1、第一章 概率論的基本概念上節(jié)課內(nèi)容復習：上節(jié)課內(nèi)容復習：;1)(20 SP;)(010AP )()()(2121APAPAAP則則是是兩兩兩兩互互不不相相容容事事件件若若,3201AA概率的定義及性質(zhì)：概率的定義及性質(zhì)：;0)(1 P性質(zhì)性質(zhì)則則是是兩兩兩兩互互不不相相容容事事件件若若性性質(zhì)質(zhì),221AAAn)()()()(2121APAPAPAAAPnn 第一章 概率論的基本概念)(3ABPBA 性性質(zhì)質(zhì))(6AP性性質(zhì)質(zhì))(5AP性質(zhì)性質(zhì))(7BAP性性質(zhì)質(zhì))(8CBAP性性質(zhì)質(zhì));()(APBP ;1 ;)(1AP ;)()()(ABPBPAP )()()()()()()(ABCPBCP

2、ACPABPCPBPAP )(4ABP 性性質(zhì)質(zhì));()(ABPBP 性質(zhì)性質(zhì) 9有有個事件個事件對任意對任意,21nAAAn niiAP1 niiAP1 njijiAAP1 nkjikjiAAAP1 nnAAAP2111 nkAP )(第一章 概率論的基本概念.中中基基本本事事件件總總數(shù)數(shù)包包含含的的基基本本事事件件數(shù)數(shù)SA 實際推斷原理：實際推斷原理：小概率事件在一次試驗中幾乎是不小概率事件在一次試驗中幾乎是不發(fā)生的。發(fā)生的。3 3 條條 件件 概概 率率一一 條條 件件 概概 率率二二 乘乘 法法 定定 理理三三 全概率公式和貝葉斯公式全概率公式和貝葉斯公式目目 錄錄 索索 引引第一章

3、概率論的基本概念3條件概率一、條一、條 件件 概概 率率 條件概率是概率論中一個重要而實用的概念。條件概率是概率論中一個重要而實用的概念。它所考慮的是事件它所考慮的是事件 B 已經(jīng)發(fā)生的條件下事件已經(jīng)發(fā)生的條件下事件 A 發(fā)生的概率。發(fā)生的概率。第一章 概率論的基本概念3條件概率設(shè)設(shè)A、B是某隨機試驗中的兩個事件，且是某隨機試驗中的兩個事件，且0)( BP則稱事件則稱事件A在在“事件事件B已發(fā)生已發(fā)生”這一附加條件下的這一附加條件下的概率為在事件概率為在事件B已發(fā)生的條件下事件已發(fā)生的條件下事件A的條件概率，的條件概率，簡稱為簡稱為A在在B之下的條件概率，記為之下的條件概率，記為 BAP1）條

4、件概率的定義：）條件概率的定義：例例 1 兩臺車床加工同一種零件共兩臺車床加工同一種零件共100個，結(jié)果如下個，結(jié)果如下 合格品數(shù)合格品數(shù) 次品數(shù)次品數(shù) 總計總計第一臺車床加工數(shù)第一臺車床加工數(shù) 30 5 35第二臺車床加工數(shù)第二臺車床加工數(shù) 50 15 65總總 計計 80 20 100第一章 概率論的基本概念3條件概率設(shè)設(shè)A= 從從100個零件中任取一個是合格品個零件中任取一個是合格品 B=從從100個零件中任取一個是第一臺車床加工的個零件中任取一個是第一臺車床加工的 解：解： 3530 BAP ,10080 AP ,10080 AP ,10030 ABP . )|(,),(,BAPABP

5、BPAP求求： ,10035 BP注：注：由例由例1可以看出，事件可以看出，事件A在在“事件事件B已發(fā)生已發(fā)生” 這附這附 加條件的概率與不附加這個條件的概率是不同的加條件的概率與不附加這個條件的概率是不同的 第一章 概率論的基本概念 BPABPBAP 但有但有稱為在事件稱為在事件B已發(fā)生的條件下事件已發(fā)生的條件下事件A的條件概率，的條件概率，簡稱為簡稱為A在在B之下的之下的條件概率條件概率。 0 BP設(shè)設(shè)A、B是某隨機試驗中的兩個事件，且是某隨機試驗中的兩個事件，且 BPABPBAP 則則因此，有下面的因此，有下面的定義：定義：2）條件概率的性質(zhì)：）條件概率的性質(zhì)： 0)1( BAPA，有有

