA，其其中中 是是無(wú)無(wú)窮窮小小 即即 lim( )f xA0lim，( )f xA 2. 2. 極限與無(wú)窮小的關(guān)系極限與無(wú)窮小的關(guān)系3. 3. 無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì) 有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和是無(wú)窮小有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和是無(wú)窮小性質(zhì)有限個(gè)無(wú)窮小的積是無(wú)窮小性質(zhì)有限個(gè)無(wú)窮小的積是無(wú)窮小. .性質(zhì)有界函數(shù)與無(wú)窮小的積是無(wú)窮小性質(zhì)有界函數(shù)與無(wú)窮小的積是無(wú)窮小性質(zhì)常數(shù)與無(wú)窮小的積是無(wú)窮小性質(zhì)常數(shù)與無(wú)窮小的積是無(wú)窮小例例 求求 01lim sinxxx 解解 因因 01lim0, sin1xxx， 故故由由無(wú)無(wú)窮窮小小性性質(zhì)

14、質(zhì) 3 有有 01limsin0 xxx 性質(zhì)性質(zhì) 3 3 （保號(hào)性） 若在（保號(hào)性） 若在 00(, )U x內(nèi)， 恒有內(nèi)， 恒有)(xf0 （或（或 )(xf0）且）且0lim( )xxf xA，則，則 A0（或（或 A0）. 若若0lim( )xxf xA，且，且 A0（或（或 A0 ） ，則在，則在00(, )U x內(nèi)，內(nèi)，恒有恒有0)(xf（或（或0)(xf）. 性質(zhì)性質(zhì)2 2有界性有極限的變量是有界變量有界性有極限的變量是有界變量2.1.4 2.1.4 極限的性質(zhì)極限的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1唯一性函數(shù)若有極限，則其極限必唯一唯一性函數(shù)若有極限，則其極限必唯一性質(zhì)性質(zhì) 4 4 （夾逼準(zhǔn)則

15、） 若（夾逼準(zhǔn)則） 若 x00(, )U x時(shí)， 有時(shí)， 有)(xh)(xf)(xg 且且 0lim ( )xxh x0lim( )xxg xA 則則 0lim( )xxf xA 2.1.5 2.1.5 無(wú)窮大量無(wú)窮大量1. 1. 無(wú)窮大量的定義無(wú)窮大量的定義例如例如：當(dāng)：當(dāng)x0 時(shí)，時(shí)，xy1的絕對(duì)值的絕對(duì)值1x將無(wú)限增大，即當(dāng)將無(wú)限增大，即當(dāng)x0 時(shí)，時(shí)，x1是無(wú)窮大記作是無(wú)窮大記作 01limxx 定理定理2.5 2.5 在自變量的同一變化過(guò)程中在自變量的同一變化過(guò)程中 (1) (1) 有限個(gè)無(wú)窮大的乘積仍是無(wú)窮大有限個(gè)無(wú)窮大的乘積仍是無(wú)窮大； (2) (2) 無(wú)窮大與有界量的和仍是無(wú)窮

16、大無(wú)窮大與有界量的和仍是無(wú)窮大3. 3. 無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系2. 2. 無(wú)窮大的性質(zhì)無(wú)窮大的性質(zhì)注意：注意： (1) 有限個(gè)無(wú)窮大的代數(shù)和不一定是無(wú)窮大；有限個(gè)無(wú)窮大的代數(shù)和不一定是無(wú)窮大； (2) 無(wú)窮大與有界量的乘積也不一定是無(wú)窮大無(wú)窮大與有界量的乘積也不一定是無(wú)窮大.1 1 函數(shù)的極限函數(shù)的極限2.1.6 2.1.6 小結(jié)小結(jié)5 5 無(wú)窮大量無(wú)窮大量4 4 極限的性質(zhì)極限的性質(zhì)3 3 無(wú)窮小量無(wú)窮小量2 2 左極限與右極限左極限與右極限2.2.1 2.2.1 極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)2.2 2.2 極限的運(yùn)算極限的運(yùn)算

