1、八年級(jí)數(shù)學(xué)（上）幾何證明練習(xí)題八年級(jí)數(shù)學(xué)（上）幾何證明練習(xí)題1、已知：在、已知：在ABC中，中，A=90度，度，AB=AC，在，在BC上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)P，作，作PQAB交交AC于于Q，作，作PRCA交交BA于于R，D是是BC的中點(diǎn)，求證：的中點(diǎn)，求證：RDQ是等腰直角三角形。是等腰直角三角形。RQDCABP 2、已知：在已知：在ABC中，中，A=900，AB=AC，D是是AC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，AEBD，AE延長(zhǎng)線交延長(zhǎng)線交BC于于F，求證：，求證：ADB=FDC。EFDCABEFDCAB3、已知：在已知：在ABC中中BD、CE是高，在是高，在BD、CE或其延長(zhǎng)線上分別截取或其延長(zhǎng)線上分別截取

2、BM=AC、CN=AB，求證：求證：MANA。MNDEBCA4、已知：如圖已知：如圖(1)，在，在ABC中，中，BP、CP分別平分分別平分ABC和和ACB，DE過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P交交AB于于D，交，交AC于于E，且，且DEBC求證：求證：DEDB=EC圖 5、在、在RtABC中，中，ABAC，BAC=90，O為為BC的中點(diǎn)。的中點(diǎn)。(1)寫出點(diǎn)寫出點(diǎn)O到到ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離的大小關(guān)系的距離的大小關(guān)系(不要求證明不要求證明)；(2)如果點(diǎn)如果點(diǎn)M、N分別在線段分別在線段AB、AC上移動(dòng)，在移動(dòng)中保持上移動(dòng)，在移動(dòng)中保持ANBM，請(qǐng)判斷，請(qǐng)判斷OMN的形的形狀，并證明你的結(jié)論。狀，

3、并證明你的結(jié)論。ABCOMN6、如圖，、如圖，ABC為等邊三角形，延長(zhǎng)為等邊三角形，延長(zhǎng)BC到到D，延長(zhǎng)，延長(zhǎng)BA到到E，AE=BD，連結(jié)連結(jié)EC、ED，求證：，求證：CE=DE7、如圖，等腰三角形、如圖，等腰三角形ABC中，中，ABAC，A90，BD平分平分ABC，DEBC且且BC10，求，求DCE的周長(zhǎng)。的周長(zhǎng)。幾何證明習(xí)題答案幾何證明習(xí)題答案1. 連接連接AD,由由ABC為為等腰直角三角形等腰直角三角形可得可得AD垂直垂直AC,且且AD=BD,DAQ=DBR=45度度,又由平行關(guān)系得又由平行關(guān)系得,四邊形四邊形RPQA為為矩形矩形,所以所以AQ=RP,BRP也是等腰直角三角行也是等腰直角

4、三角行,即即BR=PR,所以所以AQ=BR由邊角邊由邊角邊,BRD全等于全等于AQD,所以所以BDR=ADQ,DR=DQ,RDQ=RDA+ADQ=RDA+BDR=90度度,所以所以RDQ是等腰是等腰RT。 2. 作作AG平分平分BAC交交BD于于GBAC=90 CAG= BAG=45BAC=90 AC=AB C=ABC=45C=BAG AEBD ABE+BAE=90 CAF+BAE=90 CAF=ABE AC=AB ACF BAGCF=AG C=DAG =45 CD=ADCDF ADG CDF=ADB 3. 易證易證ABM NACNAMNAEBAMNAEANE904.BP CD分別平分角分別平

5、分角ABC和和ACBDBP=PBCECP=PCBDEBCDPB=PBCEPC= PCBDP=DP EP=EC DE-DP=DE-DB=EP=ECDE-DB=EC5.（1）因?yàn)橹苯侨切蔚男边呏悬c(diǎn)是三角形的外心，所以）因?yàn)橹苯侨切蔚男边呏悬c(diǎn)是三角形的外心，所以 O到到ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C距離相等；距離相等；（2）OMN是是等腰直角三角形等腰直角三角形。證明：連接。證明：連接OA，如圖，如圖，AC=AB，BAC=90， OA=OB，OA平分平分BAC，B=45，NAO=45， NAO=B，在在NAO和和MBO 中，中， AN=BM ，NAO=B ，AO=BO ，NAO MBO，

