1、第2課時利用導數研究函數的最值第一章利用導數研究函數的極值學習目標1.理解函數最值的概念，了解其與函數極值的區(qū)別與聯系.2.會求某閉區(qū)間上函數的最值.題型探究問題導學內容索引當堂訓練問題導學思考1知識點函數的最大(小)值與導數觀察a，b上函數yf(x)的圖象，試找出它的極大值、極小值.答案答案極大值為f(x1)，f(x3)，極小值為f(x2)，f(x4).如圖為yf(x)，xa，b的圖象.思考2結合圖象判斷，函數yf(x)在區(qū)間a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分別為多少？答案答案存在，f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3).思考3函數yf(x)在a，b上的最大(小)值一定是某

2、極值嗎？答案答案不一定，也可能是區(qū)間端點的函數值.思考4怎樣確定函數f(x)在a，b上的最小值和最大值？答案比較極值與區(qū)間端點的函數值，最大的是最大值，最小的是最小值.(1)函數的最值假設函數yf(x)在閉區(qū)間a，b上的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線，則該函數在a，b內一定能夠取得最大值與最小值，函數的最值必在 或 取得，由于可導函數在區(qū)間(a，b)內的極值只可能在使_的點取得，因此把函數在 的值與區(qū)間內使 的點的值作比較，最大者必為函數在a，b上的最大值，最小者必為最小值.梳理f(x)0極值點區(qū)間端點區(qū)間端點f(x)0(2)求函數yf(x)在a，b上的最大(小)值的步驟求f(x)在開區(qū)間(a，b

3、)內所有使 的點；計算函數f(x)在區(qū)間內使 的所有點和 的函數值，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.f(x)0f(x)0端點題型探究例1已知函數f(x)x33x，xR.(1)求f(x)的單調區(qū)間；解答類型一求函數的最值命題角度1不含參數的函數求最值解f(x)3x233(x1)(x1)，當x1時，f(x)0；當1x1時，f(x)0，b2，當x1,1時，求f(x)的最小值.解答解f(x)3ax23x3x(ax1).若 1，即0a1，當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(1,0)0(0,1)f(x)0f(x)極大值若0 1，當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x

4、(1,0)0(0， )( ，1)f(x)00f(x)極大值極小值跟蹤訓練2求函數f(x) x34x4在0，a(a0)上的最大值和最小值.解答解f(x)x24.令f(x)0，得x2或x2(舍去).因為0 xa，所以當02時，當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：綜上可得：類型二由函數的最值求參數解答例3(1)已知函數f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值為3，最小值為29，求a，b的值.解由題設知a0，否則f(x)b為常函數，與題設矛盾.求導得f(x)3ax212ax3ax(x4)，令f(x)0，得x10，x24(舍去).當a0，且當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x

5、1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知，當x0時，f(x)取得極大值b，也就是函數在1,2上的最大值，f(0)b3.又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，f(2)16a329，解得a2.當af(1)，f(2)16a293，解得a2.綜上可得a2，b3或a2，b29.解答(2)已知h(x)x33x29x1在區(qū)間k,2上的最大值是28，求k的取值范圍.解h(x)x33x29x1，h(x)3x26x9.令h(x)0，解得x13，x21，當x變化時，h(x)及h(x)的變化情況如下表：x(，3)3(3,1)1(1，)h(x)00h(x)284當x3時，f(x)取極大

6、值28；當x1時，f(x)取極小值4.而h(2)30，求f(x)的最小值為2時的m的值.解答所以當x(0，m)時，f(x)0，f(x)在(m，)上是增函數，所以當xm時，f(x)取得極小值，也是最小值，即極小值為2，即f(m)ln m 2，所以me.類型三與最值有關的恒成立問題例4(1)已知2xln xx2ax3對一切x(0，)恒成立，則a的取值范圍為_.答案解析(，4解析由2xln xx2ax3，當x(0,1)時，h(x)0，h(x)為單調增函數.h(x)minh(1)4.ah(x)min4.(2)設函數f(x)tx22t2xt1(xR，t0).求f(x)的最小值h(t)；解答解f(x)t(

7、xt)2t3t1(xR，t0)，當xt時，f(x)取最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1.若h(t)2tm對t(0,2)恒成立，求實數m的取值范圍.解答解令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230，得t1，t1(不合題意，舍去).當t變化時，g(t)，g(t)的變化情況如下表：t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)1mg(t)在(0,2)內有最大值g(1)1m.h(t)2tm在(0,2)內恒成立等價于g(t)0在(0,2)內恒成立，即等價于1m0，m的取值范圍為(1，).分離參數求解不等式恒成立問題的步驟反思與感悟跟蹤訓練4設f(x)ln x，g(x)f(x)f(

8、x).(1)求g(x)的單調區(qū)間和最小值；解答解由題設知f(x)的定義域為(0，)，令g(x)0，得x1.當x(0,1)時，g(x)0，故(1，)是g(x)的單調增區(qū)間.因此，x1是g(x)在(0，)上的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點，所以最小值為g(1)1.解答即ln a0成立.由(1)知，g(x)的最小值為1，所以ln a1，解得0ae.故a的取值范圍為(0，e).當堂訓練1.函數f(x)x33x(x0，f(x)為單調增函數；當x(1,1)時，f(x)0時，x0；當f(x)0時，2x0.當x0時，f(0)0；當x1時，f(1)e2，所以函數的最大值為e2.故選C.23451答案解析234514.已知函數f(x) x42x33m，xR，若f(x)90恒成立，則實數m的取值范圍是_.解析答案所以f(x)2x36x2，令f(x)0，得x0或x3，經檢驗知x3是函數的最小值點，所以函數的最小值為f(3)3m .不等式f(x)90恒成立，即f(x)9恒成立，2345123