17、2.2.5 2.2.5 小結(jié)小結(jié)2.2.4 2.2.4 復(fù)利與連續(xù)復(fù)利復(fù)利與連續(xù)復(fù)利2.2.3 2.2.3 無(wú)窮小的比較無(wú)窮小的比較2.2.2 2.2.2 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限定理定理 2 2.7 7 (四則運(yùn)算法則四則運(yùn)算法則) 設(shè)設(shè) lim( )f xA，lim ( )g xB 則則 法則法則 1 1 lim( )( )lim( )lim ( )f xg xf xg xAB 法法則則 2 2 lim( )( )lim( ) lim ( )f xg xf xg xA B 法則法則 3 3 ( )lim( )lim0( )lim ( )f xf xABg xg xB（） 推推論論 1 1

18、lim( )lim( )cf xcf x ( c為為常常數(shù)數(shù)) 推推論論 2 2 lim( )lim( )f xf x )(R 特特別別地地，法法則則 1、2 可可以以推推廣廣到到有有限限個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)的的情情形形，即即 (1)1212lim( )( )( )lim( )lim( )lim( )nnfxfxfxfxfxfx (2) 1212lim( )( )( )lim( ) lim( )lim( )nnfxfxfxfxfxfx 2.2.1 2.2.1 極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則例例 1 1 求求 21lim(321)xxx 解解 因因?yàn)闉楫?dāng)當(dāng)1x時(shí)時(shí)，函函數(shù)數(shù)各各項(xiàng)項(xiàng)的的極極限限都都

19、存存在在 所所以以21lim(321)xxx211lim3lim21xxxx2113 lim2lim1xxxx 23 12 1 1 例例 2 2 求求 32327lim9xxx 解解 32327lim9xxx=23(3)(39)lim(3)(3)xxxxxx=23(39)lim(3)xxxx=29 例例 3 3 求求 231lim9xxx 解解 因因?yàn)闉?2390lim014xxx 由由定定理理 2.6 (無(wú)無(wú)窮窮大大與與無(wú)無(wú)窮窮小小關(guān)關(guān)系系)得得 231lim9xxx= 例例 4 4 求求 22223lim31xxxx 解解 22223lim31xxxx=22232lim13xxxx=030

20、02= 32 例例 5 5 求求 324421lim31xxxx 解解 用用4x除分子、分母，得除分子、分母，得 324421lim31xxxx=244421lim13xxxxx=244421lim()01lim(3)xxxxxx 上述各例的計(jì)算方法與結(jié)果，可推廣到一般情況，若上述各例的計(jì)算方法與結(jié)果，可推廣到一般情況，若 )(xR是有理分式，是有理分式， )(xR( )( )nmP xQx11101110nnnnmmmma xaxa xab xbxb xb （）（） 若若 0()0mQx，則，則 0lim( )xxR x( )( )nmP xQx0()R x （）（） 若若 0()0mQx，

21、而而0()0nP x，則，則 0lim( )xxR x （）若（）若0()0mQx，且，且0()0nP x，則，則( )mQx，( )nP x一定有以一定有以為極限的為極限的0()xx型公因子，將型公因子，將( )mQx，( )nP x因式分解約分后，因式分解約分后，計(jì)算極限計(jì)算極限 例例 6 6 求求2112lim11xxx 解解 先先通通分分化化簡(jiǎn)簡(jiǎn)后后再再計(jì)計(jì)算算極極限限即即 2112lim11xxx2112lim1xxx 11lim1xx 21 例例 7 7 求求 222lim2xxx 解解 將分子、分母同乘分子的共軛因子后，使分子有理化，將分子、分母同乘分子的共軛因子后，使分子有理化

