1、一階微分方程的 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 習(xí)題課 (一)解法及運(yùn)用 第十二章 一、一階微分方程求解一、一階微分方程求解 1. 一階規(guī)范類型方程求解 關(guān)鍵關(guān)鍵: 區(qū)分方程類型區(qū)分方程類型 , 掌握求解步驟掌握求解步驟2. 一階非規(guī)范類型方程求解 (1) 變量代換法 代換自變量代換因變量代換某組合式(2) 積分因子法 選積分因子, 解全微分方程四個(gè)規(guī)范類型: 可分別變量方程, 齊次方程, 線性方程, 全微分方程 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例1. 求以下方程的通解求以下方程的通解; 01) 1 (32xyeyy提示提示: (1),33xyxyeee因故為分別變量方程:通解;)2

2、(22yyxyx;21)3(2yxy.2336)4(3223yyxyxxyxeyeyxydd32Ceexy331機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 方程兩邊同除以 x 即為齊次方程 , ,0時(shí)xyyxyx22)2(時(shí)，0 x21uux21uuxxyxyy21xyxyy21令 y = u x ,化為分離變量方程.互換自變量與因變量的位置 ,221)3(yxy,2dd2yxyx用線性方程通解公式求解 .化為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 32232336)4(yyxyxxy方法方法 1 這是一個(gè)齊次方程這是一個(gè)齊次方程 .方法方法 2 化為微分方式化為微分方式 0d)23(d)36(3223y

3、yyxxyxx故這是一個(gè)全微分方程 .xyu 令機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 xQyxyP6例例2. 求以下方程的通解求以下方程的通解:)lnln() 1(yxyyyx提示提示: (1)令 u = x y , 得(2) 將方程改寫為0d)1ln(dln2)2(2xxyyyxxyyxxyxy22363)3(220d)31(d)3()4(22yyxxyxyuxuxulndd)(ln)(yxyyxxyyxxxy2ln21dd3(貝努里方程) 2 yz令(分別變量方程)原方程化為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 令 y = u tyyxxyxy22363)3(22) 1(2) 1(3dd22x

4、yyxxy(齊次方程)ytytty23dd22令 t = x 1 , 那么tyxttyxydddddddd可分別變量方程求解化方程為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 0d)31(d)3()4(22yyxxyxy變方程為yxxydd2兩邊乘積分因子2 y0)dd(3dd2yxxyyyxx用湊微分法得通解:Cyxyx321120)dd(32yxxyy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例3.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 設(shè)F(x)f (x) g(x), 其中函數(shù) f(x), g(x) 在(,+)內(nèi)滿足以下條件:, 0)0(),()(),()(fxfxgxgxf且(1) 求F(x) 所滿足

5、的一階微分方程 ;(03考研) (2) 求出F(x) 的表達(dá)式 .解解: (1) )()()()()(xgxfxgxfxF)()(22xfxg)()(2)()(2xgxfxfxg)(2)2(2xFex所以F(x) 滿足的一階線性非齊次微分方程:.2)()(xexgxf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 (2) 由一階線性微分方程解的公式得CxeeexFxxxd4)(d22d2Cxeexxd442代入上式，將0)0()0()0(gfF1C得于是 xxeexF22)(xexFxF24)(2)(xxCee22練習(xí)題練習(xí)題:(題3只思索方法及步驟)P326 題2 求以1)(22yCx為通解的微分方程.