6、ON=OM，AON=BOM，AC=AB，O是是BC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， AOBC，即即BOM+AOM=90， AON+AOM=90，即即NOM=90， OMN是是等腰直角三角形等腰直角三角形 6. 延長(zhǎng)延長(zhǎng)CD到到F，使，使DF=BC，連結(jié)，連結(jié)EF AE=BD AE=CF ABC為正三角形為正三角形 BE=BF B=60 EBF為為=等邊三角形等邊三角形 角角F=60 EF=EB 在在EBC和和EFD中中 EB=EF（已證）（已證） B=F（已證）（已證） BC=DF（已作）（已作） EBC EFD（SAS） EC=ED 7. DEBCDEB=90BD平分平分ABC在直角三角形在直角三角形ABD

7、和直角三角形和直角三角形DBE中中 A=DEB BD=BD ABD=DBE直角三角形直角三角形ABD全等直角三角形全等直角三角形DBE BE=AB AD=DE AB=ACBE+CE=AC+CE DCE=CE+DE+CD=CE+AD+CD=CE+CA=BE+CE=10例例1（6分題）：如圖，已知分題）：如圖，已知B=C=90，M是是BC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，DM平分平分ADC。（1）若連接）若連接AM，則，則AM是否平分是否平分BAD？請(qǐng)你證明你的結(jié)論。？請(qǐng)你證明你的結(jié)論。（2）DM與與AM有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由。有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由。（3）求證：）求證：ADAB+CD練練2（6分題）分

8、題） ：如圖，：如圖，ABCD，DE平分平分ADC，AE平分平分BAD，求證：，求證：AD=AB+CD例例3（6分題）分題） ：如圖，已知：如圖，已知B=C=90，M是是BC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，DM平分平分ADC。求證：。求證：ADAB+CD 練練4（6分題）分題） ：如圖，已知在：如圖，已知在ABC中，中，AB=CD，BDA=BAD，AE為為ABD的的BD邊上邊上的中線，求證：的中線，求證：AC=2AE練練2 （6分題）分題） ：如圖，已知：如圖，已知ABCD，AD與與BC相交于相交于F，BE平分平分ABC，E為為AD的中的中點(diǎn)，問(wèn)：點(diǎn)，問(wèn)：AB、BC和和CD三條線段之間有什么數(shù)量關(guān)系，并給出證

9、明（如有需要可直接運(yùn)三條線段之間有什么數(shù)量關(guān)系，并給出證明（如有需要可直接運(yùn)用下面的定理：在一個(gè)三角形中，如果有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊也相等用下面的定理：在一個(gè)三角形中，如果有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊也相等簡(jiǎn)簡(jiǎn)寫成寫成“等角對(duì)等邊等角對(duì)等邊”）。）。例例3（9分題）：如圖，已知在有公共頂點(diǎn)的分題）：如圖，已知在有公共頂點(diǎn)的OAB和和OCD中，中，OA=OB，OC=OD，且，且AOB=COD。（1）求證：）求證：CA=BD（2）若將）若將OCD繞點(diǎn)繞點(diǎn)O沿著逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到沿著逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A、C、D在同一條直線上時(shí)，問(wèn)（在同一條直線上時(shí)，問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立

10、？如果結(jié)論成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由中的結(jié)論是否仍然成立？如果結(jié)論成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。練練4 （9分壓軸題）分壓軸題） ：如圖：如圖，OP是是MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)做全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)做全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題（1）如圖）如圖，在，在ABC中，中，ACB是直角，是直角，B=60，AD、CE分別是分別是BAC、BCA的平分線，的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你。請(qǐng)你寫出寫出FE與與FD之間的數(shù)量關(guān)系。（之間