22、，這時(shí)再計(jì)算極限，即這時(shí)再計(jì)算極限，即 222lim2xxx =2(22)(22)lim(2)(22)xxxxx=224lim(2)(22)xxxx =211lim422xx 例例 8 8 求求 2sinlimxxx 解解 把把2sin xx看看作作21x與與xsin的的乘乘積積，利利用用無(wú)無(wú)窮窮小小的的性性質(zhì)質(zhì)，再再計(jì)計(jì)算算極極限限 因因 x時(shí)時(shí)，210 x，而而|xsin|1，由由無(wú)無(wú)窮窮小小與與有有界界函函數(shù)數(shù)的的積積仍仍是是無(wú)無(wú)窮窮小小,得得 2sinlim0 xxx 例例 9 9 設(shè)設(shè)2,0;( ),01;1,1.xxf xxxxx求求0lim( )xf x，1lim( )xf x及

23、及2lim( )xf x 解解 因因 0lim( )xf x=20lim0 xx， 0lim( )xf x=0lim0 xx， 故故 由由定定理理 23 (極極限限存存在在的的充充要要條條件件)得得 0lim( )0 xf x 同同理理， 因因 1lim( )xf x=1lim1xx， 1lim( )xf x=1lim(3)2xx， 故故 1lim( )xf x 不不存存在在， 而而 2lim( )xf x=2lim(3)1xx 這個(gè)極限可由極限存在的夾逼準(zhǔn)則推證，下面給出證明：這個(gè)極限可由極限存在的夾逼準(zhǔn)則推證，下面給出證明： 證證 作單位圓如圖作單位圓如圖26所示 取所示 取2).(xor

24、adxAOB設(shè)，于是有：于是有：xADxABxBCtan,sin， 由圖由圖 2 2- -6 6 可知可知，OABOADOABSSS扇形 即即 xxxtan2121sin21得得 xxxtansin 除以除以xsin有有xxxcos1sin1 從而從而 1sincosxxx. 2.2.2 2.2.2 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限. . 0sinlim1xxx 因?yàn)橐驗(yàn)閤xxsin,cos都是偶函數(shù)，都是偶函數(shù)， 所以上面的不等式對(duì)于開區(qū)間所以上面的不等式對(duì)于開區(qū)間)0 ,2(內(nèi)的一切內(nèi)的一切x也是成立的也是成立的 而當(dāng)而當(dāng)0 x時(shí)，時(shí)，0limcos1xx,0lim11x 由極限存在的夾逼準(zhǔn)則，即

25、得由極限存在的夾逼準(zhǔn)則，即得 0sinlim1xxx 圖圖2-6 ABCD1x例例 1 10 0 求求 0tanlimxxx 解解 因因xxxcossintan 故故0tanlimxxx=0sin1lim1 11cosxxxx 例例 1 11 1 求求 0sin2lim3xxx 解解 0sin2lim3xxx02 sin2lim()32xxx02sin2lim32xxx 32 例例 1 12 2 求求 201 coslimxxx 解解 由由22(1 cos )(1)1 cossin,xcoxxx 有有 201 coslimxxx=2201 coslim(1cos )xxxx=20sin1lim

26、()1 cosxxxx =200sin1(lim) lim1 cosxxxxx=21111 12 例例 1 13 3 求求 1limsinxxx 解解 利利用用無(wú)無(wú)窮窮大大與與無(wú)無(wú)窮窮小小的的關(guān)關(guān)系系，作作變變量量替替換換，設(shè)設(shè) xt1， x， 0t， 于于是是 1limsinxxx=0sinlimttt=1 2 2. 1lim(1)exxx 在上式中在上式中 令令 xt1, 則則 x，0t，于是，有，于是，有 10lim(1)ettt (2.3) 例例 1414 求求 2lim(1)xxx 解解 2lim(1)xxx=221lim 12xxx=2221lim12xxx=2221lim 12x

27、xx= 2e 例例 1 15 5 求求 10lim(12 )xxx 解解 作變量替換作變量替換 設(shè)設(shè) xt2，則，則 2tx，當(dāng)，當(dāng)0 x，0t， 于是于是 10lim(1 2 )xxx20lim(1)ttt 210lim1ttt210lim(1)ttt= 2e 例例 1 16 6 求求 31lim()1xxxx 解解 31lim()1xxxx3111lim111xxxxxx 11(1)lim1(1)xxxxx311lim11xxx21e1ee 2.2.3 2.2.3 無(wú)窮小的比較無(wú)窮小的比較由由定定義義 2.7 知知,當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí),2x是是比比 x2高高階階的的無(wú)無(wú)窮窮小小,即即2(2 )