6、非非負負性性：對對任任意意事事件件 ；規(guī)規(guī)范范性性：1)2( BSP則則兩兩兩兩互互不不相相容容，事事件件可可列列可可加加性性：如如果果隨隨機機nAAA21)3(第一章 概率論的基本概念3條件概率 11nnnnBAPBAP因此條件概率也是概率，它也具備概率的其它性質(zhì)。因此條件概率也是概率，它也具備概率的其它性質(zhì)。例例 2 已知某家庭有已知某家庭有3個小孩，且至少有一個是女個小孩，且至少有一個是女 孩，求該家庭至少有一個男孩的概率孩，求該家庭至少有一個男孩的概率 而而 BP 86 ABP BAP 所求概率為所求概率為解：解：設(shè)設(shè) B= 3個小孩至少有一個女孩個小孩至少有一個女孩 A= 3個小孩至

7、少有一個男孩個小孩至少有一個男孩 第一章 概率論的基本概念 768786 BAP所所以以 878111 BP BPABP 3條件概率二、乘法公式二、乘法公式由條件概率的定義由條件概率的定義 APABPABP 我們得我們得 ABPAPABP 這就是兩個事件的這就是兩個事件的乘法公式乘法公式第一章 概率論的基本概念3條件概率1）兩個事件的乘法公式：）兩個事件的乘法公式：2）多個事件的乘法公式）多個事件的乘法公式個個隨隨機機事事件件，且且為為，設(shè)設(shè)nAAAn21 0121 nAAAP 則有則有 nAAAP21這就是這就是n個事件的個事件的乘法公式乘法公式 第一章 概率論的基本概念3條件概率 1AP

8、12AAP 213AAAP 121 nnAAAAP例例3 袋中有一個白球與一個黑球，現(xiàn)每次從中取袋中有一個白球與一個黑球，現(xiàn)每次從中取出一球，若取出白球，則除把白球放回外再加進出一球，若取出白球，則除把白球放回外再加進一個白球，直至取出黑球為止求取了一個白球，直至取出黑球為止求取了n 次都未次都未取出黑球的概率取出黑球的概率解解 次次都都未未取取出出黑黑球球取取了了設(shè)設(shè)nB niiAi，次次取取出出白白球球第第21 則則,21nAAAB 由乘法公式，我們由乘法公式，我們有有第一章 概率論的基本概念 nAAAPBP21 121213121 nnAAAAPAAAPAAPAP1433221 nn11

9、 n3條件概率 例例 4 設(shè)某光學儀器廠制造的透鏡，第一次落下時設(shè)某光學儀器廠制造的透鏡，第一次落下時打破的概率為打破的概率為 1/21/2 ，若第一次落下未打破，第二，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率為次落下打破的概率為 7/107/10 , ,若前兩次落下未打破，若前兩次落下未打破，第三次落下打破的概率為第三次落下打破的概率為 9/109/10 。求透鏡落下三次。求透鏡落下三次而未打破的概率。而未打破的概率。解：解：以以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件表示事件“透鏡第透鏡第 i 次落下打次落下打破破”，以，以 B 表示事件表示事件“透鏡落下三次而未打破透鏡落下三次而未打破”

10、，有有)()(321AAAPBP 第一章 概率論的基本概念)|()|()(213121AAAPAAPAP .2003)1091)(1071)(211 ( 3條件概率三、全概率公式和貝葉斯公式三、全概率公式和貝葉斯公式;, 2 , 1,=njijiAAji .21SAAAn 定義定義 設(shè)設(shè) S 為試驗為試驗 E 的樣本空間，的樣本空間， 為為 E 的一組事件。若滿足的一組事件。若滿足 (1) (2) 則稱則稱 為樣本空間為樣本空間 S 的一個有限劃分的一個有限劃分. nAAA,21nAAA,21第一章 概率論的基本概念3條件概率1 1）全）全 概概 率率 公公 式：式：設(shè)隨機事件設(shè)隨機事件的的是