11、的數(shù)量關(guān)系。（2）如圖）如圖，在，在ABC中，如果中，如果ACB不是直角，而（不是直角，而（1）中的其）中的其它條件不變。請(qǐng)問(wèn)：你在（它條件不變。請(qǐng)問(wèn)：你在（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。（理由。（3）你還能得出什么結(jié)論？請(qǐng)給出證明。）你還能得出什么結(jié)論？請(qǐng)給出證明。 練練5（9分題）：已知，如圖分題）：已知，如圖，在，在ABC中，中，AD平分平分BAC，DEAB與與E，DFAC與與F。（1）求證：）求證：ADEF（2）如圖）如圖、，當(dāng)有一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)有一動(dòng)點(diǎn)G在在AD所在的直線上運(yùn)動(dòng)，其余條件不變，

12、那么，這時(shí)所在的直線上運(yùn)動(dòng)，其余條件不變，那么，這時(shí)EFAD的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。 練練6（9分壓軸題）：如圖分壓軸題）：如圖，一個(gè)等腰直角三角尺，一個(gè)等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形的兩條直角邊與正方形ABCD的兩的兩條邊分別重合在一起?，F(xiàn)正方形條邊分別重合在一起?，F(xiàn)正方形ABCD保持不動(dòng)，將三角尺保持不動(dòng)，將三角尺GEF繞斜邊繞斜邊EF的中點(diǎn)（點(diǎn)的中點(diǎn)（點(diǎn)O也也是是BD的中點(diǎn)）順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。（的中點(diǎn)）順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。（1）如圖）如圖，當(dāng)，當(dāng)EF與與AB相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O，

13、GF與與BD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)N時(shí)，通過(guò)觀察或測(cè)量時(shí)，通過(guò)觀察或測(cè)量BM、FN的長(zhǎng)度，猜想的長(zhǎng)度，猜想BM、FN滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想。滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想。（2）將三角尺）將三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置時(shí)，線段所示的位置時(shí)，線段FE的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M，線段，線段BD的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線與GF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)N，此時(shí)（，此時(shí)（1）中的猜想還成立嗎？若成立，）中的猜想還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。 例例7（6分題）分題） ：如圖，要在燃?xì)夤艿溃喝鐖D，要在燃?xì)夤?/p>

14、道l上修建一個(gè)泵站，分別向上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣。（兩鎮(zhèn)供氣。（1）泵站）泵站C修建在什么地方，可使所用的燃?xì)夤芫€最短？（不寫做法，保留作圖痕跡）（修建在什么地方，可使所用的燃?xì)夤芫€最短？（不寫做法，保留作圖痕跡）（2）請(qǐng)你在（）請(qǐng)你在（1）的基礎(chǔ)上，過(guò)的基礎(chǔ)上，過(guò)A點(diǎn)作點(diǎn)作ADl，并連接，并連接DB，求證：，求證：AD+DBAC+CB。練練8 （6分題）分題） ：如圖，已知牧馬營(yíng)地：如圖，已知牧馬營(yíng)地M處，每天牧馬人要趕馬群先到河邊飲水，再到草地上處，每天牧馬人要趕馬群先到河邊飲水，再到草地上吃草，最后回到營(yíng)地，試著設(shè)計(jì)出最短的牧馬路線（不寫做法，保留作圖痕跡）吃草，最后回到營(yíng)

15、地，試著設(shè)計(jì)出最短的牧馬路線（不寫做法，保留作圖痕跡）練練9 （6分題）分題） ：如圖，：如圖，E、F為為ABC的邊的邊AB、AC上的兩個(gè)定點(diǎn)，在上的兩個(gè)定點(diǎn)，在BC上求作一點(diǎn)上求作一點(diǎn)D，使使DEF的周長(zhǎng)最短。的周長(zhǎng)最短。例例10（6分題）分題） ：如圖，已知在：如圖，已知在ABC中，中，DE垂直平分垂直平分BC，若，若ABC的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為10，BC=4，求，求ACE的周長(zhǎng)。的周長(zhǎng)。練練11（6分題）分題） ：如圖，在：如圖，在ABC中，中，DE垂直平分垂直平分AC，AC=5，ABD的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為13，求求ABC的周長(zhǎng)。的周長(zhǎng)。練練12 （6分題）分題） ：如圖，等腰三角形：如圖，等腰三