28、xx,反反之之x2是是比比 2x低低階階無(wú)無(wú)窮窮小小, 而而 x2和和 x是是同同階階無(wú)無(wú)窮窮小小,xsin和和 x是是等等價(jià)價(jià)的的無(wú)無(wú)窮窮小小,即即)0(sinxxx. 定定理理 2 2. .8 8（無(wú)無(wú)窮窮小小等等價(jià)價(jià)替替換換定定理理） 若若，且且( )f x存存在在，則則 limlim 推推論論 (無(wú)無(wú)窮窮小小傳傳遞遞性性質(zhì)質(zhì)) 若若 ，, 則則. 常常用用的的等等價(jià)價(jià)無(wú)無(wú)窮窮小小有有：當(dāng)當(dāng) 0 x時(shí)時(shí) 1)1ln(arctanarcsintansinxexxxxxxxxxxx21 cos2xx等等. 例例 1717 求求20tan 5limsin2xxxx 解解 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)，xx5

29、5tan，xx22sin 于于是是 20tan 5limsin2xxxx20(5 )25lim22xxx x 例例 1818 求求 30tansinlimxxxx 解解 這是這是 00型未定式型未定式, 因?yàn)橐驗(yàn)閤xxxxcos)cos1 (sinsintan 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)，時(shí)，xx sin, 21 cos2xx, 于是于是 30tansinlimxxxx30sin (1 cos )limcosxxxxx23012limcos2xxxxx 應(yīng)應(yīng)該該指指出出,在在用用等等價(jià)價(jià)無(wú)無(wú)窮窮小小代代換換時(shí)時(shí)， 一一般般在在乘乘除除運(yùn)運(yùn)算算時(shí)時(shí)可可施施行行，而而在在和和差差運(yùn)運(yùn)行行時(shí)時(shí)不不能能運(yùn)運(yùn)用用,如

30、如在在上上例例中中，若若因因xx tan，xx sin有有 30tansinlimxxxx30lim0 xxxx則則顯顯然然是是錯(cuò)錯(cuò)誤誤的的 在在 1.3.2 節(jié)的討論中節(jié)的討論中,我們?cè)玫饺缦陆Y(jié)果我們?cè)玫饺缦陆Y(jié)果 設(shè)本金為設(shè)本金為P，年利率為，年利率為 r，每年計(jì)息一次，按復(fù)利計(jì)算的第，每年計(jì)息一次，按復(fù)利計(jì)算的第 t 年年末的本利和是末的本利和是 (1)ttAPr 這就是這就是復(fù)利計(jì)算模型復(fù)利計(jì)算模型. 若不按年計(jì)息，而改為半年計(jì)息一次，則半年利率為若不按年計(jì)息，而改為半年計(jì)息一次，則半年利率為 2r，t年共計(jì)息年共計(jì)息 2t 次，則第次，則第 t 年末的本利和為：年末的本利和為： 2

31、(1)2ttrAP 2.2.4 2.2.4 復(fù)利與連續(xù)復(fù)利復(fù)利與連續(xù)復(fù)利若按月計(jì)息，則月息為若按月計(jì)息，則月息為 12r，t 年共計(jì)息年共計(jì)息 12t 次，則第次，則第 t 年年末的本利和為末的本利和為: 12(1)12ttrAP 若每年計(jì)息若每年計(jì)息 x，每次利率為，每次利率為 xr次，次，t 年共計(jì)息年共計(jì)息 xt次，則第次，則第 t 年末的本利和為年末的本利和為: (1)xttrAPx (2.4) 上述計(jì)息的“次”是確定的時(shí)間間隔，因?yàn)橐荒暧?jì)息次數(shù)為上述計(jì)息的“次”是確定的時(shí)間間隔，因?yàn)橐荒暧?jì)息次數(shù)為有限次， 所以公式有限次， 所以公式(2.4)可認(rèn)為是按離散情況計(jì)算可認(rèn)為是按離散情況計(jì)