11、是樣樣本本空空間間 SAAAn,21 兩兩兩兩互互不不相相容容；nAAA,121 ; 21SAnkk ;, 2, 103nkAPk .1 nkkkABPAPBP則有則有第一章 概率論的基本概念3條件概率一一個個有有限限劃劃分分，即即SAnA1A2.BA1BA2.BAn =21nBABABAB全概率公式的證明：全概率公式的證明：由條件：由條件：nkkASB1 得得 nkkBAB1 而且由而且由兩兩互不相容，兩兩互不相容，nAAA,21也也兩兩兩兩互互不不相相容容；得得BABABAn,21A1A2An.BA1BA2.BAn =21nBABABABS第一章 概率論的基本概念3條件概率全概率公式的證明

12、（續(xù)）全概率公式的證明（續(xù)）所以由概率的可加性，得所以由概率的可加性，得 nkkBAPBP1得得 得得，再由條件再由條件nkAPk, 2, 10 kkkABPAPBAP nkkknkkABPAPBAPBP11第一章 概率論的基本概念3條件概率全概率公式的使用：全概率公式的使用：我們把事件我們把事件B 看作某一過程的結(jié)果，看作某一過程的結(jié)果，因因，看看作作該該過過程程的的若若干干個個原原把把nAAA,21根據(jù)歷史資料，每一原因發(fā)生的概率已知，根據(jù)歷史資料，每一原因發(fā)生的概率已知， 已已知知即即kAP 已已知知即即kABP而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知，而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知，則我們可

13、用全概率公式計算結(jié)果發(fā)生的概率則我們可用全概率公式計算結(jié)果發(fā)生的概率 BP即即求求第一章 概率論的基本概念3條件概率 例例5 某小組有某小組有20名射手，其中一、二、三、四名射手，其中一、二、三、四 級射手分別為級射手分別為2、6、9、3名又若選一、二、名又若選一、二、 三、四級射手參加比賽，則在比賽中射中目標三、四級射手參加比賽，則在比賽中射中目標 的概率分別為的概率分別為0.85、0.64、0.45、0.32，今隨機，今隨機 選一人參加比賽，試求該小組在比賽中射中目選一人參加比賽，試求該小組在比賽中射中目 標的概率標的概率 解：解： 標標該該小小組組在在比比賽賽中中射射中中目目設(shè)設(shè) B 4

14、321 ，級級射射手手參參加加比比賽賽選選 iiiA由全概率公式，有由全概率公式，有第一章 概率論的基本概念 41iiABPiAPBP32. 020345. 020964. 020685. 0202 5275. 0 3條件概率2 2）貝葉斯（）貝葉斯（BayesBayes）公式公式 )|(BkAP第一章 概率論的基本概念3條件概率設(shè)隨機事件設(shè)隨機事件的的是是樣樣本本空空間間 SAAAn,21 兩兩兩兩互互不不相相容容；nAAA,121 ; 21SAnkk ;, 2, 103nkAPk 一一個個有有限限劃劃分分，即即則有：則有：)()(BPBkAPnknjjABPjAPkABPkAP, 2 ,

15、1,1)|()()|()( BayesBayes公式的使用公式的使用我們把事件我們把事件B 看作某一過程的結(jié)果，看作某一過程的結(jié)果，因因，看看作作該該過過程程的的若若干干個個原原把把nAAA,21根據(jù)歷史資料，每一原因發(fā)生的概率已知，根據(jù)歷史資料，每一原因發(fā)生的概率已知， 已已知知即即kAP 已已知知即即kABP而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知，而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知， 如果已知事件如果已知事件B已經(jīng)發(fā)生，要求此時是由第已經(jīng)發(fā)生，要求此時是由第 i 個個原因引起的概率，則用原因引起的概率，則用Bayes公式公式 BAPi即求即求第一章 概率論的基本概念3條件概率說明：說明：全概率公式