16、角形ABC的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為21，底邊，底邊BC=5，DE垂直平分垂直平分AB，求求BEC的周長(zhǎng)。的周長(zhǎng)。例例13 （6分題）分題） ：如圖，已知：如圖，已知ABC，請(qǐng)你用尺規(guī)作圖畫出，請(qǐng)你用尺規(guī)作圖畫出ABC關(guān)于直線關(guān)于直線l的對(duì)稱圖形。的對(duì)稱圖形。練練14（6分題）分題） ：如圖，已知：如圖，已知ABC，請(qǐng)你用尺規(guī)作圖畫出，請(qǐng)你用尺規(guī)作圖畫出ABC關(guān)于直線關(guān)于直線l的對(duì)稱圖形。的對(duì)稱圖形。例例15（7分題）：已知，分題）：已知，ABC和和ECD均為等邊三角形，且均為等邊三角形，且B、C、D三點(diǎn)在同一條直線三點(diǎn)在同一條直線上，求證：上，求證：（1）BE=AD（2）FGBD練練16 （7分題）分

17、題） ：已知：已知ABC和和ECD均為等邊三角形，求證：均為等邊三角形，求證：AD=BE練練17 （7分題）分題） ：如圖，已知：如圖，已知ABC和和ECD均為等邊三角形，求證：均為等邊三角形，求證：BE=AD練練18 （7分題）分題） ：如圖，已知四邊形：如圖，已知四邊形ABCD和和ECFG均為正方形，求證均為正方形，求證：（：（1）DF=BE（2）DFBE練練19 （7分題）分題） ：如圖，已知：如圖，已知ADC和和BDE均為等腰直角三角形，求證：（均為等腰直角三角形，求證：（1）BC=AE（2）BCAE練練20 （7分題）分題） ：已知：已知ABC和和EDC均為等腰直角三角形，求證均為等

18、腰直角三角形，求證（1）AE=BD。（。（2）AEBD。學(xué)法指津?qū)W法指津 角平分線加平行線構(gòu)建等腰三角形。角平分線加平行線構(gòu)建等腰三角形。 學(xué)習(xí)本課內(nèi)容，要綜合運(yùn)用學(xué)習(xí)本課內(nèi)容，要綜合運(yùn)用“等腰等腰三角形三線合一三角形三線合一”、“等邊對(duì)等等邊對(duì)等角角”、“等角對(duì)等邊等角對(duì)等邊”及及“等邊三等邊三角形三條邊相等、三個(gè)內(nèi)角相等且角形三條邊相等、三個(gè)內(nèi)角相等且三個(gè)內(nèi)角都是三個(gè)內(nèi)角都是60”等定理，才能等定理，才能做出復(fù)雜圖形題目。做出復(fù)雜圖形題目。學(xué)法指津?qū)W法指津 全等三角形的復(fù)雜圖形解題思路與基本圖全等三角形的復(fù)雜圖形解題思路與基本圖形的解題思路一致。解答復(fù)雜圖形，要把形的解題思路一致。解答復(fù)雜圖形，要把復(fù)雜圖形分解成基本圖形進(jìn)行解答，就會(huì)復(fù)雜圖形分解成基本圖形進(jìn)行解答，就會(huì)覺(jué)得非常簡(jiǎn)單了。覺(jué)得非常簡(jiǎn)單了。 圖形越復(fù)雜，條件越多，做起來(lái)越簡(jiǎn)單，圖形越復(fù)雜，條件越多，做起來(lái)越簡(jiǎn)單，因?yàn)椴挥米鲚o助線；圖形越簡(jiǎn)單，條件越因?yàn)椴挥米鲚o助線；圖形越簡(jiǎn)單，條件越少，做起來(lái)越難，往往要通過(guò)畫輔助線來(lái)少，做起來(lái)越難，往往要通過(guò)畫輔助線來(lái)創(chuàng)造條件解決。創(chuàng)造條件解決。 解決復(fù)雜圖形題目時(shí)，一般把已知條件在解決復(fù)雜圖形題目時(shí)，一般