32、算 t年末本利和年末本利和 tA的復(fù)利公式的復(fù)利公式,這就是這就是離散復(fù)利計(jì)算模型離散復(fù)利計(jì)算模型 因?yàn)橘Y金周轉(zhuǎn)過(guò)程是不斷進(jìn)行的， 計(jì)算利息分期越細(xì)越合理，因?yàn)橘Y金周轉(zhuǎn)過(guò)程是不斷進(jìn)行的， 計(jì)算利息分期越細(xì)越合理，亦即結(jié)算次數(shù)愈多愈合理，也就是讓計(jì)息的“次”的時(shí)間間隔無(wú)亦即結(jié)算次數(shù)愈多愈合理，也就是讓計(jì)息的“次”的時(shí)間間隔無(wú)限縮短，從而計(jì)息次數(shù)限縮短，從而計(jì)息次數(shù)x，這樣進(jìn)行計(jì)算利息就是，這樣進(jìn)行計(jì)算利息就是連續(xù)復(fù)利連續(xù)復(fù)利，于是于是 lim(1)xttxrAPxlim1ertxrrtxrPPx 這就是這就是連續(xù)復(fù)利計(jì)算模型連續(xù)復(fù)利計(jì)算模型. 1 1 極限的四則運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則2.2.

33、5 2.2.5 小結(jié)小結(jié)4 4 復(fù)利與連續(xù)復(fù)利復(fù)利與連續(xù)復(fù)利3 3 無(wú)窮小的比較無(wú)窮小的比較2 2 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限2.3.3 2.3.3 小結(jié)小結(jié)2.3 2.3 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性第第2 2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)2.3.1 2.3.1 函數(shù)的連續(xù)性定義函數(shù)的連續(xù)性定義2.3.2 2.3.2 初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性定義定義 2 2.8 8 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x的某一鄰域內(nèi)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量從初值有定義，當(dāng)自變量從初值 0 x變到終值變到終值 x時(shí)，對(duì)應(yīng)的時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也由函數(shù)值也由0()f x變到變到)(xf， 則把自變量的終值與初值

34、， 則把自變量的終值與初值的差的差0 xx稱為稱為自變量的增量自變量的增量（或（或自變量的改變量自變量的改變量） ，） ，記為記為x，即，即 x0 xx；而函數(shù)的終值與初值的差，；而函數(shù)的終值與初值的差，即即)(xf0()f x，稱為，稱為函數(shù)的增量函數(shù)的增量（或（或函數(shù)的改變量函數(shù)的改變量） ，） ，記為記為y，即，即 y)(xf0()f x，由于，由于x0 xx. 故：故： 自變量的終值可表示為：自變量的終值可表示為： 0 xx+x 2.3.1 2.3.1 函數(shù)的連續(xù)性定義函數(shù)的連續(xù)性定義1. 1. 函數(shù)的增量函數(shù)的增量函數(shù)的增量可表示為：函數(shù)的增量可表示為：y0()f xx0()f x.

35、 函數(shù)增量的幾何意義如圖函數(shù)增量的幾何意義如圖 2-7 所示所示,由圖可見， 當(dāng)由圖可見， 當(dāng)自變量的增量自變量的增量x變化時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)的增量變化時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)的增量 y一一般也隨之改變， 且般也隨之改變， 且x，y均可正可負(fù)， 如當(dāng)均可正可負(fù)， 如當(dāng)0 xx時(shí)，時(shí)，就有就有x0 圖圖2-7 y)(xfy yx0 xx0 xx圖圖2-8 2 2. 連續(xù)連續(xù) 在幾何上， 一個(gè)函數(shù)是連續(xù)變化的在幾何上， 一個(gè)函數(shù)是連續(xù)變化的,那么那么,它的圖像就是一它的圖像就是一條連綿不斷的曲線條連綿不斷的曲線,在圖在圖 2-7 中，函數(shù)曲線中，函數(shù)曲線)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x處處是連續(xù)的 當(dāng)是連續(xù)的 當(dāng)