6、提示提示:1)(22yCx02)(2yyCx消去 C 得1) 1(22 yyP327 題3 求以下微分方程的通解:xyyyx2) 1 (提示提示: 令令 u = x y , 化成可分別變量方程化成可分別變量方程 :uu2) 1ln(ln)2(xxayxyx提示提示: 這是一階線性方程這是一階線性方程 , 其中其中,ln1)(xxxP)ln11()(xaxQP326 題1，2，3(1), (2), (3), (4), (5), (9), (10)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 )ln(2dd)3(xyyxy提示提示: 可化為關(guān)于可化為關(guān)于 x 的一階線性方程的一階線性方程yyxyyxln22

7、dd0dd)4(33yxyxxy提示提示: 為貝努里方程為貝努里方程 , 令令2 yz0dddd)5(22yxyxyyyyxx提示提示: 為全微分方程為全微分方程 , 通解通解Cyxyxarctan)(21220dd)3()9(24xyxyxy提示提示: 可化為貝努里方程可化為貝努里方程xyxyxy43dd令2xz 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 原方程化為 yxxy2)10(xyxu2, 即,22uuxy那么xydduxuuxudd)(22故原方程通解Cyxxyx23)(33222ddxuuxuuexd2Cueuud2d2Cuuud21222232uCu u2xuxdd2xuudd2提示

8、提示: 令令機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例4. 設(shè)河邊點(diǎn)設(shè)河邊點(diǎn) O 的正對(duì)岸為點(diǎn)的正對(duì)岸為點(diǎn) A , 河寬河寬 OA = h, 一鴨子從點(diǎn) A 游向點(diǎn)二、解微分方程運(yùn)用問題二、解微分方程運(yùn)用問題利用共性建立微分方程 , 利用個(gè)性確定定解條件.為平行直線,且鴨子游動(dòng)方向一直朝著點(diǎn)O ,h提示提示: 如下圖建立坐標(biāo)系如下圖建立坐標(biāo)系. 設(shè)時(shí)辰t 鴨子位于點(diǎn)P (x, y) ,設(shè)鴨子(在靜水中)的游速大小為bP求鴨子游動(dòng)的軌跡方程 . O ,水流速度大小為 a ,兩岸 ),(ab )0,(aa abyxAo那么關(guān)鍵問題是正確建立數(shù)學(xué)模型, 要點(diǎn):那么鴨子游速 b 為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁

9、 前往 終了 定解條件 a由此得微分方程yxvvyxddyxybyxa22即v鴨子的實(shí)踐運(yùn)動(dòng)速度為( 求解過程參考P273例3 ).0hyxyxddyxyxba12( 齊次方程 )b0PObb ,dd,ddtytxv bavhPabyxAo2222,yxybyxxb2222,yxyyxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 思索思索: 能否根據(jù)草圖列方程能否根據(jù)草圖列方程?),(yxMyxo練習(xí)題練習(xí)題:P327 題 5 , 6P327 題題5 . 知某曲線經(jīng)過點(diǎn)知某曲線經(jīng)過點(diǎn)( 1 , 1 ),軸上的截距等于切點(diǎn)的橫坐標(biāo) , 求它的方程 .提示提示: 設(shè)曲線上的動(dòng)點(diǎn)為設(shè)曲線上的動(dòng)點(diǎn)為 M (x

10、,y),)(xXyyY令 X = 0, 得截距, xyyY由題意知微分方程為xxyy即11yxy定解條件為.11xyyxxtanx此點(diǎn)處切線方程為它的切線在縱機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 P327 題題6. 知某車間的容積為知某車間的容積為,m630303,CO%12. 02的其中含的新穎空氣問每分鐘應(yīng)輸入多少才干在 30 分鐘后使車間空2CO氣中的含量不超越 0.06 % ?提示提示: 設(shè)每分鐘應(yīng)輸入設(shè)每分鐘應(yīng)輸入,m3k t 時(shí)辰車間空氣中含2CO,m3x為那么在,ttt內(nèi)車間內(nèi)2CO x兩端除以 ,t并令0t25005400ddkxktx與原有空氣很快混合均勻后, 以一樣的流量排出 )得微分方程tk10004. 0txk54005400( 假定輸入的新穎空氣 2CO%04. 0現(xiàn)以含輸入 , 的改動(dòng)量為 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 t = 30 時(shí)5406. 0540010006. 0 x2504ln180k25005400ddkxktx5412. 00tx解