16、，全概率公式， BayesBayes公式中公式中 可以是可以是. n第一章 概率論的基本概念3條件概率例例 6 （艾滋病普查）（艾滋病普查） 有一種血液試驗能檢驗出身體中艾滋病病毒的某種抗體的存有一種血液試驗能檢驗出身體中艾滋病病毒的某種抗體的存在性在性. 可能會有兩種誤診可能會有兩種誤診. 首先，它可能對某些真有艾滋病的人首先，它可能對某些真有艾滋病的人作出沒有艾滋病的診斷，這就是假陰性作出沒有艾滋病的診斷，這就是假陰性. 其次，它也可能對某其次，它也可能對某些沒有艾滋病的人誤診為患有艾滋病，這就是所謂的假陽性些沒有艾滋病的人誤診為患有艾滋病，這就是所謂的假陽性. 假設(shè)該血液試驗的靈敏度（即

17、真有病的人的試驗結(jié)果假設(shè)該血液試驗的靈敏度（即真有病的人的試驗結(jié)果呈陽呈陽性的概率性的概率）為）為95%，因此，因此，5%的患有艾滋病的人的血液試驗的患有艾滋病的人的血液試驗結(jié)果將是結(jié)果將是假陰性假陰性. 美國是艾滋病較為流行的國家之一，保守估計大約每美國是艾滋病較為流行的國家之一，保守估計大約每1000人中就有一人人中就有一人受這種病的折磨受這種病的折磨.為了有效控制和減緩艾滋病的為了有效控制和減緩艾滋病的傳播速度，幾年前，美國有人就提議應在申請結(jié)婚登記的新傳播速度，幾年前，美國有人就提議應在申請結(jié)婚登記的新婚夫婦中進行艾滋病病毒的血液試驗，該項普查計劃一經(jīng)提婚夫婦中進行艾滋病病毒的血液試驗

18、，該項普查計劃一經(jīng)提 而接受血液試驗的不帶艾滋病病毒的人中而接受血液試驗的不帶艾滋病病毒的人中99%的試驗結(jié)果的試驗結(jié)果為為陰性陰性，這意味著血液試驗結(jié)果為，這意味著血液試驗結(jié)果為假陽性假陽性的概率為的概率為1%.第一章 概率論的基本概念3條件概率設(shè)設(shè) A= 被檢人帶有艾滋病病毒被檢人帶有艾滋病病毒 ， D= 試驗結(jié)果呈陽性試驗結(jié)果呈陽性 后，就遭到了許多專家學者的反對，他們認為這后，就遭到了許多專家學者的反對，他們認為這是一項既費錢又費力，同時收效不大的計劃，最終，此項計是一項既費錢又費力，同時收效不大的計劃，最終，此項計劃未被通過劃未被通過.那么，到底專家的意見對不對？該普查計劃該那么，到

19、底專家的意見對不對？該普查計劃該不該被執(zhí)行呢？不該被執(zhí)行呢？假如該計劃得以實施，而你又做了血液試驗，并且試驗結(jié)假如該計劃得以實施，而你又做了血液試驗，并且試驗結(jié)果是陽性的，那么你真正得了艾滋病的可能性有多大呢？果是陽性的，那么你真正得了艾滋病的可能性有多大呢？由已知，得由已知，得001. 0)( AP 所以，由所以，由Bayes公式，得公式，得 DAP01. 0999. 095. 0001. 095. 0001. 0 087. 0 ,99. 0,95. 0 ADPADP DPDAP ADPAPADPAPADPAP 例例 6（續(xù)）（續(xù)）001. 0)( DP DAP167. 0 ,995. 0,999. 0 ADPADP第一章 概率論的基本概念3條件概率例例 6（續(xù)）（續(xù)）即使提高了試驗的精度，降低了假陰性何假陽性出現(xiàn)的概率即使提高了試驗的精度，降低了假陰性何假陽性出現(xiàn)的概率則則但對高危人群，即假如但對高危人群，即假如1 . 0)( DP ,99. 0,95. 0 ADPADP DAP913. 0 則則所以說在新婚夫婦中實行普查的意義不大，但在高危人群中所以說在新婚夫婦中實行普查的意義不大，但在高危人群中進行普查是很有效的進行普查是很有效的.例例 7 袋中有袋中有10個黑球，個黑球，5個白球現(xiàn)擲一枚均勻的個白球現(xiàn)擲一枚均勻的骰