36、x變化經(jīng)過(guò)點(diǎn)變化經(jīng)過(guò)點(diǎn) 0 x時(shí)， 其對(duì)應(yīng)函數(shù)值是漸變的 （沒時(shí)， 其對(duì)應(yīng)函數(shù)值是漸變的 （沒有突變） 當(dāng)有突變） 當(dāng)x0 時(shí)， （即時(shí)， （即0 xx）)(xf0()f x在在 圖圖 2-8 中，函數(shù)曲線中，函數(shù)曲線)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x是不連續(xù)的，當(dāng)是不連續(xù)的，當(dāng)x變化經(jīng)過(guò)變化經(jīng)過(guò) 0 x點(diǎn)點(diǎn) 時(shí)，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值卻發(fā)生了跳時(shí)，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值卻發(fā)生了跳 躍式的突變， （劇烈變化） ，當(dāng)躍式的突變， （劇烈變化） ，當(dāng) x0 時(shí)，時(shí)，)(xf不趨于不趨于0()f x，根，根 椐上面椐上面的觀察和分折，我們給出的觀察和分折，我們給出 函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn) 0 x處連續(xù)的定義：處連續(xù)的定義： y

37、x)(xfy yx0 x0 xx)(0 xf)(xf定定義義 2 2. .9 9 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xfy 在在點(diǎn)點(diǎn) 0 x的的某某個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，如如果果自自變變量量的的增增量量 x趨趨于于零零時(shí)時(shí)，對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)增增量量 y也也趨趨于于零零，即即 0000limlim()()0 xxyf xxf x 則則稱稱函函數(shù)數(shù))(xfy 在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處連連續(xù)續(xù)，稱稱點(diǎn)點(diǎn) 0 x為為函函數(shù)數(shù)的的連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn) 由于由于x0 xx，y)(xf0()f x當(dāng)當(dāng)x0 時(shí)，時(shí)，0 xx因此得到與定義因此得到與定義 2.9 等價(jià)的定義：等價(jià)的定義： 定義定義 2 2.1010 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))

38、(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x的某個(gè)鄰域的某個(gè)鄰域內(nèi)內(nèi)有定義，如果當(dāng)有定義，如果當(dāng)0 xx時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù) )(xf的極限存在，且等的極限存在，且等于它在點(diǎn)于它在點(diǎn)0 x的函數(shù)值的函數(shù)值0()f x，即，即 0lim( )xxf x=0()f x 則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處處連續(xù)連續(xù) 若若0lim( )xxf x=0()f x,則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處處左連左連續(xù)續(xù) 若若0lim( )xxf x=0()f x,則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處處右連右連續(xù)續(xù) 定理定理 2.92.9 函數(shù)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x處連續(xù)的充分必處連續(xù)的充分必要條

39、件是要條件是 0lim( )xxf x=0lim( )xxf x=0()f x 定義定義 2.112.11 如果函數(shù)如果函數(shù))(xfy 在區(qū)間（在區(qū)間（ba,）或）或ba,上的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)上的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù) )(xf在（在（ ba,）或或ba,內(nèi)是連續(xù)的如果函數(shù)內(nèi)是連續(xù)的如果函數(shù))(xfy 在其定義域在其定義域內(nèi)的每點(diǎn)均連續(xù)，則稱函數(shù)內(nèi)的每點(diǎn)均連續(xù)，則稱函數(shù))(xf在其定義在其定義域內(nèi)是連續(xù)域內(nèi)是連續(xù)的的 函數(shù)函數(shù))(xfy 在某點(diǎn)在某點(diǎn)0 x處連續(xù)的條件是：處連續(xù)的條件是： （1） 0()f x有意義，即有意義，即0()f x存在存在 （2） 0lim( )xxf x存在存

40、在. 即即0lim( )xxf x=0lim( )xxf x （3） 0lim( )xxf x=0()f x即極限值等于函數(shù)值即極限值等于函數(shù)值 以上三條同時(shí)滿足，則函數(shù)以上三條同時(shí)滿足，則函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處連續(xù)，若處連續(xù)，若其中任何一條不滿足，函數(shù)其中任何一條不滿足，函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處就是間斷處就是間斷的，稱這樣的點(diǎn)為函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)的，稱這樣的點(diǎn)為函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn) 3. 3. 連續(xù)連續(xù)例例如如， 函函數(shù)數(shù))(xf=211xx， 由由于于在在x=1 處處沒沒有有定定義義， 即即(1)f不不存存在在，故故這這個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)在在 x=1 處處不不連連續(xù)續(xù)，如如圖圖

41、2-9. 圖圖 2-9 xyo121)(xf又如又如 函數(shù)函數(shù). 1, 1, 1, 0, 1, 1)(xxxxxxf雖然在雖然在x=1 處有定義，處有定義，但由于但由于1lim( )xf x=21lim( )xf x=0， 即即1lim( )xf x不存在，故不存在，故這個(gè)函數(shù)在這個(gè)函數(shù)在x=1 處不連續(xù)，如圖處不連續(xù)，如圖 2-10. )(xfxyo12圖圖 2-10再再如如 函函數(shù)數(shù). 1, 0, 1, 1)(xxxxf雖雖然然在在 x=1 處處有有定定義義，且且1lim( )xf x=2 也也存存在在，但但因因?yàn)闉?lim( )xf x) 1 (f故故這這個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)在在x=1 處處不不

42、連連續(xù)續(xù)，如如圖圖 2-11. 圖圖 2-11xyo21)(xf通常把間斷點(diǎn)分為兩類 設(shè)通常把間斷點(diǎn)分為兩類 設(shè)0 x是函數(shù)是函數(shù))(xfy 的間的間斷點(diǎn)，若左極限斷點(diǎn)，若左極限0lim( )xxf x與右極限與右極限0lim( )xxf x都存在，則都存在，則稱稱0 x為為第一類間斷點(diǎn)；第一類間斷點(diǎn)；其余間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為其余間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第二類間斷第二類間斷點(diǎn)點(diǎn). 若若0lim( )xxf x=，亦稱，亦稱0 x點(diǎn)為點(diǎn)為無(wú)窮間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)在第一在第一類間斷點(diǎn)中，類間斷點(diǎn)中， 若若0lim( )xxf x0lim( )xxf x時(shí)， 稱這種間斷點(diǎn)為時(shí)， 稱這種間斷點(diǎn)為跳躍間跳躍間斷點(diǎn)斷點(diǎn) 若若 0

43、lim( )xxf x=0lim( )xxf x時(shí)稱這種間斷點(diǎn)為時(shí)稱這種間斷點(diǎn)為可去間可去間斷點(diǎn)斷點(diǎn) 例例 1 1 討論函數(shù)討論函數(shù)21yx在在 x=0 處的連續(xù)性；處的連續(xù)性； 解解 21yx在在x=0 處無(wú)定義，且處無(wú)定義，且201limxx ， 故故x=0 是函數(shù)是函數(shù)21yx的第二類間斷點(diǎn)，亦稱的第二類間斷點(diǎn)，亦稱無(wú)窮無(wú)窮間斷點(diǎn)間斷點(diǎn) 例例 2 2 設(shè)設(shè)2,1,( )1,1.xxf xxx討論討論 )(xf在在 1x 處的連續(xù)性處的連續(xù)性 解解 因因?yàn)闉?lim( )xf x=21limxx=1，1lim( )xf x=1lim(1)xx=2 1lim( )xf x不不存存在在 x=1 是是)(xf的的不不連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)故故 1x 是是)(xf的的第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn),且且為為跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)如如圖圖2-12 oxy2)(xxf1)( xxf圖圖 2-12例例 3 3 設(shè)設(shè) 4,0,( )1,0.xxf xxx討討論論)(xf在在0 x處處的的連連續(xù)續(xù)性性 解解 1)0(f 40lim0 xxx 即即 0lim( )xf x )0(f 故故 x=是是)(xf的的第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)，且且為為可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)，如如圖圖 2-13 xoy1圖圖 2-132.3.2 2.3.2 初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)